最悲伤的钢琴曲-害怕孤独

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第五章 定积分
第四讲 定积分的换元法和分部积分法
教学目的 １．掌握定积分的换元公式和分部积分公式；
２．了解有关奇偶函数在关于原点对称的区间上的积分的性质；
３．了解三角函数积分的下列结果：

n1n3

nn2< br>nn
22
sinxdxcosxdx

0

0< br>
n1n3


nn2

2
，n为 大于1的奇数，
3

1

，n为正偶数.
22
教学重点 利用换元积分法和分部积分法计算定积分．
教学难点 利用递推法计算含有自然数参数
n
的定积分，如

n
0

0
2
sinxdx
2
cos
n
xdx
.

I
n

教学时数 2学时．
教学过程

上节我们学习了Newton-Leibniz公式：

b
a
f(x )dx

F(x)

a
．这个公式说明，一个连续函数在

a，b

b
上的定积分等于它的任一个原函数在

a，b

上的增量．从而我们只需找到
f

x

的一个原 函数
F

x

，再求
它在

a，b

上的增量即可．我们已经知道，可以利用换元积分法和分部积分法来求一些函数的原函数．因
此，在一定条件下，可以采取这两种方法来计算定积分．按照Newton-Leibniz公式，定积分的计 算方法已
经解决，但为了简化计算，特别是推导定积分公式，我们要介绍定积分的换元法和定积分的分部 积分法．
一、定积分的换元法
我们给出下面的定理：
定理 假设函数
f

x

在区间

a，b

上连续，函数< br>x


t

满足条件：
(1)




a，




b；

(2)


t

在


，

(或


，


)上具有连续导 数，且值域
R



a，b

，则有

公式(1)称为定积分的换元公式．

b
a
f

x

dx

f



t




t

dt
. (1)


1

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分析 要想证明两个积分相等，只需证明它们的一个原函数在积分区间上的增量相等．
证 由假设可知，(1 )式两边的被积函数均连续，因此两个定积分都存在，并且由上节的定理2知道两
个被积函数的原函数也 都存在．设
F

x

是
f

x

的一个原函数，则

f

x

dxF

b

F

a

.
a
b
又设


t

F


t


，则



t


dFdx
f

x


< br>
t

f



t





t

.
dxdt
这说明


t

是
f



t





t

的原函数，于是

f



t




t

dt









.
再由




F






F

b< br>
，




F






F

a

知









F

b

F

a

，所以(1)式成
立．证毕．
注 (1) 当


t

的值域
R


A，B



a，b

，但满足 其它条件时，只要
f

x

在

A，B

上连续，则
(1)式仍然成立；
(2) 应用公式(1)时，将
x
换成


t

，则dx
成了
x


t

的微分
dx



t

dt
；
(3) 将
x
换成


t

时，积分限也 要换成相应于新变量
t
的积分限；
(4) 换元公式也可以反过来用，即


其中


a



，


b



．
例1 计算

0
a
b
a
f



x





x

dx

x

t


f

t

dt
，

a
2
x
2
dx
(
a0
).
分析 从定理可以看出，将被积函数的自变量
x
换成 哪一个函数


t

，可以参考不定积分中的技巧．
解 设
xasint
，则
a
2
x
2
acost ，dxacostdt
，且当
t0
时
x0
，当
t< br>
2
时
xa
，
而在

