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初中数学因式分解中的换元法学法指导
徐卫东 刘建英

因式分 解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、
解方程等领域中都有着 广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或
还含有代数式乘积的项时，结构复杂 ，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部
分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于 分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、
容易的目的。举例简解如下。
一、整体换元
例1 因式分解
(x
4
x
2
1)(x
4< br>x
2
1)2.

(x
4
x
22)(x
4
2x
2
1x
2
)(x
2
1)(x
2
2)[(x
2
1)
2
x
2
](x1)(x1)(x
2
2)
(xx1)(xx1) .

例2 若
、
是方程
x
2
bxc0
的两根。因式分解
22
解：设
x
4
x
2
1A
，原式
A
2
A2(A1)(A2)(x
4< br>x
2
2)(x
4
x
2
1)


[x
2
(b1)xc]
2
b[x
2(b1)xc]c.

解：因为
、
是方程
x
2
bxc0
的两根，所以
b(),c.

设
x
2
(b1)xcA
，原式
A
2
b AcA
2
()A(A)(A).

但
Ax
2
(b1)xcx
2
(1)x x
2
xxx

(x
2
xx )(x)x(x1)(x1)(1)(x),

同理
A(x1)(x),

所以原式
(x)(x)(x1)(x1).


二、局部换元
例3 因式分解
(x
2
5x5)(x
2
5x8)14.

解：设
x
2
5xA,

原式
(A5)(A8)14

A
2
3A54
(A6)(A9)
(x5x6)(x5x9)
(x1)(x6 )(x
2
5x9).

例4 因式分解
(x
2
7x6)(x
2
5x6)x
2
.

解：设
x
2
5x6A
，原式
22

A(A2x)x
2
A
2
2Axx
2
(Ax )
2
(x
2
6x6)
2
.


三、局部分解后，重组再换元
例5 因式分解
(4x
2
4x35)(x
2
9)91.

解：原式
(2x7)(2x5)(x3)(x3)91[(2x7)(x3 )][(2x5)(x3)]91

(2x
2
x21)(2x
2
x15)91设2x
2
x21A,
原式
A (A6)91A
2
6A91

(A7)(A13)(2x
2
x28)(2x
2
x8)(x4)(2x7)(2x
2
x8)

例6 因式分解
4(x5)(x16)(x10)(x12)3x
2

解 ：原式
4[(x5)(x12)][(x6)(x10)]3x
2
4( x
2
17x60)(x
2
16x60)

3x
2
.

设
x
2
16x60A
，原式
4A(Ax)3x
2
4A
2
4Ax3x
2
(2Ax)(2A3x)

(2x
2
31x 120)(2x
2
35x120)(2x15)(x8)(2x
2
35x120)

注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。

四、多元换元
例7 因式分解
(xy1)
2
(xy2)(xy2xy).

解：设
xyA,xyB,

原式
(B1)
2
(A2)(A2B)

(B 1)
2
(A
2
2A2AB4B)
B
2
 2B1A
2
2A2AB4B
(B1)
2
2A(B 1)A
2
(B1A)
2
(xy1xy)
2

例8 因式分解
(ab)(2xy)
2
(ba)(xy)
2
.

解：设
abA,2xyB,xyC,

原式
AB
2
AC
2
A(B
2
C
2
)A(BC)(BC)(ab)(2xyxy)

(2xyxy)3x(ab)(x2y)


例9 因式分解
(abc)(bca)(cab)a(abc)(acb)b(abc)

(bca)c(acb)(bca).

解：设
a bcA,bcaB,cabC.
注意到
ABC(abc)
(bca)(acb)abc,AB2b,BC2c,CA2a.


ACABBC1
ACABBC[2ABCAC(AC)
< br>2222
11
AB(AB)BC(BC)][AC(ABC)AB(A BC)BC(BC)][A(BC)

22
11
(ABC) BC(BC)](BC)[A(ABC)BC](BC)(A
2
ABAC BC)
22
11
(BC)(AB)(AC)2a2b2c4abc .

22
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。 < br>由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是
一种行之有 效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母
的分解式。


所以原式
ABC