儿童故事书-高谈阔论的意思

______________________________________ __________________________________________________ __
【第一换元法例题】
1、
(5x7)dx(5x7)dx(5x 7)d(5x7)

9

9

9
1
5
1
9
(5x7)d(5x7)


5
11 11


(5x7)
9
d(5x7)(5x7)
10
C(5x7)
10
C

551050
1【注】
(5x7)'5,d(5x7)5dx,dxd(5x7)

5

lnx1
dxlnx

x

x< br>dx

lnxdlnx

11


ln xdlnx(lnx)
2
C(lnx)
2
C

2 2
111
【注】
(lnx)',d(lnx)dx,dxd(lnx)
xxx
2、

3（1）
tanxdx

s inxsinxdxdcosxdcosx
dx

cosx
cosx

cosx

cosx


dcosx
ln|cosx|Cln|cosx|C

cosx【注】
(cosx)'sinx,d(cosx)sinxdx,sinxdxd (cosx)

3（2）
cotxdx

cosxcosxdxd sinx
dx

sinx

sinx

sin x



dsinx
ln|sinx|Cln|sinx|C

sinx
【注】
(sinx)'cosx,d(sinx)cosxdx,c osxdxd(sinx)


4（1）
111
dxdx< br>
ax

ax

ax
d(ax)

1


d(ax)ln|ax|Cln|ax|C

ax
【注】
(ax)'1,d(ax)dx,dxd(ax)
4（2）
111
dxdx

xa

xa

xa
d(xa)

1


d(xa)ln|xa|Cln|xa|C

xa
【注】
(xa)'1,d(xa)dx,dxd(xa)
4（3）
111

11

1

11

dxdxdxdxdx



x
2
a
2

x
2
a
2
2a
< br>
xaxa

2a


xa

xa


11xa
C


ln|xa| ln|xa|

Cln
2a2axa


secx(secxtanx)sec
2
xsecxtanx
dx

dx
5（1）

secxdx

s ecxtanxsecxtanx
d(tanxsecx)d(tanxsecx)


ln|secxtanx|C

secxtanxsecxta nx
1cosxcosxdxdsinx
5（2）

secxdx

dx

dx

cos
2
x
< br>1sin
2
x

cosxcos
2
x
< br>


dsinx1

11

1sinx 111sinx
dsinxlnClnC


2

1sinx2

sinx1sinx1

2sinx12 1sinx
cscx(cscxcotx)csc
2
xcscxcotx
dx

dx
6（1）

cscxdx

cscxcotxcscxcotx


d(cotxcscx)d(csc xcotx)


ln|cscxcotx|C

cs cxcotxcscxcotx
cscx(cscxcotx)csc
2
xc scxcotx
dx

dx
6（2）

cscxdx 

cscxcotxcscxcotx


7（1）
d(cotxcscx)d(cscxcotx)


ln|cscxco tx|C

cscxcotxcscxcotx
1
1x
2< br>
dx

dx
1x
2
arcsinxC
7（2）

1
a
2
x
2
dx< br>
dx
a
2
x
2


dx

x

a1


a

2



x

d


a


x

1


a

2


x

d


a

< br>x

1


a

2
arcs in
x
C

a
8（1）
1dx
dx

1x
2

1x
2
arctanxC

x

x

d

d

1dxdx1

a


1

a


1
arctan
x
C
，
dx
8（2）< br>
2
（
a0
）
22
222
2
axaxaaa


x


a

x

x

1

1

a
2

1



a

a< br>



a




9（ 1）
sinxcosxdxsinxcosxsinxdxsinxcosxdcosx

35

25

5
25
cos8
xcos
6
x


(1cosx)cosx dcosx

(cosxcosx)dcosxC

86
257
9（2）
sinxcosxdxsinxcosxcosxdxsinxcos xdsinx


35

34

34
s in
4
xsin
6
xsin
8
x

sinx(1sinx)dsinx

(sinx2sinxsinx)ds inxC

438
322357

dx1111
dxdlnx

xlnx

lnxx< br>
lnx

lnx
dlnxlnlnxC

d x11111
10（2）

dxdlnxdlnxC

2222

xlnxlnxxlnxlnxlnx
10（1）

2xdx2xdxdx
2
d(x
2
1)