0，
上，
acostacost
，于是
2





a

0
axdxa
222

2
0
a
2
costdt
2
2


1cos2t

dt

2
0

a
< br>2
22

1

2

a

t 
2
sin2t


4


0

2

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注 应用换元公式时，求出
f



t





t

的一个原函数


t

后，直接将
t
的上、下限分别代入


t

中
相减就行了，而不必像计算不定积分那样再把


t

换成
x
的函数．

例2 计算

2
0
cos
5
xsinxdx
．
分析 在求解对应不定积分时，是采用“凑”微分的方法来进行的：
55
cosxsinxdx cos

xd

cosx

．
故本题可考虑设
tcosx
．
解 设
tcosx
，则
sinxdxdt
，且当
x0
时
t1
，当
x

01

2
时
t0
，于是
11

1
6

5
2
cos
5
x sinxdxt
5
dt
．
tdtt

0

1

0

66

0
注 在例2 中，我们可以不必明显地写出新变量
t
．但此时要注意，定积分的上、下限也不要变更．这种记法的计算过程如下：



例3 计算
2
0
cosxsinxdx

5
2
0

cosx< br>
2
1

1

cosxd

cos x



0




66

6

0
5
6
相应不定积分采用“凑”微 分方法时，该定积分通常用上述方法解较为简单．


0
sin
3
xsin
5
xdx
.
35
分析 首先应将被积函数化简：
sinxsinxsin
3
x cosx
．由于 在
x

0，


时，
cosx
的符






,

< br>．这样在每个小区间上
cosx


2

2

号有变化，故需将积分区间

0，


分成两个区间：

0,




0,
就保号了．
解


0
sinxsinxdx

s inxcosxdx

2
sinxcosxdx

sinx
cosx

dx

35
00
2

3
2

3
2


3
2
5
2

22




0
2
sinxd

sinx




sinx d

sinx



sinx



sin
2
5

2

0
5
< br>

3
2
3
2
5
2

x< br>



2


2

2< br>
4





.
5

5

5
3



35
注 如果忽略
cosx
在

,


上为负，而按< br>sinxsinxsin
2
xcosx
计算，将导致错误．

2

例4 计算

4
x2
2x1
0
dx
.
3

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解 设
t
2
1
2x1t
，则
x, dxtdt，且当
x0
时
t1
，当
x4
时
t3< br>．于是
2

4
0
t
2
1
32
23
33

x2t3t3522

. < br>dx

2
tdt


dtt9

11
t33
2x1

22
62

1
例5 证明：(1)若
f

x
< br>在

a,a

上连续且为偶函数，则
(2)若
f

x

在

a,a

上连续且为奇函数 ，则
解 仅证(1)，(2)的证明留给同学练习．
因为
a

f

x

dx2

f

x
< br>dx
；
a0
aa

f

x
< br>dx0
．
a
0

a
a
f

x

dx

f

x

dx< br>
f

x

dx
，对积分

f
x

dx
作代换
xt
，则得
a0 a
0a

f

x

dx

f

t

dt

f

t
< br>dt

aa0
00a
又
f

x

在

a,a

上为偶函数，故
f

t

f

t

(
t

a,a

)，于是

a
f

x

d x

a
f

x

dx

0
f

x

dx

0
f

t

dt

0
f

x

d x
aa


0
f

t

dt< br>
0
f

x

dx

aa


0
f

x

dx

0f

x

dx
a
2

0
f

x

dx.
a0aaa
注 (1)这里用到了“定积分与积分变量的记法无关”这一结论;
(2)利用例5的结论，常可简化计算奇函数、偶函数在以原点为对称的区间上的定积分．
例6 若
f

x

在

0 , 1

上连续，证明:
(1)
(2)

f
< br>sinx

dx

f

cosx

dx
；
2
0
2
0



0
xf

sinx

dx

2

0

f

sinx

dx
，并由此计算


0
xsinx
dx
．
2
1cosx
分析 在定积分中经常遇到正、余弦间的互化问题，同名函数间往往 采用代换
x

t
(或
x2

t
等 等)，异名函数间往往采用代换
x
证 (1) 设
x

2
t
(或
x

2
t
等等)来解决这类问题．

2
t
，则
dxdt
，于是

f

sinx

dx


f

cost

dt

f

cost

dt 

f

cosx

dx
.
2
0
2
2
0
2
0

0

(2)设
x

t
，则
dxdt
，于是


0
xf

sinx

dx




t

f

sint

dt

0


t

f

si nt

dt





0
f

sint

dt

0
tf

sint

dt




0
f

sinx

dx

0
xf

sinx

dx.

