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小学数学解题思路技巧
（三年级用）
第一章 整数的计算
整数的计算，不仅要掌握整数的加、减、乘、除的四则运算，而且还要掌握各种运算定律和性质，更
要掌 握各种计算技巧，只有这样才能快速、准确地求出结果。
§1．1 凑整速求和
［知识要点］
加法的运算定律有：
1．加法的交换律。两个数树相加，交换它们的位置，和不变。
2．加法的结合律。三个数相 加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再
和第一个数相加，它们的和不变。
［范例解析］
例1 计算：8＋23＋44＋92＋56＋77。
分析 如果将此题从头到尾逐项相加，也可得到答案，但不如分组求和相加简单。首先注意到：8＋92 =
100，23＋77 = 100，44＋56 = 100，于是很快就有答案了。
解答 原式 =（8＋92）＋（23＋77）＋（44＋56）
= 100＋100＋100
= 300。
例2 计算：3＋68＋22＋31＋69＋97。
分析 注意到：3＋97 = 100，68＋22 = 90，31＋69 = 100。先分组，再求和。
解答 原式 =（3＋97）＋（68＋22）＋（31＋69）
= 100＋90＋100
= 290。
例3 计算：7＋71＋642＋1025＋3＋975＋358＋29。
分析 此题中7＋3 = 10，71＋29 = 100，642＋358 = 100，1025＋975 = 2000。先分组，再求和。
解答 原式 =（7＋3）＋（71＋29）＋（642＋358）（1025＋975）
= 10＋100＋1000＋2000
= 3110。
例4 计算：1081＋398＋295＋19＋7。
分析 此题除了1081＋19 = 1100外，不好分组凑整了。但我们可以把7拆成2＋5，并注意到398＋2 = 400，
295＋5 = 300，仍可得到快速求解。
解答 原式 =（1081＋19）＋（398＋2）＋（295＋5）
= 1100＋400＋300

= 1800。
例5 计算：8＋98＋998＋9998＋99998。
分析 注意到8 = 2＋2＋2＋2且后面每一数加上2，均可凑整，于是有如下答案。
解答 原式 =（2＋98）＋（2＋998）＋（2＋9998）＋（2＋99998）
= 100＋1000＋10000＋100000
= 111100。
例6 计算：599999＋49998＋3997＋296＋15。
分析 注意到前面4个加数分别加上 1、2、3、4可凑整，而15可拆成1＋2＋3＋4＋5，于是有如下解
答。
解答 原式 =（599999＋1）＋（49998＋2）＋（3997＋3）＋（296＋4）＋5
= 600000＋50000＋4000＋300＋5
= 654305。
说明 以上 三例题不能直接分组凑整，需要事先把某一数拆成若干个加数之和的形式，使之分组凑整，
解题应掌握这 一技巧。
例7 计算：681＋32567＋5460＋29＋7439＋537。
分析 注意到681＋29 = 710，32567＋7439 = 40000＋6，5460＋537 = 5997 = 6000－3，可得解答如下。
解答 原式 =（681＋29）＋（32567＋7439）＋（5460＋537）
= 710＋40000＋6＋6000－3
= 46713。
例8 计算：1994＋1997＋1999＋2004＋2005＋2007。
分析 注意到这6个数与2000比较接近，可把它们都看成2000，然后再考虑每数与2000的关系。
解答 原式 = 2000×6＋（4＋5＋7－6－3－1）
= 12000＋6
= 12003。
说明 这里4、5、7是后面3个数依次比2000多的数；6、3、1分别是前面3个数比2000少的部分。
［思路技巧］
用凑整法速求和，主要是巧妙地运用加法的交换律和结合律，在求若干数的和时 ，先把加数分成若干
组，使每组和是整十、整百、整千、……，再把每组和相加。有时也采取补整或拆零 留整的方法。
［习题精选］1.1
1．19＋23＋81＋32＋68＋77。
2．63＋126＋3458＋542＋874＋2037。
3．178＋322＋99＋95＋106。
4．8＋230＋7634＋579＋87＋2366＋421＋2。
5．8998＋315＋685。
6．299999＋39998＋4997＋596＋67。
7．995＋997＋998＋1004＋1008＋1009。
8．13075＋931＋1064＋2069＋10025＋2036。

§1．2 高斯求和法
［知识要点］
高斯求和，即求相邻两数的差都相等的一列数的和。可以运用下面求和公式：
总和 =（最小数＋最大数）×项数÷2，
其中，项数即加数的个数。
求项数也有公式：
项数=（最大数－最小数）÷公共的差＋1。
［范例解析］
例1 计算：1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20。
分析 注意这些加数有这样一些特点：后一个数比前一个数都大1（差都相等），最小数＋最大数 = 21，
第二小数＋第二大数 = 21……，不难得到此题的简便解法。
解答 方法1 倒过来相加求和。

原式 = 21×20÷2 = 210。
方法1 倒过来相加求和。
原式 =（最小数＋最大数）×项数÷2
=（1＋20）×20÷2
= 210。
例2 计算：2＋4＋6＋8＋……＋48＋50。
解答 原式 =（2＋50）×25÷2
= 52×25÷2
= 26×25 （先除以2，再乘以25）
= 650。
例3 计算：1＋（1＋1×3）＋（1＋2×3）＋（1＋3×3）＋……＋（1＋99×3）。
分析 显然这是一个最小数为1，最大数为298，公共差为3的一列数，易利用公式求和。
解答 原式 =[1＋（1＋3×99）]×100÷2
= 299×100÷2
= 26×25
= 14950。
说明 此题项数（加数个数）为100个，而不是99个。因第一个为1＋0×3，从0到99共100个。
例4 计算：1＋6＋11＋16＋21＋……＋496。
分析 因为6－1 = 5，11－6 = 5，16－11 = 5，……，显然，这是一个最小数为1，最大数为496，公差
为5的一列数：6 = 1＋1×5，11 = 1＋2×5，16 = 1＋3×5，……，496 = 1＋99×5。项数为99＋1 = 100。
解答 项数 =（496－1）÷5＋1 = 100，
原式 =（1＋496）×100÷2
= 497×100÷2
= 24850。
例5 计算：（2＋4＋6＋……＋98＋100）－（1＋3＋5＋……＋99）。

分析 此题按通常思考方式可先分别求和，再求差。
解答 方法一
原式 =（1＋100）×50÷2－（1＋99）×50÷2
= 102×50÷2－100×50÷2
= 102×25－100×25
=（102－100）×25
= 2×25 = 50。
方法二
原式 = 100＋98＋……＋4＋2－1－3－……－9
=（100－99）＋（98－97）＋……＋（4－3）＋（2－1）
=
= 50。
例6 已知一列数：2，5，8，11，……，求这列数前100个数之和。
分析 此列数只告诉前面几个数，先根据前面几个数找出此列数的规律：5－2 = 3，8－5 = 3，11－8 =
3，……，可知这是一个以2为最小数，3为公共差的一列数，第100个数为2＋（100－1）×3 =299，
于是可用公式求和。
解答 根据所给的几个数可知，这是求以2为最小数，3为 公共差的一列数前100个数之和，即求：2＋
（2＋1×3）＋（2＋2×3）＋……＋（2＋99× 3）之和。
原式 =（2＋299）×100÷2
= 301×100÷2
= 30100÷1
= 15050。
［思路技巧］
求一列数的总和，观察这列数 是否具有下面的特点：从第二个数起，后数减前数，差都相等。若具有
这一特点，可用本节高斯求和公式 。不记这个公式也可以，直接利用本节例1的方法Ⅰ。
［习题精选］1.2
1．1＋2＋3＋4＋……＋99＋100。
2．1＋3＋5＋7＋……＋97＋99。
3．3＋（3＋1×4）＋（3＋2×4）＋……＋（3＋99×4）。
4．15＋22＋29＋36＋……＋708。
5．求数列3，8，13，18……前100个数之和。
6．有一个挂钟，一点敲一下，二点 敲二下，……，十二点敲十二下，每半点钟也敲一下，问一昼夜共敲
多少下？
§1．3 减法巧算

［知识要点］
利用减法的性质和改变运算顺序，能使减法运算快速、准确。

公式1 α
公式2 α
公式3 α
公式4 α
－（b＋c）= α－ b － c。
－b － c = α－（b＋c）。
－（b－c）= α－ b ＋ c。
－ b＋c= α－（b－c）。
［范例解析］
例1 改变运算顺序计算：
⑴ 1993＋1478－793； ⑵ 2789－397＋211。
解答 ⑴ 1993＋1478－793
= 1993－793＋1478
= 1200＋1478
= 2678。
⑵ 2789－397＋211
= 2789＋211－397
= 3000－397
= 3000－400＋3
= 2603。
例2 计算：⑴ 8723－（723－189）； ⑵ 1631－128－372。
分析 ⑴式中若 先求括号再求差，运算中要借位，不如先去括号后运算简便。⑵式若按顺序计算也不如
先把两个减数加起 来，再相减简单。
解答 ⑴ 8723－（723－189）
= 8723－723＋189
= 8000＋189
= 8189。
⑵ 1631－128－372
= 1631－（128＋372）
= 1631－500
= 1131。
例3 计算：⑴ 1763－174＋237－226； ⑵ 7763－275－725－763。
分析 注意到⑴ 式中763＋237 = 1000，174＋226 = 400可简算。⑵ 式中7763－763 = 7000，275＋725 =
1000，亦可简算。
解答 ⑴ 1763－174＋237－226
= 1763＋237－（174＋226）
= 2000－400
= 1600。
⑵ 7763－275－725－763
=7763－763－（275＋725）
= 7000－1000
= 6000。
说明 对于含有加、减运算的式子，先仔细观察，才能找到最佳解题方法。
例4 计算：1995－1－2－3－……－50。
分析 此题如果顺次做减法，要算50次，太繁，如果先把这50个减数加起来再减，计算量大为减少。
解答 原式 = 1995－（1＋2＋3＋……＋49＋50）
= 1995－（1＋50）×50÷2
= 1995－51×50÷2

= 1995－1275
= 720。
例5 计算：1996－1994＋1992－1990＋……＋8－6＋4－2。
解答 方法一
原式 =（1996－1994）＋（1992－1990）＋……＋（8－6）＋（4－2）
=
= 2×499
= 299。
方法二
原式 =（1996＋1992＋……＋8＋4）－（1994＋1990＋……＋6＋2）
= 4×（499＋498＋……＋2＋1）－2×（997＋995＋……＋3＋1）
= 4×（499＋1）×499÷2－2×（1＋997）×499÷2
= 998。
说明 方法二是先把加数和减数分别求和再相减。求和中用到§1.2的求和公式。方法二不如方法一简单。
［思路技巧］
减法巧算的技巧有二：一个是适当地添括号与去括号。在“＋”后面添括号或去 括号，括号里的运算
符号不变；在“－”后面添括号或去括号，括号里的运算符号改变；加变减，减变加 。另一个是“凑整”。
这需要敏锐的观察力。
［习题精选］1.3
用简便方法计算：
1．1556－372－128。
2．5131－（1131＋1992）。
3．7234－2292＋766－708。
4．4527－2998－527。
5．7600－1－2－3－4－……－100。
6． 1992－1989＋1986－1983＋……＋12－9＋6－3。
§1．4 乘法巧算

［知识要点］
1．乘法的交换律 α×b = b×α
2．乘法的结合律 α×b×c = （α×b）×c =α×（b×c）
3．乘法对加（减）法的分配律 α×（b＋c） = α×b＋α×c；
α×（b－c） = α×b－α×c
［范例解析］
例1 改变运算顺序计算：

⑴ 128×5； ⑵ 237×15； ⑶ 1235×25； ⑷ 578×50； ⑸ 379×75。
解答 ⑴ 原式 = 64×2×5 = 64×10 = 640
或者 原式 = 128×10÷2 = 1280÷2 = 640。
⑵ 原式 = 237×15×2÷2
= 237×30÷2
= 7110÷2
= 3555。
⑶ 原式 = 1235×25
= 1235×25×4÷4
= 1235×100÷4
= 123500÷4
= 30875。
⑷ 原式 = 578×50
= 578×100÷2
= 57800÷2
= 28900。
⑸ 原式 = 1379×75×4÷4
= 1379×300÷4
= 413700÷4
= 103425。
说明 类似于上面形式的一般形式还有很多，如α×125 = α×1000÷8，α×45 = α×90÷2，α×500
= α×1000÷2，……
例2 利用公式× =α×(α＋1)×100＋b×c（其中b＋c = 10）速算下列各题：
⑴ 15×15； ⑵ 25×25； ⑶ 35×35； ⑷ 45×45；
⑸ 71×79； ⑹ 82×88； ⑺ 53×57； ⑻ 94×96。
解答 ⑴ 原式 = 1×（1＋1）×100＋5×5 = 225。
⑵ 原式 = 2×（2＋1）×100＋5×5 = 625。
⑶ 原式 = 3×（3＋1）×100＋5×5 = 1225。
⑷ 原式 = 4×（4＋1）×100＋5×5 = 2025。
⑸ 原式 = 7×（7＋1）×100＋1×9 = 5609。
⑹ 原式 = 8×（8＋1）×100＋2×8 = 7216。
⑺ 原式 = 5×（5＋1）×100＋3×7 = 3021。
⑻ 原式 = 9×（9＋1）×100＋4×6 = 9024。
说明 满足b＋c = 10条件的两位数相乘 可以用此公式速算。此公式可推广到多位数上去，即a是多位数
也成立。例如，102×108 = 11016，2＋8 = 10，如用公式，原式 = 10×（10＋1）×100＋2×8 = 11016，
两者一致。
例3 用简便方法计算下列各题：
⑴ 231×4×25； ⑵ 8×138×125； ⑶ 25×64×125； ⑷ 404×25。
分析 ⑴ 式中注意到4×25 = 100可先算。⑵ 式中8×125 = 1000，可结合先算。⑶ 中64= 4×8×2再
利用⑴、⑵中技巧。⑷ 式类似于⑶，也可用例1的技巧计算。
解答 ⑴ 原式 = 231×（4＋25）= 231×100 = 23100。
⑵ 原式 = 138×8×125 = 138×1000 = 138000。
⑶ 原式 = 25×4×2×8×125 = 100×2×1000 = 200000。
⑷ 原式 = 101×4×25 = 101×100 = 10100。或
原式 = 404×100÷4 = 40400÷4 = 10100。

例4 用分配律速算下列各题：
⑴ 423×102； ⑵ 765×98； ⑶ 214×356＋56×214；
⑴ 423×102； ⑵ 765×98； ⑶ 214×356＋56×214。
分析 ⑴、⑵、⑶为一种类型题目：其中 有一乘数与整百相差无几，可以把它写成整百加（减）余额。
⑷、⑸、⑹为分配律公式反过来运用，甚至 多此使用。
解答 ⑴ 原式 = 423×（100＋2）= 423＋100＋423×2 = 42300＋846 = 43146。
⑵ 原式 = 765×（100－2）= 765×100－765×2 = 76500－1530 = 74970。
⑶ 原式 = 214×（356－56）= 214×300 = 64200。
⑷ 原式 = 187×（24＋76）= 187×100 =18700。
⑸ 原式 =（200－1）×（200＋1）= 200×（200＋1）－1×（200＋1）
= 200×200＋200－200－1 = 40000－1 = 39999。
⑹ 原式 =（335＋15）×17－350×10 = 350×17－350×10
= 350×（17－10）= 350×7 = 2450。
说明 应用分配律解题，有时从公式左边 变为右边简单，有时从公式右边变为左边简单，要注意观察分
析。有时可反复使用公式。
［思路技巧］
乘法巧算主要是灵活地运用乘法的交换律、结合律、分配律，特别注意在运算中 凑成1后面带若干个
零的数。例如，2×5 = 10，4×25 = 100，8×125 = 1000，102 = 100＋2，98 = 100－2，……。另外，例2
介绍的个位之和10的两数相乘的简便算法用得也较多。
［习题精选］1.4
用简便方法计算：
1．324×35
2．679×45
3．782×125
4．55×55
5．65×65
6．95×95
7．34×36
8．58×52
9．61×69
10．4×567×25
11．125×96×25
12．524×102
13．301×299
14．3145×19＋3145×81
15．237×113－13×237
第二章 找规律
学数学不仅能提高数 字计算能力，而且还能提高你对问题的观察、分析、推理能力。而观察、分析、推
理能力的提高，要靠经 常性的锻炼。本章从三个方面来训练你的观察、分析、推理的能力。

§2．1 从图形变化中找规律
［知识要点］
从图形变化中找规律，应注意以下几点：
１．图形的整体变化。图形内部及相对位置没有发生变化，如图形按某种规律旋转之类。
２．图形内部及相对位置发生变化。如某种规律变化使一些部件数量发生增加或减少之类。
３．其他特殊变化。如某些点、线段发生变化，颜色发生变化之类。
［范例解析］
例1 顺序观察图2-1中给出图形的变化，安装这种变化规律，在空格中填上应有的图形。
分析 观察所给的图形：第一列都是圆，第二列都是正方形，第三列前两个为三角形，故？处必为三角
形。再观察各行图形的位置变化：第二行为第一行按顺时针方向旋转90°得到，第三行前面两个也是< br>在第二行的基础上按顺时针方向再旋转90°得到，故？处的图形已清楚了。

解答 ？处应填的图形如图2-2。
例2 在图2-3中，找出两个与其他不同的图形。
分析 在同一平面内旋转，图2-3⑴、⑵只是位置不同，图2-3⑶——⑹也只是位置不同，但⑴、 ⑵与⑶
——⑹无论怎样旋转，都不能重合，只有离开平面翻折才能重合。

解答 图2-3⑴、⑵是特殊的，与其余四个图形不同。
例3 找规律。在图2-4中，从（a）、（b）、（c）、（d）、（e）中选出一幅图填入（f）空格内。

分析 在图2-4（f）中，已知三角形底边全在下（即有一顶角下上）， 不可能填（e），其次（f）的三个
图形中小圆圈为空心，故不可能填（d）。（f）的左边两小三角形 为阴影，右边是空白，故空格内必有
一空白三角形。已给（f）的三图形中，斜对角两图形结构相类似， 故应选（a）图。
解答 空格内应为（a）图。

例4 在图2-5中按规律填图。

分析 由图2—5第一行两个图进行分析，当左边的图形变为 右边的图形时，图形外部的圆变为图形下部
的半圆，白色变成阴影，即原图形在形状、位置、颜色三个方 面有变化。左边图形中间的阴影小正方
形，变为右边白色正方形，位置在上半部。
根据上述变 化规律，空白处的图形其下半部分，应由左边大正方形变成，是半个阴影
正方形（长方形）；其上半部应 由左图中小圆变成白色小圆放在长方形之上。
解答 空白处的图形如图2-6所示。
例5 按规律填图：

分析 从图2-7可看出，此题关键变化规律是正方形内小黑点数量上的变化。⑴ 中只有1个，1 = 1×1；
⑵ 中有4个，4 = 2×2；⑷ 中有16个，16 = 4×4；于是不难推出？中有9个小黑点，9 = 3×3，同
时注意排列规则是三行三列。
解答 ⑶ 处图形为图2-8。
例6 观察图2-9中所给图形的变化规律，然后在空白处填上所缺图形。
分析 这是一组“猫”图，共有 三种“猫”，头是三角形，身是圆；头是小圆，身是长方形；头小正方形，
身是三角形，这几种组合固定 不变；其次是“胡子”根数；最后是尾巴形状。

每一行三种猫都出现，所 不同的是“胡子”根数发生变化，“尾巴”形状有变化。“胡子”根数分
别为2、4、6根；“尾巴”有 向左、向右、上卷三种形状，每一行三种情况都出现，于是①的“猫”是
三角形头，圆身子。②的“猫” 形状是小正方形头，三角形身。①应有4根胡子，每边两根，尾巴向
左；②有4根胡子，每边两根，尾巴 向右。

解答 ①②形状为图2-10所示。
［思路技巧］ < br>解答相处图形变化中找规律的问题，主要是善于观察与联想，多采用类比的方法，即从一事物具有某
性质，类似地推断另一事物也具有类似性质。对图形变化的观察，应从整体上看，从内部变化上看，还要
注意特殊变化。
［习题精选］2.1
１．依照图2-11中所给图形的变化规律，在沿空格中填上适当的图形。

