粮食日-狡猾

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2015年重庆市高考数学试卷（理科）



一、选择题：本大题 共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（ ）

A．A=B B．A∩B=∅ C．AB D．BA

2．（5分）在等差数列{a< br>n
}中，若a
2
=4，a
4
=2，则a
6
= （ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．6

3．（5分）重庆市201 3年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据
的中位数是（ ）


A．19 B．20 C．21.5 D．23

4．（5分）“x＞1”是“
A．充要条件
（x+2）＜0”的（ ）

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）


A． B． C． D．

6．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与

1

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的夹角为（ ）

A． B． C． D．π

7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的
条件是（ ）


A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤

8．（5分）已 知直线x+ay﹣1=0是圆C：x
2
+y
2
﹣4x﹣2y+1=0的对称轴 ，过点A（﹣
4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）

A．2 B．6 C．4 D．2
，则
D．4

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F

9．（5分）若tanα=2tan
A．1 B．2 C．3
=（ ）

10．（5分）设双曲线
作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的 垂线，两垂线
交于点D．若D到直线BC的距离小于a+
取值范围是（ ）

2
，则该双曲线的渐近线斜率的

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A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣
）


D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

，0） ∪（0，
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案
填写 在答题卡相应位置上.

11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为
12． （5分）
，则（a+bi）（a﹣bi）= ．

的展开式中x
8
的系数是 （用数字作答）．

，A的角平分线AD=，则AC= ．

13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=


三、考生注意：（ 14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三
题全做，则按前两题给分．
14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC
的 延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE= ．


15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，则直线l与曲线C的交点的极坐标
为 ．

16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ．



四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证 明过程或演
算步骤．

17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装 有10个粽子，其中
豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

3

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（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

18．（13分）已 知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos
2
x．

（I）求f（x）的最小正周期和最大值；

（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．

．D，19．（13分）如题图，三棱 锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=
E分别为线段AB，BC上的点，且CD= DE=
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

，CE=2EB=2．


20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）

（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极 值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，
f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

21．（12分） 如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，
过F
2
的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF
1

（Ⅰ）若|PF
1
|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若|PF
1
|=|PQ|，求椭圆的离心率e．



4

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22．（12分 ）在数列{a
n
}中，a
1
=3，a
n
+
1
a
n
+λa
n
+
1
+μa
n
2
=0（n∈N
+
）

（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若λ=


（k
0
∈N
+
，k0
≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．


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2015年重庆市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个
选项 中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（ ）

A．A=B B．A∩B=∅ C．AB D．BA

【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．

【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，

可得A≠B，A∩B={2，3}，B
故选：D．

【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．



2．（ 5分）在等差数列{a
n
}中，若a
2
=4，a
4
=2，则 a
6
=（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．6

A，所以D正确．

【分析】直接利用等差中项求解即可．

【解答 】解：在等差数列{a
n
}中，若a
2
=4，a
4
=2，则 a
4
=（a
2
+a
6
）=
解得a
6
=0．

故选：B．

【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．



3．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据
的中位数是（ ）

=2，


A．19 B．20 C．21.5 D．23


6

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【分析】根据中位数的定义进行求解即可．

【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，

则中位数为
故选：B．

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的 定义是解决本题的关键．比
较基础．



4．（5分）“x＞1”是“
A．充要条件
【分析】解“
案．

【解答】解：由“（x+2）＜0”

（x+2）＜0”的（ ）

，

B．充分而不必要条件

（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，

故“x＞1”是“
故选：B．

【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．



5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

（x+2）＜0”的充分不必要条件，


A． B． C． D．


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【分 析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体
积即可．

【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角
形，腰长为，高为1，一 个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右
侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，

所求几何体的体积为：
故选：A．

【点评】本题考查三视图与直观图的关系 ，组合体的体积的求法，判断几何体的
形状是解题的关键．



6．（5分）若非零向量，满足||=
的夹角为（ ）

A． B． C． D．π

||，且（﹣）⊥（3+2），则与
=．

【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．

【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），

∴（﹣）•（3+2）=0，

即3
2
﹣2
2
﹣•=0，

即•=3
2
﹣2
2
=
2
，

∴cos＜，＞===，

即＜，＞=
故选：A．

，

【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的< br>等价条件是解决本题的关键．



7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的

8

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条件是（ ）


A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤

【分析】模拟执行程序框图， 依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞
退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S ．

时，
【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，

因此S=
因此可填：S
故选：C．

【点评】本题考查了当型循环结 构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的
S值是解题的关键．


< br>8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x
2
+y
2
﹣4x﹣ 2y+1=0的对称轴，过点A（﹣
4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）

A．2 B．6 C．4 D．2

（此时k=6），

．

【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆 C的
圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得

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|AB|的值．

【解答】解：∵圆C：x
2
+y
2
﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），

故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．

∵AC=
∴切线的长|AB|=
故选：B．

【点评】本题主要考查 圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和
圆相切的性质的合理运用，属于基础题．



