火鹤花-不文明行为

换元法、待定系数法、因式定理及其它



例题精讲
板块一：换元法

【例1】 分解因式：
(x
2
4x8)
2
3x(x
2
4x8)2x
2






【例2】 分解因式：
(x1)(x3)(x5)(x7)15







【例3】 分解因式：
(a1)(a2)(a3)(a4)24







【例4】 证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．







【例5】 若
x
，
y
是整数，求证：

xy

x2y

x3y

x4y

y
4
是一个完全 平方数.









【例6】 在有理数范围内分解因式：
16

6x1

2x1

3x1

x1

25







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【巩固】 分解因式：
6x1

2x1

3x1

x 1

x
2








【巩固】 分解因式：

6x 1

4x1

3x1

x1
9x
4








【例7】 分解因式
(2a5)(a
2
9)(2a7)91







【例8】 分解因式
(x
2
3x2)(38x4x
2
)90








【例9】 分解因式：< br>4(3x
2
x1)(x
2
2x3)(4x
2
x4)
2








【例10】 分解因式：
(ab2ab)(ab2)(1ab)
2






1

2

【例11】 分解因式：
xy

xy1



xy3

2

xy



xy1


2







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【例12】 分解因式：
(x1)
4
(x3)
4
272








【巩固】 分解因式：
a
4
4
4
(a4)
4







【例13】 分解因式：

2 x3y



3x2y

125

xy








【例14】 分解因式：
x
4
x
3
4x
2
x1







【巩固】 分解因式：
< br>x1



x3

272













44
333
板块二：因式定理

因式定理：如果
xa
时，多项式
a
n
x
n
a
n1
x
n1
...a
1
xa
0
的值为
0
，那么
xa
是该多项式的一个因式.
p
有理根：有理根
c< br>的分子
p
是常数项
a
0
的因数，分母
q
是首 项系数
a
n
的因数.
q

【例15】 分解因式：
2x
3
x
2
5x2



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【例16】 分解因式：
x
6
2x
5
3x< br>4
4x
3
3x
2
2x1








【巩固】 分解因式：
6x
4
5x
3
3x
2
3x2








【例17】 分解因式：
( lm)x
3
(3l2mn)x
2
(2lm3n)x2(m n)










板块三：待定系数法
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
即，如果
a
n
x
n
a
n1
xn1
a
n2
x
n2
a
1
x
1
a
0
b
n
x
n
b
n1
x
n1
b
n2
x
n2
b
1
x
1
b
0

那么
a
n
b
n< br>，
a
n1
b
n1
，…，
a
1
b
1
，
a
0
b
0
.

【例18】 用待定系数法分解因式：
x
5
x1






【例19】 要使

x1

x3

x4

x8

m
为完 全平方式，则常数
m
的值为________






【巩固】 用待定系数法分解：
x
5
x
4
1




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【例20】 分解因式：
a
3
(bc)b
3
(ca) c
3
(ab)








【例21】
k
为 时，多项式
x
2
2xyky
2
3x5y2
能分解为两个一次因式的乘积







【巩固】 分解因式：
x
4
x
3
2x
2
x3











板块四：轮换式与对称式
对称式：
x、y
的多项式
xy
，
xy
，
x
2
y
2
，
x
3y
3
，
x
2
yxy
2
，…
在字母
x
与
y
互换时，保持不变．这样的多项式称为
x、y
的对称式．
类似地，关于
x、y、z
的多项式
xyz
，
x
2
y
2
z
2
，
xyyzzx
，
x
3
y
3
z
3
，
x2
yx
2
zy
2
zy
2
xz
2
xz
2
y
，
xyz
，…在字母
x、y、z中任意两字互换时，保持不变．
这样的多项式称为
x、yz
的对称式．
轮换式：关于
x、y、z
的多项式
xyz
，
x
2y
2
z
2
，
xyyzzx
，
x
3
y
3
z
3
，
x
2
yy
2
zz
2
x
，
xy
2
yz
2
zx
2
，
xyz
…
在将字母
x、y、z
轮换 (即将
x
换成
y
，
y
换成
z
，
z
换成
x
)时，保持不变．
这样的多项式称为
x、y、z
的 轮换式．显然，关于
x、y、z
的对称式一定是
x、y、z
的轮换式．
但是，关于
x、y
，
z
的轮换式不一定是对称式．
例如，
x
2
yy
2
zz
2
x
就不是对称式．
次数低于3的轮换式同时也是对称式．
两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．

【例22】 分解因式：
x
2
(yz)y
2
(zx)z
2
(xy)





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【例23】 分解因式：
xy(x
2
y
2
)yz(y< br>2
z
2
)zx(z
2
x
2
)










课后练习
1.







2.






3.







4.






5.








分解因式：
(x
2
5x2) (x
2
5x3)12

分解因式：
(x
2
 x1)(x
2
x2)12

分解因式：
(x
26x8)(x
2
14x48)12

分解因式：
(x
2
xyy
2
)
2
4xy(x
2
y
2
)

分解因式：
x
3
9x
2
y26xy
2
24y
3

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6.







7.







8.







9.








x
6
x
3
1
能否分解为两个整系数的三次因式的积?
x
4
x
2
1
是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积 ?
分解因式：
x
3
(abc)x
2
(abbc ca)xabc

关于
x，y
的二次式
x
2
 7xymy
2
5x43y24
可分解为两个一次因式的乘积，则
m< br>的值是
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