宝葫芦的秘密2-孟子说

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2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 极限
limxsin
x
2x
=
2
x1
.
(2) 微分方程
xy

y0
满足初始条件
y(1) 2
的特解为 ___________.
(3) 设二元函数
zxe
x y
(x1)ln(1y)
，则
dz
(1,0)

_________________.
(4) 设行向量组
(2,1,1,1)
，
(2,1,a,a)
，
(3,2,1,a)
，
(4,3,2,1)
线性相关，且
a1
，则
a
(5) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为
X
, 再从
1,2,,X
中任取一个数，记为
Y
, 则
P{Y2}
= ____________
(6) 设二维随机变量
(X,Y)
的概率分布为

X

Y
0 1
0 0.4
a

1
b
0.1
已知随机事件
{X0}
与
{XY1}
相互独立，则< br>a
= ,
b
=

二、选择题： 7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选 项前的字母填在题后的括号内.
(7) 当
a
取下列哪个值时，函数
f(x )2x9x12xa
恰好有两个不同的零点( )
(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8.

(8) 设
I
1

22
22222
,,
c osxyd

Icos(xy)d

Icos(xy)d

,其中
23


D
32
DD
D{(x,y)x
2
y
2
1}
，则( )
(A)
I
3
I
2
I
1
. (B)
I
1
I
2
I
3
.
(C)
I
2
I
1
I
3
. (D)
I
3
I
1
I
2
.

(9) 设
a
n
0,n1,2,,
若
< br>a
n1

n
发散，

(1)
n1
n1
a
n
收敛，则下列结论正确的是( )
1

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(A)

a
n1


2n1
收敛，

an1

2n
发散 . (B)

a
n1


2n
收敛，

a
n1

2n1
发散.
(C)


(a
n1
2n1
a
2n
)
收敛. (D)

(a
n1
2n1
a
2n
)
收敛.
(10) 设
f(x)xsinxcosx
,下列命题中正确的是( )
(A)
f(0)
是极大值，
f()
是极小值. (B)
f(0)
是极小值，
f()
是极大值.

22
(C)
f(0)
是极大值，
f()
也是极大值. (D)
f(0)
是极小值，
f()
也是极小值.

22

(11) 以下四个命题中，正确的是( )
( A)若
f

(x)
在(0，1)内连续，则
f(x)
在(0 ，1)内有界.
(B)若
f(x)
在(0，1)内连续，则
f(x)< br>在(0，1)内有界.
(C)若
f

(x)
在(0，1 )内有界，则
f(x)
在(0，1)内有界.
(D)若
f(x)
在(0，1)内有界，则
f

(x)
在(0，1)内有界.

(12) 设矩阵
A
=
(a
ij
)
33
满足
A A
，其中
A
是
A
的伴随矩阵，
A
为
A的转置矩阵. 若
*T*T
a
11
,a
12
,a
13
为三个相等的正数，则
a
11
为( )
(A)

(13) 设

1
,

2
是矩阵
A
的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

1
,

2
，则

1
，
3
1
. (B) 3. (C) . (D)
3
3
3
.
A (

1


2
)
线性无关的充分必要条件是( )
(A)

1
0
. (B)

2
0
. (C)

1
0
. (D)

2
0
.

(14) 设 一批零件的长度服从正态分布
N(

,

)
，其中

,

均未知. 现从中随机抽取16个
零件，测得样本均值
x2 0(cm)
，样本标准差
s1(cm)
，则

的置信度为0.90 的置信区
间是( )
2
2
2

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1111
t
0.05
(16),20t
0.05
(16)).
(B)
(20t
0.1
(16),20t
0.1
(16)).

4444
1111
(C)
(20t
0.05
(15), 20t
0.05
(15)).
(D)
(20t
0.1
(15),20t
0.1
(15)).

4444
(A)
(20

三 、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分8分)
求
lim(
x0
1x1
).

1e
x
x

(16)(本题满分8分)
22
yx
2
g
2
g
设
f(u)
具有二阶连续导数， 且
g(x,y)f()yf()
，求
xy.

xy
x
2
y
2

(17)(本题满分9分)
计算二重积分

x
D
2
y
2
1d< br>
，其中
D{(x,y)0x1,0y1}


(18)(本题满分9分)
求幂级数

(
2n1
1) x
n1

1
2n
在区间(-1,1)内的和函数
S(x)
.

(19)(本题满分8分)
设
f(x),g(x)
在[0，1]上的导数连续，且
f(0)0
,
f

(x)0,
g

(x)0
.证明：对任何
a[0,1]
,有

a
0
g(x)f

(x)dx

f( x)g

(x)dxf(a)g(1).

0
1

(20)(本题满分13分)
已知齐次线性方程组

x
1
2x
2
3x
3
0,

(I)
< br>2x
1
3x
2
5x
3
0,
和 (II)

xxax0,
23

1
同解，求
a,b,c
的值.

