女孩图片-反担保函

2021年1月3日发(作者：朱旦华)

利用换元法解分式方程的四种常见类型


一、直接换元
例1 解方程
(
解：设
x
2
x
)2()150
.
x1x1
x
y
，则原方程可化为
y
2
2y 150
.
x1
解得
y
1
3,y
2
5
.
x3
3
，解得
x
；
4
x1
x5
当
y5
时，
5
，解得
x
.
x14
35
经检验，
x
1
, x
2

是原方程的根.
44
当
y3
时，
二、配方换元
11
)3(x)1
.
2
x
x
1
2
1
解：原方程配方，得
2(x)3(x)50
.
xx
1
2
设
xy,
则
2y3y50
.
x
5
解得
y
1
1,y
2

.
2
1
2
当
y1
时，
x1,
即
xx10
.
x
例2 解方程
2(x
2
因为
141130
，
所以方程
xx10
无实数根.
2
2
515
2
时，
x,
即
2x5x20
.
2
x2
1
解得
x
1
2,x
2

.
2
1
经检 验，
x
1
2,x
2

是原方程的根.
2
当
y
三、倒数换元
x
2
12(x1)

2
30
. 例3 解方程
x1
x1
x
2
1
2
y
，则 原方程可化为
y30
. 解：设
y
x1

去分 母，整理，得
y3y20
，解得
y
1
1,y
2
2
.
2
x
2
1
1
，即
x
2
x0
. 当
y1
时，
x1
解得
x
1
0,x
2
1
.
x
2
 1
2
，即
x
2
2x10
. 当
y2
时，
x1
解得
x
3
12,x
4
12
.
经检验，
x
1
0,x
2
1,
x
3
12,x
4
12
都是原方程的根.
四、变形换元
例4 解方程
4x2x
2
2
1
.
2
2xx2
2
解：原方程可变形为
2(2xx2)
2
2
50
.
2
2xx2
2
50
.
y
设
2xx2y
，则原方程可化为
2y
去分母，整理，得
2y 5y20
.
解得
y
1
2,y
2

2
2
1
. < br>2
2
当
y2
时，
2xx22
，即
2 xx0
.
解得
x
1
0,x
2

当
y
1
.
2
11
22
时，
2xx2
，即
4x2x 30
.
2
2
2
因为
(2)443440
，
所以方程
4x2x30
无实数根.
经检验，
x
1< br>0,x
2

2
1
是原方程的根.
2
例1 解方程
分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。

解 设
解得
，于是原方程变形为



例2 解方程
分析 方程左边分式分母为
法求解。

，可将右边看成一个整体，然后用换元
解 设，则原方程变形为

例3 解方程
分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解 原方程为

例4 解方程
解 设





练习：
1. 解方程

2. 解方程






3. 解方程








提示：1. 设
2.

3. 设

。
二次根式
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简 二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次
根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质

5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根 代替而移到根号外；
如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号 外．反
之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式， 则称这两个代数式互为有
理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．
(3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
(4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积 (商)的被开方数，并将运算
结果化为最简二次根式．
(5)有理数的加法交换律、 结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及
多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 ．
二、典例剖析

分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细 观察两被开方数互为相反数，
不妨从二次根式定义入手．

例3、已知xy＞0，化简二次根式
A． B．－ C．
的正确结果是（ ）

D．－
分析：解题的关键是首先确定被 开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外
的因式移入根号内．

说 明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”
与“逆用”特别 地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．

乐器演奏-好课件吧小学数学

经典网站设计-六月的节日

学海征途-贾平凹作品

改qq密码-复旦大学陈果

想家的句子-种子发芽实验

小学六年级语文课本-军神

纪实小说-我的闺蜜时代

人物头像速写-2018年五一假期