２．在图2-12中，找出与众不同的那个图形。

３．在图2-13中，找一下规律，从（a）、（b）、（c）、（d）中选一幅图贴入空格内。

４．在图2-14中，按变化规律填图。

５． 按图2-15的变化规律，空白处的图形应是什么？

§2．2 从数字排列中找规律
［知识要点］
常见的数字排列变化规律如下：
１．呈等差数 列（后一项减前一项，差都相等的一列数，称等差数列）排列。如1，3，5，7，9，……。
２．呈 等比数列（后一项与前一项的商数都相等的一列数，称等比数列）排列。如1，3，9，27，81，……。
３．呈平方排列。如1，4，9，16，……。
４．呈裴波那契排列，即从第三数开始，后一数为前相邻两数之和，如1，1，2，3，5，……。
［范例解析］
例1 观察分析下列各数之间的变化规律，然后填上适当的数：
⑴ 3，5，7，9，______； ⑵ 1，4，9，16，______；
⑶ 1，2，3，5，8，13，______； ⑷ 1，2，4，7，11，______；
⑸ 3，9，27，81，______； ⑹ 3，4，6，10，18，______。
分析 对一列数的变化规律进行分析，一般是顺序对这列数中相邻的两个数或几个数依次进行某种四则
运算，根据运算结果进行比较找出规律。其中相邻两项作差的比较方法是一个行之有效的方法，大多数问题均能得到答案。
⑴ 依次用后一个数减去相邻的前一个数，差都是2：这是一个公差为2的 等差
数列，所以，9后一数应为9＋2 = 11。
⑵ 第一个数为1×1，第二个数为2×2，第三个数为3×3，……于是第5个数为5×5，答案为25。
⑶ 从第三个数开始，3 = 1＋2，5 = 2＋3，8 = 3＋5，……故空格数为前相邻两数之和8＋13 = 21。
⑷ 依次作差：；可知，差成自然数列，故空格处数应为11＋5 = 16。
⑸ 这是一个公比为3的等比数列，从第二个数起，后一数为前一数的3倍。于是答案为81×3 = 243。
⑹ 这个数列比较特殊，既不是等差数列，也不是等比数列，可用作差法进行分析：
；经观察， 差成等比数列，所以，8后为16，空格为18×16 = 34。
解答 ⑴ 11； ⑵ 25； ⑶ 21； ⑷ 16； ⑸ 243； ⑹ 34。
例2 观察下面各列数的变化规律，然后进行填空。
⑴ 11，12，14，______，26，42；
⑵ 3，5，9，17，33，______，129；
⑶ 3，4，10，18，38，74，______；
⑷ 3，6，18，72，360，______；
⑸ 2，3，7，18，______，123，322，……。
解 观察知，上面数列既非等差数列， 又非等比数列。为了找出其变化规律，我们采用作差法分析，将
差写在相应两数之下。
⑴ 对数列作差有：，当？处分别填上4，8时，差成等比数列。于是
空格处应填14＋4 = 8，显然26－18 = 符合规律。

⑵ 对数列作差：。不难看出，数列的差构成一 个等比数列，公比
为2，16后应为32。从而空格处应为33＋32 = 65。检129－65 = 64，符合规律。
⑶ 对数列作差：，对差分析，无法找出规律，作差法失效。再观
察数列中相邻两数的大小关系：4 = 3×2－2，10 = 4×2＋2，18 = 10×2－2，38 = 18×2＋2，……，
不难发现依次呈2倍减2、2倍加2的规律周期性出现。74×2 = 148，148＋2 = 150。
⑷ 对数列作差分析，也不易找出规律，再分析相邻两数的关系：6 = 3×2，18 = 6×3，72 = 18×4，
360 = 72×5，……，不难发现规律，空格应为360×6 = 2160。
⑸ 采用作差放不易找出规律：7 = 2×3＋（3－2），18 = 2×7＋（7－3），空格可能为2×18＋（18
－7）= 47。检验2×47＋（47－18）= 123，符合规律。应填数为47。
说明 当作差法失效时，应改用其它方法，否则无法求解。
例3 观察下列两数组，然后填空：
⑴ （1，5），（2，10），（3，15），（4 ，20），……，则第十个数组是______，第50个数组中两个数的
和是______；
⑵ （1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），……，则第十个数组的第三个数的和是______。
分析 ⑴ 每数组都由两数组成；前一数成自然数列排列，后一数为前一数的5倍。故第十个数组是（ 10，
10×5）=（10，50）。第50个数组是（50，50×5），即（50，250），它们 的和为300。
⑵ 每个数组均由3个数组成，第一个数成自然数列，在每数组里，第二个数为第一个 数的自乘，
第三个数为前两个数相乘的积，于是第十组的三个数分别为10，10×10，10×10× 10，它们的和为10
＋100＋1000 = 1110。
解答 ⑴ （10，50），300； ⑵ 1110。
例4 在下面各图中填上所缺的数：
⑴

⑵


⑶

⑷

分析 ⑴ 1×2 = 2，2×3 = 6，6×4 = 24，24×5 = 120，不难发现，下一数应为120×6 = 720。
⑵ 将图形看成一杆称，两边为重物，中间为重量读数；3＋12 = 15，21＋10 = 31，87＋ ？= 124，

从而 ？= 124－87 = 37。
⑶ 从前两图形可知三角形内两数之和等于三角形外两数之和；5＋12 = 10＋⑦，2＋6 = 3＋⑤，1
＋ ？= 8＋6， ？= 8＋6－1 = 13。
⑷ 前三个图形，上面一行两数为12 = 4×3，21 = 7×3，27 = 9×3，知第一行 ？= 5×3 = 15。再
看每一个的第一列的情况：9 = 4＋5，12 = 7＋5，14 = 9＋5，从而第一列下一数比上一数大5，5
下面为5＋5即为10。下面一行左右两数：5 = 9－4，8 = 12－4，10 = 14－4，从而右下角 ？=10
－4 = 6。
解 ⑴ 720； ⑵ 37； ⑶ 13； ⑷ 见图2-20。

例5 下面是按照一定规律制作的数表，找出规律，并填上所缺的两个数a，b。

分析 观察第二、三四列数，不难发现：0×5＋1 = 1，3×5＋1 = 16，4×5＋1 = 21，从而b = 7×4＋1 =
29，a×7＋1 = 15，所以a = 2。
解 a = 2，b = 29。
例6 观察下面各题中数的变化规律，然后求出各未知数。
⑴

⑵

分析 ⑴ 中可看出，下面两数之和等于上面一数，且下面左数为右数的2倍。B = 63÷（1＋2）= 21，
a = 21×2 = 42。
⑵ 45 = 9×5，60 = 12×5，故左下数为上面数之5倍，从而c = 15×5 = 75。再看下方两数，左数
为右数的3倍，从而d = c÷3 = 75÷3 = 25。
解 ⑴ a = 42，b = 21； ⑵ c = 75，d = 25。
［思路技巧］
解答从数字排列中找规律的问题，也要善于观察、联想、类比，但等差数列与等 比数列是最常见的两
种数列，因此在考察数字排列的规律时，常从第二个数起，用后一个数减前一个数， 看差是否相等，或用
后一个数除以前一个数，看商是否都相等。

［习题精选］2.2
１．找规律填上适当的数：
⑴ 1，4，7，10，13，______；
⑵ 2，6，18，54，162，______；
⑶ 3，5，8，13，21，______；
⑷ 2，3，5，8，12，17，23，______；
⑸ 2，4，8，16，32，……，256，______；
⑹ 1，4，3，6，5，8，______，______；
⑺ 120，60，20，5，______；
⑻ 7，10，9，12，11，14，______。
２．按每组数的规律填数：
⑴
⑵
３．根据图形中数的规律，填上所缺的数：
⑴

⑵

⑶


４．有一 列数：1，3，5，7，11，13，15，17。
⑴ 如果其中缺一个数，这个数是几，它应排在哪个数之后？
⑵ 求补上上面数后这些数的和。
§2．3 从物件排列中找规律
［知识要点］
从物件排列中找到规律是找规律的应用题。解题时应注意下面几点：
１．首先要正确地找出排列中规律；
２．找出每次重复出现的物件的个数；
３．用 总数除以每次重复出现的个数，得到重复出现的次数。对余下物体的规律进行分析，可得到问题

< br>的答案。
［范例解析］
例1 按红、橙、黄、绿、请、蓝、紫的颜色顺序依次连接 彩灯，共用了1996个这样的灯泡装饰会场，问：
⑴ 各种颜色的灯泡各用多少个？⑵ 从后面数起，第100个灯泡是什么颜色？⑶ 晚会过程中，由于进
行某种游戏，关掉了其中的某一串连 续275个灯泡，已知关掉的紫色灯泡有40个，问还有什么颜色的
灯泡也可能被关掉了40个，橙色灯 泡关掉多少个？
分析 每隔7个灯泡重复出现一次，而
1996÷7 = 285……1
于是，根据周期性可得问题之答案
解答 ⑴ 1996÷7 = 285……1
上式说明余下的一个为红灯泡，所以红灯泡用了285＋1 = 286个，而其余各色灯泡各用了
285个。
⑵ 100÷7 = 14……2
所 以，倒数第100个灯泡是倒数第15组的第二个，倒数按红、紫、蓝、青、绿、黄、橙的
顺序排列，故 它的颜色是紫色。
⑶ 因为275÷7 = 39……2
而紫色灯关掉了40个，所以余下 的两个灯泡中必有一个是紫色，另一个灯泡则应是与紫色
灯泡紧挨着的，所以蓝色或红色灯泡也可能会关 掉了40个，其它颜色灯泡肯定只被关掉39个，
故橙色灯泡关掉39个。
说明 ⑵ 也可转化为为从前数第1996－100＋1个即第1897个，而1897÷7 = 271，故从前数第1897个
灯泡必为紫色，从而倒数第100个灯泡为紫色。
例2 一 串珠子（有足够多），按5个黑色珠子，再排4个白色珠子，后面接着又排5个黑色珠子，再排4
个白色 珠子的规律排列，那么第1996个珠子是什么颜色？前1996个珠子中黑珠比白珠多多少个？
解答 1996÷（5＋4）= 221……7
最后7个珠子是5个黑珠子，2个白珠子。所以第1996个为白珠子。
前1996个珠子中 ，黑珠子有221×5＋5个，白珠子有221×4＋2个，而（221×5＋5）－（221×4＋2）
= 224（个），所以，前面1996个珠子中黑珠比白珠多224个。
例3 下面是一串自1开始的连续自然数排成的一个大数：111213……
⑴ 从头数起，第1995个数字是多少？
⑵ 前面1000个数字中，“1”出现了多少次？
解答 如果直接数，不现实，必须找出规律。⑴ 按自然数数位分类数；一位数1—9共9个；二位数 10
—99共90个，共有数字180个，其余1995－180－9 = 1806个数字都是三位自然数组成，1806÷3 =
602，故三位数共有602个，最小一个为100，602＋99 = 701，最后一个为701，所以第1995个数字
是1。
⑵ 1—9中数字“1”出现1次 ，10—19中，“1”出现11次，20—99中数字“1”出现8次，所以1
—99中数字“1”出 现20次。100—199数字“1”出现100＋20 = 120次，200—299中“1”出现了
20次，……所以200-999中数字“1”出现了8×20 = 160次。于是前1000个数字中，“1”出现了
10×20＋100＋1 = 300＋1 =301（次）。

例4 一些黑白珠子按图2-27规律排列。
○○●○○○●○○○●○……
图2—27
如果这些珠子共有50个，问：⑴ 其中共有多少个黑珠子？⑵ 倒数第5个是什么珠子？
解答 ⑴ 去掉前面两个白珠子，还剩下48个，然后每隔4个内有一个黑珠子。48÷4 = 12。所以共有
12个黑珠子。

⑵ 倒数第5个是白珠子。
例5 一串排列很有规律的珠子，两头露在盒子外面（如图2-28），请回答：⑴ 盒子里面有黑、白珠子各
多少粒？⑵ 如果这串珠子后面接着穿47粒，保持原有规律，还需要黑、白珠子各多少粒？

分析 弄清珠子的排列规律，是解题之关键。观察知，珠子排列规律从右到左是
黑白黑白白黑白白白黑……
解答 ⑴ 根据规律知，盒子里面珠子是如下排列的：（白）四白，一黑，六白，一黑五白（白白）。
故4＋6＋5 = 15（粒）。白珠子有15粒，黑珠子2粒。
⑵ 要继续往下串。珠子排列应是：
九白，一黑，十白，一黑，十一白，一黑，十二白，一黑，……
而9＋1＋10＋1＋11＋1＋12＋1＋1 = 47，其中有4粒黑珠子。
所以继续穿47粒，还要4粒黑珠子，47－4 = 43粒白珠子。
［思路技巧］
日出日落，潮起潮落，春夏秋冬，……，客观世界存在大量重复出现的现象，我们称之为周期现象。
“ 星期一”每隔七天出现一次，7就是周期。关于解从物件排列中找规律的问题，特别要注意物件排列的
周 期现象，以及周期是多少。只需了解一个周期内的排列规律，即可掌握整个排列的规律。
［习题精选］2.3
1．有红、白、黑三种纸牌共158张，按先5张红色，再2张白色，再 3张黑色的次序排列下去，最后一
张是什么颜色？
2．在上题的假设下，这158张牌中三色牌各有多少张？
3．由100个数字组成一个一百位数：2857714……共100个数字。问：⑴ 这100个数字中数
字2出现了多少次？⑵ 这100个数字的和是多少？
4．在图2-29中，被挡住的珠子最少有多少个？
●○●○○●○●○○●○ ○●○●○○
图2—29
5．一串珍珠项链，串得很有 规律，一不小心，项链从中间断开掉落了一些珠子，剩下的如图2-30所示，
请问掉在地上的珠子中黑 、白各多少粒？
——○●○●●○●●●○●●●●○●……●○●●●●●●●●○——
图2—30
6．写1~100这100个数，数字“2”写了多少次？
第三章 巧填算式中的数字
巧填数字，也叫虫食问题，即其中有些数字不知道（或称被虫吃掉了），请你根据所 学知识，快速在□
中填上适当的数字，使得算式成立。这类问题趣味性强，类型多样，解题方法也很灵活 ，经常训练，有利
于提高逻辑推理的思维能力，具有助培养敏捷的计算能力。下面分类说明。

§3．1 加法竖式中的数字问题
［知识要点］
在加法竖式填数问题中应注意如下几点：
１．仔细审题找好解答问题的突破口；
２．可以用的数字共有0，1，2，……，9这十个；
３．最高位上数字不能为0，两个数字之和最多进一；
４．当数字填法不唯一时，要一一试验，不要遗漏。
［范例解析］
例１ 在下面各题的空格内，填上适当的数字，使算式成立：

分析 此两题没有运算符号，不要 认为是题错了或印掉了，原题就是这样，因此，首先应根据题意分析
出其运算符号。显然是加法。 先看⑴，两个加数均是三位数，而和为四位数，这说明和中千位上数字为1；竖式中十位数字3
＋7 = 10，但现在和上十位数字为1，这说明个位上数字相加向十位进1，而2只能与8或9相加才能
满 十，所以第二个加数上的个位数字只能为8或9；于是和的个位数字也易填。最后看百位上两数字
之和为 18，其中一个为十位进一 ，故百位上两数字之和为17（18－1），只能为8或9。于是可得⑴
的答案。
⑵ 的分析同上，很多类似。
解 ⑴ 有四个答案：

⑵有唯一答案：

说明 解题要注意答案的完整性，尽可能找出所有答案。
例２ 在下面的空格里填上适当的数，使等式成立：

分析 为了便于思考，设上式为：

将空格换为字母。仍选个位为突破口。⑴ 由A＋2的个位数字为1知，A＋2 = 11，从而A = 9；⑵
考虑十位上数字，1＋C＋1（进位）= 2＋C，不易确定。可接着考虑 百位上的数字，B最大只能为9，现
在和为
DE
，这说明B = 9，D = 1，E = 0；因为十位最多只能向百位进1，因而C = 8或9，于是可得到

本题答案。
解答 此题有两解：

例３ 在空格里填上适当的数，使算式成立：

分析 ⑴ 先考虑个位上三数字之和，鱿鱼9＋9＋9 = 27，8＋7 = 15，分析知个位上三数字之和只能为
18，从而个位上空格应为18－15 = 3；
⑵ 十位上数字不易确定，就先考虑百位上数字，现在知百位上：□＋进位 = □1，知加数百位上
数字为 9，进位数为2，进而推出十位上两数字都为9，和上十位数字为0，于是可得唯一解。
解答 此题有唯一解：

例４ 在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被遮盖住的 几个数字之和（一张纸片盖住一
个数字）：

分析 此种类型的题目与前几例不同 ，没有要求先填空格，而只需求空格里数字之和。此种类型题有两
种方法求解。第一种方法是先填满空格 ，使算式成立，再求和。第二种方法是不填数字，分别分析求
出各加数个位数字之和，十位数字之和，百 位数字之和，…，再把这些和加起来即是。
解 先用方法Ⅰ求解。先填上空格使算式成立（注意填法不唯一，但一般说，数字之和不变）。

⑴ 式中所有加数的数字之和为5＋8＋9＋1 = 23。
⑵ 式中所有加数的数字之和为9×6＋7×3 = 75。
再用方法Ⅱ求解。
⑴ 加数个位数字之和只能为9，不可能进位，十位数字之和只能为14，四个数字之和为14＋9 = 23。
⑵ 加数的个位数字之和如果先考虑，则无法确定是1，还是11或21，这时我们可先考虑最高位上< br>的数字之和。百位上三数字之和最大可能是27（9×3 = 27），另2个为十位上的进位，同理，十 位上
数字之和为27，于是可推出个位上数字之和为21。于是六个数字之和为27＋27＋21 = 75。
说明 此种类型的题目，答案与加数的选择无关，否则，答案不唯一。在此条件下，方法Ⅰ也是可行的。
例５ 把2、4、5、6、9这五个数字分别填入五个方格中，每个方格只能填一个数字，每个数字都要用到，
使三位数与两位数的和最大，最大和是多少？

分析 要使和最大，应从高 位数上分析起，高位上数大，则和就较大，显然加数百位上数字应为9；其
次考虑十位上数字，除了9之 外是6、5，故十位上两数字分别为6、5，最后是个位上数字，只能是4、
2。
解 本题填数有四种填法，答案如下：

最大的和唯一，是1016。
［思路技巧］
填写加法竖式中的数字问题，最关键的地方就是要决定先填哪一个空，找准了突破口，以后就是顺藤摸瓜，一个一个地填下去。如何决定突破口？看哪一竖列的已知数多。如例2，个位竖列有两个已知数，其余竖列最多只已知一个，所以从个位填起。其次注意多解的情况，在例2中填加数的十位时，有两种可能，便形成本例有两解。最后，在例2中以字母代空进行分析，也是好方法。
［习题精选］3.1
１．在空格里填上适当的数，使等式成立：

２．在下列算式的空格内，各填入一个适当的数字，使等式成立，如有多种情况，也列举出来。

３．在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的几个数字之和（一张纸片 盖住一个数
字）。

４．把13、5、7、9这五个数字分别填入五个空格中，每个 方格只能填一个数字，每个数字都要用到，使
三位数与两位数的和最小，最小和是多少？

５．把4、5、6、7、8、9这六个数字分别填到下面方格里去，使这两个三位数和最大，求最大和。

§3．2 减法竖式中的数字问题
［知识要点］
减法是加法的逆运算，与加法有相同的一面，又有不同的一面，解题应注意：
１．审题 ，寻找突破口；
２．借一当十；
３．如有多种情况，不要遗漏。
［范例解析］
例1 在下面各题的空格内，填上适当的数字，使算式成立：

分析 ⑴ 先看个位上数字：□□－7 = 8，显然被减数个位数为5；再看十位数字，因7大于6－1，15
－□ = 7，有减数十位数字为8，差百位数字为1。
⑵ 四位数减三位数得两位数，说明⑵式为：