(21)(本题满分13分)
设
D
x
1
bx
2
cx
3
0,
< br>

2
2xbx(c1)x0,
23

1< br>
A
T

C
C

为正定矩阵，其中
A,B
分别为
m
阶，
n
阶对称矩阵,
C
为
mn
矩阵.

B

3

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
E
(I) 计算
PDP
，其中
P

m

o
T
A
1
C


；
E
n

T1
(II) 利用(I)的结果判断矩阵
BCAC
是否为正定矩阵，并证明你的结论.
(22)(本题满分13分)
设二维随机变量
(X,Y)
的概率密度为

f(x,y)


1,

0 ,
0x1,0y2x,
其他.

求：(I)
(X,Y)< br>的边缘概率密度
f
X
(x),f
Y
(y)
；
(II)
Z2XY
的概率密度
f
Z
(z).

(III)
P{Y

(23)(本题满分13分)
2
设
X
1
,X
2
,,X
n
(n2)
为来自总体< br>N(0,

)
的简单随机样本，其样本均值为
X
，记
11
X}.

22
Y
i
X
i
X,i1,2,,n.

求：(I)
Y
i
的方差
DY
i
,i1,2,,n
；
(II)
Y
1
与
Y
n
的协方差
Cov(Y
1
,Y
n
).

2
2
(III) 若
c(Y
1
Y
n
)
是

的 无偏估计量，求常数
c
.














4

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2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题
(1)【答案】2
【详解】这是一个
0
型未定式，令
t
1
有
x
limxsin
x
2x
lim
2
x1
t 0
sin
2t
1t
2
lim
sin2t
l im
2t
2

t0t0
ttt

(2)【答案】
xy2

【详解】
方法1：观察原微分方程知，
(xy)

xy

y0
，积分得原方程的通解
xyC
，
代入初始条件得
12C
，即
C
=2，故所求特解为
xy2
.
方法2：变量分离法求解.由
xy

y0
，分离变量为
dydx


yx
积分得
lny lnxlnC
，即
y
C
. 去掉绝对值号，认为
C
可取负值，
x
得通解
y
C
.
x
以
y(1)2< br>代入得
C
=2，得特解
xy2
.

(3)【答案】
2edx(e2)dy

【详解】求二元函数偏导数时，可将令一变量暂时看作定值。
对
x
求偏导数(此时
y
为定值)得
对
y
求偏导数(此时
x
为定值)得
z
e
xy
xe
xy
ln(1y)
,
x
zx1
xe
xy

,
y1y< br>于是
z
的全微分为
dz
zzx1
dxdy(e< br>xy
xe
xy
ln(1y))dx(xe
xy
)dy

xyy1
所以，
dz|
(1,0)
2edx(e2)dy
.

(4)【答案】
12

5

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【详解】
方法1：由题设，向量组线性相关，故其组成的行列式为零，有
2111
21aa
321a
4321
1列2列2
3列2列
4列 2列
0
0
10
1
1
12
0
按第1 行展开

1a1a1
a2
2
0
1+2
1 (-1)1
a1a1
1
1
a2

2
12
23
(其中
(1)

2
指数中的1和2分别是
1
所在的行数和列数)
0
1
2
按第1行展开a1a1
1
1
a2
2
3列2列
0
2
a1
1
1
0
a1

1
 1
(a1)(1)
12
1a1
2
121
(a1)[12(a1)]
(a1)(2a1)0

(其中
(1)
得
a1,a
方法2：
指数中的1和2分别是
(a1)
所在的行数和列数)
11
， 但题设
a1
，故
a.

22
234

1行2行2

0012

23

11
3 行2行交换1，行2

的位置

00

4行-2行

1123

12312







0a111

0a111
a12


aa1

0a1a22
 
0a1a22

3

a111



012


002a1

12

2

1
[

1
,

2
,

3
,

4
]


1


1
2

11

4行3行
001



0a11


00a1
3< br>
23

11

1
交换2，行3

0a111

4行3行(a1)

0
的位置
2







00
< br>01

12


1

00a 11

0
11
r[

1
,
2
,

3
,

4
]4,a1
或< br>a
，
a1
不合题意，故
a
.
22

(5)【答案】
13

48
【详解】 由全概率公式：
P {Y2}
=
P{X1}P{Y2X1}
+
P{X2}P{Y2X 2}

+
P{X3}P{Y2X3}
+
P{X4}P{Y2X4}

1
i1,2,3,4
故
X
是等可能取到1,2,3,4，所以< br>P(Xi)
，
X
表示从数1,2,3,4中任取一个数，
4
而
Y
表示从
1,2,,X
中任取一个数，也就是说
Y
是 等可能取到
1,2,,X

6

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也就是说
Y在X
的条件下等可能取值，即
P{Y2X1}0
(
X
取1的条件下，
Y
取2是不可能事件)
1
(
X
取2的条件下，
Y
在1，2等可能取值)
2
1
P{Y2X3}
(
X
取3的条件下，
Y
在1，2，3等可能取值)
3
1
P{Y2X4}
(
X
取4的条件下，
Y
在1，2，3，4等可能取值)
4
P{Y2X2}
故
P{Y2}
=
P{X1 }P{Y2X1}
+
P{X2}P{Y2X2}

+
P{ X3}P{Y2X3}
+
P{X4}P{Y2X4}
(0)

(6)【答案】
a
= 0.4 ,
b
= 0.1
【详解】
方法1：由二维离散型随机变量联合概率分布的性质
14
111
234
13
.

