千言万语还来不及说-致光阴

2．2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与简单表示

1．理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)
3．掌握等差数列的判定方法．(重点)

[基础·初探]
教材整理1 等差数列的含义
阅读教材P
36
～P
37
思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同
一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差
通常用字母 d表示．
(2)符号语言：a
n
＋
1
－a
n
＝d (d为常数，n∈N
*
)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成 等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中
项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列
是等差数列．( )
(2)如果一个无穷数列{a
n
}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等 差数
列．( )
(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．( )

1

(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
(5)方程x
2
＋6x＋1＝0的两根的等差中项为－3.( )
【解析】 (1)×.因为若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些
常数不全相等， 则这个数列就不是等差数列．
(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项 与前一
项的差未必是同一个常数1.
(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列 为等差数列，事实上它
是一类特殊的数列——常数列．
(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
(5)√.设方程x
2
＋6x＋1＝0的两根分别为x
1
，x
2，则x
1
＋x
2
＝－6，所以x
1
，
x
1
＋x
2
x
2
的等差中项为A＝
2
＝－3.故该 说法正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
教材整理2 等差数列的通项公式
阅读教材P
37
思考上面倒数第2行～P
38
，完成下列问题．
1．等差数列的通项公式
以a
1
为首项，d为公差的等差数列{a
n
}的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
2．从函数角度认识等差数列{a
n
}
若数列{a
n
}是 等差数列，首项为a
1
，公差为d，则a
n
＝f(n)＝a
1
＋(n－1)d＝
nd＋(a
1
－d)．
(1)点(n，a
n
)落在直线y＝dx＋(a
1
－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．

1．已知等差数列{a< br>n
}中，首项a
1
＝4，公差d＝－2，则通项公式a
n
＝_ _______.
【解析】 ∵a
1
＝4，d＝－2，
∴a
n
＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
【答案】 6－2n
2．等差数列1，－1，－3，„，－89的项数是________．
【解析】 由等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d，
可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.

2

【答案】 46

[小组合作型]
等差数列的判定与证

明
已知数列{a
n
}的通项公式 a
n
＝pn
2
＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{a
n
}是等差数列？
(2)求证： 对任意实数p和q，数列{a
n
＋
1
－a
n
}是等差数列．
【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明a
n
＋
1
－a
n
为一个常数即可．
【自主解答】 (1)欲使{a
n
}是等差数列， < br>则a
n
＋
1
－a
n
＝[p(n＋1)
2＋q(n＋1)]－(pn
2
＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关
的常数 ，
所以只有2p＝0，
即p＝0时，数列{a
n
}是等差数列．
(2)证明：因为a
n
＋
1
－a
n
＝2pn＋p＋q，
所以a
n
＋
2
－a
n
＋
1
＝2p (n＋1)＋p＋q.
而(a
n
＋
2
－a
n
＋< br>1
)－(a
n
＋
1
－a
n
)＝2p为一个常 数，
所以{a
n
＋
1
－a
n
}是等差数列．

等差数列的判定方法有以下三种：
(1)定义法：a
n
＋
1
－a
n
＝d(常数)(n∈N
*
)⇔{a
n
} 为等差数列；
(2)等差中项法：2a
n
＋
1
＝a
n＋a
n
＋
2
(n∈N
*
)⇔{a
n
} 为等差数列；
(3)通项公式法：a
n
＝an＋b(a，b是常数，n∈N
*
)⇔{a
n
}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
[再练一题]
41
1．已知数列{a
n
}满足a
1
＝4，a
n
＝ 4－(n>1)，记b
n
＝.
a
n
－
1
a
n
－2
(1)求证：数列{b
n
}是等差数列；

3

(2)求数列{a
n
}的通项公式．
11
【解】 (1)证明：b
n
＋
1
－b
n
＝－
a
n
＋
1
－2a
n
－2
＝
11
－
4

a
n
－2


4－
a

－2

n

a
n
1
－
2a
n
－2a
n
－2
a
n
－2
1
＝
2
.
2a
n
－2
＝
＝
11
又b1
＝＝
2
，
a
1
－2
11
∴数列{ b
n
}是首项为
2
，公差为
2
的等差数列．
11 1
(2)由(1)知b
n
＝
2
＋(n－1)×
2
＝
2
n.
1
∵b
n
＝，
a
n
－ 2
12
∴a
n
＝
b
＋2＝
n
＋2. n
2
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
n< br>＋2，
等差中项的应

用
已知数列{x
n
}的 首项x
1
＝3，通项x
n
＝2
n
p＋nq(n∈N
*
，p，q为常数)，
且x
1
，x
4
，x
5
成等差数列，求p，q的值．
【精彩点拨】 将x
1
，x
4
，x
5
用p，q表示出来，由x
1
，x
4
，x
5
成等差数列，
即2x
4
＝x
1
＋x
5
列出关于p ，q的方程组求解．
【自主解答】 由x
1
＝3，得2p＋q＝3，①
又 x
4
＝2
4
p＋4q，x
5
＝2
5
p＋5 q，且x
1
＋x
5
＝2x
4
，得
3＋2
5
p＋5q＝2
5
p＋8q，②
由①②得q＝1，p＝1.