再看个位数字，□□－6 = 9，推出被减数个位数字为5，8借一个，剩下7，17－□ = 9，得减数十
位数字为8。
解答 ⑴、⑵ 都有唯一答案：

说明 此题可利用被减数 = 减数＋差，将减法转化为某逆运算——加法运算，利用前一节有关知识与
方法求 解。⑴、⑵可分别变为
方便。如下例。
例2 利用转化方法，巧填下列空格：
和求解，应灵活掌握，有时这一 转化可带来

分析 对⑴，已知减数和差，求被减数，可转化为减数＋差 = 被减数求解。
对⑵，已知被减数和差，求减数，可利用被减数－差=减数求解。
解答 ⑴ 可变为，得和为1024。
⑵ 可转化为，得差为984。

故此题答案为：

例3 在下列适当的地方填上数字或运算符号，使竖式成立。

分析 ⑴ 这是一个四位数减去一个三位数，可从低位往高位分析，逐一突破。
（i）差的个位数必为9，因15－6 = 9。
（ii）因6大于5，所以由□□－5－1（借去的1）= 6，知（i）中被减数十位数字为2；
（iii）由15－1（错位1）－□= 6，知□= 8，所以，（i）中减数百位上的苏子为8；
（iv）最后（i）中被被减数千位上数字为8，由□－1（错位1）= 7，□= 8。
⑵ 。不难看出这是加减两种运算竖式连在一起写的。先加后减，为了便于分析，把它们分开写，
有下式

仔细观察发现十位上已有两个9，而第一个加数最高位不能为0，所以第一个加数是91，且 竖式中个
位向十位进1，这样，第二个加数的个位只能是9，和的个位为0。根据加法进位规律可立即得 出余
下三个空格中数字（如下式）。

再分析减法部分（如上右式）。
减法算式个位上已有两个数字，知减数个位为5；又由于差为两位数，知余下三数字全为9。
解答 ⑴、⑵的答案分别如下：

例4 在下面的减法竖式中，把2、4、5、 6、9这五个数分别填在五个方格中，每个方格只能填一个数，
使得此竖式的差最小，最小差是多少？
分析 当被减数最小，减数最大时，差最小。五个数字组成最小三位数为245作被减数，最大两为数 为
96作减数，这时差最小。
解答 当被减数为245，减数为96时，差最小，最小差为149。这时竖式为：

［思路技巧］
填写减法竖式中的数字问题，原则上与填写加法竖式中的数字问 题的思路相同，也可以根据减法是加
法的逆运算，将问题化归为加法来处理。
［习题精选］3.2
１．在下面减法竖式中的空格内，各填入一个合适的数，使算式成立：

２．在下列算式的各空格内，各添入一个合适的数字或符号，使算式成立：

３．在下面的减法竖式中，把2、4、5、6、9这五个数分别填在空格内，使得此算式的差最大，并求 最大
差。

４．用转化法巧求空格内数：

５．已知两个四位数差为8921，则这两个四位数和的最大值是多少？

§3．3 乘除竖式中的数字问题
［知识要点］
总的来说，乘除竖式中的数字问 题要比加减竖式中的数字问题复杂，其中要用到加、减法竖式的技巧，
同时还有其特殊的处理方法，千变 万化，有时还要试验，才能确定出答案，有时答案也不唯一，注意不要
遗漏。
［范例解析］
例1 在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立：

分析 ⑴ 当乘数为6时，由于498×6 = 2988，积小于3000，所以一位乘数至少为7 。可能为7、8、9
中某一个，具体是哪几个，只能进行试验。
① 当乘数为7时，积的个位数为6，并且向十位上进5；于是有□×7＋5（进位）= □7，求出被
乘数十位数字为6；于是积百位上数字为2。
② 当乘数为8时，无解；
③ 当乘数为9时，积个位数为2；被乘数十位上数字应满足□×9＋7 = □7，从而被乘数十位数
字只能为0；
⑵ 由于4□2×2小于1000；4□2×5大于2000，所以乘数只可能为3、4。
① 当乘数为3时，被乘数十位数字须为5；
② 当乘数为4时，无解。
解 ① 有两解：

② 只有一解：

例2 在下面乘法竖式中的空格内，填入适当的数字，使算式成立：

；由c×3的个位数字为7知，分析 ⑴ 为了便于分析，设被乘数三数字分别为a、b、c即三位数
c = 9；由b×3＋2（进位）的个位数字为2知，a = 7，从而知被乘数为739，可得答案。
⑵ 由于积后两数字全为0，因为只有75×4或75×8才会如此，于是乘数可能为4、8。
① 当乘数为4时，被乘数个位数为5，这时积为17100；
② 当乘数为8时，被乘数个位为5时，积为34200。
解 ① 有唯一解：

② 有两解：

例3 在下面算式的空格中，填入合适的数字，使算式成立：

分析 这是一道除数为一位数，并且余数为7的除法竖式， 由于除数大于余数，所以除数只能为8或9。
这是解决问题的关键。
⑴ 除数为8时，为讨论方便，设商为。由竖式知
a×8 = □□。。。。。。①
b×8 = 3□。。。。。。。②
由②式知b = 4，积为32，从而原竖式变为

由①知a = 6或7时，被乘数为519；当a = 7时，被乘数为599，所以这时有两解。
⑵ 当除数为9时，同样设商为。
由于9×b = 3□，知b = 4，从而除式变为

这时a = 6，被乘数为583，其余空格易填出。
解答 本题有如下三个解：

例4 在下面算式的空格中，各填入一个适当的数字，使算式成立：

。依题意有 分析 为了讨论问题方便，设除数为a，商为
a×b = □□。。。。。。①
a×7 = 2□。。。。。。。②
a×c = □0。。。。。。。③
由②知a = 3或4；由③知a≠3，从而a =4。
当a = 4时，b = 5、6或7，c只能为5。
当b = 5时，被除数为2300；其余空格易填出。
当b = 6时，被除数为2700；其余空格易填出。
当b = 7时，无解。
解答 本题有如下两解：

［思路技巧］
填写乘除竖式中的数字问题，除要用到加、减竖 式问题的技巧外，“估计”的技巧也得到广泛的应用。
如例1（1）中，乘数与4□8之积要大于300 0，所以乘数只能是7、8、9，这样，就缩小了试算的范
围。又如例3中，根据除数大于余数，估计出 除数只能是8、9。
［习题精选］3.3
１．在下列竖式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立。

２．在下列竖式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立。



第四章 数字谜
谜语是一种有益于智力的游戏。而数学竞赛中的数字谜 是为了巩固和检查你所学的知识，包括小学阶
段的四则运算，而设立的一种趣味性数学问题，通过数学谜 的解题训练，可以提高学生逻辑思维能力。
目前较常见的数字谜的题型有两种类型：一种是以字母形式 给出的；另一种是以汉字形式给出的。两
种式子大多有某种意义，但不全是这样。同一题目中，相同的字 母或汉字表示同一个数字，不同的字母或
汉字表示不同的数字，解起来有一定的技巧性和一定的难度，也 可说是在上章内容的基础上加了某种限制
条件的填数问题。
§4．1 字母型数字谜
［知识要点］
解字母型数字谜应注意：
１．数字只有0、1、…、9这十个数字，且最高位不能为0；
２．进位要留意，还应大胆试验；
３．相同字母表示相同数字，求出其中某一个，这个字母就全部解决了，这是突破口。

［范例解析］
例１ USA英文意思是美国，USSR表示俄罗斯，PEA CE表示和平。其中的字母都表示数字，相同字母
表示昨天的数字，不同的字母表示不同的数字。已知U SA＋USSR = PEACE。请破译这一算式谜。
分析 为了便于分析，我们把上式写成竖式形式：

⑴这是一个三位数与一个四位数之和，和为一个 五位数，所以U＋S要进一位，U＋1（进位）只能
为10，从而P = 1，E = 0，U = 9，于是上式变为：

⑵ 个位上A＋R = 10，说明向十位进一 ；
⑶ S＋S不能进位，否则S = A，所以S只可能为2、3、4，当S = 2，百位上A= 1与P = 1重复。当
S = 4，C为9与U = 9重复。所以S = 3，A = 2，R = 8，C = 7。
解答 答案为 932＋9338 = 10270。
说明 进位对解题关系很 大，两个数字相加最多向前进一，三个数字相加最多进二。当有重复情况出现
时，应排除掉。
例２ FIVE英文意思是5，TWO是2，ONE是1，EIGHT是8；显示5＋2＋1 = 8；当每一个英文字母代
表一个不同的数字时，请你把英语字母变成数字，使算式成立：

分析 这是两个三位数与一个四位数相加和为五位数的加法算式。
⑴ 因万位为千位进位，所以，E = 1，I = 0否则与E = 1重）；F = 9，因为百位最多只能进一。这时
式子变为：

⑵ 由百位上T＋O要进一，且T = 2＋O，知O = 4、5、6，下面分别讨论。
① 当O = 4时，T = 6，这时G只能为2。但这时V＋W＋N要进二，不可能。
② 当O = 5时，T = 7，式子变为：
由个位可知，无解。

③ 当O = 6时，T = 8，式子变为：

于是，G只能为4或5；当G为4时，余下数字2、3、5、7凑不出V＋W＋N = H，无解。
当G为5时，余下数字2、3、4、由于4＋2＋7 = 13，符合条件。
解答 此题有六解：

例３ 下面题中的字母都代表一个数字，相同的字母代表相 同的数字，不同的字母代表不同的数字，问它
们各代表什么时，算式成立？

分析 因五位数减去四位数为一个四位数，所以C = 1。于是上式变为

从个位分析知，D = 0，于是可推出A = 5，百位上不错位。否则9－A = A无解。这样易推出B = 6，
E = 7。
解答 C = 1，D = 0，E = 7，B = 6，A = 5。算式为

例４ 下列竖式中不同的字母代表0~9中不同的数字，求出使竖式成立的各字母代表的数字。

分析 ⑴ 从千位上分析知，A = B＋1；
⑵ 从个位上看，因为B比A小1，所以C = 9；
⑶ 由于B ≠0，所以，百位上有―A―1 = A，两边加A得－1 = 2A。可见B为单数：1，3，
5，7，，相应有5，6，7，8。满足A = B＋1的仅有A = 8，B = 7。
解答 当A = 8，B = 7，C = 9时竖式成立。竖式为：

［思路技巧］
字母型数字谜问题，本质上是上章第一节 的填数问题，所不同的是，本节在上章基础上加了某种限制
条件，即相同字母表示相同数字。解题时，只 要求出一个，这个字母就全部解决了。突破口常选在首位，
两数字之和最多进一，三数字之和最多进二， 减法问题转化为加法来处理。
［习题精选］4.1
１．下面各题中的字母都代表一个数字， 相同的字母表示同一个数字，不同的字母表示不同的数字，问它

们各代表什么数时，算式 成立？

２．FORTY英文意思是40，TEN英文意思是10，SIXTY英文意思是6 0，下式即40＋10＋10 = 60。问各
字母表示什么数字，算式成立？（相同字母表示相同的数字，不同字母表示不同的数字）。

３．在下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同字母代表不同的数字，求算式：

§4．2 汉字型数字谜
［知识要点］
汉字型数字谜与字母型数字谜 只是形式不同——记号不同，内容一致。解题时应把汉字当数字看待，
不要被其中文意思所干扰。
［范例解析］
例1 下列各式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。 求下列各文字表示什么数字
时式子才成立。

分析 ⑴ 由于“我爱祖国”表示一个四位数，加上一个四位数后，结果还是一个四位数，所以“我” =
1，由于百位上不能进位，所以“祖” = 9；由于个位上“国”加9的个位为1，所以“国” = 2，于
是可推出“爱” = 0。
⑵ ① 由于“华”≠0，“华”＋8 = “赛”，所以“华” = 1，“赛” = 9；
② 个位上“赛”＋2的和为1；
③ 同时考虑十位与千万位上的数字，知道“罗” = 1，2，3。试验知，“罗” = 2，其余不合。
④ 同时考虑百位与百万位上的数字，知“庚” = 3，“学” = 7；
⑤ 同时考虑千位与十万位上的数字，知“金” = 4，“数” = 6；
⑥ 最后万位上数字为“杯” = 5。
解答 ⑴ “我”= 1，“爱”= 0，“祖”= 9，“国”=2。
⑵ “华”= 1，“罗”= 2，“庚”= 3，“金”= 4，“杯”= 5，“数”= 6，“学”= 7，“竞”= 8，“赛”
= 9。

例2 下面竖式中相同的文字表示相同的数 字，不同文字表示不同数字，则下列各式中各文字表示什么数

字时，算式成立：

分析 ⑴ 和的个位数字为5，这说明3ד化”的个位数字为5，从而“化”=5，并且 向十位进一；十
位上3ד文”为8（=9－1），从而“文”= 6；千位上“学”= 1，百位上“学”＋“习”的和为8（9
－1），“习”= 7。
⑵这是中国象棋中的几个棋子。这一题与⑴不同，一个数字也没有，我们必须一步一步分析。
① 个位上，“卒”＋ “卒”的个位是“卒”，这说明“卒”= 0；
② 十位上目前无法确定，就先考虑万位上数字，“车”为两数字和的进位，所以“车”= 1；
③ 这时式子变为
由于百位上进位最多为1，而千位上，“兵”＋“兵”＋□（进位） = 10，这说明百位上
不能进位，且“兵”= 5；从而十位上“马”=4；进一步推出百位上的“炮”=2；否则“跑”
=7，向前进一，矛盾。
解答 ⑴“学”= 1，“习”=7，“文”= 6，“化”= 5。
⑵“车”= 1，“马”=4，“炮”= 2，“兵”= 5，“卒”= 0。式子如下：

例3 每个 汉字代表的数字，应该同时适合两个算式。相同的汉字表示同一数字，不同的汉字表示不同的
数字。请你 想一想，这些汉字表示什么数字？

分析 ⑴ 中表示四位数减去三位数差为三位数，知式中“车”= 1。
⑵ 中差的“卒”显然为0，于是⑴、⑵变为

由（A）式知，十位必向百位借“1”，因为“炮 ”至少取2，这时由百位得到10＋（“马”―1）―
“将”= “将”即9＋“马”= 2ד将”，所以“马”只能为3、5或7。
试验：
① 若“马”= 3，则“将”= 6，算是变为

从（B）知，“帅”大于或等于4。从（A）个位知，“炮”大于或等于5， 且比“帅”大1，
所以“炮”可能为5、8、9，（“炮”不能为7，若“炮”为7，则“帅”为6重复 ）。由（A）
的十位数字知11－“炮”=“士”，炮只能为9，这时“士”为2，“帅”为8，这时（ B）
中“兵”为5，可得答案。
② 若“马”= 5，则“将”= 7，算是变为

从（D）知“帅”比5大，由（C）知，个位上“炮”比7大，所以“炮”= 9 ，“帅”= 8，
这时“士”= 2，可是（D）中“兵”= 7与“将”= 7，重复，故此时无解。
③ 若“马”= 7，则“将”= 8，算是变为

由（F）知“帅”只能取9，这时由（E）知“炮”= 8与“将”= 8重复，故这时无解。
解答 当“车”= 1，“马”= 3，“炮”= 9，“将”= 6，“士”= 2，“帅”= 8，“兵”= 5，“卒”= 0时，两
式同时成立。两式为。

［思路技巧］
只要把一个汉字看成一个字母，其余与§4.1完全一样。
［习题精选］4.2
１．在下面加法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求算式：

２．在下面的各算式中，相同的汉字表示同一数字，不同的汉字表示不同的数字。求出算式：

§4．3 乘除竖式谜
［知识要点］
１．乘除数字谜与做加减数字谜类同，首先要注意审题，指出隐含条件；
２．熟练掌握数字相乘的个位数字之特点；
３．有时要注意数字的奇偶性；
４．注意答案完整，不要漏解。

［范例解析］
例1 在下面的乘法算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式：

分析 ⑴ 这是一个五位数乘以4的积，积还是五位数，故突破口选五位数的最高数位上。由于“我” 字
为4ד学”的个位数字，所以“我”必为偶数，所以“我”= 2；
⑵ 由于4ד学”的个位为2，所以“学”= 8，这时竖式变为

⑶ 被乘数千位上4ד们”不进位，所以“们”= 0或1；又从十位上看4ד数”＋（进位）的个位
为奇数，所以“们”= 1，这时“数”= 7；算式变为：

⑷ 百位上“爱”×4＋3（进位）的个位仍为“爱”，同时向千位进3，所以“爱”= 9。
解答 算式为

例2 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式：

分析 由于个位上“赛”× “赛”的各位数字不是“赛”，所以“赛”字可能为2，3，4，7，8，9。
下面分别试验：
若“赛”= 2，则“好”= 4，不合题意。
若“赛”= 3，则“好”= 9，不合题意。
若“赛”= 4，则“好”= 6，不合题意。
若“赛”= 7，则“好”= 9，由逆运算知被乘数（999999÷7）= 142857，所以“奥”= 1，“林”= 4，
“匹”= 2，“克”= 8，“竞”= 5。
若“赛”为8或9，都无解。
解 算式为

例3 在下面的算式中，相同的字母代表同一数字，不同字母代表不同的数字，求解算式：

分析 由D×D的个位数字为A知D可能为2、3、4、7、8、9，从而A不能大于5。下面试验：
当D = 2时，A = 4，但2×A = 8 ≠ D，无解。
当D = 3时，A = 9，这时积为五位数，无解。
当D = 4时，A = 6＞5，无解。

当D = 7时，A = 9＞5，无解。
当D = 8时，A = 4＜5，积为五位数，无解。
当D = 9时，A = 1，竖式变为

要使B×9不进位只有B = 0，由C×9＋8（进位）的个位数字为0，只有C = 8，检验符合题意。
解答 算式为

例4 下式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，求出这个算式：

分析 先把两位数乘法算式分解成两个一位数乘法算式：

由后一式子知“花”= 1；
由前一式子知个位上“山”ד山”的个位为“山”，知“山”可能为5、6。
试验：① 当“山”= 5时，前一式变为

由此知“果”= 2，可得答案
② 当“山”= 6时，前一式变为

此时“果”无解。
解答 算式为

［思路技巧］
乘除竖式谜问题上本质上就是加了限制条件的乘除竖式填空问题，这 个限制条件就是同一竖式中的
同一个字母（或汉字）代表同一个数字，不同的字母（或汉字）代表不同的 数字，解题要牢记这一点。
另外，乘除较。加减复杂，解题时考虑情况要周全。如例2中，“赛”ד赛 ”=“好”，由此判断“赛”
≠ 0，1，5，6；“赛”可能是2，3 4，7，8，9。因此，每种情况均要考察到。

［习题精选］4.3
１．在下面的每一个算式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，求解下列算式：

２．下面算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式：
新新×春春 = 新年年新
３．下面每一个算式中，相同的字母表示同一 数字，不同的字母表示不同的数字，求这个算式：

第五章 完成算式
本章的内容为第三章、第四章的继续。分多位数乘除法算式的完成、巧填等式、设计算式三部分内容。
§5．1 完成乘除法算式
［知识要点］
多位数乘除法算式是在一位数乘除多位 数的基础上发展而成的，知识内容涉及到一位数除多位数的技巧，
还涉及到竖式加减的问题，其实质是第 三、四章知识的综合，解题应注意知识的综合运用。
［范例解析］
例１ 完成下面乘法算式：

分析 为了便于说明，设被乘数为，乘数为。
⑴ 由于×c = □□，积为两位数，可知c = 1；
⑵ 由于积的个位数字为6，所以ad的个位数 必为6，又由于积为三位数，从而d只能为2，否则积
为四位数；这时a只能为3。
解答 算式为

例２ 把下式中缺的数字补上：

分析 为了便于说明，设被乘数为
⑴ 由
⑵ 由
×7－
，乘数为。
，知b ≠ 0。
×4 = □ 4 0，知b = 5。
由⑴知a = 2，从而推得c = 6，8。经试验知c = 8不合题意，c = 6符合。
解答 乘法算式为