48

p
ij
ij
有
0.4ab0.11
，
1
，
可知
ab0 .5
，又事件
{X0}
与
{XY1}
相互独立，于是由独立的 定义有：
P{X0,XY1}P{X0}P{XY1}
，
而
P{X0,XY1}P{X0,Y1}a


P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}ab0.5

由边缘分布的定义：

P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}0.4a

代入独 立等式，得
a(0.4a)0.5
，解得
a0.4,b0.1
，
方法2：如果把独立性理解为：
P{XY1X0}P{XY1}
(因为独 立，所以
{XY1}
发生与
{X0}
发不发生没有关系)，即
P{Y1|X0}P{XY1}ab0.5;

所以
P{Y0X0}1P{Y1X0}10.50.5
;
因此
P{Y1|X0}P{Y0X0}0.5

上式两边同乘以
P< br>
X0

，有
P{Y1|X0}P

X0< br>
P{Y0X0}P

X0


7

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由乘法公式：P(AB)P(A|B)P(B)
，上式即为
P{X0,Y0}P{X0,Y 1}

即
0.4a
. 又因为
ab0.5
，得
b0.1
.

二、选择题
(7)【答案】(C)
【详解】先求出函数的单调区间和极值点，从而利用介值定理判定函数的零点。
2
因 为
f

(x)6x18x12
=
6(x1)(x2)，知可能极值点为
x1,x2
，从而可将
函数划分为3个严格单调区间：
(,1)，f

(x)0
，
f(x)
为严格单调增；
(1,2),f

(x)0
，
f(x)
严格单调减；
(2,),f

(x)0
，
f(x)
严格单调增，
并且
limf(x),limf(x)
.
xx< br>如果
f(x)
恰好有两个零点，则必有
f(1)0
或
f(2 )0
(否则有三个或一个零点)，
解之得
a5
或
a4
. 故应选(B).

(8)【答案】(A)
【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小，利用二重积分性质可比较二重积分大小。
在区域
D{(x,y)x
2
y
2
1}
上，除原点xy0
及边界
xy1
外，有

2 222
x
2
y
2

x
2
y
2

(x
2
y
2
)
2

而在
0u1
内，
cosu
是严格单调减函数，于是
22

cosx
2
y
2
c os(xy)

cos(xy)

222
因此
22< br>cosxyd



D
22222
cos(x y)d

cos(xy)d

，故应选(A).

DD

(9)【答案】(D)
【详解】

1
n1
方法1：排除法. 取
a
n
< br>，则

a
n
发散，

(1)a
n
收敛，但

a
2n1
与

a
2n
均发< br>n
n1n1n1n1
散，排除(A),(B)选项.

1< br>114n-13n31

2

，因为

发散， 又

(a
2n1
a
2n
)
的通项
2n 12n2n(2n1)4n4n
n1
n
n1

8

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所以

(a
n1

2n1
a
2n
)
发散.故排除(C) , 从而应选(D).

方法2: 将题设收敛的级数

(1)n1
n1
a
n
展开


(1)
n1

n1
a
n
a
1
a
2a
3
a
4
a
5
a
6

L加括号（
a
1
a
2
）

（
a
3
a
4
）

（
a
5
a
6< br>）

L


(a
2n1
a
2n
)

n1
由级数基本性质知，收敛级数可以任意添加括号，故应选(D).

(10)【答案】(B)
【详解】先求出函数的驻点，再判定极值。
f

(x)sinxxcosxsinxxcosx
，
显 然
f

(0)0,f

()0
，所以
x0, x


22
为驻点。
又
f

(x) cosxxsinx
，且
f

(0)10,f

()

22
0
，
故
f(0)
是极小值，
f()
是极大值，故应选(B).

2

(11)【答案】(C)
【详解】
方法1：排除法：设
f(x)
11
, 则
f(x)
及f

(x)
2
均在
(0,1)
内连续，但
f(x)
在
(0,1)
xx
x
在
(0,1)
内有界 ，但
f

(x)
内无界，排除(A)、(B); 又
f(x)
界，排除(D). 故应选(C).
1
2x
在
(0,1)
内无
方法2：论证法. 如果
f

(x)
在区间
(0,1)
内有界，则对于正数
M
，使
(0,1)
内的一切
x
，有
f

(x)M
. 在
(0,1)
内取定点
x0
，则对于任意
x(0,1)
有
f(x)f(x
0
)f

(

)(xx
0
),

( 0,1)
(拉格朗日中值定理)
于是
f(x)f(x
0
)f

(

)xx
0
f(x
0)M
，
所以
f(x)
在
(0,1)
内有界.

