事故原因-回首

数列讲义 等差数列的基本性质
等差数列
一、等差数列的定义以及证明方法：
1、定义：若数列{a
n
}中，对于任 意两项a
n
，a
n-1
均有：a
n
-a
n-1=d（d为常数），则数列{a
n
}为
等差数列.
注意一些等差数列的变形形式，如：
11
1
d
（d为常数，此时，数列{}为等差数列）
a
n1
a
n
a
n

11

1


d
(d为常数，此时，数列

为等差数列)
S< br>n1
S
n


S
n


……
2、证明方法：
（1）定义法：若数列{a
n
}中，对于任意两项a
n
，a
n-1
均有：a
n
-a
n-1
=d （d为常数），则数列{a
n
}
为等差数列.
（2）等差中项法：2a
n+1
=a
n
+a
n+2

（3）通项公式法：若数列{a
n
}的通项公式为a
n
=pn+q的 一次函数，则数列{a
n
}为等差数列.
（4）若数列{a
n
}的 前n项和为S
n
=An
2
+Bn，则数列{a
n
}为等差数 列.
【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a
1
，a
2，a
3
，……，a
n
，……，对i=1，2，……，
n-1，该 数列的前i项的最大值记为A
i
，后n
–
i项a
i+1
， a
i+2
，……，a
n
的最小值记为B
i
，d
i< br>=A
i

–B
i
.
(I)设数列{a
n< br>}为3，4，7，1，求d
1
，d
2
，d
3
的值.
(II)设d
1
，d
2
，……，d
n -1
是公差 大于0的等差数列，且d
1
>0，证明：a
1
，a
2
，a< br>3
，……，a
n -1
是等差数列.








- 1 -

数列讲义 等差数列的基本性质
3、等差数列的通项公式：
（1）等差数列的通项公式：a
n
=a
1
+(n-1)d
累加法和逐项法：对于形如
a
n
-a
n-1
=fn
的形式， 我们一般情况下，可以考虑使用逐项
法或者累加法，从而达到求a
n
的目的.

变形形式：
a
n
=a
m
+(n-m)d 由以上公式可以得到：
d
(
)
a
n
a
m< br>
nm
（2）等差数列通项公式的一些性质：
①若实数m,n,p,q满 足：m+n=p+q，则：
a
n
a
m
a
p
a
q
；特别的，若m+n=2p，则：
a
n
a
m
 2a
p
；
②若数列{a
n
}为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列；
③若数列{a
n
}为等差数列，数列{b
n
}为等差数列，则数列{pa< br>n
+qb
n
}还是等差数列；
④当d>0时，{a
n
}为递增数列；当d=0时，数列{a
n
}为常数列；当d<0时，数列{a
n}为递减
数列；
【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】 在等差数列

a
n

中,首项
a
1
0< br>,公差
d0,
若
a
k
a
1
a
2
a
3
a
7
,则
k
=（ ）
A. 22 B. 23 C . 24 D. 25
【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3 】设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
1,S
5
15
，则
a
6
等于 （ ）
A.
8
B.
7
C.
6
D.
5

4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加
S
n
n

n1

nn
aan1dnad


a
1
a
n




111

22

2
（1）在等差数列{an
}中，
S
k
，
S
2k
S
k
，
S
3k
S
2k
成等差数列；或者：
3
S
2k
S
k

S
3k
；
（2）奇偶项问题：
在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m（n,m∈N*）时， 有：S
偶
-S
奇
=md，
S
奇
a
m
；
=
S
偶
a
m1
- 2 -

数列讲义 等差数列的基本性质
如果项数为奇数，即当n=2m+1时，此 时，
S
2m1

a
1
a
2m1



2m1

a
m1
；
2
S
奇
+S
偶
S
奇
m1
，项数n=.
=
S
偶
mS
奇
-S
偶
（3）若两个数列{a
n
}和{b
n
}均为等差数列，其前n项和和前m项和分别为S
n
和T
m
，则有：
a
n
2m1
S
2n1
aS

，当m=n时，则：
n

2n1

b
m
2n1T
2m1
b
n
T
2n1
（ 4）等差数列前n项和的最值问题：
由
S
n
na
1
< br>n

n1

dd

dn
2


a
1


n
以及二次函数的知识可知，当d>0 时，抛物线
222

的开口向上，此时有最小值；当d<0时，抛物线的开口向下， 此时函数有最大值。要注意
的是不管是求最大值还是最小值，都不能忽视一个隐含条件，即：n∈N*.
（5）求绝对值和的两种情况：
情形一、奇偶项交替出现，绝对值数列为等差数列，此时，我 们只要把负号去掉，直接按等
差数列求和即可；
情形二、数列共n项，前m(m和的方法求出数列的和.

a
1,n1
（6）前n项和与a
n
的关系：
a
n



SS,n2
n1

n
【例题2】【2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期末考试，7】已知等差数列
{a
n
}
的前n
项
和为
S
n
，若
a
4
18a< br>5
，则
S
8
=（ )
A.18

B.36

C.54

D.72

【变式训练】【2015届安徽省江南十校高三期末大联考】4．设{a
n
}
是首项为

1
,公差为d(d
2< br>
0)的等差数列，
S
n
为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，则d=
A.-1 B.