例３ 在下面的乘法算式中，A、B表示不同的数字，求A、B。

分析 由于 第一部分积为188，第二部分积也为三位数，知A、B都不能为1，且不相等两数字乘积是8
的只有如 下几种：
⑴ 2×4；⑵ 2×9；⑶ 3×6；⑷ 4×7；⑸ 6×8。
试验知：24×42，29×92，36×63，68×86都不符合，只有47×74符合，于是A = 4，B = 7。
解答 A = 4，B = 7。
例４ 求出下式中各字母所表示的数字。

分析 关键是寻找问题的突破口。由于加法竖式中未知数较少，可先入手分析。
⑴ 先看加法竖式

知C = 2，F = 6，D = 4，G = 7。
⑵ 由×2 = 18648，知 = 18648÷2 = 9324，从而A = 9，B = 3，C = 2，D = 4。问题可解。
解答 A = 9，B = 3，C = 2，D = 4，E = 8，F = 6， G = 7。
例5 在□内填入适当的数字，使下面乘法竖式成立：

分析 设被乘数为。
由于×9为四位数，所以至少为112。
又由于×8为三位 数，且被乘数与个位及十位的积之和为四位数，所以
不能超过112，综合讨论知， = 112，于是可得解。
解答 竖式为
×8小于900，所以

说明 本题可用如下方法巧解：
因为最大四位数为9999，用9999÷89得整数商112余31，依题 意知被乘数小于或等于112，被乘
数为112时，可得一解；又知当被乘数小于112，为111时， 不合题意，从而被乘数为112时为唯一的
解，其余空格可填。
例6 完成算式：

分析 由最后一步知，此式为从而除数为，商为。可利用逆运算求出被乘数。
被乘数 = 除数×商 = 37×201 = 7437，从而可完成竖式。
解答 算式为

例7 完成算式：

分析 设除数为
由
，商为。
× = □□5。由14□－□□5的差为一位数知a = 2。
= □1，知c = 3，其余可填。 又由27×
解答 算式为

例8 下面算式中，每个□内只能填1、2、3中的某一个，如何填才能使算式成立？

分析 在 被乘数与乘数中，只要其中有一个数字为2或3，最后的积一定有超过3的数出现，所以被乘
数与乘数的 各个数字只能全为1。
解答 算式为：

［思路技巧］
由于多位数乘 除法的竖式的结构比较复杂，因此在解决此类问题时，除注意一位数乘（或除）多位数
的知识外，常以字 母代空，便于分析；常化整为零，以便各个击破。如例3中，由B×A = 8知，B×A的
各种可能情况，一一 验证即得问题答案。又如例4，从竖式中最后的加法入手，使问题迎刃而解。
［习题精选］5.1
１．在下面的竖式中，a、b各表示什么数？并写出竖式：

２．在□内填入适当的数字，使算式成立：

３．在□内填入适当的数字，使算式成立：

４．完成算式：

５．完成算式：

§5．2 巧填等式
［知识要点］
填等式 难度较大。首先要寻找突破口，其次注意变通。当一种天法不合要求时，应及时更换另一种方
法。
［范例解析］
例1 把1~9这九个数字，分别填入下面的□内，每个□只能填一个数字，使各个等式都成立：
□＋□ = □
□－□ = □
□×□ = □
分析 首先寻找突破口。考虑第三式：两数字之积为一位数，知只有2×3，2×4（若出现1，则有重复）。
⑴ 当第三式为：时，余下数字为1、3、5、67、9，这六个数字无法组成两个算式使

（因第二式可转化为此式），故此时无解。
⑵ 当第三式为：时，余下六个数字为1、4、5、7、8、9，由于9 = 4＋5，8 = 1＋7，
可分为两组，可得填法。
解答 在不考虑加法与乘法的运算顺序时，等式可填为（其他填法略）：

例2 将0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字分别填入下面的十个□内，使等式成立：
□＋□ = □
□－□ = □
□×□ = □□
分析 显示数字0 不能出现在①、②中，否则有数字重复。所以0只能出现在③式中，且在③式的右边
个位上，于是③有如 下四种情况：
2×5 = 10；4×5 = 20；6×5 = 30；8×5 = 40，分别试验求解。
若为2×5 = 10，余下的数字无法组成①、②两等式。
若为4×5 = 20，则余下数字为1、3、6、7、8、9，可组成两等式，答案不唯一，如：3＋6 = 9，8
－1 = 7。
若为6×5 = 30，则余下数字无法组成两等式。
若为8×5 = 40，余下数字无法组成两等式。
两等式有如下解。
解答 等式的一种填法如下：

例3 将0、1、2、3、4、5、6这七个数字分别填入下面的七个□内，使等式成立：
□×□ = □□÷□ = □□
分析 为叙述方便，先在不同方格中用不同字母表示：A×B = CD÷E = FG。
由于0的特殊性质，先确定0的填法。A、B、C、D、E、F不能为0，G也不能为0；只能D = 0；
余下C只能填3、4、5、6。
若C = 3，则E只能为2，从而A×B = 15，A、B中至少有一个为3，与C重复，无解。
同样C = 4.5时，无解。
所以C = 6，这时若E填1、2、3，有重复，E填4，60÷4 = 15，剩下无法填，所以E只能填5。
解答 解答为：

或
说明 此题也是一种数字谜型试题，可叙述为：
把0~6的七个数字填入算式中空格内，不同的字母表示不同 的数字，相同的字母表示相同的数字，
使两式同时成立：

例4 把1~9这九个数字分别填入下面算式的空格内，每个空格内只许填一个数字，使每个等式成立：
□＋□－□ = □
□×□÷□ = □□
分析 先从第二式分析起，第二式中 除数不能为5，否则后面结果的个位数不是0就是5，矛盾，

于是除数只能为1、2、3 、4、6。
当除数为1时，可得一种填法8×9÷1 = 72。
余下数3、4、5、6有4＋5－3 = 6。
同样地当除数为3时可求出一解：
6×9÷3 = 18
4＋5－2 = 7
其他答案略。
解答 此题解答不唯一，下面仅给出两种解答：解答为：

或
说明 通过上面例题 我们看到，填竖式与完成算式有相同的思考方法，即先审题，找突破口，逐步试验
求解。在填式过程中， 往往有不同的填法，如果出题人没有要求求出所有解，一般只要找出一种填法
即可，但平时训练时，应尽 可能多找几种答案，以提高分析问题的能力。
［思路技巧］
巧填等式与巧填竖式属于同类型 问题，关键也是选好突破口。如例1，选乘积是个位为突破口；例2
选数0只能填入乘积的个位入手。巧 填等式一般有多个答案，题目不要求多解时，只写一解即可。
［习题精选］5.2
１．将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入下面的七个□内，使等式成立：
□×□ = 3 □
□×□＋9 = □□
２．把175分成四个数的和，然后把这四个数分别填入下面连等式的□内，使连等式成立：
□＋4 = □－4 = □×4 = □÷4
３．在下面各题中的空格中，用3、4、6、7、8、 9这六个数字将空格补齐，每个空格中只填一个数字，
一个数字只能用一次，使等式成立：

４．将1~9这九个数字补填进下面两算式中，使之成立。
○×○ = ○
12＋○－○ = ○

§5．3 巧填运算符号
［知识要点］
填运算符号的题型多种多样，扑克牌中的“24”点”游戏就是其中一种，有些 没有限制条件，四则运
算与括号都可选择使用，有些规定选用其中某几种，答案一般情况也不止一个，一 般没有特殊要求，填出
一种答案就算正确。
［范例解析］
例1 把运算符号＋、－、×、÷中适当的运算符号分别填在下式圆圈中，使两个等式成立：
⑴ 9 ○ 13 ○ 7 = 100； ⑵ 14 ○ 2 ○ 5 = 2。
分析 ⑴ 右边100较大，左边数较小，需考虑用乘法，9×13 = 117，不能凑出100，而13×7 = 91，91
＋9 = 100，可得答案。
⑵ 右边较小，左边大，考虑用除法，14÷2 = 7，而7－5 = 2，可得答案。
解答
例2 在五个5之间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），使下式成立：
5 5 5 5 5 = 6
分析 本题如果用硬凑法来做，也可得出答案，但麻烦，不易找出规律，我们采用逆推法。
如果最后一个5前面添“＋”号，则①式变为：
5 5 5 5 = 1
这样很容易找到几种解法：
（5＋5）÷（5＋5）= 1；5÷5＋5―5 = 1等等。
如果最后一个5前面添“―”号，则①式变为
5 5 5 5 = 11
也容易找到一种添法：
5＋5＋5÷5 = 11
解答 符合题目要求的一些答案有：
（5＋5）÷（5＋5）＋5 = 6
5÷5＋5―5＋5 = 6
5＋5＋5÷5―5 = 6
说明 此题还有其他添法，这里略去。
如果允许某两个5之间不添运算符号，下面一种添法也可以：55÷55＋5 = 6。
例3 在八个8之间的每一个空格上填上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），使下式成立：
8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 = 88。
分析 采用逆推法，从最后一个数字开始假设、逆推。
如果最后一个8前填＋号，这时式子变为讨论8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 = 80，难度较
大，再设上式最后一空格填×号，倒数第二个空格填＋，则上式变为讨论8 □ 8 □ 8 □ 8 □ 8 =
16，如果此式倒数两空格都填＋号，则问题转化为讨论8 □ 8 □ 8 = 0。
显然，，等等。
解答 本题一种填法如下：
8×（8－8）＋8＋8＋8×8＋8 = 88
说明 如果本题改为在八个8之间的合适地方添上 ＋、－、×、÷，使算式结果为88。这说明允许两个

8之间可以添运算符号，也可以不 添，这样相邻的两个或几个数就成为两位数及多位数了。则可有如
下一种答案：
88＋888－888 = 88
例4 在十五个8之间填上适当的运算符号（有些可不填），使结果的1995，即
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1995。
分析 先找一个与1995相接近的数，8×8×8 = 512，再乘以8，积比1995大，而512×4较接近1995。
所以有
（8×8×8）×8×8÷（8＋8）= 512×4 = 2048
这时2048-1995 = 53，剩下的八个8须凑成53，
8 8 8 8 8 8 8 8 = 53
而8×8－8 = 56，故归结为五个8凑出3，
8 8 8 8 8 = 3
而8÷8＋（8＋8）÷8 = 3，于是可得答案。
解答 一种解法如下：
8×8×8×8×8÷（8＋8）－8×8＋8＋8÷8＋（8＋8）÷8 = 1995。
说明 如果允许若干个数字组成多位数，方法更多，下面是此时的一种解法：
8888÷8＋888－（8＋8＋8＋8）÷8＋8－8 = 1995。
例5 只许在下式中填入“＋”或“－”，使算式成立：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100。
分析 此题限制了符号，先凑出接近100的数，123不动，加45，减67得101，余下凑出1。
解答 一种填法如下：
123＋45－67＋8－9 = 100
例6 在下面算式中合适的地方，添上括号，使等式成立。
⑴ 6＋36÷3－2×4－1 = 167；
⑵ 6＋36÷3－2×4－1 = 18。
分析 ⑴ 先计算一下左边的值，显然小了， 应加大，可设法在6＋36÷3－2×4中添入括号，使结果
为167＋1 = 168。加括号试验：（6＋36）÷（3－2）×4 = 168，所以，可得一个解答。
⑵ 等号右边较小，可设法在36÷3－2×4－1中添入括号，使结果为18－6 = 12，即要使：
36÷3－2×4－1 = 12成立。
因为36÷3 = 12，可设法使3－2×4 = 3。
这可由下式得到
（3－2）×（4－1）= 3，可得到一解答。
解答 ⑴、⑵可得如下一种解法：
⑴ （6＋36）÷（3－2）×4－1 = 167。
⑵ 6＋36÷[（3－2）×（4－1）] = 18。
［思路技巧］
解巧填运算符号问题， 常用下述二法：第一种，像做24点游戏一样，“凑”，如例1，“凑”功的形成
在于多练；第二，逆推 法，如例2，每逆推一次即将问题划归到较简单的情况，最后划归为显然的情
况。
［习题精选］5.3
１．从＋、－、×、÷、（）中，挑出合适的运算符号添入下列各式的适当地方，使等式成立。

⑴ 5 5 5 5 5 = 1； ⑵ 5 5 5 5 5 = 2；
⑶ 5 5 5 5 5 = 3； ⑷ 5 5 5 5 5 = 4；
⑸ 5 5 5 5 5 = 5； ⑹ 5 5 5 5 5 = 6。
２．只用＋、－号填到适当位置，使等式成立：
⑴ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 10；
⑵ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 11；
⑶ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 12；
⑷ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 13；
⑸ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 14；
⑹ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 99。
３．从＋、－、×、÷中挑出合适的符号，添入下列算式中合适的地方，使等式成立：
⑴ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 1995；
⑵ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 = 1995。
４．在下面算式合适的地方，添上括号，使等式成立：
⑴ 5＋7×8＋12÷4－2 = 20；
⑵ 6＋36÷3－2×4－1 = 5。
第六章 应用问题
本章介绍几类较简单的应用题及其解决它们的思考方法。
§6．1 植树问题
［知识要点］
植树问题应用很广。像插红旗、安电线杆等问题都可归类于此类。主要涉及三种 量：总距离、间隔长、
棵数。还要分清线路是否封闭，如果不封闭，两头是否植树。解题公式如下：
１．求间隔数：间隔数 = 总距离÷间隔长。
２．求棵数：
间隔数＋1，（不封闭，两头植树）；
棵数 = 间隔数，（封闭）；
间隔数－1，（不封闭，两头不植树）。
［范例解析］
例1 有一堤坝，全长200米，从头到尾沿河边每隔8米种植一棵垂柳，共可种植垂柳多少棵？
分析 这里是一条线，不封闭，且两头要植，棵数为间隔数＋1。
解答 间隔数 = 200÷8 = 25（个）。
由于两头都植树，共应植树25＋1 = 26（棵）。
答：共应植垂柳26棵。
说明 如果两头不植树，共应植垂柳24（25－1）棵。如果只一头植，则共植25棵。
例2 一条乡间公路，全长1000米，路的两边都要从头到尾植河杉，每隔8米一棵，共应植多少棵？
分析 注意这里是两边植，总植树棵数为一边植树棵数的2倍。
解答 一边间隔数 = 1000÷8 = 125（个）。

一边植树125＋1 = 126（棵），所以两边共植河杉252（= 126×2）棵。
答：两边共植河杉252棵。
例3 两座楼之间有288米长的一条通道，通道两边都要栽树，一边栽雪松，间隔8米；另一边栽水杉 ，间
隔6米。水杉比雪松要多栽多少棵？
分析 由于两头为楼房，故两头不能植树。要求水杉比雪松多多少棵，应分别求出两种树各多少棵，再
相减。
解答 288÷8 = 36，288÷6 = 48。
由于两头不能栽树，故可栽雪松35（36－1）棵，可栽水杉47（= 48－1）棵，从而47－35 = 12，
水杉比雪松多栽12棵。
答：水杉比雪松多栽12棵。
例4 某校椭圆形操场，周长是400米，沿此操场周围每隔8米栽一棵国槐，共栽国槐多少棵？
分析 由于操场周围为封闭图形，故间隔数等于棵数。
解答 间隔数 = 400÷8 = 50（个）。
由于是封闭的图形，故棵数 = 间隔数 = 50。
答：一共要栽国槐50棵。
例5 在边长为30米的正方形四周栽桂花树，要求四个角各栽一棵，桂花树之间间隔都为6米，相邻 的两
棵桂花树之间等距离地栽上两棵月季。问⑴ 共可栽桂花树多少棵？⑵ 共可栽月季多少棵？⑶ 每一条边
上桂花树、月季各多少棵？
解答 ⑴ 6米长一段，正方形一周共有30×4÷6 = 20（段）。所以一周共可栽桂花树20棵。
⑵ 由于一段上栽两棵月季，所以一周共可栽月季40（= 20×2）棵。
⑶ 由于每条边可分为30÷6 = 5（段），所以每边可栽桂花树5＋1 = 6（棵），每条边上可栽月季
10（=5×2）棵。
答：共可栽桂花20棵，月季40棵。每边上可栽桂花树6棵，月季10棵。
说明 在求每条边上桂花树棵数时，不能用一周的总段除以边数（20÷4 = 5）来求解因为这样使四角上
的四棵数各多了一次。所以，只能用（20＋4）÷4 = 60来求解。
例6 在一个长方形的四周种柳树，每隔4米种一棵，已知长方形的每条长上可种6棵，每条宽上可种 5
棵，且四角上都要种上树。问：⑴ 长方形的长为多少米？⑵ 长方形的宽为多少米？⑶ 此长方形的周长
我多少米？⑷ 一共可种多少棵？
分析 对于整个长方形来讲，它是一个封闭图形，但对于每条边来说，它不是封闭的，此时，段数 = 棵
数－1。由于每条长上有6棵树，因而有5（= 6－1）段。又每段4米，共有4×5 = 20（米）长。同样，
宽有16（= 4×4），这样就很容易求解了。
解答 ⑴ 长方形的长有5（= 6－1）段，所以长有5×4 = 20（米）。
⑵ 长方形的宽有4（= 5－1）段，所以宽有16（= 4×4）米。
⑶ 长方形的周长为（20＋16）×2 = 72（米）。
⑷ 长方形周长可分为72÷4 = 18（段），由于是封闭图形，所以可种植18棵。
说明 不能用长上的棵数与宽上的棵数相加再乘 以2来求，因为这样四个角上各多算了一棵，应该以（6
＋5）×2－4 =18（棵）来计算。
例7 在一条马路上安排哨兵放哨，原计划每隔8米安排一个哨兵，这样需要26个哨兵，结果总共只 有
21个哨兵，应每隔几米安排一个哨兵？
分析 首先得求出这条马路的长度。“原计划每 隔8米安排一个哨兵”，这说明原计划8米为一段，由于
马路两端都要安排哨兵，故分的段数比人数少1 。这样马路被分为25（=26－1）段。马路长为8×25 =
200（米）。现在只有21个哨兵，这说明马路现在分为20（= 21－1）段，于是很容易求出答案。
解答 ⑴ 原计划分的段数为26－1 = 25（段）。
⑵ 马路全长为8×25 = 200（米）。
⑶ 后来分的段数为21－1 = 20（段
⑷ 后来每段长度为200÷20 = 10（米）。

答：应每隔10米安排一个哨兵。
例8 某公共汽车线路上有甲、乙两个站 ，分别为起点站和终点站。每5分钟发出一辆车，从甲到乙陆续
发出了11辆车，当第11辆车刚发出时 ，第1辆正好到达乙站，汽车每分钟行350米。甲、乙两站相距
多少米？
分析 因为汽车速度都相等，且间隔时间也相同。所以相邻两辆车的距离也相同，即为350×5 = 1750
（米）。由题意知，11辆车均匀分布在甲、乙两站之间（包括甲、乙两站各一辆）。这样甲、乙两站的
距离被11辆车分成10（= 11－1）个相同间隔（相当于植树问题），因此可求出两站间的距离。
解答 ⑴ 11辆车将甲、乙两站间的路线分成11－1 = 10（段）。
⑵ 每段的长度为350×5 = 1750（米）。
⑶ 甲、乙两站的距离为1750×10 =17500（米）。
综合列式计算为350×5×（11－1）= 17500（米）。
答：甲、乙两站相距17500米。
说明 ⑴ 此题还可用另一思路求解：从第一辆车行走 的过程分析，第11辆车出发时，第一辆车走了5
×（11－1）= 50分钟的路程，而且是全程，因此，甲、乙辆站之间记录为350×50 17500（米）。
⑵例 6、例7、例8是植树问题中另一个方面的问题，是前面几题的逆向思维，已知棵数，分情况
算出段数， 再求出相应结果。这种逆向思维的问题也应熟练掌握。
例9 一跟长绳，平均分成若干份，每份长14米，一共剪了9次（每次剪下一份），这条长绳共有多少分
米？
分析 考虑到最后一次，剪下一份剩一份，相当于多剪出一份，故共有9＋1 = 10（份）。于是易求出答
案。
解答 共剪9次，所以共有9＋1 = 10（份），全长为14×10 = 140（米）。
又由于1米 = 10分米，于是140米= 1400分米。
答：这跟长绳共有1400分米。
说明 如果把题目条件“每次剪下一份 ”去掉，则此题答案不唯一，但可以确定这跟长绳至少有1400
分米长。因此可能折叠起来剪，一次剪 下几份。
例10 一座挂钟，从1时到12时，走到几点钟就敲几下。4点钟时，敲4下，用了6秒 ；则12点时敲完
12下用几秒？
分析 典型的错解是（12÷4）×6 = 18（秒） 。究其原因，是理解上的错误所造成。打点相当于植树问
题，打4下只有3个间隔，用6秒，则每个间隔 2秒。打12下，有11个间隔，共花22（= 2×11）秒
钟。
解答 打4下有3个间隔，共用6秒。所以每个间隔6÷3 = 2（秒）。打12下，有12－1 = 11个间隔，
需时间2×11 = 22（秒）。
答：共需22秒钟。
［思路技巧］
解植树问题的关键是求棵数。有三种可能：不封闭两头植树，棵数 = 间隔数＋1；不封闭两头不植树，
棵数 = 间隔数－1；封闭，棵数 = 间隔数。
［习题精选］6.1
１．在一条长448米的路两旁，每隔８米一棵，从头到尾共植树多少棵？。
２．一个池塘周 围长327米，沿塘周围每隔3米栽一棵柳树，每两棵柳树中点栽一棵水杉，池塘周围各栽
了多少棵柳树 和水杉？
３．一块三角形地，三边长分别为132米、174米、246米，要在三边上植树，每隔6 米一棵，三个角上