(12)【答案】(A)
【详解】
9

BatchDoc-Word文档批量处理工具

A
11< br>
*
由
AA
12


A

13
A
21
A
22
A
23
A
31

a
11

A
32



a
12

A
33


a
13
a
21
a
22
a
23
a
31

< br>a
32

A
T
，(矩阵相等，则对应元素都相等)有
a
33


a
ij
A
ij
,i,j 1,2,3
，其中
A
ij
为
a
ij
的代数余子式，
又由
AA
*
AA
T
AE
，矩阵乘积的行列式等 于行列式的乘积，
A

AE



A
A


，故
AE
A


2
A
A
A
，故
3
AA
T
AA
T
AAAAEA
AAA0
或
A1

而
2222
a
12
a
13
3a
11
0，于是
A1
，即
Aa
11
A
11
a12
A
12
a
13
A
13
a
11
3
23
2
3a
11
1,a
11
3
1
.
故正确选项为(A).
,a
11
是正数，故
a
11

3
3

(13)【答案】(D)
【详解】
方法1：利用线性无关的定义

1
,

2
分别是特征值

1
,

2
对应的特征向量，根 据特征值、特征向量的定义，有
A

1


1
< br>1
,A

2


2

2
 A(

1


2
)

1
1


2

2
。
设有数
k
1
,k
2
，使得
k
1

1
k
2
A(

1


2
)0
，则
k
1

1
k
2

1

1
k
2

2

2
0
(k
1
 k
2

1
)

1
k
2

2

2
0
.
因

1

< br>2
，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故

1
,
< br>2
线性无关，则

k
1
k
2

1
0,


k
2

2
0.
当
1

1
0

2


2
0
时，方程只 有零解，则
k
1
0,k
2
0
，此时

1
，
A(

1


2
)
线性无关；反过来，若

1
，
A(

1


2
)
线性无关，则必然有

2
0
(否则，
1
与
A(

1


2
)< br>=

1

1
线性相关)，故应选(D).
方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式
10

BatchDoc-Word文档批量处理工具

1
,
2
分别是特征值

1
,

2
对应的 特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有
A

1


1

1
,A

2


2

2
A(

1


2
)

1< br>
1


2

2
。

1

1

由于


1,A(

1


2
)




1
,


，
11

2

2




1
,
2


0


2

因
1


2
，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知
1
,

2
线性无关. 若

1
，
A(

1


2
)
线性无关，则
r


1
,A(

1


2
)

2
，则


1

1



1

1



1

1


2r



1
,
< br>2



min

r

1
,

2

,r


r

2
，
0

0

0



2



2



2


故
2r

1

1
1

1

1

1

，从而，从而< br>2r2

2
0


0

2

0

2

0

2
若
1

1

1

1


2
0
，则
r

2
，又
1
,

2
线性无关，则
0

2
0< br>

2



1

1
< br>

1

1

r


< br>1
,

2


r


 
2
，

0

2


0

2


则


1
< br>1


r


1
,A(

1


2
)

r



1
,

2



2

0< br>

2


从而

1
，
A(

1


2
)
线性无关的充要条件是
方法3：利用矩阵的秩
1

1
0

2


2
0.
故应选(D).

1
,

2
分别是特征值

1
,

2
对应的特征向量，根据特 征值、特征向量的定义，有
A

1


1

1
,A

2


2

2
A(

1


2
)

1

1


2

2
。
因

1


2
，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故

1
,

2
线性无关，又
A(

1

2
)

1

1


2
< br>2
，故

1
，
A(

1


2
)
线性无关
r(

1
,A(
1


2
))2

又因为


1
,

1

1


2

2

将

1
的-

1
倍加到第2列



1
,

2

2


则
r(

1
,

1

1


2

2
)r(

1
,

2

2
)2

2
0< br>(若

2
0
，与
r(

1
,
2

2
)2
矛盾)
方法4：利用线性齐次方程组
11

BatchDoc-Word文档批量处理工具

1
,

2
分别是特征值

1
,

2
对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有
A

1


1

1
,A

2

2

2
A(

1


2
) 

1

1


2

2
。
由

1


2
，因不同特征值对应的特征向量 必线性无关，故

1
,

2
线性无关，

1
,A(

1


2
)
线性无关 

1
,

1

1

2

2
线性无关


1
,
11


2

2
0
，

1

1




1
,



11


2

2



1
,

2


11
< br>
2

2

X0
只有零解，又


1
,

0


2


1

1

x
1



1
,

2


0
只有零解

0

2

x
2


1

1

x
1




1,

2
线性无关时


1
,

2

Y0
只有零解，故
Y

0
，只 有零解，
0

x

2

2


1

1

x
1


Y

0
的系数矩阵是个可逆矩阵，

0

2
x
2


1

1
0
< br>2


2
0
，故应选(D)
方法5：由

1


2
，

1
,

2
线性无关

1
,

2
分别是特征值

1
,

2
对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有
A

1


1

1
,A
2


2

2
A(

1


2
)

