北京鸟巢-休憩的近义词

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2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题 得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目 的是变换研究对象，将
问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单 化，变得
容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出 现，而用一个字母
来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过 换元
的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【典例解析】
例1．用适当方法解下列方程：
2
（1）2x﹣5x﹣3=0
2
（2）16（x+5）﹣9=0
222
（3）（x+x）+（x+x）=6．
例题分析：本题考查了一元二次方程的几种解法：①公式法；②直接开平方法；③换元法
（1）用公式法解一元二次方程，先找a，b，c；再求△；再代入公式求解即可；
（2）用 直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为（x+5）=
2
2
，直接开方即可；
（3）设t=x+x，将原方程转化为一元二次方程，求解即可．
22
解：（1）∵ a=2，b=﹣5，c=﹣3，△=b﹣4ac=（﹣5）﹣4×2×（﹣3）=25+24=49，
∴x=
∴x
1
=3，x
2
=﹣；
（2）整理得，（x+5）=
开方得，x+5=±，
即x
1
=﹣4，x
2
=﹣5，
（3）设t=x+x，将原方程转化为t+t=6，
因式分解得，（t﹣2）（t+3）=0，
解得t
1
=2，t
2
=﹣3．
22
∴x+x=2或x+x=﹣3（△＜0，无解），
∴原方程的解为x
1
=1，x
2
=﹣2．
22
2
==，
，

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例2．解方程：（1）（x+3）（x﹣1）=5
（2）．
例题分析 ：本题主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程．解一元二次方程时，要注
意选择合适的解题方法 ，这样才会达到事半功倍的效果．还要注意换元思想的应用．
（1）先去括号，将方程化为一般式，然后再运用二次三项式的因式分解法进行求解．
（2）先设x﹣x=y，采用换元法，然后解方程即可．
2
解：（1）x+2x﹣8=0，
（x+4）（x﹣2）=0
∴x
1
=﹣4，x
2
=2．
2
（2）设x﹣x=y
∴原方程化为y﹣=1
∴y﹣2=y
2
∴y﹣y﹣2=0
∴（y+1）（y﹣2）=0
∴y
1
=﹣1，y
2
=2
22
∴x﹣x=﹣1或x﹣x=2
2
解x﹣x=﹣1知：此方程无实数根．
2
解x﹣x=2知x
1
=2，x
2
=﹣1；
∴原方程的解为：x
1
=2，x
2
=﹣1．
例3．解下列方程：
2
（1）2x+5x﹣3=0
22
（2）（3﹣x）+x=9
2
（3）2（x﹣3）=x（x﹣3）
2
（4）（x﹣1）﹣5（x﹣1）+6=0
例题分析：本题考查了解一元二次方程 的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后，
方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式 子因式分解，再利用积为0的式子的特
点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法， 要会灵活运用．
（1）方程左边可以利用十字相乘法进行因式分解，因此应用因式分解法解答． < br>2
（2）先移项，然后把x﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解 即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
222
（4 ）把（x﹣1）看作是一个整体，然后套用公式a±2ab+b=（a±b），进行进一步分解，
故用因 式分解法解答．
解：（1）因式分解，得（2x﹣1）（x+3）=0，
所以2x﹣1=0或x+3=0，
解得，x=或x=﹣3；
（2）移项得，（3﹣x）+x﹣9=0，
变形得，（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）=0，
因式分解，得（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]=0，
解得，x=3或x=0；
（3）移项得，2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，
22
2
2

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因式分解得，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x﹣1）﹣5（ x﹣1）+4=0，我们可以将（x﹣1）看作一个整体，然后设x﹣
222
1=y，那么原方 程可化为y﹣5y+4=0，解得y
1
=1，y
2
=4．当y=1时，x﹣1 =1，∴x=2，∴
22
x=±；当y=4时，x﹣1=4，∴x=5，∴x=±，故原方程的 解为x
1
=，x
2
=﹣，x
3
=，
x
4< br>=﹣．
222
上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x﹣x）﹣4（x﹣ x）﹣12=0．
例题分析：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 先把x﹣x看作一个整体，设x﹣x=y，代入得到新方程y﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以
求解．
22
解：设x﹣x=y，那么原方程可化为y﹣4y﹣12=0（2分）
解得y
1
=6，y
2
=﹣2（4分）
22
当y=6时，x﹣x=6即x﹣x﹣6=0
∴x
1
=3，x
2
=﹣2（6分）
22
当y=﹣2时，x﹣x=﹣2即x﹣x+2=0
2
∵△=（﹣1）﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x
1
=3，x
2
=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
42
解方程x﹣5x+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
2422
设x=y，那么x=y，于是原方程可变为y﹣5y+4=0 ①，解得y
1
=1，y
2
=4．
2
当y=1时，x=1，∴x=±1；
2
当y=4时，x=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x
1
= 1，x
2
=﹣1，x
3
=2，x
4
=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到 降次 的目的，体现了数学
的转化思想．
（2）解方程（x+x）﹣4（x+x）﹣12=0． < br>例题分析：应用换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，
并且把 方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化 为一元二次方程，来求解，然
后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x+ x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方
程．
解：（1）换元，降次
22
（2）设x+x=y，原方程可化为y﹣4y﹣12=0，
解得y
1
=6，y
2
=﹣2．
2
由x+x=6，得x
1
=﹣3，x
2
=2．
22
由x+x=﹣2，得方程x+x+2=0，
2
b﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无解．
所以原方程的解为x
1
=﹣3，x
2
=2．
2
222
222
22222

