潮汕旅游景点-北京大雪

五、参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联 系的新变量
（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程< br>都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系 是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就
是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化 规律。参数的作用就是刻画事物的变化
状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动 与变化的思想，其观点已
经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数 法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数
提供的信息，顺利地解 答问题。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设2
x
＝3
y
＝5< br>z
>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。


x22t
2. （理）直线

上与点A(-2, 3)的距离等于
2
的点的坐标是________。


y32t
（文）若k<－1，则圆锥曲线x
2
－ky
2
＝1的离心率是_________。
3. 若复数z在复平面内对应的 点Z在虚轴上移动，则复数C＝z
2
＋1＋2ｉ在复平面上
对应的轨迹图像为____ ____ _________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数 f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，
则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)
6. 椭圆
x
2< br>16
＋
y
2
4
＝1上的点到直线x＋2y－
2
＝0的最大距离是_____。
A. 3 B.
11
C.
10
D. 2
2

【简解】1小题：设2< br>x
＝3
y
＝5
z
＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x 、y、z，再
用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；
2小题：（理） A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±
2
2
时，即(-1,2)或(-3,4) ；
（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝
1
1
k
，所以e＝－< br>1
k
k
2
k
；
3小题：设z＝bｉ，则C＝1－ b
2
＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向左的
射线；
4小 题：设三条侧棱x、y、z，则
1
2
xy＝6、
1
2
yz＝ 4、
1
2
xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝
Ⅱ、示范性题组： < br>|4sin

4cos


5
2|
的最大 值，选C。
例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a
2
＋b
2< br>＋c
2
的最小值。
【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引 入了新的参数，即设a＝
b＝
1
3
1
3
＋t
1，
＋t
2
，c＝
1
3
＋t
3
，代入a
2
＋b
2
＋c
2
可求。
1
3
【解】由a＋b＋c＝1，设a＝
∴ a
2
＋b2
＋c
2
＝（
＋t
1
2
＋t
2
2
＋t
3
2
＝
1
3
1
3
＋t< br>1
，b＝
1
3
1
3
＋t
2
，c＝< br>1
3
1
3
＋t
3
，其中t
1
＋t< br>2
＋t
3
＝0，
1
3
＋t
1
）< br>2
＋（＋t
2
）
2
＋(
1
3
＋t< br>3
)
2
＝＋
2
3
(t
1
＋t
2
＋t
3
)
＋t
1
2
＋t
2
2
＋t
3
2
≥
1
3

所以a
2
＋b
2
＋c
2
的最小值是。
【 注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种
解法的一个技巧。
本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a
2
＋b2
＋c
2
＝
(a＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ac )≥1－2(a
2
＋b
2
＋c
2
)，即a
2
＋b
2
＋c
2
≥
1
3
。
两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。
例2. 椭 圆
x
2
16
＋
y
2
4
＝1上有两点P、Q ，O为原点。连OP、OQ，若k
OP
·k
OQ
＝－
1
4< br> ，
①．求证：|OP|
2
＋|OQ|
2
等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

x4cosθ
【分析】 由“换元法”引入 新的参数，即设

（椭圆参数方程），参数θ
y2sinθ

1< br>、
θ
2
为P、Q两点，先计算k
OP
·k
OQ
得出一个结论，再计算|OP|
2
＋|OQ|
2
，并运用“参数
法 ”求中点M的坐标，消参而得。

x4cosθ
【解】由＋＝1，设
< br>，P(4cosθ
16
4
y2sniθ

x
2y
2
1
,2sinθ
1
)，Q(4cosθ
2
,2sinθ
2
),
则k
OP
·k
OQ
＝
cosθ cosθ
2sin

1
4cos

1
1

2sin

2
4cos

2
2
＝－
1
4
， 整理得到：
12
＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ
1
－θ
2
）＝0。

∴ |OP|
2
＋|OQ|
2
＝16cos
2
θ
＝8＋ 12(cos
2
θ
＝20＋12cos（θ
＋cos
2
θ< br>1
1
＋4sin
2
θ
1
＋16cos
2θ
2
＋4sin
2
θ
)
2

12< br>)＝20＋6（cos2θ
－θ
1
＋cos2θ
2
＋θ
2
）cos（θ
12
）＝20，
即|OP|
2
＋|OQ|
2
等于定值20。

x
M
2(cos

1
cos

2
)由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为

，

y
M< br>sin

1
sin

2
所以有(
x2
)
2
＋y
2
＝2＋2(cosθ
1
cosθ
x
2
＋sinθ
y
2
1
sinθ
2
)＝2,
2
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为
8
＋
2
＝1。 < br>【注】由椭圆方程，联想到a
2
＋b
2
＝1,于是进行“三角换元”， 通过换元引入新的参数，
转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”， 在由中点坐
标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ
1< br>＋ cosθ
2
2
）
＋（sinθ
1
＋sinθ2
）
2
，这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点
的 轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的
函数，再运用“ 消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。
本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：
设直线OP的斜率k ，则OQ的斜率为－
1
4k
，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：

