腾讯教育网-伤寒论序

用换元法求复合函数的值域
教学目标
1） 会求指数函数与二次函数复合后的函数的值域；
2） 初步掌握换元法在解题中的应用；
3） 培养学生的思维能力和想象能力.
教学重点
转化思想的应用，换元后注意新元的范围.

教学难点
1） 合理进行换元，把所求问题转化为基本初等函数来研究；
2） 培养学生的思维能力和想象能力.
教学过程
一、复习回顾
1、指数函数
ya
x
（
a0
且
a1
）的性质；
2、二次函数
yax
2< br>bxc
（
a0
）的性质.
二、引入
一个复杂的问题都是由一些简单的问题组成的.例如指数函数和二次函数复
合在一起就构成了 一个大家陌生的复合函数，那么怎么解决复杂的问题呢？今天
给大家介绍一个重要的数学方法——换元法 .
三、讲授新课
换元是对结构较为复杂，量与量之间关系不明了的式子，通过恰当的引入新
的变量，代换原式中的部分式子，简化原有的结构，使其转化为便于研究的形式.
它是一种重要 的思想方法，许多复杂的数学问题若能很好地利用换元法，可以使
问题由难变易，由繁变简，达到事半功 倍的奇效.
下面举几个例子说明换元法在解题中的应用.

1、 采用换元法转化二次函数在区间上求值域
例1 求函数
y4
x
2
x
1
的值域.


2、 采用换元法转化指数函数在区间上求值域

1

例2 求函数
y


2



变式练习
1） 求函数
y


2） 求函数
y2
x


3） 求函数
y


4） 求函数
y2
x


2
2
2xx
2
的值域.
11
1
的值域.（必做）
4
x
2
x
2x1
的值域.（必做）
11
1
（
0x1
）的值域.（选做）
4
x
2
x
2x1
（
0x1
）的值域.（选做）
5） 求函数
y4
x
2
x1
1
（
1x1
）的值域.（提升）


6） 设
a0
且
a1
，求函数
ya
2xx
（
0x1
）的 值域.（提升）

2

四、小结
1、弄清楚复合函数的复合结构；
2、换元后要注意新元的范围；
3、解题时充分利用函数图像，可以形象直观降低思维难度.
五、课后作业
1、求函数
y4
x
2
x1
1
的值域.



1

2、求函数
y


3



x
2
2x
的值域.
3、求函数
y4
x
2
x1
1
（
0x 1
）的值域.



1

4、求函数
y 


3



x
2
2x
（
0x1
）的值域.

1

5、已知
910390
，求函数
y

4

xx
x1

1

4

2
的值域.

2

x

6、函数
ya
2x
2a
x
1
（
a0< br>且
a1
）在区间
[1,1]
上有最大值14，求
a
的
值.


六、课后反思