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【同步训练】
一．选择题（共10小题）
2
1．解方程（x﹣1）﹣5（ x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则
2
原方程可化为y﹣ 5y+4=0，解得y
1
=1，y
2
=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得 x=2；当y=4时，
即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x
1
=2，x
2
=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）
2
﹣4（2x+5）+3=0的解为（ ）
A．x
1
=1，x
2
=3 B．x
1
=﹣2，x
2
=3 C．x
1
=﹣3，x
2
=﹣1 D．x
1
=﹣1，x
2
=﹣2
2222
2．用换元法解 方程（x+x）+（x+x）=6时，如果设x+x=y，那么原方程可变形为（ ）
2222
A．y+y﹣6=0 B．y﹣y﹣6=0 C．y﹣y+6=0 D．y+y+6=0
2222
3．用换元法解方程（x+x）+2（x+x）﹣1=0，若 设y=x+x，则原方程可变形为（ ）
2222
A．y+2y+1=0 B．y﹣2y+1=0 C．y+2y﹣1=0 D．y﹣2y﹣1=0
4．已知实数x满足x+
2
=0，那么x+的值是（ ）
A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1 D．﹣2
2222
5．方程（x﹣3）﹣5（3﹣x ）+2=0，如果设x﹣3=y，那么原方程可变形为（ ）
2222
A．y﹣5y+2=0 B．y+5y﹣2=0 C．y﹣5y﹣2=0 D．y+5y+2=0
22
6．若实数x，y满足x﹣2xy+y+x﹣y﹣6=0，则x﹣y的值是（ ）
A．﹣2或3 B．2或﹣3 C．﹣1或6 D．1或﹣6
222222
7．已知（x+y+1）（x+y+3）=8，则x+y的值为（ ）
A．﹣5或1 B．1 C．5 D．5或﹣1
2
8．如果（x+2y）+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或3
9．正整数x，y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y的值是（ ）
A．10 B．18 C．26 D．10或18
10．若（a+b）（a+b﹣2）=8，则a+b=（ ）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
二．填空题（共5小题）
11．已知，关于x的方程 x+
2222
2
222222
=1，那么x++1的值为 _________ ．
12．解方程（x﹣5）﹣x+3=0时，令x﹣5=y，则原方程变为 _________ ．
22
13．若a﹣2ab+b+2（a﹣b）+1=0，则a﹣b= _________ ．
2222
14．用换元法解方程：（x﹣x）﹣5（x﹣x）+6= 0，如果设x﹣x=y，那么原方程变为
_________ ．
2222
15． 在解方程（x﹣1）﹣2x﹣1=0时，通过换元并整理得方程y﹣2y﹣3=0，则y=
_________ ．
三．解答题（共4小题）
16．解方程：（x﹣2x）+（x﹣2x）﹣2=0



17．如果a为不等于±2的整数，证明方程x+ax+1=0没有有理根．

4
222

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18．对于有理数x，用[x] 表示不大于x的最大整数，请解方程
19．用适当方法解下列方程
（1）（2y﹣1）=



（2）x﹣




=5x（﹣x）
2
．

（3）（x﹣3）+（x+4）﹣（x﹣5）=17x+24




（4）（2x+1）+3（2x+1）﹣4=0




















2
222

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参考答案

一．选择题（共10小题）
2
1．解：（2x+5）﹣4（2x+5）+3=0，
设y=2x+5，
方程可以变为 y﹣4y+3=0，
∴y
1
=1，y
2
=3，
当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；
当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，
所以原方程的解为：x
1
=﹣2，x
2
=﹣1．
故选D．
2
2．解：把x+x整体代换为y，
2
y+y=6，
2
即y+y﹣6=0．
故选A．
22
3．解：设y=x+x，得y+2y﹣1=0．故选C．
2
4．解：∵x2+
∴
=0

