亚当斯公平理论-乘坐飞机注意事项

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初中因式分解的常用方法（例题详解）

一、提公因式法.
如多项式
ambmcmm(abc),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
a
2
b
2
(ab)(ab),

a
2
2abb
2
(ab)
2
,
a
3
b
3
(ab)(a
2
abb
2
)

写出结果．
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项 式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前
两项都含有a，后两 项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联
系。
解：原式=
(aman)(bmbn)

=
a(mn)b(mn)
每组之间还有公因式！
=
(mn)(ab)

思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解：原式=
(2ax10ay)(5bybx)
原式=
(2axbx)(10ay5by)

=
2a(x5y)b(x5y)
=
x(2ab)5y(2ab)

=
(x5y)(2ab)
=
(2ab)(x5y)

练习：分解因式1、
aabacbc
2、
xyxy1





（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
xyaxay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项 分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外
分组。
解：原式=
(xy)(axay)

=
(xy)(xy)a(xy)

=
(xy)(xya)

例4、分解因式：
a2abbc

解：原式=
(a2abb)c

=
(ab)c

=
(abc)(abc)

注意这两个例题的区别！
练习：分解因式3、
xx9y3y
4、
xyz2yz



3223
22
综合练习：（1）
xxyxyy
（2）
axbxbxaxab



22222
22
222
22
22
2
222

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（3）
x6xy9y16a8a1
（4）
a6ab12b9b4a



2222
432
（5）
a2aa9
（6）
4ax4aybxby



22
22
（7）
x2xyxzyzy
（8）
a2ab2b2ab1



（9）
y(y2)(m1)(m1)
（10）
(ac)(ac)b(b2a)



222333
（11）
a(bc)b(ac)c(ab)2abc
（12）
abc3abc

222
22
=a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b+2abc
=(a²b+b²a)+(b²c+c²b)+(a²c+c²a)+2abc
=ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+2abc
=ab(a+b)+[bc(b+c)+abc]+[ac(a+c)+abc]
=ab(a+b)+bc(b+c+a)+ac(a+c+b)
=ab(a+b)+(bc+ac)(a+b+c)
=ab(a+b)+c(b+a)(a+b+c)
=(a+b)[ab+c(a+b+c)]
=(a+b)[ab+ca+c(b+c)]
=(a+b)[a(b+c)+c(b+c)]
=(a+b)(b+c)(c+a)

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2- ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+ b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2 )
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——
x(pq)xpq(xp)(xq)
进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
2
2
例5、分解因式：
x5x6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(- 2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2
2
2
解：
x5x6
=
x (23)x23
1 3
=
(x2)(x3)
1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
x7x6

解：原式=
x[(1)(6)]x(1)(6)
1 -1
=
(x1)(x6)
1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)
x14x24
(2)
a15a36
(3)
x4x5


222
2
2

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练习6、分解因式(1)
xx2
(2)
y2y15
(3)
x10x24



2
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
axbxc

条件：（1）
aa
1
a
2

a
1

c
1

（2）
cc
1
c
2

a
2

c
2

（3）
ba1
c
2
a
2
c
1

ba
1
c
2
a
2
c
1
分解结果：
axbxc
=
(a
1
xc
1
)(a
2
xc
2
)

例7、分解因式：
3x11x10

分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：
3x11x10
=
(x2)(3x5)

练习7、分解因式：（1）
5x7x6
（2）
3x7x2

2
（3）
10x17x3
（4）
6y11y10



（三）二次项系数为1的齐次多项式
2
2
2
2
2
2
2
22
例8、分解因式：
a8ab128b

分析： 将
b
看成常数，把原多项式看成关于
a
的二次三项式，利用十字相乘法进行分 解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
2
22
解：
a8ab12 8b
=
a[8b(16b)]a8b(16b)

=
(a8b)(a16b)