4


4


arctan(x
2
1)C
11（1）

422222
x2x2x2x2x2x 21(x1)
xdx12xdx1dx
2
1d(x
2
1)< br>

4


4


11（2）
4

22222
x2x52x2x52x2x524( x1)

x
2
1

d

2

1d(x
2
1)11x
2
1






arctan()C

22
22
8442

x1

x1

1

1

2

2


12、sinx11
dxsinxdx2sinxdx2

sinxd x


x

x2x

2sinxdx2cosxC2cosxC


13、
edx



2x
1
2x
1
2x
1
2x
ed2xed2xeC


222
sin
4
x
C
14、

sinxcosxdx

sinxcosxdx

sinx dsinx

sinxdsinx
4
3333

15 、
(2x5)
1
100100
1
100
(2x5) dx(2x5)d(2x5)(2x5)d(2x5)

dx


22
1111


(2x5)
100
d(2x5)(2x5)
101
C(2x5)
101
C< br>
22101202
100

16、
xsinxdxsinxxdx

17、

2

2
111
22222
sinxdxsinxdxcos xC


222
lnxlnx1lnx(1lnx)1
dx dxdlnx

x1lnx

1lnx
x

1lnx

1lnx
dlnx



1lnxdlnx




1
dlnx
1lnx
1
1lnxd(1lnx)

d(1lnx)

1lnx
31
2
(1lnx)
2
2(1lnx)
2
C
3

e
arcta nx
1
arctanx
dxedx

e
arctan x
darctanx

e
arctanx
darctanx e
arctanx
C
18、

22

1x1 x
19、

x
1x
2
1
dx
1
1x
2
xdx

1
21x
2
dx
2


1
21x
2
d(1x2
)




20、

21x< br>2
d(1x
2
)1x
2
C


sinx
cosx
3
dx

1
cosx
3
sinxdx

1
cosx
3
dcosx


cos

3
2
xdcosx2cos

1
2
xC

e
x
111
xx
d xedxded(2e
x
)ln(2e
x
)C
21、

xxxx

2e2e2e2e

ln
2
x1ln
3
x
222
dx

lnx dx

lnxdlnx

lnxdlnxC
22、

xx3

23、


dx
12 xx
2


dx
2(1x)
2


d(1x)
2(1x)
2


d(1x)
(2)
2
(1x)
2
arcsin
1x
C

2
11
d(x)d(x)
dxdx
2

2
24、

2





1
2
71
2
7

xx2
17
(x)(x )
(x)
2
()
2
2424
22
11
d(x)x
2
22
C
2
arctan
2x1< br>C



arctan
177777
(x)< br>2
()
2
222

25、计算

sinx cosx
a
2
sin
2
xb
2
cos
2
x
dx
，
a
2
b
2

【分析】因为：
(asinxbcosx)'a2sinxco sxb2cosx(sinx)2(ab)sinxcosx

所以：
d(asinxbcosx)2(ab)sinxcosxdx


sinxcosxdx
222222
22222222
1
d(a
2
sin
2
xb
2
cos
2
x)

22
2(ab)
【解答】

sinxcosx
asi nxbcosx
2222
dx

1d(a
2
sin2
xb
2
cos
2
x)


22< br>
22222222
asinxbcosx
ab
2asinxb cosx
sinxcosxdx
1d(a
2
sin
2
xb
2
cos
2
x)1


2
a
2
sin
2
xb
2
cos
2
xC
2

22
ab
2a
2
sin
2< br>xb
2
cos
2
x
ab










【不定积分的第二类换元法】
已知

f(t)dtF(t)C



f(t)dtF(t)C
【求积分】
求
g(x)dxg(

(t))d

(t)g(
(t))

'(t)dt
【做变换，令
x

(t)
，再求微分】



F(

1
(x))C
【变量还原，
t

1
(x)
】
__________ __________________________________________________ ______________________________
【第二换元法例题】
令 xt
sinxsint
2
sint
dxdt

2tdt

2sintdt
1、

2
x t
tt
x
2costC2cosxC

tx
变量还原

令xt
111t1

2dxdt2tdt2dt21dt


2（1）

2
xt
1t1t1t
1x

1t


2

t ln|1t|

C2
tx
变量还原

xln|1x|C


令1+xt
111t1

1

2
dxd(t1)

2(t1) dt2

dt2


1

dt
2 （2）

2
x(t1)
ttt
1x

t< br>
2

tln|t|

C21xl n|1x|C

t1x
变量还原


3
3、

4
111
34332
1xdxtd( t1)t4(t1)3tdt

32

34
34x(t1)
(t1)
x
(t1)
3
令1xt
4


4、
33
44
74

(1 x)(1x)

tt

C

12

12

(t
6
t
3
)dt12



C

3
4

74
t1x

74


74
变量还原

令xt
1111
2
dxdt2tdt2dt
222

2
xt
t(1t)t(1t)1tx(1x)
2arctantC2arctanxC

t x
令et
11111

11

dx dlntdtdt
5、


dt


1 t

1tt

t(1t)


xlnt< br>1e
x
t1t

x
变量还原
变量还原
te
x
ClnC

ln|t|ln|1t| Cln
x
x
te
1t1e

令xt
d x11t
2
1

65
6、

 dt6tdt6dt61dt

3

232322

6
xt
(1t)t(1t)t1t1t
(1x)x

变量还原
tx
6
6(xarctan
6(tarctant)C
6
m
66
x)C

k
【注】被积函数中出现了两个根式

x,
n
x
时 ，可令
xt
，其中
k
为
m,n
的最小公倍数。

t
2

dxt
2
3

dt 3

tln|1t|C


3
7（1）

3
xt2
1t
1x2

2

令x2t
3


3
(x2)
2
3

3
3

x2ln|1x2|C


6


2
tx

变 量还原
2
t
2
11x
2dt2t2ln|t 1|ln|t1|C

dx

2

7（2）

1
t1
x
2
xx
t1
令
1x
t
x
1x1x1x
22ln|1|ln|1| C

1x
xxx
t
变量还原
x
n
n
【注】被积函数中含有简单根式

axb
或
1
t
axb
cxd
时，可令这个简单根式为
t
，即可消去根式。
dx
8(1)