∴[（x+）+2][（x+）﹣1]=0
∴x+=1或﹣2．
∵x+=1无解，
∴x+=﹣2．
故选D．
2
5．解：∵x﹣3=y
2
∴3﹣x=﹣y
2
所以y+5y+2=0．
故选D．
6．解：设x﹣y=m，则原方程可化为：
m+m﹣6=0，
解得x
1
=2，x
2
=﹣3；
故选B
22222
7．解：原方程变形得，（x+y）+4（x+y）﹣5=0，
2222
（x+y+5）（x+y﹣1）=0，
22
又∵x+y的值是非负数，
22
∴x+y的值为只能是1．
2

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故选B．
8．解：∵x、y为正整数，∴
解得，x=5，y=5，或x=3，y=15，
∴x+y=10或18．
故选D．
10．解：设a+b=x，则有：
x（x﹣2）=8
2
即x﹣2x﹣8=0，
解得x
1
=﹣2，x
2
=4；
22
∵a+b≥0，
22
故a+b=x
2
=4；
故选B
二．填空题（共5小题）
11．解：原方程可化为x+（）+2x•+2（x+）+1=2+2x•
（x++1）=4
x++1=±2．
12．解：∵x﹣5=y，
2
∴x=5+y，
22222
∴（x﹣5）﹣x+3=y﹣y﹣5+3=y﹣y﹣2=0，
2
故本题的答案是y﹣y﹣2=0．
2
13．解：设t=a﹣b，则原方程可化为：t+2t+1=0，
2
整理得：（t+1）=0，
解得：t=﹣1．
∴a﹣b=﹣1．
22
14．解：根据题意x﹣x=y，把原方程中的x﹣x换成y，
2
所以原方程变化为：y﹣5y+6=0
222
15．解：方程整理，得（x﹣1）﹣2（x﹣1）﹣3=0
2
故y=x﹣1
三．解答题（共4小题）
2
16．解：设y=x﹣2x
2
原方程可变为：y+y﹣2=0
2
解方程得y=﹣2或1所以x﹣2x=﹣2或1．
2
当x﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，
2
当x﹣2x=1时，解得x=1±．
∴原方程的根是x
1
=1+，x
2
=1﹣．
17．证明：若a=2或者﹣2，方程有有理根，
当=2时，有理根x=﹣1；等于﹣2时，有理根x=1．这个根据配方法得来．
x±2x+ 1=0，即x﹣x+x±2x+1=x（x+1）（x﹣1）+（x±1）=0，此等式有公因式，可得x=±1 ．
而由题意知：a≠±2，即x≠±1．
442222
2
2
22
22
或或或

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3
则有a=﹣=﹣x﹣，其中x≠±1．
33
a为整数，而a=﹣x﹣，若x为整数且x≠±1，那么x为整数，为小数，整数与小数之和或者差，皆为小数，故x不能是整数．
若x为分数，那么设x=，其中c、b互质且为整数，b≠0．
3
那么﹣x﹣=﹣=﹣．由此代数式知：因为c、b互质，故此代数式
的值不为整数．
故当x为整数或者分数时，a为整数均不能成立．
故当a为整数时，方程没有有理根．
18．解：因为方程左边的第1、3项都是整数，
所以3y是整数．
注意到，
代入方程，得到，
．
所以是整数，3y是10的倍数．
令3y=10k，k是整数，
代入得
其中，对于有理数x，x=x﹣[x]．
，
所以有，．
当k取不同整数时，
k
1﹣k﹣
的情况如下表：
=1 =2 =3
3 ≤﹣2 =﹣1 =0 ＞
=1 =0
＜﹣1 ＜﹣1
=﹣ = =

和y=10． k的可能值是﹣1和3，相应的
代入验算得到或y=10．

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故答案：或y=10．
2
19．解：（1）方程原式两边同乘以2得（2y﹣1）=，
∴2y﹣1=±
y=±；
）（5x+1）=0，
，
（2）移项、提取公因式得（x﹣
解得x
1
=，x
2
=﹣；
（3）去括号、移项、合并同类项得（x+3）（x﹣8）=0，
解得x
1
=﹣3，x
2
=8；
2
（4）解方程（2x+1）+3（2x+1）﹣4=0可以用换元法和配方法，
2
设2x+1为y，得y+3y﹣4=0，
利用配方法得（y+）=4+，
y+=±，
得y=1或﹣4，
设2x+1为y，
则x
1
=0，x
2
=﹣．


2