换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
思想政治工作调研报告-爱父母
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1.
第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1.1不定积分中第一换元法的定理形式
定理1 若，且的原函数容易求出，记
，
则
.
证明 若，令，于是有
因而
得证。
1.2定积分中第一换元法的定理形式
定理2
若连续，在上一阶连续可导，且
，则
，在
构成的区间上连续，其中
.
证明 令，由于在构成的区间上连续，记，则
得证。
1.3
第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：第一换元法在定积分中对未知量给出了
定义范围，要求换元函数
域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
在该定义
—
联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合
，部分定积分的计算可以利用
不定积分的第一换元法求出简单函数
下限的函数值取差值。
例1 求
解 因为
.
的任意一个原函数，再用原函数在定义域的上
即有一个原函数，所以
例2 计算积分
解 由于
.
于是
2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
2.1不定积分中第二换元法的定理形式
定理3 设
续，并且
，
（1）
则
（2）
连续，及都连续，的反函数存在且连
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2
—
证明 将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得
，
这便证明了（2）式。
2.2定积分中第二换元法的定理形式
定理4
设
导数，且
在连续，作代换
，则
，其中在构成的区间上有连续
证明 设是的一个原函数，则是的一个原函数。于是
，
定理得证。
2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：由不定积分中第二换元法的
证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换
的反函数存在且连续，并且。而在定积分的第二换元法则
不这样要求，它
通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量的积分上下限后可以直接求职，不像不定
积分的计算最终需要对变量进行还原。
例3 用第二换元法求解
解 令，则
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