人性本善作文-智力测试题

第15讲 解题方法训练－－换元法

换元法是数学中一个非常 重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数
称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂 的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部
分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 < br>换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方
法，对于一 些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事
半功倍的效果，现举例说 明.
换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲
解。
一、自主建构
1.解方程
(x1)5(x1)40
时，我们可以 将x－1看成一个整体，设x－1=y，则原方
程可化为
y5y40
，解得y
1
1
，
y
2
4
．当y=1时，即x－1 =1，解得x=2；当
y=4时，即x－1=4，解得x=5，所以原方程的解为：
x
1
1
，
x
2
5
．则利用这种方法求
得方程(2x51)4(2x5)30
的解为（ ）
A．
x
1
1,x
2
3
B．
x
1
2,x
2
3
C．
x
1
3,x
2
1
D．
x
1
1,x
2
2

2
2．用 换元法解方程
(xx)xx6
时，如果设
xxy
，那么原方程可 变形为
222
2
2
2
（ ）
A．
yy60
B．
yy60
C．
yy60
D．
yy60

3.已知实数x满 足
x
2

2222
111
，那么的值是（ ），
x0x
xx
x
2
A．1或－2 B．－1或2 C．1 D．－2
22
4．已 知
(xy)xy120
，则
xy
的值是 ．
22222
二、应用举例
1.整体换元
22
(a3a2)(a3a4)16.
例1.分解因式：

222
评注：此题还可以设
a3am
，或a3a4m
，或
a3a1m
。运用换元法分解
因式,是将原 多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而
便于分解因式.
2．双换元
2
(bc)4(ca)(ab).
例2．分解因式：







xyxy
3,
例3 解方程组

6

xyx
10
y

1.

10

6








3.均值换元

例4.解方程组









2x3y12,(1)

7x17y97.(2)


说明：本题若按常规设法 ，可设
2x6t
，
3y6t
，此时
x3
tt< br>，
y2
﹒由
23
于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设
2x66t
，
3y66t
，此时
x33t
，
y 22t
，没有出现分类，使运算变得简捷
.
换元的作用：
①
降 次、
②
化分式方程为整式方程、
③
化繁为简。

4.
倒数换元

例
5.
分解因式
a
4







三、形成经验
1.
分解因式
(1)
(a1)(a3)(a5)(a7)15.
(2)





2.解方程(1)
2x
2






7a
3
14a
2
7a1.

(mn)
2
2(1mn)1
.
27
7x20
4. (2).
(x1)(x2)(x3)(x4)3
.
2
x
x


xy18,
3.解方程组: (1)

(2)


x3y23.




x 1y2

3

4
0,(1)

x3y31

.(2)
312

4

4.计算:
1
()(1)(1)()

232006232005










5.解方程组



xyxy
3,




610

(1)
x



y

x



y
(2)

1.
10

6















4

3
10


3x2y2x5 y

52

1


3x2y2x5y

四、直击中考
1. (2013湖北)若抛物线
yxbx c
与x轴只有一个交点，且过点
A(m，n)
，
2
B(m6，n )
.则
n
.

2.（2013山东） 函数y=x
2
+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b
2
﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x
2
+（b
﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4

3. （2013湖北 ）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，
且EF交正方形外 角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来 证明AE=EF，请
叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时， 点F恰好落在抛物线y=﹣x
2
+x+1
上，求此时点F的坐标．

4. （2013河南）如图，抛物线
yxbx c
与直线
y
2
1
x2
交于
C,D
两点 ，其中点
2
7
点
D
的坐标为
(3,)
。点
P
是
y
轴右侧的抛物线上一动点，过点
P
作
PExC在
y
轴上，
2
轴于点
E
，交
CD
于点
F
.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点
P
的横坐标为
m
，当
m
为何值时，以
O,C,P,F
为顶点的 四边形是平行四边形？
请说明理由。
（3）若存在点
P
，使
 PCF45
，请直接写出相应的点
P
的坐标

五、挑战竞赛
1. 母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送 给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康
乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝 康乃馨，1枝百合花，付了16
元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付 元．
2.已知二次函数
y2xbx1
（
b
为常数），当
b
取不同的值时，其图象构成一个“抛物线
系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数 的图象，它们的顶点在一
条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是( )
A.
y2x1
B.
y

六、每周一练
1.已知实数
a,b
满足
a
2
b
2
1
，则
a
4
abb
4
的最小值为 （ ）
2
2
1
2
1
x1
C.
y 4x
2
1
D.
yx
2
1

2
4

9
.
8
abc4
2．已知实数
a,b,c
满足
abc1
，
abc4
,
2

2

2

，
a3a1b3b1c3 c19
A．

. B．0. C．1. D．
则
a
2
b
2
c
2
＝ ．
3.
已知二次函数，当
的两实数根的倒数和小于

时，恒有．求
；关于
x
的方程
1
8
的取值范围．