各有一棵，共植树多少棵？
４．从校门口到商店门口共有3 7根电线杆，相邻两根电线杆距离是50米，从校门口到商店门口的距离是
多少米？
５．将一 段长9米的均匀木头锯成每段1米长的9小段，若每锯断一次要5分钟，最多要锯几次？最多时
间是多少 ？
６．两座挂钟，甲敲完5下的时间乙正好敲完4下，那么甲敲完9下，乙敲几下？
７．从 学校到少年宫共有57根电线杆，每相邻两根电线杆相距50米，某人从学校向少年宫走了1312米，
再向前走到少年宫还有几根电线杆？
§6．2 平均问题
［知识要点］
解题时应掌握如下三个关系式：
１．平均数 = 总和÷数的个数；
２．总和 = 平均数×数的个数；

３．数的个数 ＝ 总和÷平均数。
［范例解析］
例1 求下面两数组的和及平均数：
⑴ 1966，1976，1986，1996，2006；
⑵ 2001，2009，1994，1998，2018。
解答 ⑴ 由于这5个数成等差数列，易看出，其和为1986×5 = 9930，平均数为1986。
⑵ 总和 = 2000×5＋（1＋9－6－2＋18）
=2000×5＋20
= 10020。
平均数为10020÷5 = 2004。
说明 找“标准数”求和是求和中的一种速算方法，尤其是当这些数比较多，且相当不大时，很方便。
例2 小明语文、数学的平均成绩是82分，语文、数学、体育三课的平均分是85分，小明体育得了多少
分？
分析 已知语、数的平均成绩，利用总和 = 平均数×数的个数可求出语、数的总成绩。同样，知道 语、
数、体三科的平均成绩，可求出这三科成绩的总和。两者一减，得到问题的答案。
解答 85×3－82×2 = 91。
答：小明体育得了91分。
例3 某五个数排成一行， 前三个数的平均数为79，后三个数的平均数为83，而这五个数的平均数为81，
求中间一数是多少？
分析 已知前三个数的平均数，可求出前三个数的和；同样已知后三个数的平均数，可求出后三个数的
和，这两个和相加，得到六个数之和，其中五个为所给的五个数，，另一个为中间数多加了一次。六数< br>之和减去这五个数之和，即可求出中间一数。
解答 设五个数分别为α
1
， α
2
，α
3
，α
4
，α
5
。
依题意有：
α
1
＋α
2
＋α
3
= 79×3
α
3
＋α
4
＋α
5
= 79×3 α
1
＋α
2
＋α
3
＋α
4
＋α
5
= 81×5

①＋②－③得 α
3
= 79×3＋83×3－81×5
所以α
3
= 237＋249－405 = 81
答：中间一数为81。
例4 某五个数的平均数为9，如果把其中一个数改为1，那么这五 个数的平均数为7，这个被改动的数原
来应是多少？
分析 已知五个数的平均数，容易求出 这五个数的和。现在已知这五个数中有一个数为1，可以求出其
余未改动四个数之和。再利用原来五个数 之和，减去未改动的四个数之和，可求出答案。
解 原来五个数之和为9×5 = 45；
改动后，五个数之和为7×5 = 35；
去掉改动的一个数1后，未改动四个数之和为35－1 = 34；
这个被改动的数原来是45－34 = 11。
答：被改动的数原来是11。
例5 下面是某组七位同学的某次数学成绩统计表，一不小心，撕破了一块，请你设法把C、D两人成绩
推算出 来。

分析 已知七人平均成绩，可算出这七人成绩总和为82×7，再减去已知五人的成 绩锁得的差即为C、D
成绩之和。由此，可推出所缺的数字。
解答 82×7－69－78－85－87－91 = 164这说明显然
所以C的成绩为76，D的成绩为88。
例6 摩托车驾驶员以每小时40千米的速度行了 120千米，回来时每小时的速度比去时提高了一半，那么，
往返的平均速度是每小时多少千米？
分析 去时花了120÷40 = 3（小时），回来的时候，速度为40＋40÷2 = 60千米小时，所以回来的时间
为120÷60 = 2（小时）。利用公式“平均速度 = 总路程÷总时间”可求出答案。
解 ⑴ 回时速度为40＋40÷2 = 60（千米小时）；
⑵ 回时时间为120÷60 = 2（小时）；
⑶ 去时时间为120÷40 = 3（小时）；
⑷ 平均速度为（120＋120）÷（3＋2）= 48（千米小时）。
答：往返平均速度为每小时48千米。
说明 计算时不要误认为两速度的平均树（40＋60）÷2 = 50就是平均速度。平均速度要按公式“平均
速度 = 总路程÷总时间”来计算。
例7 现有甲、乙、丙三种糖果。甲种1千克，单价为每千克17元；乙种2千克，单价为每千克8元；丙
种3 千克，单价为每千克11元。现在把这三种糖果混合在一起成为什锦糖，问⑴ 这种什锦糖每千克多
少元？⑵ 某人有22元钱，可买这种什锦糖多少千克？
分析 总价钱÷总重量 =平均单价。可先求出总价钱；17×1＋8×2＋11×3 = 66（元）。总重量为1＋2
＋3 = 6（千克）。求出什锦糖的单价，⑵ 就易求了。
解 总价钱：17×1＋8×2＋11×3 = 66（元）；
总重量：1＋2＋3 = 6（千克）；
什锦糖单价：66÷6 = 11（元千克）；
22元可买的数量：22÷11 = 2（千克）。
答：这种什锦糖每千克11元，22元钱可买这种糖2千克。
例8 把99 个自然数1，2，3，…，98，99平均分成3组，并使这三组的平均数相等，那么这三个平均数
的和 是多少？

分析 本题如果沿着命题人的指引先把99个数按照要求分成三组，分出来 后，再求平均数则问题不易解
决。因为命题人没有要求把分组情况写出来，我们可跳过这一步，先求分成 三组后每组的个数。99个
数，平均分成三组，每组99÷3 = 33（个）。由于每组平均数相等， 则每组和都相等。而三组总和为1
＋2＋3＋…＋99。这样，问题极易解决。
解 ⑴ 99个数总和为1＋2＋3＋…＋99 = （1＋99）×99÷2
⑵ 每组数之和为（1＋99）×99÷2÷3
⑶ 每组数个数为99÷3 = 33（个）
⑷ 每组数的平均数为[(1＋99)×99÷2÷3]÷33 = 100×99÷2÷3÷33 = 50
⑸ 三组平均数之和为50× = 150。
答：这三个平均数之和为150。
说明 上面分步计算可不必算出，因为总算时可简化计算。
［思路技巧］
平均问题读者一般不感到困难，在解题中要灵活运用公式：平均数 = 总和÷数的个数。
［习题精选］6.2
１．已知9个数的平均数为72，去掉一个后，余下数的平均数为78，去掉的数为多少？
２ ．如果三个人的年龄互不相同（至少相差1岁），三人平均年龄为25岁，且没有小于17岁的，那么，
最打人的年龄可能是多少岁？
３．三个数的平均数为125，加上一个什么数，四个数的平均数为119？
４．八个数依次 排成一列，它们的平均数是12，已知前五个数的平均数是13，后四个数的平均数是15，
求第五个数 的大小。
５．在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走40米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每 分钟走60米，
小刚上山、下山平均每分钟走多少米？
６．甲、乙、丙三人合买8个面包平均 分着吃，甲付出5个面包钱，乙付出3个面包钱，丙没带钱。等吃
完后一算，丙应该拿出1元2角钱。问 丙应还给甲与乙各多少钱？
§6．3 和倍问题
［知识要点］
所谓和倍问题是指已知大小两个数的和，又知道大、小两数的倍数关系，求大、小两数。
解题时常用公式有：
较小数 = 和÷（倍数＋1）；
大数 = 小数×倍数
［范例解析］
例1 甲乙两仓库工存粮9632吨，已知乙库存粮数为甲库的3倍，求甲、乙库各存粮多少吨？
分析 画显得图分析：

把甲作1倍量，则乙为3倍量，加起来为4倍，用和除以4 ，可求出甲库存粮数，进一步可求出乙库
存粮数。
解答 甲库存粮数：9632÷（3＋1）= 2408（吨），
乙库存粮数：2408×3 = 7224（吨）。
答：甲、乙两库分别存粮2408吨，7224吨。
例2 已知A、B两数的和为467，且A为B的2倍还多17，求A、B两数。
分析 画线段图分析：

在和里去掉17，即467－17 = 450，刚好为B的3倍，于是问题易于求解。
解答 B为（467－17）÷（2＋1）= 150，
A为467－150 = 317。
答：A为317，B为150。
例3 甲、乙两汽车同时从A地开往B地，3小 时共行了312千米。已知甲的速度比乙的速度多2倍，求
在1小时内甲比乙多行多少千米？
分析 两车3小时共行312千米，1小时两车共行312÷3 = 104（千米），即为两车速度之和。
要求1小时内甲比乙多行多少千米，即是求两车速度之差，如果 求出两车各自速度，问题就全明
白了。于是转化为先求两车速度，注意甲比乙多2倍，则甲为乙的3（= 2＋1）倍。
画出线段图容易求解。

解答 乙的速度为（312÷3）÷（1＋1＋2）= 26（千米小时），
甲的速度为26×（2＋1）= 78（或312÷3－26）（千米小时），甲比乙每小时多行78－26 = 52（千
米）。
答：1小时内甲比乙多行52千米。
例4 甲、乙两筐苹果共有324个，如果把乙筐苹果 拿出50个放入甲筐，这时甲筐是乙筐的5倍，求甲、
乙两筐原来各有苹果多少个？
分析 在苹果的拿动过程中，苹果总数不变，我们可采用逆推法。即从乙筐拿出50个放入甲筐后，先求
出这时 两筐的苹果数。

比较图6-4知，这时乙有324÷（1＋5）= 54（个），从而甲有54×5 = 270（个）。通过加减50，可
得问题答案。
解答 从乙筐拿出50个放入甲筐后，甲、乙两筐苹果数分别为：
乙筐：324÷（1＋5）= 54（个），
甲筐：54×5 = 270（个），
原来乙筐：54＋50 = 104（个），

原来甲筐：324－104 = 220（个）。
答：原来甲、乙两筐分别有苹果220个和104个。
说明 当求出乙筐原有苹果数后，也可用如下方法求甲筐原有苹果数，即54×5－50 = 220（个），两种
算法，思路不同，结果一致。
例5 甲地有粮1300吨，乙地有粮6 00吨，选择由于计划调运需要，把甲地粮用汽车运往乙地，每辆车每
次装5吨，4辆车运几次才能使乙 地的粮是甲地的4倍？
分析 此题与上题条件和结果几乎相反。如果我们求出了甲地粮食应运出的数 量，再除以20（=5×4）
问题可解决。问题归结到如何求甲地粮食减少数量，正面思考不易求解，我 们可先求调运后甲地应剩
下多少粮，然后用原来的粮减去剩下的，即为调运数量。画线段图，如图6-5 。

解答 调运后甲地剩下粮食为：
（1300＋600）÷（1＋4）= 380（吨）
甲地运出粮食数为：
1300－380 = 920（吨）
4辆车每次共运5×4 = 20（吨），共需运
920÷20 = 46（次）。
答：4辆车共需运46次才可使乙地粮是甲地的4倍。
列综合算式为：
[1300－（1300＋600）÷（1＋4）]÷（5×4）= 46（次）
例6 甲 、乙、丙三人做速算题，在规定的时间里，他们共做了46个题，其中甲所做的题数是乙的2倍，
丙比乙 少做2个题，问甲、乙、丙三人各做了多少题？
分析 以较小的数作为标准“1倍量”；即以乙为1倍量，画出线段图，如图6-6。

图6-6中，丙补上2个，成为1倍量，用虚线表示。这时共有4倍量。总数是46＋2 =48（个）。1
倍量为48÷（1＋1＋2）=12（个），于是可求出甲、乙、丙各解题个数。
解答 乙：（46＋2）÷（1＋2＋1）= 12（个）；
丙：12－2 = 10（个）；
甲：12×2 = 24（个）。
答：甲做了24个题，乙做了12个题，丙做了10个题。
例7 甲、乙两人共储蓄100 0元，甲取出240元，乙又存入80元，这时甲的存钱数正好是乙的3倍，原
来甲比乙多储蓄多少元？
分析 一个存进，一个取出，两人储蓄的钱数之和为1000－240＋80 = 840（元）。由于甲为乙的3倍，
则乙存钱数为840÷（1＋3）= 210（元），故乙原存钱数210－80 = 130（元），于是可求出甲原存钱1000
－130 = 870（元），最后答案易求。
解答 乙：（1000－240＋80）÷（1＋3）－80 = 130（元），
甲：1000－130 = 870（元）
于是甲比乙原多存870－130 = 740（元）。
答：甲比乙原多存740元。
例8 把45拆成A、B、C、D四个数，且满足A＋2 = B－2 = C×2 = D÷2。
分析 问题在于正确选择出“1倍量”。选C为1倍量，画出线段图，如图6-7。

注意到A＋2 = B－2，且A＋2＋B－2 = A＋B。
于是可求出1倍量C：45÷（1＋2＋2＋4）= 5。进一步可求出A、B、D。
解答 C：45÷（1＋2＋2＋4）= 5
A：5×2－2 = 8
B：5×2＋2 = 12
D：5×4 = 20
答：A为8，B为12，C为5，D为20。
例9 两个整数相除，商是5，余数是11，且被乘数、除数、商及余数之和是99，求被除数和除数。
分析 因为被乘数与除数、商及余数的有关系：
被乘数 = 除数×商＋余数，
设除数为1倍量，画出有关线段图，如图6-8。

99－11－5－11为除数的1＋5倍，可求出答案。
解答 除数：（99－11－5－11）÷（1＋5）=12，
被乘数：12×5＋11 = 71。
答：被乘数为71，除数为12。
例10 爷爷与小明今年的年龄之和为86岁，再过5年 后，爷爷的年龄刚好为小明年龄的5倍，问今年爷
爷与小明各多少岁？
分析 关键仍然是选择适当的1倍量，把5年后小明年龄作为1倍量画出线段图，如图6-9。
5年后：

5年后小明美丽为（86＋5＋5）÷（1＋5）= 16（岁），注意5年后两人年龄总和增加了10岁。于
是问题可解。
解答 5年后两人年龄之和为86＋5×2 = 96（岁），
5年后小明年龄为96÷（1＋5）= 16（岁），
今年小明年龄为：16－5 = 11（岁），
今年爷爷年龄为：86－11 = 75（岁）。
答：今年爷爷年龄75岁，小明年龄为11岁。
说明 关于年龄问题应注意以下几点：
⑴ 两人的年龄之差不变。
⑵ 两人过若干年后年龄增加的岁数相同。
记住以上两点，对解年龄问题大有帮助。
［思路技巧］
解和倍问题不用死记公式，只需画出线段示意图，题中的数量关系就一目了然了，再依图列式。

［习题精选］6.3
１．爸爸与儿子年龄之和为42岁，已知爸爸年龄是儿子的6倍，问儿子、爸爸各多少岁？
２．小明家藏书4230本，小刚家藏书1710本，小明给小刚多少本书后，小明的书是小刚的2倍？
３．已知被减数、减数与差之和为762，求被减数。
４．已知被减数、减数与差之和为1990，且减数为差的4倍，求减数。
５．把64分成A、B、C、D四个数之和，使得A＋3 = B－3 = C×3 = D÷3，求A、B、C、D四数。
６．两数相除，商3余2，被乘数、除数、商及余数之和为179，问被乘数比除数大多少？
７．某校共有学生998人，其中男生人数比女生人数的2倍少238人，这个学校男生、女生各有多少人？
§6．4 差倍问题
［知识要点］
差倍问题是指已知大、小两数的差及大数与小数的倍数的关系，求大、小两数各是多少的问题。
解题时常用的公式有：
较小数 = 两数之差÷（倍数－1）；
大数 = 较小数×倍数
［范例解析］
例1 同学们乘两辆车去春游，一辆大车和一辆小车，大车比 小车多坐20人，如果小车上的10名同学到
大车上来，则大车人数是小车的2倍。求有多少人去春游？
分析 画出线段图：
从上图可看出，从小车调10人到大车来，两者人数相差变为20＋10
×2 = 40（人），依题意知，即为小车后来人数，大车后来人数为40×2
= 80（人），于是易求出参加春游人数。
解答 小车调10人到大车上后，大车比小车人数多20＋10×2 = 40（人），
大车比小车人数多2－1 = 1倍，从而小车后来人数为40÷1 = 40（人），大车后来人数为40×2 = 80（人）。
参加春游人数为：
40＋80 = 120（人）
答：参加春游人数为120人。
例2 甲车间的工人比乙车间工人多120 人，甲车间的人数是乙车间人数的3倍，问甲、乙两车间各有多
少人？
分析 画出线段图：
由图可知，把乙车间人数当成1倍量，甲为乙的3倍，甲车间人数比乙车
间多2（= 3－1）倍，已知甲比乙多120人，则乙车间人数为120÷（3－1）=
60（人），甲车间人数为60×3 = 180（人）
解答 ⑴ 甲车间比乙车间多的倍数是3－1 = 2（倍）
⑵ 乙车间人数为120÷2 = 60（人）
⑶ 甲车间人数为60×3 = 180（人）
答：甲车间有180人，乙车间有60人。
例3 有两条同样长的绳子，第一条截去64米，第二条截去16米，结果第二条剩下的是第一条的3 倍，
求每条绳子原来的长度是多少米？

分析 把第一条剩下的部分作为1倍量，截去部分用虚线补上，画出线段图：

从图可看出，第二条剩下的部分比第一条剩下部分多的2（= 3－1）倍量相当于64－16 = 48（米），
因此第一条剩下长度48÷2 = 24（米）。原有长度为24＋64 = 88（米）。
解答 ⑴ 剩下部分第二条比第一条长64－16 = 48（米）
⑵ 第一条剩下的长度为48÷（3－1）= 24（米）
⑶ 两条绳子原来长度24＋64 = 88（米）
答：两条绳子原长是88米。
例4 有甲、乙两个水池，装了相等的水，现在 甲池放出12公升的水，乙池放入14公升的水，结果乙池
的水是甲池的3倍，求两池原来各有水多少公 升？
分析 画出线段图如下：

从图可看出，甲池水的2倍刚好为（12＋14）公升，则甲池现有水26÷2 = 13（公升），所以甲池
原来有水13＋12 = 25（公升）。
解答 ⑴ 经放出、放入后乙池比甲池的水多12＋14 = 26（公升）
⑵ 乙池现有水比甲池现有的多3－1 = 2（倍）
⑶ 甲池现有水26÷2 = 13（公升）
⑷ 两池原各有水13＋12 = 25（公升）
综合算式为：
（12＋14）÷（3－1）＋12 = 25（公升）
答：两池原来各有水25公升。
例5 小明的母亲在28岁时生下小明，现在母亲年龄是小明的3倍，问母亲现在多少岁？
分析 画出线段图：