1

1


2

2
。
向量组

I

:
< br>1
,

2
和向量组

II

:
1
,A(

1


2
)

11


2

2
. 显然向量组
< br>II

可
以由向量组

I

线性表出；当< br>
2
0
时，不论

1
的取值如何，向量组

I

可以由向量组

II

线性表出

1


1
，

2
(
1

11

1
)(

1

1


2

2
)
1

1
A(

1


2
)
，

2

2

2

2
从而
I

，

II

是等价向量组

当< br>
2
0
时，
r


1
,

2

r


1
,

11< br>

2

2

2

12

BatchDoc-Word文档批量处理工具

(14)【答案】 C
【详解】由题设随机抽取16个零件，相当于
X
1
,X
2
,L,X
16
为来自总体
N(u,

)
的简单随
机样本，知
X
1
,X
2
,L,X16
相互独立。 由正态总体抽样分布的性质：
N(

,
)
中，当

,

未知时，估计

用统计量t
，
2
2
2
x

~t(n1)
，期望值
u
的置信区间公式
Sn
(x
SS
t

(n1),xt

(n1))

n
2
n
2

其中
t

(n 1)
满足
P

Tt

(n1)

< br>
，
T~t(n1)

2

2

本题中，
n16,x20,S1,

10.900.10,t(n1) t
0.10
(161)t
0.05
(15)

2
x

~t(n1)
， 故

的置信度为0.90的置信区间是：
Sn
(x
即
( 20
SS11
t

(n1),xt

(n1)) (xt

(n1),xt

(n1))
，
n2
n
2
n
2
n
2
11
t
0. 05
(15),20t
0.05
(15)).
故应选(C).
44

三 、解答题
1x1
通分
xx
21e
x
)lim
(15)【详解】
lim(
x 0
1e
x
x0
xx(1e
x
)
洛必达法 则
等价无穷小替换

xx
2
1e
x
lim

x0
x
2


1 2xe
x
lim
x0
2x
洛必达法则

2 e
x
21
3
lim

.

x0
2
2
2

(16)【详解】 由已知条件可得 < br>g

x
（
yy
）（）
x
f

(
y
)y
x
f

(
x
)
y
f

(
y
)f

(
x
)
，
x
2
xy
xxxy
yyx
y y
f

(
x
)

f()f())

()f()
2
yy
x
2
xyy
x
f

()()
x


xxxx
2
xx

2
g

x
2
(
13

BatchDoc-Word文档批量处理工具
2yyy
2
y1x

3
f

()
4
f
 
()f

()

xxxxyy
另一方面我们得到，< br>g1yxxx
f

()f()f

()
,
yxxyyy
g1yxxx

)(f()f()f
())
1yxxxxx
2
x

2
g
yxxy yy

f()f()f()f()


222 3
2
xxyyyyyy
yyy
(
所以
yy
2
xx
2
xy
2
yx
2
x
2 yy

2
g
2

2
g
2y
 

f()f()f()f()f()
==
f().
xy
xyyyxyy
x
2
x
2
xx
x
2
y
2
x
2

(17)【详解】
D
：
xy10
为以
O
为中心半径为1 的圆周，划分
D
如下图为
D
1
与
D
2
.
22

xy1,

22
这时可以去掉绝对值符号
xy1

22


1xy,
22
(x ,y)D
2
(x,y)D
1








方法1：
D
1
D
2

x
2
+y
2
=1

x
D
2
y
2
1d

=

< br>(x
2
y
2
1)dxdy

(x
2
y
2
1)dxdy

D
1
D
2
后一个积分用直角坐标做，

(x< br>D
2
2
y1)dxdy

dx

0< br>2
11
1x
2
(x
2
y
2
1 )dy

3
11
2
2


[(x1) (x1)1x(1-x)]dx

0
33
1
222
11
2222
1
2
22
2
2


[(x)(1x)]dx

xdx

dx

( 1x
2
)dx

000
3333
0
1
3 3

12

121cos2t
24

2
costdt

2
()dt

00
3 3332
121



2
(12cos2tco s
2
2t)dt

334
0
14

BatchDoc-Word文档批量处理工具
121

1 cos4t


2
(12cos2t)dt

334
0
2
121

1cos4t

2
(12cos2t)dt

334
0
22
12 13

21

cos4t


2< br>(2cos2t)dt

0
33422342
1

211

0
.
383438
前一个积分用极坐标做，
11

22
. < br>(1xy)dxdyd

(1r)rdr()d


000
248
D
1
22
1
2

所以

D
x
2
y
2
 1d

=
1


1

+
=
.