x
2
4y
2
160
4
22
，消y 得(1＋4k)x＝16,即|x
P
|＝；

2
ykx
14k


x
2
4y
2
160
| 8k|
1

2
，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；

1
Q
2
2
4k
x
14k

y4k

所以|OP|＋|OQ|＝(
1k
22
2
< br>4
14k
2
)＋（
1
2
1
16k
2

|8k|
14k
2
）
2

＝2080k
14k
2
2
＝20。即|OP|
2
＋| OQ|
2
等于定值20。
在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝
1k
AB
和|OQ|的长。
2

|x
A
－x
B
|求|OP|

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面 的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：
cosα=-cos
2
β。
【 分析】要证明cosα=-cos
2
β，考虑求出α、β的余弦，则在α和β所在的三角形中< br>利用有关定理求解。
【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；作B E⊥SC于E，连DE。则
∠SFO＝β，∠DEB＝α。
设BC＝a (为参数)， 则SF＝
OF
cosβ
＝
a
2cosβ
,
22
SC＝
SFFC
＝
(
a
2cosβ
)(
2
a
2
)

2
＝
a
2cosβ
2
1cosβ

又 ∵BE＝
SF·BC
SC
＝
a
2
2cosβ
1
a
2cos

1cos

2
＝
a
1cos

2

在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝
2BEBD
2BE
2
22
2
a
2
2
＝
1cos

2
a
2
2a
2
2
1cos

＝－cos
2
β。所以cosα＝－cos2
β。
【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参 数法中
参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是
______ __________。


2. 函数y＝x＋2＋



3. 抛物线y＝x
2
－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sin
2
θ与x轴两个交点距离的最大值为
_____
A. 5 B. 10 C. 2

14xx
2
的值域是________________。
3
D. 3

4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L
1
：x－3y＋10＝0及L
2
：2x＋y－8＝0所截
得的线段被点M平分，求直线 L方程。




5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。




6. f(x)＝(1－
a
cos
2
x)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。
2





7. 若关于x的方程2x
2
＋xlg
(a
a的值及方程的根。







8. 给定的抛物线y
2
＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于 抛物
线的任意一条过点M的弦PQ，有











1
|MP|
2
21)
3
3
＋lg
2
(
a
2
1)＋lg
a
2a
2
＝0有模为1的虚根，求实数
8a
2 a
1
＋
1
|MQ|
2
为定值。

参数法巩固性题组答案
6、解：由f(x)＝(1－
a
co s
2
x)sinx，x∈[0,2π)及f(x)≤1得：
sinx
2a
2
cosxsinx1

2

a
2(1sinx)sinx1sinx
1
2
(sinx
12
)
2
2
a
2
(1sinx)sinx1
，令
y
1
2
)
2
1
2
(1si nx)sinx

则
y
1
8
，
0(sin x
1
8
9
4
，故
1y
1
8
，当
a0
，显然有：
f(x)≤1，当
a0
时，由
aay
当
a0
时，由
1
8
a
，及
ay1
恒成立知：
0a8

aaya
及
ay1
恒成立知：
1a0
，
综上可知：
a
的取值范围是
[1,8]

注：本题关键是成功地引入了辅助变量y，以及对a的符号的讨论。
7、解：令
lg
a1
2a
2
m
，则原方程可化为
2x3mxmm 0
，又方程有模为1的虚
3m
2
22
根。设
xcd i(c,dR,d0)
,则由实系数一元二次方程虚根成对原理得：
2c
m m
2
2

(cdi)(cdi)cd
3
2
22
1
，解得
m2
或
m1

当m=2时 ，
c
a1
2a
2
与
c
2
d
2
1
矛盾，故应舍去。
m1

1101
10
3
4
此时
lg1a
，< br>c
，
d
7
4
，即方程的根为
x
3< br>4

7
4
i

注：本题关键是成功引入辅助变量m,简化了运算。还抓住了虚根成对原理。
8、解：设M(x
0
,0)
，直线PQ的倾斜角为

，直线PQ的参数方程 为：

xx
0
tcos

2
，（t为参数） ，代入抛物线方程
y2px
得：


ytsin
< br>tsin

2ptcos

2px
0
0
，设
PM|t
1
|
，
QM|t
2
|
且
22
2pcos


tt
222
2212
2

t
1
t
2
(t
1
t
2
)2t
1
t
2
11cos

si n


sin


22

于是 < br>
22222
MPMQt
1
t
2
t
1
t
2
x
0
x
0
p

tt
2 px
0
12
2

sin



p cos

x
0
sin

xp
2
0
22

p(x
0
p)sin

xp
2
0
2
，由于
1
MP
2

1
MQ
2
为定值。故
x
0
p

注：本题在于成功地利用了直线的 参数方程，引入了辅助变量
x
0
、
t
和

。