从图6-14可看出，母亲比小明大28岁，是小明年龄的2（3－1 = 2）倍，从而小明年龄为28÷2 =
14岁，母亲年龄为28＋14 = 42（岁）。
解答 小明今年年龄为
28÷（3－1）=14（岁）
母亲今年年龄为28＋14 = 42（岁）
答：母亲今年42岁。
例6 甲、 乙两仓库各有若干吨粮食，且甲库为乙库的3倍。后来甲库运进2500吨，乙库运进2000吨，
结果 甲库为乙库的2倍，原来两库各有粮食多少吨？
分析 用实线表示原有的吨数，乙原有的表示为1倍 量，虚线表示后来加上的，为了便于比较，图示如

下：

从图6-1 5中可看出后来甲为乙的2倍，这说明BC部分与AB部分相等，从而1倍量为2000－500
= 1500（吨），即原来乙库有1500吨，甲有1500×3 = 4500（吨）。
答：原来甲库有粮食4500吨，乙库粮食1500吨。
说明 利用线段图解差倍问题，有 时要考虑画图的技巧了，此题如果按照6-16方式画线段图，不便于分
析关系。
［思路技巧］
与和倍问题一样，解差倍问题，关键是设计好线段示意图，据此列式计算。如例 6，若将示意图画成
图6-16，则显示不出题目的“2倍”。

［习题精选］6.4
１．两数A、B相除，商为3，无余数。已知A比B大176，求被除数A是多少？
２．小明今年9岁，他爸爸今年33岁，小明多少岁时，爸爸的年龄正好为小明的5倍？
３． 小张与小红都在银行储蓄了一笔钱，已知小红钱数为小张的3倍，若小红取出279元，小张存进99
元 ，两人所剩的存钱数就相等了。问小红后来储蓄多少元？
４．两数A、B一样大，如果A减去79，B加上41，则B为A的5倍，A、B两数原来都为多少？
５．一群人中，若走15名女人，则剩下的人中男人是女人的2倍，此后，若再走45名男人，则女人变 为
男人的5倍，那么这群人中，最处有女人多少人？

第七章 智巧问题
智巧问题是一类智力测验性质的问题。我们这里主要介绍与数学有关的问题。一般不需要考虑有很多
的 基础知识，但要机智巧妙地回答。

§7．1 图形智巧问题
［知识要点］
图形上智巧问题包括平面图形和空间（立体）图形两种，解这类问题要勤动手，善于思考，才能快速解决问题。
［范例解析］
例1 如图7-1，共有8条线段组成的图形，图中每个角 都是直角，各线段长度没有相同的，现在要测量出
它的周长，问至少要测量哪几条线段的长度？
分析 粗心的小朋友或许马上可答出，8条线段。因为每条线段长度不一样
长，只有把8条边 都量出来。但是小朋友不要忘记了，这是智巧问题，而且
题中已有提示“至少”两字。可知问题不会这么 简单。仔细观察发现HG＋
FE＋DC = AB，所以这四条线段只量出AB长就可以了。再看四条纵 向线
段，AH、FG、ED、BC，只需量出FG和BC或者ED、AH即可。因为这四条
线段 长度之和等于2×BC＋2×FG或者2×（AH＋ED）。于是易得解答。
解答 要测量这个图形的周长，至少要测量三条线段的长，AB、BC、FG之长或
者AB、AH、ED。
例2 一个长方形的桌子，锯掉一个角，还剩下几个角？
分析 如果不加思考回答3个 角，或者说5个角，答案都不完整。这道题有几种情况，
与锯的方法有关。如图7-3有三种锯法，容易 得出正确结果。

解答 剩下有3、4、5个角，三种情况。
例4 一个西瓜， 切四刀，切成了9块，吃完后，发现有10块西瓜皮。吃时并未打破，这可能吗？如果可
能，是怎样切的 呢？
分析 如果小朋友们受到一块西瓜只有一块西瓜批这种通常习惯性思维的影响，就
会认 为9块西瓜只有9块西瓜批了，进而就认为没有可能出现吃完9块西瓜剩下
10块皮的可能情况。但是聪 明的小朋友应该想一想会不会出现一块西瓜上有两块
皮，且是分开的呢？于是问题较易回答。
解答 可能。切法如图7-4所示，中间一块西瓜有两块皮。
例4 有7个人和一个大月饼，问能否只切三刀，就使每人得到一
块？
分析 此题如果按通常的思 维来切，横切或竖切，是切不出来7
块的，但两刀切四块可以办到，第三刀切下去将使上述四块中
的相邻三块一分为二。
解答 能切成七块，切法如图7-5所示。
例5 如图7-6 ，九个点排成三行三列的点阵，要求用一笔画出四条直线穿过这九个点且只
许转三个弯，应怎样画？
分析 某位小朋友画了几次未画出，见图7-7，就说：“不可能办到。”你说对吗？

本题并没有限制折线只在图中九个点的范围内，可突破这个范围。

解答 本题有两种画法可以办到，见图7-8。
例6 有六根铁链条，每条上有四个环 连在一起如图7-9所示，已知打开一个环要用5分钟，闭封一个打
开的环要用7分钟。现在要把这六根 铁链连成一根长铁链，问至少要用多少时间？

分析 我们可以打开一根铁链上的四个环， 再利用这四个环把剩下的5根铁链之间的四个断处接上。这
时花的总时间为（5＋7）×4 = 48（分），所需时间最少。
解答 可以打开一根中的四个环，利用这四个环把剩下的5根连成一长根，最少时间是48分钟。
例7 如 图7-10为一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角。已知西边篱笆长17米，南边长23米，
四周篱笆总长多少米？
分析 表面看起来，另外“斜边”篱笆长度未告诉，无法求解，但仔细一分析 ，作
出一组辅助线，见图7-10中虚线。图中“斜边”的水平部分线段长度总和为正南
边篱笆 总长，即也为23米，同样道理，“斜边”竖直方向线段长度总和等于17
米，可求出总长。
解答 分析知“斜边”篱笆长度总和也等于17＋23（米），于是所有篱笆总长为
（17＋23）×2 = 80（米）。
例8 桌子上方有一盏电灯，图7-11的（甲）、（乙）两个阴影部分哪个是桌子的影子？

分析 解这道题要有一点光的常识，即要明白“光是沿直线传播”的道理，这可通过日常细致观察得到。
然后很 容易判断出。
解答 图7-11（乙）是桌子影子。
例9 如图7-12，是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸边沿。问：
⑴ 如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？
⑵ 某人过这个湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋。如 果有一点B，这人从A
点到B点，他脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是奇数（单数）。那么B点是在岸上< br>还是在水中？说明理由。
分析 图中的曲线——湖岸边沿是考虑问题的关键，因为湖岸边是水 和陆地的

交界线。如果开始站在水中，过了一道曲线，就表示上岸了；如果开始站在岸上 ，则过了一道曲线，
就表示下水了。所以在⑴问中，如P点在岸上，由图7-13知，A点在水中。
⑵ 已知A点在水中，某人由A走上岸时穿鞋一次，再遇到下湖时，就脱鞋一次，这时总次数和为偶数，
于是可得出结论：他脱鞋与穿鞋次数为偶数时，他在水中，为奇数时他在岸上。现在他脱鞋与穿鞋次数和为奇数，所以这个人在岸上，从而B点在岸上。
例10 在一根长9厘米的无刻度尺子上， 如图7-14，只需刻上三个刻度，可使它一次量出1~9之间任何整
数厘米的长度。这三个刻度分别是 ______、______、______厘米处。

分析 这是著名的“省刻度尺子” 问题，尺子之所以可以省掉部分刻度，是因为利用了相邻两刻度之间
的距离度量长度。理论基础为二进制 。但这里我们可用试验分析的方法来实现。首先1厘米处需刻一
刻度，7厘米处应刻一刻度，余下在4厘 米处刻一度。如图7-15示。
0~1⑴，7~9⑵，1~4⑶，0~4⑷，4~9⑸，1~7⑹，0~7⑺，1~9⑻，0~9⑼。
解答 三个刻度分别在___1___、___4___、___7___厘米处。
［思路技巧］
图形智巧问题是一类智力测验题，它不需要什么基础知识，需要读者有求异思维 能力。解答时要善于
放弃常规思维方法，仔细观察图形，想出巧法。
［习题精选］7.1 < br>１．正方形树林如图7-16，边长为1000迷，里边有杨树和榆树，小明从树林西南角走入森林，碰见 一棵
杨树就向正北走，碰见一棵榆树就向正东走，最后他走到了东北角，问小明共走了多少米？

２．图7-17中，线段AB分圆为两部分，如果在圆内再画两条线段（端点都在圆周上）， 可能将这个圆分
成记部分？
３．一块豆腐（如图7-18示）切三刀，最多可切出多少块？怎样切？

４．在一 根长6厘米的无刻度尺子上，如图7-19所示，只需刻两个刻度，可使它一此量出1~6之间任何整
数 厘米的长度，这两个刻度分别是______、______厘米。

§7．2 统筹问题
［知识要点］
统筹问题也叫合理安排问题。涉及内容极广， 排队、规划、物资调运、对策等。每一类都有自己特定
的解法，我们这里只介绍几类最简单的问题。
［范例解析］
例1 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶用1分钟，烧开水要用15分钟， 洗茶壶要1分钟，洗茶杯1分
钟，拿茶叶要2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了 使客人早点喝上茶，按你认为
最合理的安排，多少分就能沏茶了？

例2 甲乙两 人各拿一个水桶到水龙头前接水。水龙头注满甲的水桶要8分钟，注满乙的水桶要5分钟。
现在只有一个 水龙头可用，两人同时去接水，问怎样安排甲、乙的先后顺序，使他们所花的总时间最少？
最少时间是多 少？
分析 事实上，两人打水，只有两种顺序：先甲后乙，这时甲先接水用8分 ，后乙接水用5分，共花8
＋8＋5 = 21分。先乙后甲，乙接水花5分钟。甲同时等5分钟，后甲接水花8分钟，共花时间5＋5
＋8 = 18分钟。
由上知，先安排乙接水，所用总时间最少，最少时间是18分。
解答 乙先接水，甲后接水，这样所花的时间最少。最少时间是18分。
说明 打水问题是一个优化问题。 这里是两个人打水，对两个以上的人打水等类似问题也有最少时间的
问题，一般是花时间少的先打，花时 间多的后打，总时间最少。
例3 有一个人带了一头羊、一条狗和一筐菜要过一条河，因为船太小， 一次只能带一样东西，但是他不
在时，狗要咬羊、羊要吃菜，请想一想，他想什么办法才能保证把三件东 西都平安带过河？
分析 如果先带菜过河，这边狗要咬羊，如果先带狗过河，这里羊要吃菜，所以第 一次他只能把羊带过
去。回来后，是带狗过是带菜呢？这时尽管不论带什么都会有危险，但可以化解，如 他把狗带过去、
回来时把羊带回来，再把菜带过去，再返回来，最后把羊带过去，就平安个河了。本题的 关键是没有
限制往返的次数，可以多次往返。
解答 先把羊带过河，返回再把狗（或菜）带 过去，同时把羊带回来，再把菜（狗）带过去，最后返回
来把羊带过去，可使三件东西平安过河。
例4 用一只平底锅煎饼，每次只能放2只饼，煎一面需2分钟，正、反两面都要煎，问煎3只饼至少 要
几分钟？
分析 粗心的小朋友会认为需要8分钟。但这个题目是问至少需要几分钟，即尽 快煎熟三只饼，需几分
钟，认真思考一下可以发现，用6分钟可煎熟3只饼，具体煎法是：先把两只饼放 在平底锅里煎2分

钟后，拿气一只，把另一只翻个面，同时把第3只饼放入平底锅里煎， 再过2分钟，把煎熟的拿出来，
同时第3只翻个面，饼把先前只煎一面的饼放入锅内，再过2分钟，3 只饼都煎好了，前后一共用6
分钟。
解 至少需要6分钟。
例5 有两只空瓶 ，大的一只可盛7千克水，小的一只可盛5千克水，现在要利用这两个空瓶子，不允许
借用其他工具帮助 ，能否得到4千克的水？
分析 表面看来，好像不能实现，仔细一想，是可以实现的。首先把大瓶装 满水，往小瓶中倒，小瓶倒
满后，大瓶中剩2千克的水，倒完小瓶水，再把大瓶中2千克水倒入小瓶中， 则小瓶中 虎口眼装3千
克的水，现在我们又把大瓶装满水，往小瓶中倒，倒满小瓶后，大瓶中就剩下4 （7－3）千克水了。
解答 能得到4千克水。
例6 甲、乙两队比赛乒乓球，甲队的 冠军比乙队的冠军差，但比乙队亚军强；甲队的亚军比乙队的亚军
差，但比乙队第三名强；甲队的第三名 比乙队的第三名差。甲队于赛前得到消息，乙队出场的顺序是冠
军、第三名、亚军。结果甲队教练巧妙安 排出场队员顺序，胜了乙队。问甲队教练是这样安排的？
分析 这是一个对策问题，类似于古代田忌 与齐王赛马，以弱胜强。甲队教练可安排甲队第三名与乙队
冠军相战，用甲队亚军战乙队第三名，甲队冠 军迎战乙队亚军，这样甲队可以2胜1负获胜。
解答 甲队出场比赛队员顺序是第三名、亚军、冠军。
［思路技巧］
统筹问题是一个最优化安排问 题，如例1，烧开水用的时间最长，那么可以在烧开水的同时来洗茶壶、
拿茶叶，这样就节省了4分钟， 烧开水是这个问题的主要矛盾线，抓住了它，问题就解决了。
［习题精选］7.2
１．Ａ、 Ｂ两人同时找老师谈话，现在假定谈话只能一个接一个地谈，不能同时找两人谈，预计Ａ谈完话
要10分 钟，ＢＡ谈完话要8分钟，怎样安排Ａ、Ｂ两人谈话的先后顺序，使两人谈话所花的总时间最少？
最少时 间是多少分钟？
２．小李骑车外出。外出之前必须做完下面几件事：自行车打气用2分钟，整理宿舍用 7分钟，擦皮鞋用
2分钟，放水和把衣服放进洗衣机里用1分钟，洗衣机自动洗涤用12分钟，再把衣服 用水冲净、挤干、
晒出用5分钟。这几件事情加起来共需29分，结果小李合理安排，节省了好多时间， 问小李是怎样安排
的？用了多少时间？
３．有三位白人冒险家与三位吃人的土人同时聚在河边 ，大家都想渡河到对岸，但此时只有一只小船，这
条小船一次最多只能坐两个人，当白人和土人人数相同 时，不会发生事情，若是土人多于白人时，土人
便会吃掉白人。如果想要大家平安无事地渡过河到对岸， 则应如何安全乘坐才好？
４．用一只平底锅，每次只能放2只饼，规定正、反两面都要煎，煎一面要3 分钟，现在有7只饼要煎，
至少需要多少分钟？
５．有两堆火柴，一堆有20根，一堆有25 根。由两人轮流从其中任意一堆火柴中取出一根或几根火柴，
每次至少要取出一根，而且不能同时从两堆 里都拿，水拿到最后一根或最后几根，谁就获胜。如果由你
先取，怎样才能保证获胜？

§7．3 脑筋急转弯
［知识要点］
脑筋急转弯主要是考察学生的应变能力，题型多样，一般来说只要掌握关键，很快就可答出来。
［范例解析］
例1 有一艘轮船停在港口里，轮船的外舷有一个软梯，软梯的第一级正好挨 着海面，往上每隔20厘米有
一级。这时海水正以每小时20厘米的速度涨潮，问：经过多长时间，海水 涨到软梯的第四级？
分析 不，因为轮船是浮在海面上的，而软梯是挂在轮船上的，当海水上涨时， 轮船也随着上涨。相对
于轮船不动，第一级软梯始终挨着海面，这里包含着一个简单的“水涨船高”的道 理。
解答 无论经过多长时间，海水也不会涨到软梯的第四级。
例2 小刚晚上8点准 时睡觉，由于第二天为星期天，临睡前，把小闹钟定到第二天早上9点，问，小刚
可睡多少小时？
分析 小刚满以为可以睡13个小时了，但实际上是办不到的，因为小闹钟是以12小时作为一周期的 ，
定时最多不能超过12小时，这是由小闹钟工作原理决定的，因闹钟定时后，当时针走到与定时时刻一
致时就会闹铃，所以再过1小时，闹钟就响了，可把小刚叫醒。
解答 小刚可睡1小时。
例3 三个和尚吃三个馒头用三分钟；照这样计算，九个和尚吃九个馒头，要几分钟？
分析 粗心的同学可能会说9分，或27分或81分等。但仔细一想，并非如此。三个和尚吃三个馒头用
三分钟 ，相当于一个和尚吃一个馒头用三分钟，九个和尚吃九个馒头也相当于一个和尚吃一个馒头，
所以也是三 分钟。
解答 九个和尚吃九个馒头要三分钟。
说明 此题的思路为划归思想，应灵活掌握，抓住变化中的不变条件，才能准确求解。
例4 树上有十只麻雀，小明用枪打中了其中一只，问树上还剩下几只麻雀？
分析 不能简单地用减法计算，要考虑实际情况。否则用10－1 = 9（只）作答，显然错误，听到枪声，
剩下麻雀早跑光了。
解答 剩下0只麻雀。
例5 山涧一座独木桥，宽度只能容纳一个人通过，现在有两个人来到桥头，一个南来的，一个北往的 ，
要同时过桥，怎样过去？
分析 不要从过桥方法上过多浪费时间，应从题目所给条件分析 ，“一个南来的”，是向北走，“一个北往
的”，也是向北，那么两人可先后过不就解决问题了吗？即使 方向相反，也只要题目不要求同时过，也
可以考虑先后过。。
解答 让两人先后过。
例6 一块布叠一折可裁成2块，2块布叠一折可裁成4块，4块布叠一折可裁成8块。把这8块布再 叠三
折，共有多少块布？
分析 由于习惯性思维的影响，有的同学可能脱口而出：64块， 甚至更多。这就错了，因为后来的8块
布只叠几下，并未裁剪，块数当然不会变化。可见思维有时候要急 转弯！
解答 仍然是8块。
例7 有一口深3米的直壁旱井，井底有只青蛙想跳到井外 面来，但青蛙每次只能跳高0.3米，问青蛙跳
几次才能跳出井口？
分析 有的同学会这样 想：青蛙一次跳高0.3米，10次不就跳高3米了嘛，所以是10次。但是他没有考
虑客观条件，青蛙 跳一次后，站在何处。于是不难得到问题的解答。