3843
8
方法2：由于区域
D
2< br>的边界复杂，计算该积分较麻烦，可以将
D
2
内的函数“扩充”到整个区
域
D
=
D
1
UD
2
，再减去“扩充”的部分，就 简化了运算. 即

(x
D
2
2
y
2
1)d



(x
D
2
y
21)d



(x
2
y
2
1 )d


D
1
D
2
因此

D
x
2
y
2
1d

=
< br>(1x
2
y
2
)d



( x
2
y
2
1)d


D
1
D
1


22< br>2222
+
(1xy)d

(xy1)d


(xy1)d



D
D
12

(1x
2
y
2
)d

+

(x
2
y
2
1)d


D
1
D
由极坐标
11

2
.
(1xy)dxdyd

(1r)rdr()d



00
248
D
1
22
2
0
1< br>2

1
x
3
而

(x y1)d



dy

(xy1)dx

[(y
2
1)x]dy

000
3
0
D
22
11
22
1
1
12y
3
2
1
1
22


[y1]dy

(y)d y[y]

0
3
0
333
0
3
1
所以


D
x
2
y
2
1d
< br>=
2

1

1

=
.

8343
15

BatchDoc- Word文档批量处理工具

11
2n2n
1)x
，
S
1
(x)

x
，
S
2
(x)

x
2n
， (18)【详解】 设
S(x)

(n1
2n1
n1
2n1
n1

11
2n2n
1)x

x

x
2n
S
1
(x)S
2
(x)
，
x(1,1).
则
S(x)

(
n1
2n1
n1
2n1< br>n1

1
2n
1xx
L
x
L


x
n
,x(1,1)
得
由
1 x
n0


S
2
(x)

x
n1

2n
x
2
x

x
=，
x(1,1).

2
1x
n0
2

n

x
2n1
x
2n1
x
2
2 n
)



()



x,< br>另一方面，
(xS
1
(x))

(

2< br>2n12n11x
n1n1n1
x(1,1)
,
因此，由牛顿—莱布尼兹公式，得
t
2
11x
xS
1< br>(x)0S
1
(0)

dtxln
，
x(1,1)

0
1t
2
21x
x
又由于
S
1
(0)0
，故
11x

1 ln,

S
1
(x)

2x1x

0 ,

x1,
x0.

11x1

,

1ln
所以
S( x)S
1
(x)S
2
(x)


2x1x1 x
2

0,


(19)【详解】
方法1：将
a
看成变限. 设
x1,x0
x0.

F(x)

x
0
g(t)f

(t)dt
f(t)g

(t)dtf(x)g(1)
，
0
1
则
F(x)
在[0，1]上的导数连续，并且
F
(x)g(x)f

(x)f

(x)g(1)f
(x)[g(x)g(1)]
，
由
x[0,1]
时，< br>g

(x)0
知
g(x)
是单调递增的，所以
g( x)g(1)0
，又
f

(x)0,

因此
F

(x)0
，即
F(x)
在[0，1]上单调递减.
另一方面
16

BatchDoc- Word文档批量处理工具
F(1)

g(t)f

(t)dt 

0
11
0
f(t)g

(t)dtf(1) g(1)
，
11
00
由分部积分公式

1
0
g(t)f

(t)dt

g(t)df(t)g(t)f( t)

f(t)g

(t)dt

0
1
=
f(1)g(1)
故
F(1)f(1)g(1)

1
0
f(t)g

(t)dt
，
1
0

1
0
f(t)g

(t)dt

f(t)g
< br>(t)dtf(1)g(1)
0
.
因此，
x[0,1]
时，
F(x)F(1)0
，由此可得对任何
a[0,1]
，有 
方法2：
a
0
g(x)f

(x)dx

f(x)g

(x)dxf(a)g(1).

0
a1

a
0
a
g(x)f

(x)dxg(x )f(x)|
0


f(x)g

(x)dx
=< br>f(a)g(a)

f(x)g

(x)dx
，
0
a
0

a
0
g(x)f

(x)dx

f(x)g

(x)dx

0
1
=f(a)g(a)

a
0
f(x)g

(x)dx

f(x)g

(x)dxf(a)g(a)

f(x )g

(x)dx.

0
a
1
1
由于x[0,1]
时，
f

(x)0
，
f(x)
是单调递增的，又由
g

(x)0
，因此当
x[a,1]时
有
f(x)g

(x)f(a)g

(x)
，所以


1
a
f(x)g

(x)dx 

f(a)g

(x)dxf(a)[g(1)g(a)]
，
a
1
从而

a
0
g(x)f

(x)dx

f(x)g

(x)dx
f(a)g(a)f (a)[g(1)g(a)]f(a)g(1).