=2
=
，CB=R=2，

=6．

9．（5分）若tanα=2tan
A．1 B．2 C．3
，则
D．4

=（ ）

【分析】直接利用两角和与差的 三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的
基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可 ．

【解答】解：tanα=2tan，则
==

===
==

10

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==
=
故选：C．

===3．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用 ，考查
计算能力．



10．（5分）设双曲线=1（a＞0，b ＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F
作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC， AB的垂线，两垂线
交于点D．若D到直线BC的距离小于a+
取值范围是（ ）

A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣
） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）

•=
，0）∪（0，
，则该双曲线的渐近线 斜率的
【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得
﹣1，求 出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+
【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，
性 知D在x轴上，

设D（x，0），则由BD⊥AB得
∴c﹣x=，

，

，

•=﹣1，

），C（c，﹣
，即可得出结论．

），由双曲线的对称
∵D到直线BC的距离小于a+
∴c﹣x=||＜a+

11

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∴＜c
2
﹣a
2
=b
2
，

∴0＜＜1，

∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．

故选：A．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线B C的距
离是关键．



二、填空题：本大题共3小题，考生作答5 小题，每小题5分，共25分.把答案
填写在答题卡相应位置上.

11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）= 3 ．

【分析】将所求利用平方差公式展开得到a
2
+b
2
， 恰好为已知复数的模的平方．

【解答】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为
所以a
2
+b
2
=
故答案为：3．

【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．



12．（5分）的展开式中x
8
的系数是 （用数字作答）．

，

=3，则（a+bi）（a﹣bi）=a
2
+b
2
=3；

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，
即可求得展开 式中的x
8
的系数．

【解答】解：由于
令15﹣
的展开式的通项公式为 T
r
+
1
=
•=，

••，

=8，求得r=2，故开式中x
8
的系数是
故答案为：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础
题．



13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=

，A的角平分线AD=
12
，则AC= ．

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【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．

【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，
∠ADB=45°，

A=1 80°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，

AC=2
故答案为：
=
．

．

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．



三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三< br>题全做，则按前两题给分．

14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E， 过点A作圆O的切线与DC
的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1 ，则BE= 2 ．


【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．

【解答】解：设CE=2x，ED=x，则

∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，

∴由切割线定理可得PA
2
=PC•PD，即36=3×（3+3x），

∵x=3，

由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，

∴BE=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．



15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，
x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

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，则直线l与曲线C的交点的极坐标为
（2，π） ．

【分析】求出直线 以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐
标即可．

【解答】解：直线l的参数方程为
﹣y+2=0；

曲线C的极坐标方程为< br>可得它的直角坐标方程为：x
2
﹣y
2
=4，x＜0．

由，可得x=﹣2，y=0，

，

（t为参数），它的直角坐标方程为：x
交点坐标为（﹣2，0），

它的极坐标为（2，π）．

故答案为：（2，π）．

【点评】本 题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知
识的考查．



16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a= ﹣6或4 ．

【分析】分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性
求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．

【解答】解：∵函数 f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）
=，

根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．

当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．

当a≥﹣1时，f（x）=，

根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．

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综上可得，a=﹣6 或a=4，

故答案为：﹣6或4．

【点评】本题主要考查对由绝对值的函 数，利用单调性求函数的最值，体现了转
化、分类讨论的数学思想，属于中档题．



四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步 骤．

17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取
3个．

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；

（Ⅱ）随机变量X的取值为 ：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和
期望．

【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，

则由古典概型的概率公式有P（A）=
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，

则P（X=0）=
X

P

EX=0×+1×+2×
=，P（X=1）=
0


=．

=
1


，P（X=2）=
2


=，

=．
< br>【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率
是解决本题的关键 ．



18．（13分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣c os
2
x．


15

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（I）求f（x）的最小正周期和最大值；

（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．

【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变 换化简函数的解析式，再利用正弦函数的
周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．

（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在
上的单调性 ．

【解答】解：（Ⅰ）函数（fx）=sin（
=sin2x﹣cos2x﹣=si n（2x﹣
﹣x）sinx﹣
）﹣
．

∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x
，

x=cosxsinx﹣（1+cos2x）

故函数的周期为
（Ⅱ）当x∈
∈[
当
，
≤2x﹣
=π，最大值为1﹣
时，2x﹣
]时，f（x）为增函数；

≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．

【点评】本题主要考查三角恒等变换 ，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单
调性，属于中档题．



19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=
E分别为 线段AB，BC上的点，且CD=DE=
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD

（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

，CE=2EB=2．

．D，

【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；

（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角

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坐标系，易得
量可取
，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向
，由向量的夹角公式可得．

