微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结
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2021年01月03日 20:27
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微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结
作者：王闪闪
来源：《新校园·中旬刊》2014年第04期
摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲
解。
关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类
第一类换元积分法是求不定积分重要
的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分
法）常见的类型进行分类总结。
定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法：
■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■
=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C
类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)
例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C
例2①■■②■■
分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。
解：①■■dx=■■dx
=■■d(x+1)=■arctan■+C
②■■=■■=ln■+C
类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0)
例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■·■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C
例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C
类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)
d(ln|x|)
例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx)