恶作剧之吻片尾曲-歌词大全

高中数学换元法解题案例及练习题

解数学题时，把某个式子看成一个整体， 用一个变量去代替它，
从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造
元和 设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至
新对象的知识背景中去研究，从而使非标 准型问题标准化、复杂问题
简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通 过引进新的变量，可以
把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联
系起 来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式 为有理式、化超
越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有
广泛的应用 。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又
称整体换元，是在已知或者 未知中，某个代数式几次出现，而用一个
字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。 例如
解不等式：4
x
＋2
x
－2≥0，先变形为设2
x＝t（t>0），而变为熟悉的
一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用 于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利
用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求 函数y＝
＋
1x
的值域时，易发现
x
x∈[0,1]，设x＝si n
2
α ，α∈[0,]，问题

2
变成了熟悉的求三角函数值域。 为什么会想到如此设，其中主要应该
是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x< br>2
＋

y
2
＝r
2
（r>0）时，则可 作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问
题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵 循有利于运算、有利于标准化的原则，
换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变 量
的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x
2
＋1)＝log
a
(4－x
4
) （a>1），则f(x)的值域是
_______________。
3.已知数列{an
}中，a
1
＝－1，a
n1
·a
n
＝a< br>n1
－a
n
，则数列通项a
n
＝
________ ___。
4.设实数x、y满足x
2
＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
13
x
5.方程
13
xS
2
S
2

2
＝3的解是_____________ __。
6.不等式log
2
(2
x
－1) ·log
2< br>(2
x1
－2)〈2的解集是_______________。
【简解】 1小题：设sinx+cosx＝t∈[－
对称轴t＝－1，当t＝
2
，y
m ax
＝
2
,
2
]，则
t
2
y＝
2
＋t－，
1
2
1
＋
2
；
2
2小题：设x
2
＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log
a< br>[-(t-1)
2
＋4]，所以值域
为(－∞,log
a
4] ；

3小题：已知变形为
1
a
n1
1
－< br>a
n
＝－1,设
1
n
1
b
n
＝a
n
，则b
1
＝－1,b
n
＝－
1＋(n－1 )(-1)＝－n，所以a
n
＝－；
4小题：设x＋y＝k，则x
2
－2kx＋1＝0, △＝4k
2
－4≥0,所以k≥1
或k≤－1；
5小题：设3
x< br>＝y，则3y
2
＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小题：设lo g
2
(2
x
－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2x∈(log
2
,log
2
3)。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x
2
－5xy＋4y
2
＝5 （ ①式） ，设S＝x
2
＋
y
2
，求
1
S
m ax
1
3
5
4
＋
1
S
min
的值 。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x
2
＋y
2
联 想到cos
2
α＋sin
2
α＝1,于是进行三角换

x Scosα
元，设

代入①式求



ySsi nα
S
max
和S
min
的值。


xScosα
【解】设

代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5


ySsinα
解得 S＝
10
85sin2α
；
1010
≤
1385sin

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
∴
1
S
max
≤
10

3
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
5
101010
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由
性而求，即解不等 式：|
的“有界法”。
【另解】 由S＝x＋y，设x
222
8S10< br>sin2α＝的有界
S
8S10
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到< br>S
S
＝
2
＋t，y
2
S
＝
2
S
－t，t∈[－
2
S
，
2
]，

则xy＝±
S
2
－t
2
4
代入①式得：4S±5
S
2
－t
2
4
=5，
移项平方整理得 100t
2
+39S
2
－160S＋100＝0 。
∴ 39S
∴
1
S
max
2
1010
－160S＋100≤0 解得：≤S≤
133
1
S
min
＋
313168
＝＋＝＝
5
101010
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x
2
＋y
2
与三角公式cos
2
α＋sin2
α＝1的联系而联想和发现用三
角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解 法属于“均
值换元法”，主要是由等式S＝x
2
＋y
2
而按照均值换 元的思路，设x
2
＝
S
2
＋t、y
2
＝
S
－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到
2
了求值域的几种方法：有界 法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变< br>量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换
元后有可能简化代数式 。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理
得3a
2
＋13b
2
＝5 ，求得a
2
∈[0,]，所以S＝(a－b)
2
＋(a＋b)2
＝2(a
2
＋b
2
)＝＋

例2． △AB C的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，
＝－
2
，求
cosB
5
3
10
13
1
20
2
1010
a∈[, ]，再求
S
max
13
133
＋
1
S
mi n
的值。
1
1
＋
cosA
cosC
cos
AC
的值。（96
2
年全国理）

【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的
性质，可得

AC 120°
；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设

B＝60°

A＝60°α
，再代入可求


C＝60°－α
cosα即cos
AC
。
2

AC120°
,

B＝60°

【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得
由A ＋C＝120°，设

1
1
1
＋＝
cos(60

)
cosA
cosC

A＝60°α

C＝ 60°－α
，代入已知等式得：
＝
1
13
cos

sin

22
1
＋
cos(60

)＋
1
13
cos

sin

22
＝
cos

13
22
cos

sin
< br>44
＝
cos

3
2
cos

< br>4
＝－2
2
,
解得：cosα＝
2
2
， 即：cos
AC
2
＝
2
2
。
1
1＋
cosA
cosC
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60° 。所以
＝－
2

cosB
2
，设＝－2
1
1
＝－
2
＋m，＝－
2
－m ，
cosA
cos C
所以cosA＝
11
，cosC＝，两式分别相加、相减得：
2m 2m
cosA＋cosC＝2cos
AC
2
cos
AC
2
＝cos
＝－
AC
2
22
＝
2
，
m2
cosA－cosC＝－2sin
AC
2
sin
A C
2
3
sin
AC
2
＝
2m
， m
2
2

即：sin
AC
2
＝－22
2m
，＝－，代入
m
2
2
3(m
22)
sin
2
AC
2
＋cos
2
AC< br>2
AC
2
＝1
整理得：3m
4
－16m－12＝0 ,解出m
2
＝6，代入cos
2
2
＝
22
＝
m
2
2
。
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
1
1
＋＝－2
2
”
cosA
cosC
分别进行均值 换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，
除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运 用相当熟练。假如
未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得
A＋C ＝120°，B＝60°。所以
＋cosC＝－2
2cos
2
2
1< br>1
＋＝－＝－2
2
，即
cosB
cosA
cosC< br>cosA
2
cosAcosC，和积互化得：
AC
2
co s
AC
2
2
2
＝－
－
2
2
[c os(A+C)＋cos(A-C)，即cos
2
AC
2
＝
22
－
＋
cos(A-C)＝
AC
2
(2cos
2
AC
2
－1)，整理得：4cos
2
AC
2
2cos－3
AC
2
2
＝0,
解得：cos＝
2
2

例3. 设a>0，求f(x)＝2a(si nx＋cosx)－
sinx·cosx－2a
2
的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-
2
,
2
]，
y
, ,
－
x
2
由(sinx＋co sx)
2
＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx
t
2
1
＝
2

2

∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)
2
＋ （a>0），t∈[-
1
2
1
2
2
,
2
]

t＝-
2
时，取最小值：－2a
2
－2
2< br>a－
1
2

1
2
当2a≥
2
时，t ＝
2
，取最大值：－2a
2
＋2
2
a－
2
时，t＝2a，取最大值：
2
；
当0<2a≤
1
2
。
2
∴ f(x)的最小值为－2a

12
(0a )


22
。

12

2
2 a22a(a)

22

－2a－
1
2
，最 大值为
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx
与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在
闭区间上的值域问题，使得 容易求解。换元过程中一定要注意新的参
数的范围（t∈[-
2
,
2
]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解
法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方 法，即由对称轴与闭
区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已 知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积
等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f (sinx±cosx，
sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函
数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式x
2
log2
log
2
(a1)
2
4a
2
4(a1)
＋2x
a
log
2
2a
＋
a1
>0恒 成立，求a的取值范围。（87年全国理）
4(a1)
(a1)
2
2a
、 log
2
、l og
2
4a
2
a
a1
【分析】不等式中log
2
三项有何联
系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】 设log
2
3－log
2
2a
＝t ，则
a1
log
2
4(a1)
8(a1)a1
＝l og
2
＝3＋log
2
＝
a
2a
2a
a 1
＝－2t，
2a
(a1)
2
2a
＝3－t，log< br>2
4a
2
a1
＝2log
2
代入后原不等式简化为 （3－t）x
2
＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒
成立，所以：