【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，

∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，

∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，

DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，

∴DE⊥平面PCD

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，

过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，

由∠ACB=得DF∥AC，
，，
，故AC=DF=，

的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，

以C为原点，分别以
则C （0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），

∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），

设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，

故可取=（2，1，1），

可取
=

由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量
∴两 法向量夹角的余弦值cos＜
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为
，
．

＞=
=（1，﹣1，0），


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【点评】本题考查 二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量
的夹角是解决问题的关键，属难题．



20．（12分）设函数f（x）=（a∈R）

（Ⅰ）若 f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，
f（1））处的切线 方程；

（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）
=0，解得a．可得f （1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线方程；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x
2
+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x
1
=，x
2
=．对x分类讨论：当x＜x
1
时；当x
1
＜x＜x
2
时；当x＞x
2
时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：
x
2
=≤3，解得即可 ．

解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0， 可
得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究

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其最大值即可．

【解答】解：（I）f′（x）==，

∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．

当a=0时，f（x）=，f′（x）=，

∴f（1）=，f′（1）=，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
（II）解法一：由（I）可得：f ′（x）=
x+a，

由g（x）=0，解得x
1
=，x
2
=．

，化为：3x﹣ey=0；

，令g（x）=﹣3x
2
+（6﹣a）
当x＜x
1
时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x
1
＜x＜x
2
时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此 时函数f（x）为增函数；

当x＞x
2
时，g（x）＜0，即f′（x）＜ 0，此时函数f（x）为减函数．

由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x
2
=
因此a的取值范围为：．

≤3，解得a≥﹣．

解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，

可得a≥
令u（x）=
，在[3，+∞）上恒成立．

，u′（x）=＜0，

∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，

∴a≥u（3）=﹣．

因此a的取值范围为：．

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用

19

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导数研究函数的单调性极值， 考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能
力与计算能力，属于难题．



21．（12分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，
过F
2
的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF
1

（Ⅰ）若|PF
1
|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若|PF
1
|=|PQ|，求椭圆的离心率e．


【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF
1
|+|PF
2
|，求出a，再 根据
2c=|F
1
F
2
|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程 ；

|PF
1
|=4a﹣2|PF
1
|，解得|PF
1
|=2（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF
1
|=
（2﹣）a，从 而|PF
2
|=2a﹣|PF
1
|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求 出
离心率．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF
1
| +|PF
2
|=2+
设椭圆的半焦距为c，由已知PF
2
⊥PF1
，因此2c=|F
1
F
2
|=
即c=，从而b==1 ，

．

+2﹣=4，故a=2，

=2，
故所求 椭圆的标准方程为
（Ⅱ）连接F
1
Q，由椭圆的定义，|PF
1
|+ |PF
2
|=2a，|QF
1
|+|QF
2
|=2a，
从而由|PF
1
|=|PQ|=|PF
2
|+|QF
2
|，

有|QF
1
|=4a﹣2|PF
1
|，

又由PQ ⊥PF
1
，|PF
1
|=|PQ|，知|QF
1
|=
a，从而|PF
2
|=2a﹣|PF
1
|=2（

|PF
1
|=4a﹣2|PF
1
|，解得|PF
1
|=2（2﹣）
﹣1）a，

20

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由PF
2
⊥PF
1
，知2c=|F1
F
2
|=，因此
e=====．

【点评】本题考查 了椭圆的定义2a=|PF
1
|+|PF
2
|，椭圆的标准方程，直角三角形
的勾股定理，属于中档题．



22．（12分）在数列{an
}中，a
1
=3，a
n
+
1
a
n< br>+λa
n
+
1
+μa
n
2
=0（n∈N+
）

（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ） 若λ=（k
0
∈N
+
，k
0
≥2），μ=﹣1，证明：2+ ＜＜2+．

【分析】（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（ n∈N
+
），
分析a
n
≠0后可得a
n
+
1
=2a
n
（n∈N
+
），即{a
n
}是一个公比q=2的等比数列 ．从而
可得数列的通项公式；

（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈
N）．进一步得到=，对n=1，
2，…，k
0
求和后放缩可得不等式左边，结合一步利用放缩法证明不等式右边．

【解答】（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有
若存在某个n
0
∈N
+
，使得
程可得a
1
=0，此 与a
1
=3矛盾，

∴对任意n∈N
+
，a
n
≠0．

从而a
n
+
1
=2a
n
（n∈N
+
），即{a
n
}是一个公比q=2的等比数列．

故
（Ⅱ）证明：由
．

，数列{a
n
}的递推关系式变为

，变形为：
21
，进
（ n∈N
+
）．

，重复上述过，则由上述递推公式易得
（n∈N）．

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由上式及a
1
=3＞0，归纳可得

3=a
1
＞a
2
＞…＞a
n
＞a
n
+
1
＞…＞0．
∵=，

∴对n=1，2，…，k
0
求和得：

=

＞
另一方面，由上已证的不等式知，
得
．

，

=2+．

综上，2+＜＜2+．

【点评】 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数
列不等式属难度较大的题目．



22