2021年高中数学对函数的进一步认识备课资源
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2021年高中数学对函数的进一步认识备课资源
在函数概念的三要素中
，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定的，
因此，研究值域仍应注重函数对
应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法．
对函数值域的理解
【例题】求下列函数的值域．
（1）
y
＝1－2
x
，（
x
R）；
（2
）
y
＝|
x
|－1，
x
｛－2，－1，0，1，2｝；
（3）
y
＝
x
2
＋4
x
＋3，（－
3≤
x
≤1）；
（4）
y
＝|
x
＋1|－|
x
－2|；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）3－2
x
－
x
2
，x
［－3，1］；
（10）．
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域．
对于（1）（2）可用“直接法”，根据它们的定义域及对应法则得到（1）（2）的值域。
对于（3）（4）可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”．
对于（5）（6）可借用整体思想，利用“换元法”求得值域．
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对于（7）可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域．
对于（8）可通过对“”的分析，即利用“判别式法”求得其值域．
对于（
9）（10）可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法，即“中间媒介法”求
得其值域．
解：（1）
y
R．
（2））
y
｛1，0，－1｝．
（3）画出
y
＝
x
＋4
x
＋3（－3≤
x
≤1）的图象，如下图所示，当
x
［－3，1］时，得
y
［－1，8］．
2
（4
）对于
y
＝|
x
＋1|－|
x
－2|的理解，从几何意义入
手，即利用绝对值的几何意义可知，|
x
＋1|
表示在数轴上表示
x
的点到点－1的距离，|
x
－2|表示在数轴上表示
x
的点到点2的距离，在
数轴上
任取三个点
x
A
≤－1，－1＜
x
B
＜2，
x
C
≥C，如下图所示，可以看出|
x
A
＋1|－|x
A
－2|＝－3．
－3＜|
x
B
＋1|－|
x
B
－2|＜3，|
x
C
＋1|－|
x
C
－2|＝3，由此可知，对于任意实数
x
，都有－3≤|
x＋
1|－|
x
－2|的值域为
y
［－3，3］．
（5）对于没有给定自变量定义域的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域．
∵4
x
－ 13≥0，∴
令，则得，
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∴，∴．
∵，∴
t
≥0，
根据二次函数图象可得．
（6）∵函数定义域为
x
R，由原函数可化得
y＝
x4
＋x
2
＋5x
2
(x
2
＋1)＋5
(x
2
＋1)
2
＝
(x
2
＋1)
2
5x
2
＝
(x
2
＋1)
2
＋
x
2
＋1
2
＝
5x＋1－1
(x
2
＋1)
2
＋
x
2
＋1
＝
511
(x
2<
br>＋1)
2
－
x
2
＋1
＋1，令t＝
x
2
＋1
，
∵
x
R，∴
t
（0，1）
<
br>∴
y＝5t
2
－t＋1＝5(t－
1
10
)
2
＋
19
20
．
根据二次函数的图象，得
当时，；当
t
＝1时，
y
max
＝5
∴函数的值域为
（7）∵，
∵∴．
∴函数<
br>y
的值域为
y(－，－
1
)(－
1
22
，＋
（8）由，得
x
R，且可化为
（2
y
－1
）
x
2
＋2（
y
＋1）
x
＋（
y
＋3）＝0
∴当时，
)
．
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＝[2(y＋1)]
2
－4(2y－1)(y＋3
)0
．
∴
y
＋3
y
－4≤0．
∴－4≤
y
≤1且．
又当时，，
得，满足条件．
∴函数的值域为
y
［－4，1］．
（9）∵－3≤
x
≤1，∴－2≤
x
＋1≤2．
∴|
x
＋1|≤2，即（
x
＋1）
2
≤4
∴
y
＝3－2
x
－
x
2
＝－（
x
＋1）
2
＋4［0，4］．
∴函数值域为
y
［0，4］．
（10）由可知，
x
R且
yx
2
＋2
y
＝3
x
2
－1
即（3－
y
）
x
＝2
y
＋1．
若
y
＝3时，则有0＝7，这是不可能的，∴
y
≠3．
得，∵
x
2
≥0，∴．
解得．
∴函数值域为．
点评：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可
套用，要结合函数表达式
的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法．
2
2
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（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试．
（3）
除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单
调性”法、
“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等．
函数图象的常用作法
作函数图象的常用方法有：（1）描点作图法（略）；（2）变换作图法．而变换作图法又有如下几
类方法．
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