练习8、分解因式(1)
x3xy2y
(2)
m6mn8n
(3)
aab6b



（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、
2x7xy6y
例10、
xy3xy2

1 -2y 把
xy
看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=
(x2y)(2x3y)
解：原式=
(xy1)(xy2)

22
练习9、分解因式：（1）
15x7xy4y
（2）
ax6ax8



22
63
综合练习10、（1）
8x7x1
（2）
12x11xy15y

22
2222
22
22
2222
（3）
(xy)3(xy)10
（4）
(ab)4a4b3



2222
22
（5）
xy5xy6x
（6）
m4mn4n3m6n2



222222（7）
x4xy4y2x4y3
（8）
5(ab)23(ab) 10(ab)



222222
（9）
4x4xy 6x3yy10
（10）
12(xy)11(xy)2(xy)



2222
思考：分解因式：
abcx(abc)xabc

五、主元法.
22

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例11、分解因式：
x3xy10yx9y2
5 -2
解法一：以
x
为主元 2 -1
解：原式=
xx(3y1)(10y9y2)
(-5)+(-4)= -9
=
xx(3y1)(5y2)(2y1)
1 -(5y-2)
=
[x(5y2)][x(2y1)]
1 (2y-1)
=
(x5y2)(x2y1)
-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)
解法二：以
y
为主元 1 -1
解：原式=
10yy(3x9)(xx2)
1 2
=
[10y(3x9)y(xx2)]
-1+2=1
=
[10y(3x9)y(x1)(x2)]
2 (x-1)
=
[2y(x1)][5y(x2)]
5 -(x+2)
=
(2yx1)(5yx2)
5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1)
xy4x6y5
(2)
xxy2yx7y6




22
22
(3)
xxy6yx13y6
(4)
aab6b5a35b36



六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对
AxBxyCyDxEy F
型多项式的分解因式。
条件：（1）
Aa
1
a
2，
Cc
1
c
2
，
Ff
1
f
2

（2）
a
1
c
2
a
2
c
1
B
，
c
1
f
2
c
2
f
1
E
，
a
1
f
2
a
2< br>f
1
D

即：
a
1

c
1

f
1



a
2

c
2

f
2

22
2222
2
22
22
2
22
22
a
1
c
2
a
2
c< br>1
B
，
c
1
f
2
c
2
f
1
E
，
a
1
f
2
a
2f
1
D

22
则
AxBxyCyDxEy F
(a
1
xc
1
yf
1
)(a
2< br>xc
2
f
2
)

例12、分解因式（1）
x3xy10yx9y2

（2）
xxy6yx13y6

解：（1）
x3xy10yx9y2

应用双十字相乘法：
x

5y

2



x

2y

1

2xy5xy3xy
，
5y4y9y
，
x2xx

∴原式=
(x5y2)(x2y1)

（2）
xxy6yx13y6

应用双十字相乘法：
x

2y

3



x

3y

2

22
22
22< br>22
3xy2xyxy
，
4y9y13y
，
2x 3xx

∴原式=
(x2y3)(x3y2)

22
练习12、分解因式（1）
xxy2yx7y6

（2）
6x7xy3yxz7yz2z



七、换元法。
例13、分解因式（1）
2005x(20051)x2005

22
222

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（2）
(x1)(x2)(x3)(x6)x

解：（1）设2005=
a
，则原式=
ax(a1)xa

=
(ax1)(xa)

=
(2005x1)(x2005)

（2）型如
abcde
的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
(x7x6)(x5x6)x

设
x5x6A
，则
x7x6A2x

22
∴原式=
(A2x)Ax
=
A2Axx

2
222
22
2
22
=
(Ax)
=
(x6x6)

练习13、分解因式（1）
(xxyy)4xy(xy)

（2）
(x3x2)(4x8x3)90
（3）
(a1)(a5)4(a3)






432
例14、分解因式（1）
2xx6xx2

观察：此多项式的特点——是关于
x
的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对 称”。这种多项式属于“等
距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式=
x(2 xx6
22222222
22222
222
1111