解答 青蛙永远跳不出来。
例8 小红同学今年16岁了，可她只过了四个生日，这可能吗？如果可能，那么她的生日是几月几日？
分析 如果不懂得闰年有366天，且2月份多一天有29天，可能做不出此题。我们知道，四年一闰，闰
年多 一天是2月份有29天。于是问题不难回答。
解答 可能。她的生日是2月29日。即闰年2月29日。
例9 假设每三个烟蒂可接成一个香烟，9个烟蒂可接几根香烟？15根香烟呢？
分析 对于9个烟蒂，可能有的同学会说太简单了，9÷3 = 3。3个年香烟；至于15根香烟可接成15
＋15÷3 = 20（根），仔细一分析，发现是错的。 因为3根香烟抽完后又剩下3个烟蒂又可当一根香烟。
因此考虑问题时应全面，否则得不出正确结果。
解答 9个烟蒂可接4根香烟。因为3根香烟抽完后又有3个烟蒂还可当1根香烟。
15根 香烟，当然有15根，抽完后有15个烟蒂可当5根烟，这5根抽完后又有5个烟蒂，还可以
当2根烟抽 ，共可当15＋5＋2 = 22（根）。
例10 一只蜗牛爬墙，每天白天上爬4米，晚上下滑3 米，现在墙高20米，问蜗牛需要花多少白天多少
个晚上才能爬上墙顶？
分析 如果小朋友 认为：蜗牛每一整天上爬1（4－3）米，墙高20米，需要20天，也就是20个白天20
个晚上，那 就错了。蜗牛每天相当于爬高1米不错，但到了第16米高的地方，距墙顶还有4米，这4
米的距离，蜗 牛只需第17天的白天就刚好爬完，也就到了墙顶，不会再下滑了，所以应是 需17个白
天16个晚上。
解答 蜗牛需要17个白天和6个晚上才能爬上墙顶。
说明 此题与下面一道题实质是一回事。
将12加24，减20，再加24，再减20，…，最少经过多少次这样的（加、减）运送得出100？
由于问的是最少，显然最后一次应是加24，在此之间，每加减一次，增加4，共需。
1＋（100―12―24）÷4×2 = 33（次）
［思路技巧］
脑筋急转弯 问题，主要考察读者的直觉思维能力。要求读者在看完题目后，能迅速发现问题的本质所
在，单刀直入地 说出问题的答案。这类问题题型多样，没有统一的技巧，靠读者在大量的解题实际过程中
形成创造力。
［习题精选］7.3
１．某商店规定：“三个空汽水瓶可以换一瓶汽水（连瓶）”。一群小朋 友仅能够买16瓶汽水（连瓶），他
们喝完后尽可能用空瓶换汽水喝。他们前后一共可喝多少瓶汽水？
２．三只母鸡两天生四个蛋，如此的话，一只母鸡生两个蛋要几天？
３．一条小虫由幼虫长到 成虫，每天长长一倍，40天长到20厘米，问多少天长到10厘米？多少天长到5
厘米？
４ ．某校三年级二班有44名少先队员要乘小船从东湖去磨山游玩。若湖里只有一只能载5人的小船可利
用 ，问最少要多少次才能全部达到磨山？
５．10个人挖10米长的沟要花10小时，照这样计算，100人挖100米长的沟要花多少小时？
６．池塘里睡莲的面积每天长大一倍。若经过17天就可长满整个池塘，问需多少天，这些睡莲能长满半
个池塘？
７．小华看见地板上有一支铅笔，但他却不能跨过这支铅笔，这可能吗？
８．破庙的风很大，案头放着一盏灯，一堆干炭，几张纸，但你只有一根火柴，你会点燃哪一样呢？ < br>９．小明和小芳是同学，也住在同一条街，他们总是一起上学，可总是每天一出家门就一个向左走，一个< /p>

向右走。这时怎么回事呢？
10．蜗牛沿着9米高的墙往上爬，白天上爬3米而晚上又下滑2米，问蜗牛要花多少个夜晚爬上墙顶？
§7．4 天平问题
［知识要点］
天平涉及的问题很多，有些也很复杂，我们这 里只介绍简单的天平问题。解题时注意审题，有时可以
两边放砝码，有时只准一边放砝码，有时限制称量 次数，都要加以考虑。
［范例解析］
例1 有1、2、5克的砝码各一个和一台天平，问
⑴ 若只允许天平的一边放砝码，可称出几种重量的物体？
⑵ 若允许天平两边放砝码，可称出几种重量的物体？
分析 在 ⑴ 的假设下，每次用一个砝码，可称 1、2、5克三种重量的物体；每次用2个砝码，1克与2
克，1克与5克，2克与5克，又可称3、6 、7克三种物体重量；三个砝码全用上，可虫1＋2＋5 = 8
（克）的物体。
在⑵的假设条件下，除了⑴的情况可称外，还可称5－1 = 4克。于是可得答案。
解答 ⑴ 只允许一边放砝码，可称出1、2、3、5、6、7、8克这7种重量的物体。
⑵ 允许两边放砝码可称1~8克之间所有整数克重的8种重量物体。
例2 在9只金币中有一只是假的 （较轻），怎样用一架天平快速准确找出假币来。假设所有真币都一样重。
最少要称几次？
解答 只需称2次就可保证找出假币来。称量方法如下：把这9个“金币”平均分成三堆，每堆3个。
任意取出两堆，放在天平上称，一边一堆。结果只可出现两种情况：一是天平平衡，二是天平倾向一边，出现第一种情况，说明假币在第三堆里；出现第二种情况，说明假币在轻的一边，这一次可确定
假币在哪三个之中了。同样把较轻的一堆的这三个假币任意取两个，一边放一个，若天平平衡，说明
剩下 一个既为假币，若不平衡，则轻的一边那个即为假币。
例3 一架大磅秤，少了一个20千克的秤 砣，它只能称20千克以下或40千克以上的重物。现有甲、乙、
丙三位同学体重都超过20千克，但又 都少于40千克，请你想一个办法，不用其他辅助物，称出每个人
的体重来。
分析 草冲称 象是把重量大的物体分解为小物体重量之和，从而达到目的。但人不象石头，不能分解，
而且题目明确指 明不用其他辅助物。一人不能称，但我们可不可以两人一起称呢？这样一想就有了可能。
解答 先称 A、B重量和，再称A、C重量和，最后称B、C重量和，再把三个和加起来除以2，即得A、
B、C三 人重量和，可得B之重量；减去A、B重量和，可得C之重量。于是三人体重称出来了。
例4 有6 堆铜币，每一堆都有6个铜币，其中有一堆全是假铜币，但是并不知道是哪一堆。只知道每个
真铜币重1 0克，每个假铜币重9克，你能够用一架天平只称一次找出假币是哪一堆吗？
分析 本题难就难在规 定只准称一次。若不限定次数，是很任意找到的。我们可以依次给这六堆铜币编
上号1、2、3、4、5 、6，依次从1号里拿出1个，2号里拿出2个，…，6号里拿出6个，合成一堆，
放到天平上去称，记 下重量x，这一堆共有1＋2＋，…，＋6 = 21（个），若全为真铜币应有21×10 =
21 0（克），现在里面有假币，肯定x小于210克，作差210－x，如果差为1克说明有一个为假的，即
编号为1的堆中为假币，若差为2克，则说明编号为2的一堆中全为假，依此类推，问题可解。

［思路技巧］
天平问题属于智力问题，例1是最基本，只要考虑问题全面即可 ；例2限次，转化成为三堆称；例3
将不可称转化成可称；例4用编号的方法使问题迎刃而解。这里分堆 、编号都是解天平问题的技巧。
［习题精选］7.4
１．现有1克、2克、4克、8克砝码各一个，在天平上可称出几种不同重量的物体？
２．现有1克、3克、9克的砝码各一个，允许天平两边放砝码，可称出哪几种不同重量的物体？ ３．进有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码各一个，因为丢了一个砝码，使得31克、12克、7 克
的重量都不能称了，丢的是哪个砝码？
４．今有外型和重量除一个略轻外，其余80个都一样的金属球，现有一架天平，至少称几次可找出 轻球
来？
５．有10堆鸡蛋，除一堆为每个40克外，其余每个都是50克重。每堆有10个 。现在只许称一次，找出
轻的一堆来，如何称？
§7．5 简单的逻辑推理
［知识要点］
逻辑推理问题是由很多条件组成的一种判断性问题。条件往往纵横交错，要掌握 一定的方法，层层剖
析，才能作出正确判断。常用方法有排除法、逆推法、构造法、数理推理等方法，解 题时应灵活运用。
［范例解析］
例1 一杯牛奶，小明第一次喝了一半，再倒满水；第二 次他又喝了一半，再倒满水；第三次他全部喝光，
问小明前后一共喝了多少杯水？
分析 这 道题目如果把小明每次喝的牛奶求出来再相加，不易办到，喝的液体中既有水又有牛奶，不易
求出。如果 我们换个角度来考虑，小明前后一共喝了几杯液体，其中牛奶只有一杯，其余全都是水，
这样来求既快又 准确。
解答 小明前后一共喝了1杯水，即两个半杯水。
说明 可能有的同学认为是2杯，这是误把牛奶当成水了。
例2 全班学生35个人排成一队，从前面数， 小红是第20位；从后面数，小芳是第21位。问小红和小芳
中间隔几位同学？
分析 一种 从是前面数，一种是从后面数，如果我们把其中一种转化为相反方向数的位数，问题就迎刃
而解了。小红 从前面数是第20位，这说明小红的后面还有35—20 = 15人，于是从后面数，小红是第
16位，从第16位到21位，中间隔4位，问题解决。
解答 小红和小芳中间隔4位同学。
例3 有一个骗子和一个老实人，老实人永远说真话 ，骗子永远说假话。请你提一个尽可能简单的问题，
使得他们两人回答一样。
分析 本提应 抓住：老实人永远说真话，骗子永远说假话的条件。这个问题可这样提：“谁是骗子？”或
者：“谁是老 实人？”。这时骗子与老实人回答一样。
解答 “谁是骗子？”或：“谁是老实人？”。
例4 甲说乙和丙两人说谎，乙激动地加以否认，丙说乙确实说了谎，请你判断一下三人中到底有几个 人

说了谎，几个人说真话？
分析 由于乙和丙两人说话正好相反，所以其中 一定有一个说了谎，一个说真话；另一方面，由于乙、
丙两人不全说谎，所以甲必定说了谎，因此三人中 有2人说了谎，1人说真话。
解答 三人中有2人说了谎，1人说真话。
例5 两个瓶 中，一瓶装有2千克的红墨水，另一瓶装有2千克的蓝墨水，把1千克的红墨水倒入1千克
回红墨水瓶中 ，问这时红墨水瓶中的蓝墨水与蓝墨水瓶中的红墨水那个多？
分析 因为混合后，两瓶仍各有2千克墨水，所以红墨水瓶中的蓝墨水和蓝墨水瓶中的红墨水一样多。
解答 一样多。
例6 1号盒子比2号盒子大；3号盒子比4号盒子大，又比5号盒子小；4号盒子又比2 号盒子大，5号
盒子比1号盒子小。请你按从小到大的顺序排出这些盒子的顺序。
分析 先把大小关系用不等号“＞”连起来（记号“a＞b”表示a 大于b）：1号＞2号，5号＞3号＞4
号，4号＞2号，1号＞5号，由此可知，大小顺序：1号＞5号＞3号＞4号＞2号，可得答案。
例7 期末考试，小明、小刚、小王三个人取得了数学、语文、体育三门课前三名的全部名次，而且每 人
分别有一个第一、第二、第三，已知：小明取得数学第一，小刚取得了语文第二，请你在下表中填出他
们各科的名次。

分析 关键是寻找突破口，由于每人有一个第一，一个第二，一 个第三，所以可先考虑小王的体育名次
为第三，再考虑小刚的数学名次，由于数学第一为小明，小刚语文 得了一个第二，所以小刚数学必为
第三，同样道理，小明语文必为第三，其：
解答

例8 甲、乙、丙、丁四人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙 、丙三人胜的
场数相同。问丁胜了几场？
分析 四人比赛，每两人赛一场，先要比赛3＋2＋1 = 6（场），故共有6场胜，因为甲胜了丁，所以甲、
乙、丙三人至少各胜一场。但丁已败给甲了，不可能。所以甲、乙、丙三人胜2场，这样丁只能胜0
场 。
解答 丁胜0场。
例9 小英和小红都想买《小学数学奥林匹克竞赛讲座》这本书， 小英缺1分钱，小红缺5元2角钱，把
他们两人的钱合起来买一本，钱还是不够，问这本书的单价是多少 ？
分析 因为钱的最小单位为分，小英缺1分，若小红有钱，两人钱合起来，肯定可买一本，现在合 起来
还是不够，这说明小红一分钱也没有，从而小红买书缺的钱，就是那本书的单价了。
解答 这本书单价是5元2角。

例10 下面三块正方体的六个面，都是按相同规律涂有红 、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，看得见的三个
面的颜色已标明在图7-21中，请你辨别一下涂黄色的 对面、涂白色的对面以及涂红色的对面分别是什么
颜色？

分析 采用排除法分析 。因三块正方体六个面的规律相同，所以相对两面的颜色一定有相同的规律。由
前面两个图知：白色的对 面不可能是黑色、黄色、红色、绿色，那只能是蓝色了。同样，黄色的对面
不可能是白色、黑色、蓝色、 红色，那么只有绿色了，最后红色的对面只有黑色了。
解答 黄色的对面是绿色，白色的对面是蓝色，红色的对面是黑色。
例11 小王、小张和小李一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在只知道：⑴小李比战士年龄
大；⑵ 小王和农民不同岁；⑶农民比小张年龄小。请你想一想，谁是工人？谁是农民？谁是战士？
分析 由⑵知，小王不是农民，由⑶知小张也不是农民，从而小李必为农民。
又由⑴，⑶得，小张比农民（小 李）年龄大，而小李比战士年龄大，可知小王必为战士，从而小
张为工人。
解答 小张为工人，小李为农民，小王为战士。
［思路技巧］
逻辑推理问题与脑筋急转弯问题相反 ，不是单刀直入，而是从一个正确的前提出发，一步一步递进，
最后得到正确答案。
［习题精选］7.5
１．甲、乙、丙三同学有一人在大家都不在时“学雷锋做好事”，把教室 打扫干净了，事后老师问是谁做
的好事，甲说“是乙干的”，乙说“不是我干的”，丙说“不是我干的” 。如果他们中有两人说了假话，一
人说了真话，请你判断是谁干的？
２．小黄和小兰都想买一 本《作文选》，小兰缺4元8角9分，小黄缺1分，用他们两人的钱合起来买一
本，钱还是不够。问这本 《作文选》的单价是多少？
３．一只盒子里有黑、白、红三色的珠子共16颗。其中白珠子数是红支子 数的7倍。问盒子里有黑珠子
多少颗？
４．有一个立方体，每个面分别写着1、2、3、4、 5、6这六个数字，有3个人从不同的角度观察的结果
如图7-22所示。问这个立方体上相对两面上数 字的乘积最大是多少？

５．甲、乙、丙、丁与小青五位同学一起比赛象棋，每两人比赛一盘 。到现在为止，甲已赛了4盘，乙赛
了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，问小青赛了几盘？
６ ．甲、乙、丙、丁四位同学中有一位在体育比赛中获了奖。老师问他们谁是获奖者。甲说“我不是”；
乙 说“是丁”；丙说“是乙”；丁说“不是我”。他们当中只有一个人没有说真话，到底谁是获奖者？

第八章 简单的几何问题
几何问题相当多，且内容非常广泛，这里我们仅介 绍一些简单的几何问题。如直线型初步问题、一笔
画问题、周长问题等。
§8．1 直线型初步
［知识要点］
１．直线：没有端点的，可以向两头无限延长。
２．射 线：直线上一点把直线分成两个“半直线”，每一“半直线”称为一条射线。它有一个端点，只
能向一方 无限延长。
３．线段：直线上两点间的部分称为线段。线段有两个端点。
［范例解析］
例1 如图8-1，8-2，8-3。

回答：
⑴ 图8-1中有______条直线，______条射线，______条线段；
⑵ 图8-2中有______条直线，______条射线，______条线段；
⑶ 图8-3中有______条直线，______条射线，______条线段。
解答 ⑴ 图8-1中有1条直线，4条射线，1条线段；
⑵ 图8-2中有1条直线，6条射线，3条线段；
⑶ 图8-3中有1条直线，8条射线，6条线段。
说明 一直线上射线条数为其上点数的2倍。
例2 若一直线上有100个点，则这条直线上有______条射线，有______条线段。
分析 直线上一点可组成两条射线，100个点共有2×100 = 200（条）射线。为了计算线段的条数，可先把这100个点依次编号A
1
，A
2
，…，A
100
，从A
1
开始，A
1
与其余99个点可连成99条线段，再看从A
2
开始
的与除A
1
外的98个点可连成98条线段，以此类推，最后一条是A< br>99
A
100
，加起来共有99＋98＋…＋2＋1 =
（99＋1）×99÷2 = 4950（条）。
解答 有200条射线，有4950条线段。
例5 如图8-4，求
⑴ 指出所有不同线段；
⑵ 若各段长度已在图中标出，求上述所有不同线段长度的总和。（单位：厘米）

分析 ⑴ 线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，为求 ⑵必须把各线段
长度求出来，再求和。
解答 ⑴ 线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE。

⑵ 上述各 线段长度是：AB=1，AC=3，AD=6，AE=10，BC=2，BD=5，BE=9，CD=3，CE= 7，
DE=4，它们和为1＋3＋6＋10＋2＋5＋9＋3＋7＋4 = 50（厘米）。
例4 在图8-5中，有多少个三角形？
分析 顶点B已定，A
1
A
7
上有一条不同线段就对应着一个不同的三角
形，于是问题转化为A
1
A
7
上有多少条不同线段。6＋5＋4＋3＋2＋1 =
21（条）。
解答 底边A
1
A
7
上有6＋5＋4＋3＋2＋1 = 21（条）不同线段，所以共有
21个不同的三角形。
例5 一把钥匙只能开一把锁，现在 有4把锁和4把钥匙混在一起，但不知
哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？
分析 设4把锁分别为A、B、C、D，4把钥匙分别为a、b、c、d，先拿钥匙a试，A、B、C 不开，有
3次，最后不用试了，a 必可与D配对，再用b来试，试A、B不开，则b与c必可配对，最 后用C
来试，只需试一次即可，共试了3＋2＋1 = 6（次），这是试的次数最多的情况。
解答 最多试开6次，就能把4把锁和4把钥匙配起来。
例6 一次集会，有若干人到场，若每两个人握手一次，若总共握手了28次，问今天到场有多少人？
分析 我们可以把人看成点，握手一次相当于两点连一条线段，现在是数线段的逆问题，已知线段总条
数，求点 数。采用试验法。若有7个点，可连成1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21（条），少了，若有8个点，
可连21＋7 = 28（条）。正好符合。
解答 有8人。
［思路技巧］
直线、射线、线段是最简单的几何图形，这里的问题，主要是计数， 即数射线、线段的条数。这需要
周期考虑问题，如图8-3中有几条线段？就要考虑到任取两点即构成线 段，共有6种取法，即6条线段。
［习题精选］8.1
１．如图8-6，图中有多少条直线？有多少条射线？有多少条线段？

２．求图8-7中，各线段长度总和。（单位：厘米）

３．一把钥匙只能开一把锁 ，现在有10把钥匙和10把锁混在一起，但不知哪把钥匙开哪把锁，问最多试
开多少次，就能把锁和钥 匙配起来？
４．每两个点可连成一条线段，现在有100个点，最多可连成多少条不同线段？
５．图8-8中有多少个三角形？

§8．2 一笔画问题
［知识要点］
一笔画即笔不离开纸，既不重复又不遗漏地画出一个图形。一笔画应掌握下面几个结论：
１．非连通的图形不能一笔画；
２．连通图形，如果所有结点都是偶数点，可一笔画；
３．如果一个连通图只有两个奇点，那么一定能从一个奇点出发，一笔画成回到另一个奇点。
４．有三个以上奇点的连通图不能一笔画。
［范例解析］
例1 判断图8-9（a）、（b）、（c）、（d）中哪些是连通图中哪些不是连通图。
分析 所谓连通 图：一个连着一个的图形，反之没有连成一片的图形为非连通图。（a）、（c）为连通图，
（b）、（ d）为非连通图。
解答 （a）、（c）为连通图，（b）、（d）为非连通图。

例2 如图8-10，（a）、（b）、（c）中的哪些点为奇点？哪些点为偶点？

分析 所谓偶点是指偶数线条相连接的点。与奇数条线相连接的点叫做奇点。例如，（a）中B点与三 条
线相连，B点为奇点，K点与四条线相连，K为偶点。
解答 偶点有A、C、E、G、K、O、R、U、V、Y。
奇点有B、D、F、H、L、M、N、P、S、T、W、X。
例3 判断下列连通图图8-11（a）、（b）、（c），哪些能一笔画，哪些不能一笔画，能画的给出一种画法来。

分析 ⑴ 图8-11（a）的所有点全为偶点，能一笔画。
⑵ 图8-11（b）只有两个奇点，能一笔画。
⑶ 图8-11（c）有4个奇点，不能一笔画。
解答 （a）能一笔画。它的一个画法是：A→B→C→D→E→F→G→B→E→G→A。
（b）能一笔画。它的一个画法是：F→B→C→G→B→A→H→G→F→D→C。
（c）不能一笔画。因为奇点个数超过2。
例4 在18世纪欧洲的哥尼斯堡城，有一条河 流穿过，河中有两个小岛，在河岸与小岛以及小岛与小岛之
间共有七座小桥。如图8-12（a）所示。 有人提出一个问题：能否一次走遍七座桥，每座桥只走一次，最
后回到出发点？这就是著名的七桥问题。 有很长时间没有人能解决。你能试一试吗？