4

a＋c
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝
2
(或2b＝a＋c)，可用来解决等差
数 列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a
n
}为等差数列，可证2a
n
＋
1
＝
a
n
＋a
n
＋
2
(n∈ N
*
)．
[再练一题]
2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差 中项为5，则m与n的等差中
项是________.
【解析】 由m和2n的等差中项为4，则m＋2n＝8，
又由2m和n的等差中项为5，则2m＋n＝10.
两式相加，得m＋n＝6，
m＋n
6
∴m与n的等差中项为
2
＝
2
＝3.
【答案】 3
[探究共研型]
等差数列的通项公式及其应

用
探究1 某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安
装第一盏后，往后每 隔50米安装一盏，试问安装第5盏路灯时距离第一盏路灯
有多少米？你能用第一盏灯为起点和两灯间隔 距离表示第n盏灯的距离吗？
【提示】 设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a
1
，第2盏路灯到第一盏
路灯的距离记为a
2
，
第n盏路灯到第一盏路灯的距离记为a
n
，
则a
1
，a< br>2
，„，a
n
，„构成一个以a
1
＝0为首项，以d＝50为 公差的一个等
差数列．
所以有a
1
＝0，a
2
＝a
1
＋d＝0＋50＝50，
a
3
＝a
2
＋d＝a
1
＋2d＝0＋2×50＝100，
a
4
＝a
3
＋d＝ a
1
＋3d＝0＋3×50＝150，
a
5
＝a
4
＋d＝a
1
＋4d＝0＋4×50＝200，
„
a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝50n－50，

5

所以，第5盏路灯距离第一盏路灯200米，
第n盏路灯距离第一盏路灯(50n－50)米．
探究2 第一届现代奥运会于1896年在 希腊雅典举行，此后每4年举行一
次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴 西里约热内
卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
【提示】 设 第一届的年份为a
1
，第二届的年份为a
2
，„，第n届的年份
为a
n
，则a
1
，a
2
，„，a
n
，„构成一 个以a
1
＝1 896为首项，以d＝4为公差的等
差数列，其通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即a
n
＝4n
＋1 892，由a
n
＝2 016，知4n＋1 892＝2 016，所以n＝31.
故2016年举行的奥运会为第31届． 已知举办的届数也能求出相应的年份，
因为在等差数列的通项公式a
n
＝a
1
＋(n－1)d中，知道其中任何三个量，均可求
得第四个量．
探究3 在等差数列 {a
n
}中，能用a
1
，d两个基本量表示a
n
，那么能否 用{a
n
}
中任意一项a
m
和d表示a
n?

【提示】 由a
n
＝a
1
＋(n－1)d，①
a
m
＝a
1
＋(m－1)d，②
两式相减可得：a
n
－a
m
＝(n－m)d，
则a
n
＝a
m
＋(n－m)d.
(1)在等差数列{a
n
}中，已知a
4
＝7，a
10
＝25，求通项公式an
；
57
(2)已知数列{a
n
}为等差数列，a
3
＝
4
，a
7
＝－
4
，求a
15
的 值．
【精彩点拨】 设出基本量a
1
，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利< br>用等差数列的一般形式a
n
＝a
m
＋(n－m)d求解．
【自主解答】 (1)∵a
4
＝7，a
10
＝25，
< br>a
1
＋3d＝7，

a
1
＝－2，
则

得


a＋9d＝25，d＝3，

1
∴a
n
＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式a
n
＝3n－5(n∈N
*
)．



6

5
a＝

3

4< br>，
(2)法一：由

7
a＝－


7
4
，
5
a＋2d＝


1
4
，
得

7
a＋6d＝－


1
4
，




113
解得a
1
＝
4
，d＝－
4
， 1131

3

∴a
15
＝a
1
＋( 15－1)d＝
4
＋14×

－
4

＝－
4
.

法二：由a
7
＝a
3
＋(7－3)d，
753
即－
4
＝
4
＋4d，解得d＝－
4
，
531

3

∴a
15
＝a
3
＋(15－3)d＝
4
＋12×

－
4

＝－< br>4
.


1．应用等差数列的通项公式求a
1
和 d，运用了方程的思想．一般地，可由
a
m
＝a，a
n
＝b， 
a
1
＋m－1d＝a，
得

求出a
1< br>和d，从而确定通项公式．

a
1
＋n－1d＝b，
2 ．若已知等差数列中的任意两项a
m
，a
n
，求通项公式或其它项时，则运用
a
m
＝a
n
＋(m－n)d较为简捷．
[再练一题]
3．－401是不是等差数列－5，－9，－13，„的项？如果是，是第几项？
【解】 由a
1
＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
a
n
＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
由题意知，－401＝－4n－1，
得n＝100，


7

即－401是这个数列的第100项.

1．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
【解析】 ∵a
n
＋
1
－a< br>n
＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{a
n
}是公差为2的等差数列．
【答案】 A
2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为( )
A．a
n
＝2n－5 B．a
n
＝2n－3
C．a
n
＝2n－1 D．a
n
＝2n＋1
【解析】 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，
解得x＝0，
∴a
1
＝x－1＝－1，a
2
＝1，a
3
＝3，
∴d＝2，∴a
n
＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
【答案】 B

3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．
【解析】 设首项为a
1
，公差为d，
由a
3
＝7，a
11
＝－1，
得a
1
＋2d＝7，
a
1
＋10d＝－1，
所以a
1
＝9，d＝－1，

8

则a
7
＝3.
【答案】 3
4．已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________.
【解析】 由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y，①
y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10，②
由①②解得x＝4，y＝7.
【答案】 4,7
5．在等差数列{a
n
}中，
(1)已知a
5
＝－1，a
8
＝2，求a
1
与d；
(2)已知a
1
＋a
6
＝12，a
4
＝7，求a< br>9
.
【解】 (1)由题意，知

a
1
＋5－1d＝－1，


a＋8－1 d＝2，

1

a
1
＝－5，
解得
< br>

d＝1.

a
1
＋a
1
＋6 －1d＝12，
(2)由题意，知


a＋4－1d＝7，

1

a
1
＝1，
解得



d＝2，
∴a
n
＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴a
9
＝2×9－1＝17.






9