安徽黄山游-努力的英文

毕业论文开题报告
信息与计算科学
换元法在数学解题中的应用
一 选题的背景、意义

1.1 选题的背景
从一种形态转化到另一种 形态，这是数学发展的一个杠杆，也是集体常用的手段。数学
史上这样的例子很多，无论是对一些具体问 题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗
透着这一思想。解题中常用到的换元法，其实也是这一思 想的具体体现。由于条件与结论中
的变量关系在形式上的隐蔽，它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形 式上发现，即使看出
它们之间的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解。但当我们进行适当的变量 代换，
把问题的条件和结论作形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难
为易，化繁为简。掌握了换元思想，不但可以比较顺利地解决一些较难的题目，还可以用多
种方法解答 同一个个问题，提高我们的思维。
当然，为了使问题得到解决，这种转换应该是有效的。什么是有效的 转化？总的来说，
有利于问题解决的转化就是有效转化。在具体问题中，针对转化的有效性，人们做了很 多的
探讨。以换元法为例，就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧，积分中的换元技巧等等。
每一类问题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样。分析各种还原形式的共同规
律，可以捡起 归纳为以下几类：定积分换元法、不定积分换元法、三角换元、二重积分换元
法、含无理递推式的换元法 和换元法在其他方面的应用。
1.2 选题的意义
换元法在解决定积分、不定积分、三角 函数、二重积分、含无理递推式等数学问题中有
着广泛的应用，换元法是解决复杂繁琐数学问题的重要工 具。
解数学问题时，当遇到代数中式子较烦或解法比较复杂时，如果能从式子的特殊性中挖
掘 并发挥换元的因素，这样往往能够产生更为简洁的解法，把繁难的计算和推理简化。从而
达到化难为易、 化深为浅、化繁为简的目的。这就是简化解题方案，寻求最佳解题法的有效
方法。
当遇到题中 含有几个变量或次数较高问题时，我们可以考虑用换元法，能否消去某些变
量或降低变量次数，起到减元 降次的作用。
[2]
[1]

解题过程中，当遇到已知条件 多而分散或者已知条件和结论之间似乎缺少必然的联系，
有时甚至好像隔着一条难以逾越的鸿沟，这时完 成解题的关键在于发现它们之间的联系。此
时就应该考虑引进中介元素，起到桥梁作用，把问题解决。
一些无现成模式可用的数学命题，换元往往就是寻找解题思路的过程，恰当的换元，可
为解题提 供新的信息和依据，解题思路也就伴随而生。因而换元法是寻找解题突破口，叩开
解题之门的钥匙。
许多问题隐含在深处，不易被发现，若能恰当地换元，则可把隐含的问题显示出来
二 研究的基本内容与拟解决的主要问题
2.1换元法的一些基本概念
在数学解题中，对于引进辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。
解数学问题时，如果直接 解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难
以直接得出结论时，往往需要引入一个或若 干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新
元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复 为原来的元，即可得原问题的结果。
换元法又称变量代换法或辅助元素法。
2.2换元的实质
换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的
一种解题 方法。换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题
发生有利的转化，从而 达到解题目的。
2.3换元法在解题中的应用

在解数学题时, 把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化。
换元的实质是转化, 关键是构造元和设元,理论依据是等量代换, 目的是变换研究对象,将
问题移至新对象的知识背景中去 研究,把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把
条件与结论联系起来,从而使非标准型问题 标准化、复杂问题简单化、陌生问题熟悉化.通过
引进新的变量(辅助元素) ,可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越
式为代数式, 在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有着广泛的应用。
2.3.1定积分换元法
定理1 若函数
f(x)
在
[a,b]
上连续，函数
x

(t)
满足下列条件：
[1]
(i)

(t)
在
[

,

]
上连续且
a

(t)b,(

t

)
;

(ii)

(

)a,

(

)b
；
(iii)


(t)
在
(

,

)
上连续。
则

b
a
f(x)dx

f(

(t))


(t)dt



例 用代换
xsinx
求积分

1
2
0
xdx

1
时，
2
又
故
解
f(x)x
在定义域
I(,)
上连续；
xsinx
当
x0
时
tn
1

；
x
t n
2

(1)

