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高等数学优秀课件


高等数学优秀课件

高等数学优秀课件
教材分析:
圆是小学数学平面图形教学中唯一的曲线图形。本课 是在
学生了解和掌握了圆的特征、学会计算圆周长的计算以及学习
过直线围成的平面图形面积计 算公式的基础上进行教学的。教
材将理解“化曲为直”的转化思想贯穿在活动之中。通过一系
列 的活动将新的数学思想纳入到学生原有的认知结构之中，从
而完成新知的建构过程。学好这节课的知识， 对今后进一步探
究“圆柱圆锥”的体积起着举足轻重的作用。
【教学目标】
1、 了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过
程，掌握圆面积计算公式。
2、 能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆
面积知识解决一些简单实际的问题。
3、在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为
直”的思想，初步感受极限思想。
教学重点】
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探索并掌握圆的面积公式。
【教学难点】
探索推导圆的面积公式，体会“化曲为直”思想。
【教具准备】
投影仪，多煤体课件,圆形纸片。
【学具准备】
圆形纸片。
【教学设计】
一、 创设情境。提出问题
（投影出示P16中草坪喷水插图）这节 课我们就来学习如
何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积）
二、 探究思考。解决问题
1、估计圆面积大小
师：请大家估计半径为5米的圆面积大约是多大？ （让同
学们充分发挥自己感官，估计草坪面积大小）------
2、 用数方格的方法求圆面积大小
① 投影出示P16方格图，让同学们看懂图意后估算圆的
面积，学生可以讨论交流。
② 指明反馈估算结果，并说明估算方法及依据。
1、 根据圆里面的正方形来估计
2、 用数方格的方法来估计。
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三、 探索规律
1、 由旧知引入新知
师：大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯
形面 积分别是由哪些图形的面积来的吗？（学生回答，教师订
正。那么圆形的面积可由什么图形面积得来呢。
2、 探索圆面积公式
师：拿出我们剪好的图形拼一拼，看看能成为一个什么图
形？ 并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们
开始操作，教师巡视）
指名汇报（学生在说的同时教师注意板书）
请大家来观察一下刚才拼成的哪个图形更接近长方形呢？
[等分为32份的更接近长方形。]
想象一下，如果把一个圆等分的份数越多，拼成的图形越
接近什么图形呢？[等分的份数越多， 就越接近长方形。]
观察黑板上的板书，你能否由平行四边形或者长方形的面
积公式得到圆形 面积公式呢？并说出你的理由。（生说，教师
板书）
因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周 长的一半；平行
四边形的高就是圆形的半径。而平行四边形面积=底×高，那
么圆形面积公式= 圆周长的12×半径即可。
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因为拼成的长方形的 长也就是圆形周长的一半，长方形的
宽就是圆形的半径。而长方形面积=长×宽，那么那么圆形面
积=圆周长的12×半径即可。
用字母怎么表示圆面积公式呢？
S=∏RR还可以写作S=∏R2
师：这说明求圆的面积只需要知道半径即可，那我只告诉< br>你们圆的直径又如何求出圆的面积呢，请大家自己把这个公式
写出来。教师板书。
3、 应用圆面积公式
根据下面的条件,求圆的面积。
r=6厘米 d =0.8厘米 r=1.5分米
师：现在请大家用圆面积公式计算喷水头转动一周可以浇
灌多大面积的农田。 (学生独立解答，指名回答）
四：拓展应用
习题设计：
1.填空：
（１）圆的周长计算公式为（ ），圆的周长计算公式为
（ ）。
（２）一个圆的半径是3厘米，求它的周长，列式
（ ），求它的面积，列式（ ）。
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（３）一个圆的周长是１８．８４分米，这个圆的直径是
（ ）分米，面积是（ ）平方分米。
２.判断：
（１）半径是２厘米的圆，周长和面积相等（ ）［让孩
子知道得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。］
（２）一个圆形纽扣的半 径是１．５厘米，它的面积是多
少？列式：３．１４X１．５２＝３．１４X３＝９．４２平方
厘米。（ ）。［此题在计算１．５２的时候把１．５２看作
１．５Ｘ２，而１．５２＝１．５Ｘ１．５］
（３）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（ ）
（４）一个圆的半径扩大３倍，面积也扩大３倍。（ ）
（５）两个不一样大的圆，大圆的圆周率比小圆的圆周率
大。（ ）
３.实际应用：一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是
多少平方分米?