0
1

(20)【详解】 因方程组(II)的未知量个数3大于方程个数2，从而系数矩阵的秩<未知量的个
数
n
，故方程组(II)有无穷多解，存在基础解系. 因为方程组(I)与(II) 同解，所以方程组(I)也
有无穷多解，存在基础解系，故系数矩阵的秩小于未知量的个数3.
对方程组(I)的系数矩阵，记为
A
，施以初等行变换
2行1行2，< br>1

1

123

3

10
10
行1行
3行2行



01 1



011

，
A23 5



11a


01a 3


00a2


显然
r(A)2
，又
r(A)3
，故
r(A)2
，从而
a2
. 此时，方程组(I)的系数矩阵可化为

101


011





000


得方程组(I)的同解方程组是


x
1
x
3
0
，系数矩阵的秩为2，故基础解系由3 -2=1个线性

x
2
x
3
0
17

BatchDoc-Word文档批量处理工具
无关解向量组成，选
x
3
为自由未知量，取
x
3
1
，得
x
1
1,x
2
1
，故
k(1,1,1),k
为任意常数是方程组(I)的基础解系.
T

1bc0
将方程组 (I)的解
x
1
1,x
2
1,x
3
1< br>代入方程组(II)可得

，解
2

2b(c1) 0
此二元一次方程组得
b1,c2
或
b0,c1.

当
b1,c2
时，方程组(II)变为


x
1x
2
2x
3
0,
，对系数矩阵做初等行变换，有

2x
1
x
2
3x
3
0,
112




213

2行 1行2-1）

112

1行2行

101

2行（

101





011

011

，
011

方程组(II)的同解方程组是

解. < br>
x
1
x
3
0
，与(I)的同解方程组相同，故 此时方程组(I)与(II)同

x
2
x
3
0

x
1
x
3
0,
当
b0,c1
时 ，方程组(II)变为

，对方程组(II)的系数矩阵施以初等行
2x2x0< br>3

2
变换，有

101


2 02


2行1行2

101





000

方程组(II)的同解方程组是
x
1
x
3
0
，此时方程组(I)与(II)的解不相同.
综上 所述，当
a2
,
b1,c2
时，方程组(I)与(II)同解.


E
(21)【详解】 (I) 因为
P

m

O

E
m
A
1
C

T

，所以
P


T1
T
E
n



CA
T1
O


， 因为
A
为对称矩
E
n


T
阵，故
AA
，左右两边取逆，
(A)
T11T
A
1
。 根据可逆矩阵的性质，又有
(A)(A)
，
T
故
(A)A
，故
P

1T1

E
m
T1

CA
O

，所以

E
n


E
m
PDP
=

T1

CA
T
O


A

T
E
n



C

E
m


O
C

B



E
m


O
A
1
C



E
n

C
A

=

T1


OBCAC

O
A
1
C


A

=.


T1

E
n


OBCAC

18

BatchDoc- Word文档批量处理工具
(II)矩阵
BCAC
是正定矩阵.
TTT TTTTTT
TT
故
D
T
D
，又
(P)P，所以
(PDP)PD(P)PDPPDP
，
D
是对称阵，TT
即
P
T
DP
是对称阵，且
A,B
是对称阵 ，故
AA,BB
，又
(C)C
，
(A)A

TT1T1
T1
(BC
T
A
1
C)
T
B
T
(C
T
A
1
C)
T
 BC
T
(A
1
)
T
(C
T
)
T
BC
T
(A
1
)
T
CBC
T
A
1
C

故
BCAC
是对称阵，
因 为
PE
m
E
n
111
，故
P
可 逆，故存在可逆矩阵
P
，使得
T1
O

A

，
PDP

T1

OBCAC

T
根据合同的定义，知
D
和
P
T
DP
合同，根据已知
D
正定，则
D
与单位矩阵合同。根据合同
关系的传递性，有
P
T
DP
也与单位矩 阵合同，故
P
T
DP
正定，根据正定的定义，对任意的
O

O

O

O

TTT

A


Y

O
，恒有

O,Y
PDP

Y

0
，即

O,Y< br>

OBC
T
A
1
C

Y< br>
0


T

又

O,Y


O

A

O
 
O

TT1


O,Y(BCAC)
 
T1



OBCAC

Y

Y

OY
T
(BC
T
A
1
C)YY
T
(BC
T
A
1
C)Y

故对任意的

O
，恒有
Y(BCAC)Y0

根据正定的定义，知
BCAC
为正定矩阵.

(22)【详解】 (I)由边缘密度函数的定义：
f
X
(x)
则关于
X
的边 缘概率密度为：
T1

O


Y

T T1



f(x,y)dy
，
f
Y
(y)



f(x,y)dx

f
X< br>(x)
=



2x


< br>dy,
0x1,

2x,0x1,
f(x,y)dy
=

0
=


其他.


0,其 他.

0,
关于
Y
的边缘概率密度
f
Y
(y)
=




1
dx,0y2,
y
0y2,

y

1,
f(x,y) dx
=


2
=


2
其他.< br>其他.