分析 此题实质上是“一笔画”问题。 我们把四块陆地用四个点表示：A、B、C、D，七座桥相应用七条线表示，得到图（b），下面判断图（b ）
能否一笔画？
但图（b）中4个点A、B、C、D都是奇点，所以不能一笔画。所以某人走法不能实现。
例5 下面图8-13是一个公园的平面图。要使游客走完每条路而不重复，问出入口应设在哪里？
分析 先分析图中各点的奇偶性。只有I和D为奇点，其余都是偶点，所以
只要讲出口、入口 设在这两个奇点处，问题可解决。
解答 只要出口、入口分别设在D点和I点，游客就可以从入口处 进公园，
不重复地走遍所有的路，而从出口处离开公园。
［思路技巧］
解一笔画问 题关键就是找连通图中奇点，如果有三个或三个以上的奇点，则不能一笔画；有两个奇点，
则可从一个出 发，最后到另一个结束；如果没有奇点，则可从任一点出发一笔画。
［习题精选］8.2
１．图8-14能不能一笔画成？
２．图8-15能不能一笔画成？若不能至少要几笔才能画成？若能，给出一种画法。

３．图8-16是一个三棱锥。问这个图形能否一笔画成？若不能，最少需几笔画成？
４．图8-17为一 图书馆的平面图，共有五个阅览室，两个大阅览室可通向室外，而且每两阅览室之 间都

有一个门相通。问能否设计一个方案，使人们能不重复不遗漏地走遍五个阅览室的门 。

§8．3 巧求周长
［知识要点］
课本上大家学过长方形、正方形、三角形等周长计算，且知长方形周长=（长＋宽）×2；正方形周长 =
边长×4，等等。这里介绍一些特殊图形周长的计算，常用的方法是采用平移法，即平行“搬家”， 把图形
变成可用公式计算的图形。
［范例解析］
例1 图8-18（a）为一“ 凸”字纸片，已知线段BC=1，AH=2，HG=4，求这个图形的周长（单位：厘米）。

分析 此题有多种解法。方法1：可以把各线段长度加起来得周长。方法2：作一辅助线，如图8-1 8（a）
连BE，显然CD=BE所求图形周长=长方形AFGH周长＋2=（2＋4）×2＋2=14 （厘米）。方法3：作
辅助线如图8-18（b），因为BC=AL，ED=FK，AB=LC，EF= DK，“凸”字形周长=长方形LKGH周长=（2＋1
＋4）×2=14（厘米）。
解答 “凸”字形周长为（2＋1＋4）×2=14（厘米）。
例2 图8-19为一个楼梯的侧剖面图， 已知每步台阶宽4分米，高3分
米。问这个楼梯的侧面周长是多少米？（共有10级台阶）
分析 表面看来，似乎缺少条件，但如果我们把每层台阶的宽度向下
压到底线上，易知底边长 也是所有台阶的宽度之和；同理，所有台阶
高度之和也等于梯形总高。于是问题可转化为求一个长方形的 周长，
长=4×10=40（分米），宽=3×10=30分米，可求周长。
解答 （4×10＋3×10）×2÷10=70×2÷10=14（厘米）
答：楼梯侧面的周长为14米。
注意 题中给定量的单位为分米，而结果是米，要注意转化。
例3 图8-20是王老师 与李老师家所在地区平面图。图中实线表示公
路。它由三个长方形组成，从上到下的长方形的长、宽依次 为120
米、100米；220米、80米；320米、100米。若王老师沿公路走到李
老师 家花了6分钟。那么王老师每分钟走多少米路程？
分析 已知时间求速度，首先得求出路程，即王老 师家到李老师家的

公路长。显然水平方向路程全长为底下长方形的320米，纵向路程长 为三个长方形的宽之和，即100
＋80＋100=280（米），全长=长＋宽=320＋280 = 600（米），于是可求出速度。
解答 （320＋100＋80＋100）÷6 = 100（米分）
答：王老师每分钟要走100米的路程。
例4 已知一个正方形被两条直 线分成四个小长方形，这四个小长方形的周长之和为
160厘米，求原正方形的面积（如图8-21所示 ）。
分析 要求正方形面积必须求出正方形的边长。现在只已知其中四个长方形的周长。
为 讨论方便，设各小长方形长、宽分别如图所示，则
A的周长为（a＋c）×2，B的周长为（b＋c）×2，
C的周长为（a＋d）×2，D的周长为（b＋d）×2，
依题意有
（a＋c）×2＋（b＋c）×2＋（a＋d）×2＋（b＋d）×2 = 160
所以有
4×（a＋b＋c＋d）= 160
a＋b＋c＋d = 40
又因为 a＋b = c＋d
所以a＋b = 40÷2 = 20（厘米）
从而正方形面积为20×20 = 400（平方厘米）。
解答 四个小长方形的周长相当于原正方形的8个边长（4个“长”，4个“宽”），于是
正方形边长 = 160÷8 = 20（厘米）
正方形面积为 = 20×20 = 400（平方厘米）
答：正方形面积为400平方厘米。
例5 四个同样的长方形和一个小正方形拼成一个大正 方形（如图8-22），已知大正方形面
积为49平方米。求每个长方形的周长。
分析 因为大正方形面积为49平方米，所以大正方形边长为7米。因为7×7 = 49。
小正方形面积为9平方米，所以小正方形边长为3米。
从图可看出7-3相当于长方形的两个宽。所以长方形宽 = （7－3）÷2 = 2（米），于是长方形的长为
7－2 = 5（米）
长方形周长为（5＋2）×2 = 14（米）
解答 大正方形边长为7米，小正方形边长为3米，于是正方形宽 = （7－3）÷2 = 2（米）
长方形长 = 7－2 = 5（米）
长方形周长为（5＋2）×2 = 14（米）
答：长方形周长为14米。
［思路技巧］
巧求周长问题的关键是将所 给图形中的某些线段进行“平移”，使之变为长方形或正方形，从而易求周
长。
［习题精选］8.3
１．图8-23为一个“凹”字型纸片，已知条件如图所示，求这个图形的周长。（单位：厘米）

２．六个边长为5的小正方形，拼成如图8-24的“T”字型，求“T”字型的周长。（单位：厘米）
３．如图8-25，四个小长方形拼成一个大正方形，已知四个小长方形周长之和为168米，求正方形 边长。
４．将50个边长为4厘米的小正方形纸片，像下图8-26那样排列（连接点是正方形边的中 点），求所形成
的图形的周长和面积。


第九章 综合测试题（四套）
（一）
１．用简便方法计算（每小题2分）：
⑴ 1＋2＋3＋4＋…＋19＋20；
⑵ 1991＋1995＋1997＋2004＋2006＋2008；
⑶ 99999＋9998＋997＋96＋19；
⑷ 25×32×125；
⑸ 67×99＋99×3；
⑹ 999×999。
２．找规律填数（每小题2分）：
⑴ 1，1，2，3，5，8，13，______；
⑵ 1，5，9，13，17，______；
⑶ 1，3，9，27，81，______；
⑷ 2＋1×5，2＋2×5，2＋3×5，2＋4×5，______；
⑸ 16，15，13，12，10，9，______，______。
３．完成算式，填数字（每小题2分）：

以下每题10分。
４．在正方 形操场的四周插上彩旗，每边15面，四周共插彩旗______面。（四个角上也要插上旗。
５．有 一根木材，锯成3段要3分钟，另外有同样的一跟木材以同样的速度锯，锯成9段需要______分钟。
６．10个队进行排球循环赛（即每两个队比赛一场），共要安排______场比赛。
７． 有16个人要到河对岸去，河边只有一条小船可利用，每次船上最多只能坐4人，小船至少要往返______< br>次（把人送到目的地算一次）。

８．某班有45人，其中有20人参加了数学比 赛，10人参加了作文比赛，已知全班只有1人既参加了数学
比赛又参加了作文比赛。
⑴ 参加数学比赛没有参加作文比赛的有______人。
⑵ 两种比赛都没有参加的有______人。
９．工地运来1400吨水泥，第一周用去300吨，第二周用的比第一周的2倍少125吨，两周后还 剩下______
吨。
10．两数相除，商21余3，已知被除数、除数、商及余数的和为313，被除数是______。
（二）
１．用简便方法计算（每小题2分）：
⑴ 6×8×5×125；
⑵ 1250×56；
⑶ 12345×321－221×12345；
⑷ 7500÷4÷25；
⑸125÷500×8。
２．在□上填上适当的数字，使算式成立（每小题10分）：

３．应用题（每小题10分）：
⑴ 3人5天修路2160米，照这样计算，要修路6048米，7人要修______天。
⑵ 一辆汽车 从A地到B地，每分钟行570米，预计50分钟到达。行到一半里程时，机器发生故障，
用6分钟修好 。如果仍需要在预定的时间内到达，行完余下路程每分钟至少比原来快______米。
⑶ 父亲现年50岁，儿子现年14岁，______年以前，父亲的年龄是儿子的5倍。
４．填空（每小题5分）：
⑴ 最大的5位数与最的1位数的平均数是______。
⑵ 有10个连续的自然数，前5个数的和为165，后5个数的和是______。
⑶ 有 红、白、黑三种球，白球、红球合在一起是15个；红球、黑球共10个；黑球、白球共7个，三
种球中 红球______个，白球______个，黑球______个。
⑷ 下面多边形的周长是______厘米。已知转角全为直角。

⑸（98＋96＋94＋…＋6＋4＋2）－（97＋95＋93＋…＋3＋2＋1）=______。
⑹ 钟敲4下6秒敲完、钟敲12下要______秒。
⑺ 利用三根一样长的木棍，不许折断，你最多能摆出______个直角来。
⑻ 写下1，2，3，…，200。这200个自然数，数字2共写了______次。

（三）
前6题每题5分；以后每题10分。
１．1995×38＋1995×61＋1995 = ______。
２．1＋2＋3＋…＋1994＋1995 = ______。
３．已知1994年的元月一日是星期三，从元月二日开始，再过100天是星期______。 ４．小明买一支笔和一本书共付人民币壹圆捌角，小红买同样的笔两支，共付人民币贰圆肆角，小华买同样的书两本，应该付______元______角。
５．把1，3，5，7，0，9六数字分别 填到下面六个□中，使两个三位数的和最小，最
小和是______。
６．把10-18这9 个数分别填到图9-2的几个方格中，使每行、每列及两个对角线上面的每
三个数的和都相等。
７．小明期中考试语文得了87分，自然得了92分，体育得了85分，加上数学后的平均成
绩正好是 90分，他数学考了______分。
８．教室一横排共有12个座位，小明来时，这排座位上已经坐 了一些人，他发现自己无论坐在哪个空座
位上，必和前某一个同学相邻，在小明来之前，至少已坐了__ ____个人。
９．小明、小华和小红三人到书店买了14本书，小明买的本数是小红的2倍，小华买 的本数比小红多但
比小明少，那么小华买了______本书。
10．右边这个图形是由四个 相同的正方形组成的，四个图形总面积为144平方厘米，那么
它的周长是______厘米。
11．一道整数减法题是被减数是72，减数比差多14，差是______。
12．东西两 镇相距42千米，甲、乙两人同时骑自行车从东镇到西镇，甲每小时比乙快3千米，甲到达西
镇后立即返 回，在距离西镇6千米的地方与乙相遇，那么甲每小时行______千米。
13．甲、乙、丙、丁四 位同学参加运动会，他们胸前的号码都是由三个不同的数字组成的三位数，而且甲、
乙、丙三个同学每个 人都正好有两个号码的数字和顺序与丁相同，已知甲的号码是243，乙的号码是148，
丙的号码是2 58，那么丁的号码是______。
（四）
每题10分。
１．计算：1996－1994＋1992－1990＋…＋8－6＋4－2 = ______。 < br>２．小明计算一道乘数是一位数的乘法。第一次他把被乘数是个位数字看错了，得到的结果是425；第二
次他又把被乘数的十位数字看错了，得到的结果是315。那么这道题的正确结果是______。 < br>３．商店规定每3个空汽水瓶可以换1瓶汽水（连瓶），小明买了10瓶（连瓶）汽水，他喝完汽水后又继
续尽可能用空瓶换汽水喝。他前后一共可以喝______瓶汽水。
４．一串珠子（有足够多 ），按4个白色后面排5个黑色的规律排列，那么第1995个珠子是______色的珠
子。
５．按国务院规定每周工作6天与每周工作5天交替进行。在某一个月，虽然这个月是月小，但是这个月
却休息了8天（没有其他节日假），那么，这个月的1号是星期______。
６．按足球赛的新规 定：足球每胜一场得3分，败一场得0分。平一场各得一分。甲、乙、丙、丁四个队
进行循环比赛（每两 个队之间各比赛一场）。结果甲队得了9分，乙队得了2分，丙队得了4分，那么丁
队得了______ 分。
７．某班有50个同学投票选一名班长，共有甲、乙、丙三位候选人，中途统计甲累计得了18票 ，乙得了
12票，丙得了11票，甲只要再得______就能以票数最多而保证当选。
８．填数：

９．两个三位数相除，被除数、除数、商和余数四个数 的和正好是1000，已知商是6，余数是77，那么被
除数是______。
10．小明数 学测验前四次的平均成绩是77分，第五次测验后平均成绩上升了3分。那么他第五次数学测
验得了__ ____分。
附录 习题答案与提示
［习题精选］1.1
1．原式 = （19＋81）＋（32＋68）＋（23＋77）
= 100＋100＋100 = 300。
2．原式 = （63＋2037）＋（126＋874）＋（3458＋542）
= 2100＋1000＋4000 = 7100。
3．原式 = （178＋322）＋（99＋1）＋（95＋5）＋（106―1―5）
= 500＋100＋100＋100 = 800。
4．原式 = （8＋2）＋（23＋87）＋（7634＋2366）＋（579＋421）
= 10＋110＋10000＋1000 = 11120。
5．原式 = （8998＋2）－2＋（315＋685）
= 9000－2＋1000 = 9998。
6．原式 = （299999＋1）＋（39998＋2）＋（4997＋3）＋（596＋4）＋（67―1―2―3―4）
= 300000＋40000＋5000＋600＋57 = 345657。
7．原式 = 1000×6＋（4＋8＋9―5―3―2）
= 6000＋11 = 6011。
8．原式 = （13075＋10025）＋（931＋2069）＋（1064＋2036）
= 23100＋3000＋3100 = 29200。
［习题精选］1.2
1．原式 = （1＋100）×100÷2 = 5050。
2．数的个数 =（99－1）÷2＋1 = 50。
原式 = （1＋99）×50÷2 = 2500。
3．数的个数为 =（99＋1）= 100（个）。
原式 = （3＋3＋99×4）×100÷2 = 402×100÷2 = 20100。
4．项数：（708－15）÷7＋1 = 100
和：（15＋708）×100÷2 = 36150。
5．8 = 3＋1×5，13 = 3＋2×5，18 = 3＋3×5，…
所以第100个数为 3＋（100－1）×5
这些数的和为3＋8＋13＋…＋[3＋（100－1）×5]
= [3＋3＋（100－1）×5]×100÷2 = 25050。

答：数列前100个数和为25050。
6．[（1＋2＋3＋…＋12）＋12]×2
= [（1＋12）×12÷2＋12]×2 = 13×12＋12×2 = 180（下）
答：昼夜共敲180下。
［习题精选］1.3
用简便方法计算：
1．原式 = 1556－（372＋128）= 1556－500 = 1056。
2．原式 = 5131－1131－1992 = 4000－1992 = 4000－2000＋8 = 2008。
3．原式 = 7234＋766－2292－708 = 8000－（2292＋708）= 8000－3000 = 5000。
4．原式 = 4527－527－2998 = 4000－3000＋2 = 1002。
5．原式 = 7600－（1＋2＋3＋…＋100）= 7600－（1＋100）×100÷2 = 7600－5050 = 2550。
6．原式 = （1992－1989）＋（1986－1983）＋…＋（12－9）＋（6－3）
=

= 3×332 = 996。
其中3的个数为1992÷6 = 332。
［习题精选］1.4
用简便方法计算：
1．原式 = 324×35 = 324×70÷2 = 324÷2×70 = 162×70 = 11340。
2．原式 = 679×90÷2 = 30555。
3．原式 = 782×1000÷8 = 97750。
4．原式 = 55×110÷2 = 6050÷2 = 3025。
或 原式 = 5×（5＋1）×100＋5×5 = 3000＋25 = 3025。
5．原式 = 6×（6＋1）×100＋5×5 = 4225。
6．原式 = 9×（9＋1）×100＋5×5 = 9025。
7．原式 = 3×（3＋1）×100＋4×6 = 1246。
8．原式 = 5×（5＋1）×100＋8×2 = 3016。
9．原式 = 6×（6＋1）×100＋1×9 = 4209。
10．原式 = 567×（4×25）= 56700。
11．原式 = 125×8×3×4×25 = 1000×3×100 = 300000。
12．原式 = 524×（100＋2）= 524×100＋524×2 = 52400＋1048 = 53448。
13．原式= （300＋1）×（300－1）= 300×300－1×1 = 90000－1 = 89999。
14．原式 = 3145×（19＋81）= 314500。
15．原式 = 237×（113－13）= 23700。
［习题精选］2.1
１．每变一次为图形按顺时针方向旋转90°，所以答案如图所示。
２．图（a）（b）（c）中，x、y、z、的箭头顺序是逆时针方向，而（d）
顺时针方向，所以与众不同的图形为（d）。
３．图形变化有二：一是直角形位置变化；二是 另一个图形的笔画条数依次按1、2、3

变化。推知答案为（d）。
４．有两种变化：一是内外图形变化，互换，二是“角”的位置及颜色变化。答案如图所示。
５．图内小▲数量及排列位置呈规律变化。答案如题图所示。
［习题精选］2.2
１．⑴ 16； 16 = 13＋3；
⑵ 486； 486 = 162×3；
⑶ 34； 34 = 13＋21；
⑷ 30； 30 = 23＋7
⑸ 512； 512 = 256×2。
⑹ 7，10；奇数位上数与偶数位上数分别成等差数列，公差为2。
⑺ 1； 120÷2 = 60 60÷3 = 20 20÷4 = 5 5÷5 = 1。
⑻ 13；加3再减1之规律，14－1 = 13。
２．按每组数的规律填数：
13

35
9
⑵ ；4＋2 = 6， 6＋3 = 9，9＋4 = 13，13＋5 = 18；7＋3 = 10，10＋5 = 15，15＋7 = 22，22＋9 =
15
⑴
31。
３．根据图形中数的规律，填上所缺的数：
⑴ ？= 5×4×3 = 60；内数 = 外面三数之积。
⑵ ？= 28÷14＋4 = 6。
⑶ a = 6×5 = 30，b = 6×a = 180。
４．⑴ 除了7、11之间隔4外，其余均间隔2，所以缺的数为9，在7之后。
⑵ 1＋3＋5＋…＋15＋17 =（1＋17）×4 = 18×4 = 72。
［习题精选］2.3
1．因为158÷（5＋2＋2）= 17…5，所以最后5个全为红色。最后一张也是红色。
答：最后一张牌是红色。
2．红色有5×17＋5 = 90（张）
白色有2×17 = 34（张）
黑色有2×17 = 34（张）
答：红色、白色、黑色牌分别有90、34、34张。
3．每隔6个重复出现
100÷6 = 16…4。
⑴ 数字2出现了16＋1 = 17（次）
⑵ 和 = （2＋8＋5＋7＋1＋4）×16＋2＋8＋5＋7 = 454。
答：数字2出现了17次。这100个数字之和为454。
4．规律：黑白黑白白黑白黑白白…，所以被挡住的珠子至少有2个。（一黑一白）
5．黑珠子呈自然数列排列：1，2，3，4，…，8
4＋6＋6＋1＋1 = 18（个）
其中两个“1”为白珠子个数。
答：掉在地上的白珠子有2个，黑珠子有18个。