你的香气歌词-游山西村原文及翻译

求函数解析式常用的方法
泸西一中 高兴娟
求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、
消元法、特殊值法。
以下主要从这几个方面来分析。
（一）待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常 用方法之一，它适用于已知所
求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数
的 某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着
十分重要的角色。其方法：已知所求函数类 型，可预先设出所求
函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1：已知
f (x)
是二次函数，若
f(0)0,
且
f(x1)f(x)x1< br>试求
f(x)
的表达式。
解析：设
f(x)ax
2
bxc
(a

0)
由
f(0)0,
得c=0
由
f(x1)f(x)x1
得
a(x1)
2
b(x1)cax
2
bxcx1

整理得
ax< br>2
(2ab)xabcax
2
(bc)xc1

1

a

2
2abb1

1

abcc1b

2

得



c0

c0


11
f(x)x
2
x
22

小结：我们只要明确所求 函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，
设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次 函数时，可设
f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=

二次函数时，根据条件可设
①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
k
(k≠0)；f(x)为
x

（二）换元法
换元法也是求函数解析式的常用 方法之一，它主要用来处理不
知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问
题 。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注
意新元定义域的变化，最后结果要注明所求 函数的定义域。
例2：已知
f(x1)x2x1,
求
f(x)
的解析式。
解析：如果把
x1
视为
t
，那左边就是一个关于
t
的函数
f(t)
,
只要在等式
x1t
中，用
t
表示
x
,将右边化为
t
的表达式，问题
即可解决。
令
x1t


x0
t1
f(t)( t1)2(t1)1t
f(x)x
2
(x1)
22

小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析
式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求
得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。
注意：换元后要确定新元t的取值范围。

②换元法就是通过引入一个或几个新的变 量来替换原来的某些变量的
解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知< br>的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换
元、整体换元、三角换 元、分母换元等，它的应用极为广泛。

(三)配凑法
已知复合函数
f[ g(x)]
的表达式，要求
f(x)
的解析式时，若
f[g(x)]
表达式右边易配成
g(x)
的运算形式，则可用配凑法，使用
配凑法时，要注意定义域 的变化。
例3：已知
f(x1)x2x,
求
f(x)
的解析式。
分析：
x2x
可配凑成


可用配凑法
解：由
f(x1)x2x(x)
2
1

令
tx1



x0

t1
则
f(t)t
2
1

即
f(x)x
2
1(x1)

当然，上例也可直接使用换元法
令
tx1

则
tx1

得
22
f(t)(t1)2(t1)t1
即
f(x)x
2
1(x1)

x(t1)
2

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也
可直接用换元法来求解。
11
例4：已知
f(x)x
2

2
,
求
f(x)
.
xx
分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配
凑法比较方便。 < br>111
解析：由
f(x)x
2

2
(x)< br>2
2

xxx
1
令
txx
2
tx10

x
由
0
即
t
2
40
得
tR


f(t)
2
t2

即：
f(x)x
2
2(xR)

实质上，配凑法也缊含换元的 思想，只是不是首先换元，而是
先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通
过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。
(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。
消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数
f(x)
混合运算，则要 充分利用变量代换，然后联立方程组消去其
余部分。
1
例5：设
f(x)< br>满足
f(x)2f()x,
求
f(x)
的解析式。
x< br>1
分析：要求
f(x)
可消去
f()
,为此，可根据题中的条 件再找一
x
1
个关于
f(x)
与
f()
的等式，通 过解方程组达到消元的目的。
x
1
解析：

f(x)2f() x
………………………①
x
1
显然，
x0
,将
x
换成得
x
11

f()2f(x)
……………………………..②
xx

1

f(x)2f()x


x
由



f(
1
)2f(x)
1

x
x
1
消去
f()
，得
x
12
f(x)x

33x
小结：消元法适用于自变 量的对称规律。互为倒数，如f(x)、
f()
；
互为相反数，如f(x)、f(-x )，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组
即得f(x)的解析式。

1
x
（五）赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律
的方法。
其方法：将适 当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据
结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。
例5：已知
f(0)1,f(ab)f(a)b(2ab1),
求
f(x )
。
解析：令
a0,

则
f(b)f(0)b(1b)b
2
b1

令
bx

则
f(x)x
2
x1

小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊
值代入，或使这2个变量相 等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至
于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊 值代入题设中等式，
可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
< br>总之，
求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、
消元法等。如果已知 函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解
析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范 围；当已知的表达式比较
简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式