换元法解三角函数题
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2021年01月03日 20:53
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换元法解三角函数题
有些三角函数题，若根据题设信息特征，恰当选择变量进行代换，
可改变原题的结构，转化为对新变量的
讨 论，从而优化解题途径。
题目:换元法解三角函数题
有些三角函数题，若根据题设信息特征，
恰当选择变量进行代换，可改变原题的结构，转化为对新变
量的讨 论，从而优化解题途径。
一. 整体设元代换
例1. 已知，求证：。
证明：设，则
即
由得
所以
二. 比值设元代换
例2. 已知，求证。
证明：设，则、、
所以
三. 辅助式设元代换
例3. 已知，则________。
解：由知，
设，
又
两式平方，相加，得
，
解得
所以
解得
所以
四. 构造数学模型设元代换
例4. 已知，求的值。
解：根据，构造等差数列。
设，
由知，即。
因为
所以
所以
五. 降次设元代换
例5. 已知
证明：设
，求证：
，则
。
，
所以
化简，得
所以
，所以
。
所以
六. 利用和、差设置双元代换
例6. 求
解：设
的最大值。
，则
因为。
所以，即，于是。
因为，所以，即。
因为，
又，
所以当
时，
七. 三角函数设元代换
例7.
求函数的值域。
解：由。
设，则
当时，
因为
所以，
所以
当
因为
所以
所以
综上所述，函数的值域为。