0,

0,
19

BatchDoc-Word文档批量处理工具
(因为
0x1, 0y2x
，故
x
的取值范围为
y
x1
)
2
(II)由分布函数的定义：
F
Z
(z)P{Zz}P{2XYz}

(1) 当z0
时，
F
Z
(z)P{2XYz}0
(由定义域为
0x1
，
0y2x
，故
2XY0
，则
{2XY0}
是不可能事件)
(2) 当
0z2
时, 如图转换成阴影部分的二重积分
F
Z
(z)P{2XYz}

2
y

y2x

2x-yz

f(x,y)dxdy

z2xy

1
1
2x-yz
2x-z
 
f(x,y)dxdy

D

0
=
1

z
dx

2
dy
=
z
1
2< br>z
;
4
O
z
2

1
x

(3) 当
z2
时，
F
Z
(z)P{2XYz}1.
( 因
X
最大取1，
Y
最小取0，故
2XY
最
大就只 能取到2，所以
2XY2
是必然事件)

0,
z0,

1
所以分布函数为：
F
Z
(z)

zz
2
,0z2,


4
z2.

1,
由密度函数与分布函数的关系：
f(x)F

(x)

1


1z,
0z2,
故所求的概率密度为：
f
Z
(z)

< br>2
其他.


0,
11
P{X,Y}
1 1
22
(III)由条件概率公式：
P{YX}
1
22P{X}
2
11
而
P{X,Y}
2211
x,y
22

1y3
f(x,y)dxdy

dy

dx

()dy

22161
2
0
1
2
y
2
1
2
011
11
P{X}

2
f
X
(x)dx

2
2xdx

00
24
11
P{X ,Y}
3
11
22

16

3
所以
P{YX}
11
224
P{X}
4
2
20

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(23 )【详解】由题设
X
1
,X
2
,,X
n
(n2 )
为来自总体
N(0,

)
的简单随机样本，知
2
X
1
,X
2
,,X
n
(n2)
相互独立，且< br>EX
i
0,DX
i


2
(i1,2, L,n)
，
EX
i
n0

1
n

EXE


X
i


i10

nn

n
i1

n
1< br>n
DX

2

1
n

1

DXD


X
i


2
D(< br>
X
i
)
2

DX
i

n
i1
nn
i1

n
i1

n< br>n
(方差的性质：
D(cX)cDX
,
D(XY)DXDY< br>(
X,Y
独立))
2
EY
i
E(X
i< br>X)EX
i
EX0,i1,2,L,n.

(根据期望的性质：
EcXcEX,E(XY)EXEY
)
11< br>n
(I)
DY
i
D(X
i
X)D[(1)X
i


X
j
]
(由于
X
i
与X
不独立，所以把
X
中含有
nn
j1
ji
X
i
的剔出来，则
X
i
与剩下的就相互独立)
1
2
1
=
(1)DX
i< br>
2
nn
2
(n1)
2

2
< br>2
n1
2
DX
(n1)

=

j
22
nnn
j1
n
ji
(方差的性质：D(cX)cDX
,
D(XY)DXDY
(
X,Y
独立 ))
(II)由协方差的定义：
Cov(Y
1
,Y
n
) E[(Y
1
EY
1
)(Y
n
EY
n
)]
=
E(YY
1n
)
(
EY
i
0
，
i1,2,L,n
)
E[ (X
1
X)(X
n
X)]
=
E(X
1
X
n
X
1
XX
n
XX
2
)

E(X
1
X
n
)E(X
1
X)E(X
n
X)EX
2

又
E(X
1
X
n
)EX
1
EX
n
000
(因
X
1
,X
n
独立)
EXDX(EX)
22

2
n
0

2
n

1
n
1
2
1
n
11
n
2
E(X
1
X)E[< br>
X
1
X
j
]E[X
1

X
1
X
j
]EX
1


EX
1
EX
j

n
j1
nn
j2
nn
j2
21

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11
2

2
2

(DX
1
(EX
1
))0(

0)

nnn
同理
E(X
n
X)

2
n< br>(因
X
1
与X
j
独立
j2,Ln
)
所以
Cov(Y
1
,Y
n
)E(X
1
X
n
)E(X
1
X)E(X
n
X)EX0^
^
2

2
n


2
n

2
n


2
n

(I II)由无偏估计的定义：

若为

的无偏估计，则有
E




2
22
2
故由
c(Y
1< br>Y
n
)
是

的无偏估计量，则
E[c(Y
1
Y
n
)]


2
22
而 < br>E[c(Y
1
Y
n
)]cE[(Y
1
Y
n
)]c

D(Y
1
Y
n
)
< br>E(Y
1
Y
n
)




又
E(Y
1
Y
n
)EY
1
EY
n
000

n1
2
n1
2

2
2n4
2
D(Y
1
Y
n)DY
1
DY
2
2Cov(Y
1
,Y
n
)



2()


nnnn
2
22
故
E[c(Y
1
Yn
)]cE[(Y
1
Y
n
)]c

D( Y
1
Y
n
)

E(Y
1
Y
n
)




=
c
2n4
2
2(n2)
2

c

，
nn
n
2(n2)
2
.

c



2
, 解得
c
2(n2)< br>n
22
由
E[c(Y
1
Y
n
)]

, 得

22