6
其中
n
1
,n
2
是任意整数，
I(,){x|xsint,t(n
1

,n
2

(1)
n
2

1
2
0
xdx

[2]
n
2

(1)
n
2
n
1

1
)}(0,)
62

n

11
n

(1)
6
sintcostdtcos2t
2
6


48
n
1

2

定理2 若
f(x)
在闭区间
[a,b]
上，可积，则
推论1 若
f(x)
在
[a,b]
上可积，则
推论2
b

b
a
f(x)dx

f(abx)dx

a
b
0
b

b
0
f(x)dx

f(bx)dx

b
1
b
1
b

af(x)dx
2

a
[f(x)f(abx)]dx,

0
f(x)dx
2

0
[f(x)f(bx)]d x


1sin2x
4
例 计算
I

dx

0
1sin2x
解
< br>4
利用推

4
论1，
b

4
，故
I


1sin2(

1sin2(
2
4
4
x)
x)
0
dx

0< br>
1cos2x
dx

4
tan
2
xd x
0
1cos2x


(secx1)dxtanx
4
1

0
44
0
定理3 设
ab
2
a
[2]
4


f(x)
在
[a,b ]
上可积，则对任意的
a
和
b
有

b
a< br>f(x)dx

[f(x)f(abx)]dx
.
推论3
f(x)
在
[a,a]
上可积，则
例 计算
I
解

a
a
f(x)dx

[f(x)f(x)dx]

0
a

5

16
3

16
sin
9
xcos
9
x
dx

15sincosx
利用定理3知，

a 
35


,b

,ab
16162

99
,
sinxcosx
4
[I

3< br>

15sinxcosx
16
[3]
sin
9< br>(

2
x)cos
9
(


2
x)

4
0dx0

]dx

3< br>16
15sin(

x)cos(x)
22

公式1 若函数
f(x)
在区间
[a,b]
上连续，函数
x

(t)
在区间
[

,

]
上有连续导 数


(t)
，
当
t
在
[
,

]
上变化时，函数
x

(t)
的值在< br>[a,b]
上变化，并且

(

)a,

(

)b
，则



b
a
f( x)dx

f[

(t)]


(t)dt


2.3.2 证明定积分等式
换元法是换元法是证明积分等式 的最常用方法,其基本思路是:利用定积分与积分变量
无关的性质,利用适当的变量替换将积分等式的一 端向另一端转化。常用的换元思路如下:
(1) 若等式一端的被积函数或其主要部分为
f( x)
，而另一端为
f[

(x)]
，则可作代换
t

(x)
；
(2) 若等式两端的被积表达式相同，则代换依据等式两端的积分限；
(3) 含参变量的积分等式通常需要利用变量替换将含参变量的积分变形处理。
例 设
f(x)连续，证明

b
a
f(x)dx

f(abx) dx

a
b
证 令
tabx
，则有


b
a
f(abx)dx

f(t)dt
f(x)dx

aa
bb
2.3.3 不定积分换元法
[5]
定理3 (第一换元法)设
g(u)
的原函数为
F(u),
u

(x)
可导，则有换元公式：

g[

(x)]


(x)dx

g(u)duF(u) CF[

(x)]C

例
2x1
111
10 1010

(2x1)dx(2x1)(2x1)dx(2x1)d(2x1)

2

udu

2

2

10
u2x1
1u
11
1
C

(2x 1)
11
C

21122
定理4 （第二类换元积分法）设x

(t)
是单调可导函数，且


(t)0，又设
f[

(t)]


(t)
[5]具有原函数
F(t)
，则

f(x)dx

f[
(t)]


(t)dtF(t)CF(

( x))C
，其中

(x)
是
x

(t)
的反函数。

例 求

x(x
1
7
2)
dx

解 令x
1
1
，则
dx
2
dt
，于是
t
t
dx

1
1
()
7
2
t< br>(
1
)dt
t
2

x(x
1
7< br>2)
t
6
111
77


dtln 12tCln12tlnxC

7
14142
12t
2.3.4 二重积分换元法及其推导方法
以定积分的换元法为基础, 推导二重积分的换元积分公式, 它的一般步骤是:
1) 在直角坐标系中化二重积分为二次积分;
2) 将二次积分的内层积分利用定积分换元法把旧的积分变量换成一个新的积分变量;
3) 改变二次积分的顺序, 使另一个旧变量的积分居于内层, 再将此内层积分利用定积分换
元法把旧的积分变量换成另一个新的变量;
4) 把关于两个新变量的二次积分变回到二重积分
定理5 若函数
f(x,y)
在有界闭 区间
D
连续，函数组(1)：

[6]

xx(u,v)
，将
uov
平面的区

yy(u,v)
域
D
一对一地变换为
xoy
平面上的区域
D
，且函数组(1)在< br>D

上对
u
与
v
存在连续偏导
数，
(u,v)D

有
J(u,v)
(x,y)
0
， 则
(u,v)

f(x,y)dxdy

f[x(u,v) ,y(u,v)]J(u,v)dudv

DD

x
y
2< br>x
y
)(a0,b0)
与
y0
所围成的区域D
的面积。
abab
a

x(uv)

2
2
解 作代换：即：

，则
D

由抛物线
uv
和直线< br>uv
围成。所
b

y(uv)
2

例 求曲线
(
以
D

:0u1;u
2
vu;J (u,v)
ab
,
2
11
S

dxdy

DD

abab

J(u,v)dudv
< br>du

dv
12
00
12