0

所以


0
xf

sinx

dx

2

0

f

sin x

dx
．
4

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利用上述结论，得


0
xsinx


sinx


d

cosx

dxdx< br>2

0
1cos
2
x
2

01cos
2
x1cos
2
x

2
 




arctan

cosx


0





22
< br>44

4
这里需注意到
f

x


x
在

0 , 1

上连续．
2x
2
2

xe
x
, x0,
4

例7 设函数
f

x



计算

f

x2

dx

1
1
, 1x0,


1cosx
分析 令
x2t
，则
积分区间

1, 2

进行分段．
解 设
x2t
，则
dxdt
，于是

4
1f

x2

dx

f

t

dt
．由于
f

t

是分段函数，故需根据< br>t0
及
t0
将
1
2
1
20202t
2
fx2dxftdtf(t)dtftdtdt


1

1

0

1
< br>0
tedt
1cost
2
dt1
02



1


0
e
t
d
t
2

t
2
2cos
2
2
0
t

1

t
2

2
111



tan

etane
4
 .
2

1
2

0
222

4
1
二、定积分的分部积分法
回顾：不定积分的分部积分公式为

u

x

v


x

dxu< br>
x

v

x



u< br>

x

v

x

dx

由Newton-Leibniz公式，我们有

b
a
b
u

x

v


x

dxu< br>
x

v

x



u< br>

x

v

x

dx

u

x

v

x


a


u


x

v

x

dx
a

b

b
a
< br>
u

x

v

x

< br>

u


x

v

x< br>
dx
b
a
a
b

简记作
bb


uvdxuvvudx
或
udvuvvdu
(2)


a
aa

a

a
a
b
bb
b
称为定积分的分部积分公式．公式表明原函数已经“积”出的部分可以先代上、下限．
例8 计算
解

1
2
0
arcsinxdx
．
1
2< br>0
1
2
0

1
2
0
arcsinx dx

xarcsinx



1

d x1x
2
26
1x
2
x

1
2
0



12

3
1
．
2
例9 计算

1
0
e
x
dx
．
5

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分析 若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．所以需要先用换元法．
2
解 令
xt
，则
xt,dx2tdt
，于是

1
0
e
x
dx2

te
t
dt2

tde
t
2te
t
00
11


1
0
2

e
t
dt2e 2e
t
0
1

1
0
2e2

e1

2
．
例10 证明定积分公式(积分表(147))： < br>
n1n3

I
n


0
2< br>sin
n
xdx

0
2
cos
n
xdx

nn2
n1n3


nn2
 
2
,n为大于1的奇数,
3

1

,n为正偶数.
22
分析 由于被积函数与自然数(参数)
n
有关，我们采用递推的方法．

证
I
n


2
0
sin
n1
x d

cosx


n1
2

2
n1cos
2
xsin
n2
xdxxcosx


0

0





< br>sin


n1


0
2
1sin
2
x

sin
n2
xdx

n1


0
2
sin
于是有

n2


xdx

n1


0
2
sin
n
xdx

n1
< br>I
n2


n1

I
n
,
I
n


n1
I
n2
． < br>n
称为积分
I
n
关于下标
n
的递推公式．我们可以得 到
I
2m

2m12m12m32m12m331
I< br>2m2
I
2m4
I
0
,

2m2m 2m22m2m242
2m2m242
I
2m1


I
1
(
m1, 2, 
),
2m12m153

而
因此
I
2m

I
0


2
dx
0

2

, I
1


2
sinxdx1
,
0
2m 12m331


2m2m2422

n1n3

或写为
I
n


n n2
n1n3


nn2

,
I
2m1

2m2m242
(
m1, 2, 
),

2m12m153
2
,n为大于1的奇数,
3

1

,n为正偶数.
22
又由例6(1)可知

2
0
sinxdx

2
cos
n
xdx
． 证毕．
0
n
注 关于该结果要熟悉，在很多积分运算中经常会遇到．
三、总结
本节我们学习了
1．定积分的换元法，要注意何时须明显地写出新变 量并将上、下限变为新变量积分限，何时无须明显
地写出新变量，而积分限也不要变更；
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2．定积分的分部积分法，要掌握它与换元积分法的结合 使用，并了解递推公式法的使用及奇偶函数在
以原点为对称的区间上的积分．
作业 习题5-3(249页) 1(2，5，8，11，15)，2(1，3)，11(1，5，12)．
7