函数求值域方法之值域换元法
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函数求值域方法之值域换元法
求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求
解值域
的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。
五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法(难度较大)
换元法；④双换元法；⑤整体换元法
；③三角换常值
类型一：一般换元法
形如：
y=ax+b _ ,cx d
方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调
性判
断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令
用
t
表示
x
，带入原函数得到一个关于
t
的二次函数，求解值域即可。
t=
. cx d
，
例
1
:求函数
f(x) x-1
的值域
分析：本题，在取值区间内，
x
单调增，
..x-1
单调增，两个单
调增的
函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。
解：另
t
= Jx _1 ( t^O)，则 x=t?+1，
代入 f (x)得
f(x)
=t
2
-t 1
(t 一0)
本题实求二次函数在指定区间内的范围
3
当 t
_0，f(x)—
3
4
所以 f (x) • [「J
4
3
变式：求函数
f (x)
二
x • •• x
T的值域
分析：本题，在取值区间内，
x
单调增，
x-1
单调
增，两个单调增
的
函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以
f
(
X
)
_ f(1)即可
由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习
练习：求
f (x)
=2x . 3x 1
的值域
类型二：三角换元
记住一句话：三角换元一个大原则，三个常用公式
A
、
一个大原则：
x
有界，换成sinRcosr
x
无界，换成tanr
B
、
三个常用公式：①遇到x
2
，且前面系数为-1，常用sin
2
二cos^
- 1
1
② 遇到x，且前面系数为
1
，常用 ------
1 tan
2
cos日
2
2
二
2ta
n —
③ 巧用万能公式：
si= -------------
2
—
1
tan
2
-
2
1 -ta
n
2
—
2
COS J
1 tan
2
2
三角换元时，尤其注意确定好，的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明
2
D
e
例
2
：求
f (x) =x^ 41
- x
2
的值域
分析：本题若使用一般换元法，则只能得到
x
2
与t
2
之间的关系，操作起来比较
麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷， 所以一般换元法失
灵，考虑使
用三角换元，因为x
2
前面的系数是
-1
，所以使用公式①换元
解：
令x 二sin =， 1 -x
2
— o， X [-1,1]， sin
八[-1,1]
另匚，2(原因：方便后面化出来的
代入 f (x)，得
f(x) = sin
v
]C0
-
，不用讨论正负性了)
1 -sin
2
v
=
sin「|cosv |
n
JI
.三［ ,］，.f
(x)二 sin
J COST
2 2
辅助角公式，合一变形得：f(x)二•. 2si n( )(厂［-一
，
］)
4
二
7
4 4 4
，心)—
2］
2 2
变
式：
分
另
x = . 2 si nr
即可
析：
答
案：
［-2,2］
求
f
(x)
二
x 2 -x
2
的值域
例
3
:求
f (x)
二泌
-
的值域
x
分析：本题x
2
前面的系数是
1
,所以考虑使用公式②
解：
X
2
1 _0
，
X-1 =0, x =
1
齐齐
n n
,
2 4
n ir
另
x
= tan , (
7171
)
U(—
，
—)
4 2
亠
cos
2
寸
sin v -cosv
cos^
1
IT TT TT
sin r - cos^
4 4 4
i2
1
—(-一,0)
U
(0,—)
f(x)
(
「
］
U
(1
,
变式：
-
x
2
亠
2x
亠
1
求
f
(x“ x-1
的
值域
2
.tan v 1
tan J -1
分析：
X
2
2x_0,x = -1, x_0
或
x
乞-
2, X 1
一
1
或
x 1
乞-
1
解：令x 二sin =，
2
— o，X
[-1,1]，sin 八[-1,1]1 -x
-1
1
x 1
1,但=0 ,使用三角公式
具体过程问群主哟
答案：
f(x)
[「
2,-1]
一
[1, ..2]
3
例
4
:求心二忐宀的值域
分析：本题是高次式求值域,
通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进
行三角换元，再求解值域。
解：
f (x)=
x(x
2
-1)
2 2 — 2 2
x
(x 1) x 1 x 1
1
「
ta n
—
4
到这一步以后，自然而然想到我们的第三个三角公式一万能公式
sin
“
0
2
6 2ta n
- cos
1 ta n
2
B
2 2
1 ta n —
2
廿
对()再进行转化
心
fx
2
尹石
7
2
1
2x x
2
-1
令x 二 tan r,x • R, -(-
一、1
2tan 日 tan
2
日 一1 1 .
f (x) sin
2r(-cos2r)
2
-----
4
2 1
+tan 日 tan 日 +1 2
2
1
si n4^
1 1
E—
x)
[-打
类型三：三角换常值换元法
本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，
此类题
目主要是针对分式形式的三角函数，
用。
2 tan —日
由于
A
=sin^,
1 tan
2
2r
2
用到的换元方法是万能公式的逆向应
1 — tan
2
—日
a
=cos。，可令t = tan2日，则sn B,cos。就转化成
1
tan
2
2二
2
了关于
t
的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解(在另外专题中讲解)
例
5
:求f(x) 「的值域
2 —cosx
Sin
分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法。利用万能公式我们可以把正余弦
转发为
关于
t
的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解。
解：方法一：万能公式法
f(
X
)_
2ta nx
Si nx2ta n2x
2
i ta n2x
2—cosx
小
1 -ta n
2
2x 1 +3ta n
2
2x
2
--------- 2—
1 tan 2x
令
tan2x
二
t,
：
2-cosx = 0, x
R,tan2x
虽然
x
有范围要求，但是tan2x整体• R，
.t R
2t
2
f(x) 「，当
t =0
时，
f(x)
=0,t =0
时，
f(x)
二一
-
，分母是对勾函数，应
1 +3t
3t+
】
t
用对勾函数的相关性质，可得值域 f(x) •[-三，仝]
3
方法二：斜率法(联系 群主 要哦)
3
类型四：双换元法
例6:求
f(x)
「
1 -x X 3
的值域
分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉。有根号的题目，要
么换
元，要么平方，要么分子分母有理化。本题介绍两种解法。
解：方法一：平方法
f
2
(x) =1 - x x 3 2 -x
2
-2x
3 = 4 2 -x
2
- 2x 3
1 —x _0,x 3
_0二—3 乞1
本题实求在[-3,1]时
，
-x
2
-2x的取值范围，二次函数求范围
0 一
-x
2
-2x 3 岂4 ,
方法二：双换元法
令
m=1—x, n= x 3,
f
2
(x) [4,8]
，
f(x) [2,2
、
2]
—3
乞
x
叮
.0_m_2,0 _n_2
m n =1
2 2
—x x 3=4
本题等价于：已知m
2
• n
2
=4，求
接下来有两种思路：
思路一：
f (x)