小语种专业大学排名-义务教育法学习心得

2021年高三数学经典示范 单调性与最大（小）值（2）教案 新人教A版

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m
2
的矩形新厂址,新厂
址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工 厂的厂长,你会选择一个长和宽
各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?

学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x>0的最小值.引出本节课题：在
生产 和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我
们的生产和生活是很 有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用
函数知识解决实际问题，将实际问 题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解
决问题.

思路2.画出下列函 数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么
特征？

①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；

③f(x)= x
2
+2x+1;④f(x)=x
2
+2x+1,x∈［-2,2］.

学生回答后，教师引出课题：函数的最值.

推进新课

新知探究
提出问题
2
①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x-2 x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三
个图象的共同特征.
实用文档

图1-3-1-11
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？
③你是怎样理解函数图象最高点的?
④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A( x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标
为(x
0
,y
0
)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？

图1-3-1-12
⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大
值.谁能给出函数最大值的定义？
⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x< br>0
)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有
什么特点？其图象又具有什么特 征？
⑦函数最大值的几何意义是什么？
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？
⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？
⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？
讨论结果:
2
①函数y=- x-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)
图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
②函数图象上任意点P的 坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x
时对应的函数值的大小.
③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
④由于点C是函数y=f (x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y
0
，
即 f(x)≤f(x
0
)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x
0
)成立.
⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x
0
∈I，使得f(x
0
)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函 数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，
并且最高点的纵坐标是M.
⑦函数图象上最高点的纵坐标.
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因 为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.
⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则； 函数图象有最高点时，这个函数才存在最
大值，最高点必须是函数图象上的点.
提出问题
实用文档

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利 用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号
“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统 称为函数的最值.
讨论结果：①函数最小值的定义是:
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
（2）存在x
0
∈I，使得f(x
0
)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.
②讨论函数的最小值，也要坚持定义域 优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在
最小值，最低点必须是函数图象上的点.
应用示例
思路1
例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐
标就是函 数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调
性，再利用函数单调性 的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法
画出函数y=的图象，只取在区间 ［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解：设2≤x
1
2
≤6,则有
f(x
1
)-f(x
2
)===
∵2≤x
12
≤6,∴x
2
-x
1
>0,(x
1-1)(x
2
-1)>0.
∴f(x
1
)>f(x
2
),即函数y=在区间［2，6］上是减函数.
所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；
当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)= .
变式训练
2
1.求函数y=x-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.
答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.
42
2.函数f(x)=x+2x-1的最小值是.
分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.
22
设x=t，y=t+2t-1(t≥0)，
2
又当t≥0时，函数y=t+2t-1是增函数，
2
则当t=0时，函数y=t+2t-1(t≥0)取最小值－1.
42
所以函数f(x)=x+2x-1的最小值是－1.
答案：-1
2
3.画出函数y=－x＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
分 析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数
的图象；借助图 象，根据单调性的几何意义写出单调区间.
解：函数图象如图1-3-1-13所示.
实用文档

图1-3-1-13
由图象得，函数的图象在 区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，
＋∞）上是下降的，最高点是( ±1,4)，
故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞） 上是减函数，
最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函 数的最值时，先画函数的图
象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种 方法适用于做
解答题.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常 用到下面的结论：①如
果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减 ，则函数y=f(x)在x=b处
有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调 递减，在区间［b,c)上单调递增，则
函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
例 2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距
2
地 面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时
候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
活动：可以指定一位学生 到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对
学生的板书及时评价.将实际问题最 终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图
象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆 裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数
2
h(t)=-4.9t+14.7t+18取得最大 值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数
22
h(t)=-4.9t+14 .7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值及此时自变
量 t的值.
2
解：画出函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的图象，如图1-3-1 -14所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻， 纵
坐标就是这时距离地面的高度.

图1-3-1-14
2
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t+14.7t+18，我们有：
当t==1.5时，函数有最大值,
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
点评：本题主 要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题
步骤是①审清题意读懂题 ；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
实用文档

变式训练
山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成 一个正三角形，那么
这两个正三角形面积之和的最小值是( )
2222
B.4cm C.3cm D.2cm
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积
222
和为S，则S=x+(4-x)=(x-2)+2≥2.
2
当x=2时，S取最小值2m.故选D.
答案：D
2.某超市为了获取 最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出
售时，每天可销售60件，现 在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品
每涨1元，其销售量就要减少10件，问 该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最
大利润.
分析：设未知数，引进数学符号 ，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问
题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价 ）×销售量.
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则
y=(x-8)［60-(x-10)·10］
22
=-10［(x-12)-16］=-10(x-12)+160(10＜x＜16).
当且仅当x=12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.
思路2
例1已知函数f(x)=x+,x>0，
（1）证明当0（2）求函数f(x)=x+,x>0的最小值.
活动：学生思考判断函数单调性的方法，以 及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数
的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：任取x
1
、x
2
∈（0，+∞）且x
1
＜x
2
，则
f（x
1
）－f（x
2
）=（x1
＋）－（x
2
+）=（x
1
－x
2
）+=，
∵x
1
＜x
2
，∴x
1
－x
2
< 0，x
1
x
2
>0.
当0＜x
1
＜x
2
＜1时，x
1
x
2
-1<0，
∴f（x
1
）－f（x
2
）＞0.
∴f（x
1< br>）＞f（x
2
），即当0当1≤x1
＜x
2
时，x
1
x
2
-1>0，
∴f（x
1
）－f（x
2
）＜0.
∴f（x
1< br>）＜f（x
2
）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.
（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值.
又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x>0取最小值是2.
解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，
实用文档

图1-3-1-15
由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.
点评：本题主 要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三
个步骤缺一不可. 利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常
用到下 面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，
则函 数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间< br>［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单 调
法.
图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最
值.
变式训练
1.求函数y=（x≥0）的最大值.
解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，
∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3.
2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.