4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看
谁先做完,谁想的办法多?
(1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。
(2)可测圆的直径,根据S=π(d2)2求出面积。
(3)可测圆的周长,根据S=π·(c2π)2求出面积。
实践练习:
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圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个圆形，
怎 样才能计算广场的面积呢？[让学生讨论，你有哪些方案？
并留给学生课后去实践。这样，使学生意犹未 尽，感到课虽
尽，但疑未了，为下一课已知周长求面积埋下伏笔。]
修改稿：
一、 创设情境。提出问题
（投影出示P16中草坪喷水插图）
师：同学们，这是现代化农田里的 一个自动喷水头，喷射
的距离为5米，你们谁知道喷水头喷射一周，我们得到了一个
什么样的图 形？
学生回答：圆形]
[课件演示喷射过程，理解什么是圆的面积]
你们想知道 这样一个自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面
积是多少吗？这节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇 灌
的面积有多大。（板书：圆的面积）
第二环节估计圆面积大小的两种设计哪个好呢？
方案一：出示课件：：
用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面
积,( 如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3
个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多。
由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。
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三、 探索规律
1、 由旧知引入新知
我们在学习推导几何图形的 面积公式时,总是把新的图形
经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形, 大家
还 记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是
由哪些图形的面积推导来的吗？（学生回答后 教师课件演示平
行四边形，三角形，梯形面积推导过程。）
今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式
呢?
[这一探索性地设问, 使学生产生悬念,引入深思。它与得
出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免
与圆周长的计算公式(C=2πr) 产生混淆。]
2、 探索圆面积公式
（1） 学生操作
师：请大家拿出准备好的 16等分的圆，和小组同学一起
剪一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的
图 形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡
视）
（2）指名汇报
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初步汇报：你们把圆转换成了什么图形？（在学生说的同
时教师课件演示）
学生可能出现的4种情况：
（3）操作反思
小组内拿出32等分的圆形，剪一剪， 拼成一个长方形，
和用16等分的圆拼成的长方形比较你发现了什么？ [32等份
后拼成的图形更接近于长方形]
如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的 长方形会
怎样呢?(微机显示)(圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于
长方形。)
（4）转化思考：近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎
样用字母表示?
(圆周长的一半，C2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径
r)[课件演示]
（5）观察汇报： 你能否由长方形的面积公式得到圆形面
积公式呢？并说出你的理由。 [ 因为拼成的长方形的长也就
是圆形周长的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面
积=长 ×宽，那么那么圆形面积=圆周长的12×半径即可。]
（生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？
[指导学生自己动手,并通过微机演示, 把一个圆剪拼成近
似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,
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可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证
唯物主义观点。] （6）拓展探究：根据上面的由长方形的面
积计算公式推导出来圆的面积计算公式，你是否受到了启发？
刚才还有的同学把圆转化成了平行四边形，等腰三角形或者是
梯形，你能试着用你转化成的那个 图形的面积公式推出圆的面
积公式吗？[小组探究尝试，然后汇报，]
[师根据汇报演示：1 把圆16等份分割后拼插成近似的平
行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一
（C4 =πr2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以
S=πr2·2r=πr2 。2圆16等份分割后可拼插成近似的等腰
