阿桑叶子-武夷山游记

用换元法解方程专项训练
姓名---------- 班级--------
一、 分式方程：
x23xx13x
1、解方程：
2;
2、解方程：
10;

xx2xx1








x
2
x
3、解方程：
()5()40;

x1x1





二、 无理方程：
4、解方程：２
X40
;（提示：设y=
x
） 5、解方程：X+2
X30
；







６、解方程：Ｘ＋
X240;





三、 高次方程：
７、解方程：
x
4
6< br>x
2
50;
(提示：设y=x
2
)



８、解方程：
(x-x)-4(x-x)-12=0.
222

阅 读 理 解 题 训 练
1、若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a
＋b＋c就 是完全对称式．下列三个代数式：①(a－b)
2
；②ab＋bc＋ca；③a
2b＋b
2
c＋c
2
a.其
中是完全对称式的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11
2、(2008·湖北)因为sin 30°＝，sin 210°＝－，所以sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°；
22
因为sin 45°＝
22
，sin 225°＝－，所以sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°；由此猜想，
22
推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°＋α)＝－sin α，由此可知：sin 240°＝( )
123
A．－ B．－ C．－ D．－3
222
3、（2011•德州）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大 值称为该图形的“直径”，
封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为 正三角形、正方
形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a
1
，a
2，a
3
，a
4
，则下列关系中正确的是（ ）

A、a
4
＞a
2
＞a
1
B、a
4
＞a
3
＞a
2
C、a
1
＞a
2
＞a
3
D、a
2
＞a
3
＞a
4

4、数学的美无处不在． 数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长
度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的 比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例
如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷 得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发
1111
出很调和的乐声do、mi、so.研究1 5、12、10这三个数的倒数发现：－＝－.我们
12151012
称15、12、10这三 个数为一组调和数．现有一组调和数：x、5、3(x>5)，则x的值是__________．
5、(2010·凉山)先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从3张不同的卡片中选取 2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题
就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数 记为A
3
2
＝3×2＝6.
一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列 数记作A
n
m
，A
n
m
＝n(n－1)(n－2)…(n< br>－m＋1)(m≤n)．
例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A
5
3
＝5×4×3＝60.
材料2：从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法 ，抽象成数学问题就是从3
3×2
个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C
32
＝＝3.
2×1
nn－1…n－m＋1
一般地，从n个不同 元素中选取m个元素的组合数记作C
n
m
，C
n
m
＝
mm－1…2×1
(m≤n)．

例：从6个不同元素中选3 个元素的组合数为：C
6
3
＝
6×5×4
＝20.
3×2×1
问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？
(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？








6、 (2011江苏南京) 问题情境：已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？
最 小值是多少？
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为
y2(x )(x＞0)
．
探索研究：⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数
yx
① 填写下表，画出函数的图象：
x
y
……
……
a
x
1

(x＞0)
的图象性质．
x


1

4

1

3

1

2

1

2

3

4

……
……


y
5
4
3
2
1
－1
O
－1

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；


1
2 3 4
5
x

③在求二次函数 y=ax
2
＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过
配方得到．请你通过配方求函数
yx





解决问题：⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．


7、（2011广东珠海）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方，如3＋
2
2
2
＝(1＋
2
)，善于思 考的小明进行了以下探索：
2
设a＋b
2
＝(m＋n
2
) （其中a、b、m、n均为正整数），则有a＋b
2
＝m
2
＋2n
2
1
(x＞0)的最小值．
x
＋2mn
2
，∴a＝ m2
＋2n
2
，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a＋b
2
的式子化为
平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a、b、m、n均为正整数时，若a＋b
3
＝(m＋n
3
)，用含m、n的式 子分
别表示a、b，得：a＝ ， b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： ＋
＝（ ＋

2
3

3
）
2
；
2
（3）若a＋4
3
＝(m＋ n
3
)，且a、m、n均为正整数，求a的值．