8
x(1x
2
)
1
dt
2
t
8
1

642
t






dtttt1dt


22


1
1111
1t1t

 
x

t
11

t
8
< br>t
2

t
8

t
2

1< br>令t
x
d
变量还原
t
7
t
5
t
3
11111
tarctantC
7

5

3
arctanC

1
7537x5x 3xxx
t
x
11
1ln
1lnx
t
d< br>1

t

1
dt
1lnt
dtdx 
22


1tlnt

2
8（2）< br>
1

(xlnx)
2
t


1
t
2
x
111

t

ln

ln

t

t

t

t
1
令t
x
1ln
1


(1 lnt)dt

d(1tlnt)C
22
1tlnt

1tlnt

1tlnt


11
1 x
CC
1
11
xlnx
t
1ln< br>x
xx
变量还原

【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。

< br>2t2t
1
22
1sinxt2dt
1t1t
dx d2arctan
9、

1t
2
1t
2
1t
2
sinx(1cosx)
x2arctant
2t
2

2t
(1)(1)
2222
1t1t 1t1t
x
令tant
2
1


1
1

t
2
1



t2 

dttln|t|C
2

t

42< br>2
x

变量还原
tan
x1x
2
tan ln|tan|C
1
4222
t
x
【注】对三角函数 有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。

令xasin t，|t|

2
10（1）


axdx 

a
2
a
2
sin
2
tdasin ta
2

cos
2
tdt

tarcsin< br>x
a
22
dx
a
2
x
2
2
令xasint，|t|
x
a

2


tarcsin
x


dttCarcsin C

x
a
tarcsin
a
2
a
2
sin
2
t
a
变量还原
dasint
1cos2 ta
2
a
2

sin2t

a

dt

(1cos2t)dt

t

C
222

2

a
2
x1
arcs inxa
2
x
2
C
x
2a2
tarcsi n
变量还原
a

10（2）

dx
ax
22
令xatant，|t|
x
tarctan
a
 


2
datant
aatant
222


sectdtln|secttant|C

xa
2
x
2
|Cln|xa
2
x
2
|C

ln|
x
aa
tarctan
变量还原
a
因为：
(xax)'2ax
2222
a
2
a x
2
22

所以：
(xax)'dx2axdx

22

2

a
2
ax
22
d x

即：

1

1
222
axdx 


(xax)'dxa

2

a
2
x
2
22


dx


2
1a
2222
xaxln|xax|C

22

10（3）

dx
xa
2 2
令xasect，0t


2

da sect
asecta
222


sectdtln|sect tant|C

xx
2
a
2
|Cln|xx< br>2
a
2
|C

ln|
xasect
aa
变量还原

因 为：
(xxa)'2xa
2222
a
2
xa
2
22

所以：
(xxa)'dx2xadx

2 2

2

a
2
xa
22
dx

即：

1

1
222
xadx


(xxa)'dxa

2

x
2
a
2
22


dx


2
1a
2222
xxaln|xxa|C

22
【注】当被积函数中出现
a
2
x
2
,a2
x
2
,x
2
a
2
因子时，可以用三角变 换，化为三角函数的积分问题。
_______________________________ __________________________________________________ ______________









【附加】【应用题】
已知生产
x
单位的某种产品，边 际单位成本是
C'(x)(
又知边际收益为
R'(x)120.1x
， 且
R(0)0
，
求：（1）利润函数
L(x)
；
（2）利润最大时的产量；
（3）利润最大时的平均价格。

【解答】
（1）因为：
C'(x)(
C(x)100
产量为 1 个单位时，成本为 102，
)'
2
，
xx
C(x)100
)'
2

xx

所以：
C(x)
10010 0
C
1
，由
C
1
(1)102
得：
C
1
2
，


C(x)2
，


C(x)1002x

xx
2

又已知：
R'(x)120.1x
，
R(0)0
，


R(x)12x0.05x

于是：
L(x)R(x)C(x)10x0.05x100

（2）令
L'(x)100.1x0
得：
x100

因为 ：
L'(100)0,L0
，所以当
x100
时利润最大，
L
max
(100)400

2
（3）利润最大时的平均价格为：< br>P
R(100)
100

700
100
7