2
)
=
x
2

2(x
2

2< br>)(x)6


x
x
x
x
11
22
设
xt
，则
x
2
t2

x
x
2
2t
2
2)t6

=
x2

2t
2
t10

∴原式=
x（
21

2
2

=< br>x

2t5

t2

=
x

2x5

x2


xx

21

22
x·
=
x·

2x5

·

x2
< br>=

2x5x2

x2x1


xx

2
=
(x1)(2x1)(x2)

22

（2）
x4xx4x1

432
41

2


2
1

1



2

=
x


x
2

4
< br>x

1


x
x

x


x



11
22
设
xy
，则
x
2
y2

x
x
222
∴原式=
x

y4y3

=
x

y1

y3


11
22
2
=
x(x1)(x3)
=

xx1

x3x1


xx4322
432
练习14、（1）
6x7x36x7x6
（2）
x2xx12(xx)

解：原式=
x

x4 x1
2


2
八、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）
x3x4

解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=
x13x3
原式=
x3x4x4x4

=
(x1)(xx1)3(x1)(x1)
=
x(x3x4)(4x4)

=
(x1)(xx13x3)
=
x(x1)(x4)4(x1)

=
(x1)(x4x4)
=
(x1)(x4x4)

=
(x1)(x2)
=
(x1)(x2)

（2）
xxx3

963
22
22
2
22
32
3232

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解：原式=
(x1)(x1)(x1)

=
(x1)(xx1)(x1)(x1)(x1)

=
(x1)(xx1x11)

=
(x1)(xx1)(x2x3)

练习15、分解因式（1）
x9x8
（2）
(x1)(x1)(x1)




42422
（3）
x7x1
（4）
xx2ax1a




444
222222444
（5）
xy(xy)
（6）
2ab2ac2bcabc




九、待定系数法。
例16、分解因式
xxy6yx13y6
< br>分析：原式的前3项
xxy6y
可以分为
(x3y)(x2y)
，则原多项式必定可分为
(x3ym)(x2yn)

解：设
x xy6yx13y6
=
(x3ym)(x2yn)

∵(x3ym)(x2yn)
=
xxy6y(mn)x(3n2m)y mn

∴
xxy6yx13y6
=
xxy6y( mn)x(3n2m)ymn

2222
22
22
2222
263
3633
363333
963
3
4224< br>
mn1

m2

对比左右两边相同项的系数可得< br>
3n2m13
，解得



n3

mn6

∴原式=
(x3y2)(x2y3)

22
例17、（1）当
m
为何值时，多项式
xymx5y6
能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果
xaxbx8
有两 个因式为
x1
和
x2
，求
ab
的值。
（1 ）分析：前两项可以分解为
(xy)(xy)
，故此多项式分解的形式必为
(x ya)(xyb)

解：设
xymx5y6
=
(xya)(xyb)

则
xymx5y6
=
xy(ab)x(ba)yab

2222
22
32

abm

a2

a2

比较对应的系数可得：

ba5
，解 得：

b3
或

b3


ab 6

m1

m1


∴当
m 1
时，原多项式可以分解；
当
m1
时，原式=
(xy2)(xy3)
；
当
m1
时，原式=
(xy2)(xy3)

（ 2）分析：
xaxbx8
是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因 式必为形如
xc
的一
次二项式。
解：设
xaxbx8
=
(x1)(x2)(xc)

32
则
xaxbx8
=
x(3c)x(23c)x2c

32
32
32

a3c

a7

∴

b23c
，解得

b14
，
2c8

c4


∴
ab
=21
练习17、（1）分解因式
x3xy10yx9y2



22

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22
（2）分解因式
x3xy2y5x7y6




22
（3）已知：
x2xy3y6x14yp
能分解成两个一次因式之积，求常数
p
并且分解因式。


22
（4）
k
为何值时，
x2xyky3x5y2
能分解成两 个一次因式的乘积，并分解此多项式。