3t0

t3
，解得

∴ t<0

2
t0或t6
4t8t(3t)0

< br>2a
0<<1，解得
a1
即log
2
2a
<0
a1
04(a1)
、
a
【注】应用局部 换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什
么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中l og
2
log
2
(a1)
2
2a
、log
2
4a
2
a1
三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，
使 用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，
解指数与对数的不等式、方程，有可 能使用局部换元法，换元时也可
能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例
sinθ
cos
2
θ
cosθ
5. 已知＝，且
2
x
x
y
x
10
sin
2
θ＋
2
＝
22
(②式)，求
y
3(xy)
y
的值。
【解】 设
sin θ
cosθ
＝＝k，则
x
y
sinθ＝kx，cosθ＝ky，且s in
2
θ＋
k
2
y
2
x
2
cos
2
θ＝k
2
(x
2
+y
2
)＝1,代入② 式得：
即：
设
y
2
x
2
＋
k
2
x
2
y
2
10
＝
22
3(xy)10k
2
＝
3

＋
x
2
y
2
＝
1
t＋＝
10
, 解得：t＝3
t
3
x
1
或 ∴
y
3
10
3
x
2
y
2
＝t，则＝±
3
或±< br>3
3

【另解】 由
x
y
sinθ< br>＝
cosθ
cos
2
θ
＝tgθ，将等式②两边同时除以2
x
，再表
示成含tgθ的式子：1＋tg
4
θ＝
(< br>1tg
2

)

t，则3t
2
—10t＋ 3＝0，
∴t＝3
x
1
或， 解得
y
3
1 0
3(1
1
)
tg
2

＝tg
2
θ，设tg
2
θ＝
10
3
＝±
3
或±
3
3
。
【注】 第一种解法由
sinθ
cosθ
＝而进行等 量代换，进行换元，减
x
y
x
y
sinθ
＝
cos θ
少了变量的个数。第二种解法将已知变形为，不难发现进行
结果为tgθ，再进行换元和变形 。两种解法要求代数变形比较熟练。
在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y
k的范围。
(x1)
2
【分析】由已知条件
9
(y1)
2
＋
16
(x1)
2
满足
9
(y1)
2
＋
16
＝1，若x＋y－k>0恒成立，求
＝1，可以发现它与a
2
＋b
2
＝1
有相似之处，于是实施 三角换元。
(x1)
2
【解】由
9
(y1)
2
＋
16
＝1，设
x1
y1
＝cosθ，＝sinθ，
3
4

x13cosθ
即：

代入不等式
y14sinθ

x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三

角函数的值域问 题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、
双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭 圆、双曲线等有关
问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法 的思想方法：在平面直角坐
标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表
示的区域为直线 ax＋by＋c＝0所分平
面成两部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图 形问题：
椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0
的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆
下部相切的切线之下时。当直线与椭圆

16(x1)
2
9(y 1)
2
144
相切时，方程组

有相
xyk0< br>
y

x


x
＋y－k>0
k
等的一组实数解，消元后由△＝0可求得
平面区域
k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。


Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x
3
)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B.
1
lg2 C.
2
lg2 D.
2
lg4
333
2. 函数y＝(x＋1)
4
＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数 列{a
n
}的公差d＝
1
，且S
100
＝145，则a1
＋a
3
＋a
5
＋……
2
＋a
99< br>的值为_____。

A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x
2
＋4y
2＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0，b≥0， a＋b＝1，则
2
a
1
2
＋
b
1
2< br>的范围是____________。
6. 不等式
x
>ax＋
3< br>的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
7. 函数y＝2x＋
x1
的值域是________________。
8. 在等比 数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋…＋a
10
＝2，a
11
＋a
12
＋…＋a
30
＝12，
求 a
31
＋a
32
＋…＋a
60
。
9. 实数m在 什么范围内取值，对任
意实数x，不等式sin
2
x＋2mcosx
＋4m－ 1<0恒成立。
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，
A点在曲线x
2
y
X D C
O A B
＋y
2
x
＝2
(x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD
的最小面积。