111
C. D.
282

【例题3】【2015届河北省邯郸市高三1月质检，17】等差数列< br>
a
n

中，
a
1
1
，公差< br>d0
且
a
2
,a
3
,a
6
成等比 数列，前
n
项的和为
S
n
.
（1） 求
a
n
及
S
n
；
- 3 -

数列讲义 等差数列的基本性质
（2）设
b
n








1
，
T
n
b
1
b
2
b
n
，求
T
n
.
a
n
a
n1
【变式训练】【
2015
届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次 调研考试，
19
】已知数列

a
n

的前
n
项和
S
n


n1

a
n< br>，且
a
2
1
1
．

（
1
）求数列

a
n

的通项公式；

（
2< br>）令
b
n
lna
n
，是否存在
k
(k2 ,kN)
，使得
b
k
、
b
k1
、
b< br>k2
成等比数列．若存在，
求出所有符合条件的
k
值；若不存在，请 说明理由．






【例题
4
】【
2015
届广东省惠州一中（惠州市）高三第三次调研考试，
7
】数列

a
n

，满足
对任意的
nN

，均有
a
n
a
n1
a
n2
为定值．若< br>a
7
2,a
9
3,

a
98
 4
，则数列

a
n

的
前
100
项的和
S
100


A.132 B.299 C.68 D.99
【变式训 练】【2015届山西省山大附中高三12月月考，4】已知等差数列

a
n

且
3

a
3
a
5

2
a
7
a
10
a
13

48< br>，则数列

a
n

的前13项和为
A.24 B.39 C.52 D.104
- 4 -

数列讲义 等差数列的基本性质
【例题 5】【杭州外国语学校2015届高三期中考试（文），20】已知
{a
n
}
是等差数列，公差
n
为
d
，首项
a
1
3
，前
n
项和为
S
n
.令
c
n
(1) S
n
(nN)
,
{c
n
}
的前
20项和
T
20
330
.
数列
{b
n
}
满足
b
n

2(a2)d
n2
2
n 1
，
aR
.
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若
b
n1

b
n
，
nN
，求
a
的 取值范围.









【变式训练】【浙江省深化课程改革协作校 2015届11月期中联考（文），19】
数列

a
n

满足
a
n1
a
n< br>4n3
(nN

)
.
（Ⅰ）若

a
n

是等差数列，求其通项公式；
（Ⅱ）若

a
n

满足
a
1
2
，
S
n
为

a
n

的前
n
项和，求
S
2n1
.










- 5 -

数列讲义 等差数列的基本性质
【课时作业】
1、【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考 试，5】等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
且
a
5
8,S
3
6
， 则
a
9
等于
A.12 B. 8 C.16 D.24
2、【2015届福建省泉州五校高三联考，10】已知函数< br>f

x

cosx,x

0,2

有两个不同
的零点
x
1
,x
2
，且方程f

x

m

m0

有两个不同 的实根
x
3
,x
4
，若把这四个数按从小到
大排列构成等差 数列，则实数
m
＝
1
A.
2

13
B．－ C.
22
D．－
3

2
3、【2015届河北省 邯郸市高三1月质检，10】
已知等差数列

a
n

中，< br>a
1
1
，前10项
的和等于前5的和，若
a
ma
6
0
则
m

A
.10
B
.9
C
.8
D
.2 < br>4、【2015届山西省山大附中高三12月月考，4】已知等差数列

a
n< br>
且
3

a
3
a
5

 2

a
7
a
10
a
13

 48
，则数列

a
n

的前13项和为
A.24 B.39 C.52 D.104
5、【2015届 安徽省黄山市高三上学期第一次质量检测，6】等差数列{a
n
}的通项是
a
n
12n
，
前n项和为S
n
，则数列

A．— 45

S
n


的前11项和为

n

B．—50 C．—55 D．—66
6、【2015届福建省泉州五校高三联考，17】
在等差数列

a
n

中，
S
n
为其前n项和
(nN

)
，且
a
2
3,S
4
16

（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n



1
，求数列

b
n

的前
n
项和
T
n
．
a
n
a
n1
- 6 -

数列讲义 等差数列的基本性质


7、【2015届福建省泉州五校高三联考，17】 在等差数列

a
n

中，
S
n
为其前 n项和
(nN

)
，且
a
2
3,S
4
16

（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n









8、【2015届山东省泰安市高三上学期期末考试18】
若数列

a
n

的前n项和为
S
n
，且满 足：
S
n
S
n1
S
n2
6n
2
2nN

.
（I）若数列

a
n

是等差数列，求

a
n

的通项公式.
（II） 若
a
1
a
2
1
，求
S
50
.






1
，求数列

b
n

的前
n
项和
T
n
．
a
n
a
n1





- 7 -

数列讲义 等差数列的基本性质


9、【2015届山东省泰安市高三上学期期末考试，18】
等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，满足：
S
315,a
5
a
9
30.

（I）求
a
n
及S
n
；
（II）数列

b
n

满足
b
n

S
n
n

2

nN


，数列

b
n

的前
n
项和为
T
n
，求证
:T
n
2
.







10、【2015届河北省保定市高三上学期期末考试，18】
已知等差数列
a
n

的前
S
n
项和为
S
n
，
a
1
3,

b
n

为等比 数列，且
b
1
1
，
b
n
0,b
2S
2
10
，
S
5
5b
3
3a
2
,nN

.
（1）求数列

a
n< br>
，

b
n

的通项公式；
（2）求数列

a
n
b
n

的前n项和
T
n
.









- 8 -

数列讲义 等差数列的基本性质



- 9 -