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初中数学竞赛：换元法

【内容提要】
1. 换元就是引入辅助未 知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母
的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元 法，又称变量代换法.
2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.
例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进
行代换.
3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；
若新变 量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.
4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.
5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.
例如：一元四次的倒数方程ax+bx+cx+bx+a=0.
432
11
)+b(x+)+c=0.
x
x
2
11
22
设x+=y, 那么x+
2
= y－2,
x
x
两边都除以x,得a(x+< br>22
原方程可化为ay+by+c－2=0.
对于一元五次倒数方程 ax+bx+cx+cx+bx+a=0， 必有一个根是－1.
原方程可化为 (x+1)(ax+b
1
x+c
1
x+b
1
x+a)=0.
ax+b
1
x+c
1
x+b
1
x+a=0 ，这是四次倒数方程.
形如 ax－bx+cx＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
两边都除以x, 可化为a(x+
2
432
432
432
5432
2
11
)－b(x－)+c=0.
2
x
x
11
22
设x－=y, 则x+
2
=y+2,
x
x
2
原方程可化为 ay－by+c+2=0.

【例题】
例1. 解方程
x1
2
x1x
2
1
=x.

解：设
x1x1
=y, 那么y
2
=2x+2
x
2
1
.
原方程化为： y－
1
2
y=0 .
2
解得 y=0；或y=2.
当y=0时，
当y=2时，
x1x1
=0 (无解)
x1x1
=2，
解得，x=
5
. 检验（略）.
4

例2. 解方程：x+(x－4)=626.
解：（用平均值
44
xx4
代换，可化为双二次方程.）
2
44
设 y= x－2 ，则x=y+2.
原方程化为 (y+2)+(y－2)=626.
［((y+2)－(y－2))＋2(y+2)(y－2)－626=0
整理，得 y+24y－297=0. (这是关于y的双二次方程).
(y+33)(y－9)=0.
当y+33=0时， 无实根 ；
当y－9=0时， y=±3.
即x－2=±3，
∴x=5；或x=－1.

例3. 解方程：2x+3x－16x+3x+2=0 .
解：∵这是个倒数方程，且知x≠0， < br>432
2
2
22
42
22222
11
)+3 (x+)－16=0.
2
x
x
11
22
设x+=y, 则x+
2
=y－2.
x
x
两边除以x,并整理 得2(x+
22
原方程化为 2y+3y－20=0.
解得 y=－4；或y=
2
5
.
2
由y=－4得 x=－2+
3
；或x=－2－
3
.

由y=2.5得 x=2；或x=

1
.
2
22


2x5xy2yxy10
例4 解方程组


22


x4xyy12x12y 100
解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）
设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：
2

u
2



u4


2uuv10
3
. 解得； 或.


2

11
v37



v

u12u2v100

9

2

xy


xy4
3
即

； 或

.
11

xy37

xy

9


1231 23

x

x


x241

x241

33
解得：

；或

；或

；或

.


y
123

y
123

y241

y241

33



【练习】
解下列方程和方程组：（1到15题）：
1.
x
2
x72x(x7)
35－2x.
2222222
2. (16x－9)+(16x－9)(9x－16)+(9x－16)=(25x－25).
3. (2x+7)+(2x+3)=32 . 4. (2x－x－6)+(2x－x－8)=16.
44
5. (2
5
x11
)+(2
5
x13
)=16.
442424
6.
x1
32
432
x
=. 7. 2x－3x－x－3x+2=0.
2
x
2
x1
22

111


x

y

3
< br>xyxy18
8.

9.

.
22


x
2
y
2160

xyxy19


10.
743
.

x
2
6x4x
2
6 x9x
2
6x5
2
11. (6x+7)(3x+4)(x=1)=6.

xy5


< br>
x1y15
12.

. 13.

yx2
.


xy10

xy 13


1

xxy33
y
14.

. 15

2

y2xy8y1 0
2
x
11
1x
.
xx
444
16. 分解因式： ①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)； ②a+b+(a+b) .
17. 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2, 且a+b+c+d=1989.
则a=___,b= ____,c=_____,d=____
18. ［a］表示不大于a的最大整数，如［
2
］=1，［－
2
］=－2，
那么 方程 ［3x+1］=2x－


【答案】
1
的所有根的和是_____.
2
29
2
3453
165
1. 2. ±± 3. － 4. 2,－,
2
4
4322
12
5.
211311
6. 1 7.,2
，-
32322

x2< br>
x3


x27


x2 7
8.



y3y2



y27


y27

x4

x12


x555


x555
9.



y12y4


y555


y555
25
10. 7,－1 11.－,－
33
12.


x8

x3


y5y10


x8

x2



y2

y8
13.


< br>
x3

x5


x410

x410
14.




y1

y1


y310


y310
15. x=
15

2
16.①设x+y=a,xy=b ②设a
2
+b
2
=x,ab=y
17.设原式=k, k=442
18. –2可设2x－

111
=t, x=t+代入[3x+1]
224