2x,x1,

1x1,
其图象如图1-3-1-16所示. 解法一：（图象法）y＝|x +1|+|x-1|=

2,

2x,x1,


图1-3-1-16
由图象得，函数的最小值是2，无最大值.
解法二：（数形结 合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到
±1的对应点A 、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，

图1-3-1-17
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.
实用文档

天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设02
分析：y=,当0∴y≥4.
答案：4
例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个 涨价1元，
其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
活动：让学生思考利 润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二
次函数的最值.解决此类应用题 ，通常是建立函数模型，这是解题的关键.
解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，
则 每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-1 0x(个).
2
∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)+9 000(50≤x＜100）.
∴当x=70时,y
max
=9000,
即为了赚取最大利润，售价应定为70元.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应 用二次函数解决实际问题的能力.解应用题
步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来 解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
变式训练
1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当 m=时，该商品的
价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？
解：设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元.
由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%),
2
即y=［-mx+100(1-m)x+10 000］.
2
当m=时,y=［-(x-50)+22 500］，
则当x=50时，y
max
=ab.
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20
00 0元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
1


4 00xx
2
,0x400,
R(x)=

其中x是仪器的月产 量.
2

x400,

80000,
（1）将利润表示 为月产量的函数.
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）. 分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润
＝总收 益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的
最大值，再从中找 出函数的最大值.
解：（1）设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，
1< br>

x
2
300x20000,0x400,
从而 f(x)=

2


x400.

60000 100x,
（2）当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)+25000;
当x=300时，有最大值25000；
当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数;
又f(x)<60000-100×400<25000,
所以，当x=300时，有最大值25000,
2
实用文档

即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.
知能训练
课本P
32
练习5.
［补充练习］
xx上海 市闵行五校联合调研，20某厂xx年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销
售量（即该厂的年 产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=3.已知xx年生产的固
定投入为8万元，每 生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为
每件产品平均成本的1.5倍（ 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将xx年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；
（2）求xx年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？
分析：（1）年利润＝销售价 格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每
件产品平均成本；（2）利用单调法 求函数的最大值.
解：（1）每件产品的成本为元，故xx年的利润
y=1.5××x-( 8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3)-m=28-m（万元）（m≥0）.
（2）可以证 明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m是减函数，所
以当m= 3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.
拓展提升
问题：求函数y=的最大值.
探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，

图1-3-1-18
故图象最高点是(,).
则函数y=的最大值是.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x<时，函数y=是增函数；
当x≥时，函数y=是减函数.
则当x=时，函数y=取最大值,
即函数y=的最大值是.
(方法三)函数的定义域是R，
2
由y=,得yx+yx+y-1=0.
2
∵x∈R，∴关于x的方程yx+yx+y-1=0必有实数根，
2
当y=0时，关于x的方程yx+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.
2
当y≠0时，则关于x的方程yx+yx+y-1=0是一元二次方程，
2
则有Δ=(-y)-4×y(y-1)≥0.∴0∴函数y=的最大值是.
2
点评：方法三称为判别式法，形如函数y=(d≠0)， 当函数的定义域是R（此时e-4df<0）时，
常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函 数解析式整理为关于x的方程的形式
22
mx+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意 ；③当m≠0时，关于x的方程mx+nx+k=0中有x∈R，
2
则此一元二次方程必有实数 根，得n-4mk≥0,即关于y的不等式，解不等式组
m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
实用文档

课堂小结
本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函 数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；
(3)求函数最值时，要注意函数的定义域.
作业
课本P
39
习题1.3A组5、6.
设计感想
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：
（1）在探索概 念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，
完成对函数最值定义的三 次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生 掌握用图象和单调法求函数最值的
方法和步骤.
备课资料
基本初等函数的最值 < br>1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k> 0
时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx 的最大值为
f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.
2.反比例函数：y=(k≠0)在 定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）
上存在最值，当k >0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k<0时，函数y=
的最大值为f( b)＝，最小值为f(a)＝.
3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在 闭区间［m,n］上存在最值，当k>0
时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值 为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的
最大值为f(m)＝km+b，最小值为f( n)＝kn+b.
2
4.二次函数：y=ax+bx+c(a≠0):
2
当a>0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；
2
当a<0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数
2
f(x)=a x+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若＜p，则f( x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)
min
=f(p)，f(x)
max< br>=f(q).
(2)若p≤≤q，则f(x)
min
=f(),此时f(x) 的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤＜时，则f(x)
max
=f(q);
②当＝时，则f(x)
max
=f(p)＝f(q);
③当＜＜q时，则f(x)
max
=f(p).
(3)若≥q，则f(x) 在区间［p，q］上是减函数，则f(x)
min
=f(q)，f(x)
max
=f(p).
2
由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞ 0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)
2
和f(q)中的最大值,最小值是f()；当 ［p,q］时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)在闭区间［p，
q］上的最大值是f(p )和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.
实用文档