三角形。三角形的底
相当于圆周长的14,高相当于圆半径的4倍,所以
S=12·2πr4r=πr2
。3把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下
底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍 ,所以
S=12·πr·2r=πr2]
（7）总结：无论我们把圆拼成什么样的近似图形, 都能推
导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。说明在求
圆的面积时,都要知道 半径。
[引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等
积变形把圆面积转化成近似 的长方形、等腰三角形和等腰梯形,
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从而推导出圆 面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为
动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步 加深对圆
面积公式推导过程的理解。]
（8）升华：今天我们探究出了圆的面积计算公式，真 了
不起，在人们没有总结出这个公式的时候， 如何计算圆的面
积，是各国数学家共同关心的` 问题。老师这里有一段小故
事，大家一起来读一读。
内容：刘徽在校注《九章算术》时，创立了一种新的数学
方法—— “割圆术”来进行有关圆的 计算。《九章算术》中
已有圆面积的计算公式，但没有说明是怎么来的，刘徽为此苦
苦思索，有 一次他看见石匠在加工石料，石匠把一块方石砍去
四角，就变成八角形的石头，再去掉八个角又变成了十 六角
形，这样一凿一斧地干下去，一块方形石料就被加工成一根光
滑的圆柱了。刘徽因此得到启 发：原来圆与直线是可以相互转
化的。他认为一个圆的内接正多边形的边数越多，其周长就会
越 接近于圆的周长。同时，通过求圆内接正多边形的边长和圆
的直径之比，可以越来越精确地求得圆周率（ 即圆周与直径之
比），这就是所谓“割圆术”。“割之弥细，所失弥少，割之
又割，以至于不可 割，则与圆周合体而无所失矣。”这句话简
明扼要地概括了刘徽割圆术的实质。同时，刘徽在这里还用了
“极限”这个数学概念，今天我们知道“极限”是高等数学的
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基础。后来，祖冲之和他的儿子祖恒，利用割圆术，得出了
3.1415926＜ π＜3.1415927 。没有前人这样艰苦的努力，我
们现在就不可能精确地计算出圆的面积和周长 ，一切与圆有关
的计算无疑也要大打折扣了。
读了这个故事，你想说点什么？生说感受。看来 生活中处
处有数学，我们要培养自己热爱数学，善于观察的良好习惯
哦。下面我们就一起来动脑 筋解决以下下面的问题。
四：拓展应用
1.填空：
（１）圆的周长计算公式为（ ），圆的周长计算公式为
（ ）。
（２）一个圆的半径是3厘米，求它的周长，列式
（ ），求它的面积，列式（ ）。
（３）一个圆的周长是１８．８４分米，这个圆的直径是
（ ）分米，面积是（ ）平方分米。
２.判断：
（１）半径是２厘米的圆，周长和面积相等（ ）［让孩
子知道得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。］
（２）一个圆形纽扣的半 径是１．５厘米，它的面积是多
少？列式：３．１４X１．５２＝３．１４X３＝９．４２平方
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厘米。（ ）。［此题在计算１．５２的时候把１．５２看作
１．５Ｘ２，而１．５２＝１．５Ｘ１．５］
（３）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（ ）
（４）一个圆的半径扩大３倍，面积也扩大３倍。（ ）
（５）两个不一样大的圆，大圆的圆周率比小圆的圆周率
大。（ ）
3、根据下面的条件,求圆的面积。
r=6厘米 d =0.8厘米
4、实际应用：一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是
多少平方分米?
5、要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比
看谁先做完,谁想的办法多?
(1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。
(2)可测圆的直径,根据S=π(d2)2求出面积。
(3)可测圆的周长,根据S=π·(c2π)2求出面积。
师：经过一节课的学习，你们能计算出喷水头转动一周可
以浇灌多大面积的农田了吗？ (学生独立解答，指名回答)
实践练习:
圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个 圆形，
怎样才能计算广场的面积呢？[让学生讨论，你有哪些方案？
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并留给学生课后去实践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽
尽，但疑未了， 为下一课已知周长求面积埋下伏笔。]
3稿教案设计
一、 回顾旧知，引出新知
师：我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的
图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们 熟悉的图形,
大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分
别是由哪些图形的 面积推导来的吗？
（学生回答后教师课件演示平行四边形，三角形，梯形面
积推导过程。）
师：大家说的真好，我们运用这些数学知识解决了许多实
际生活中的问题，通过今天这堂数学课 的学习，你一定会增加
新的用数学解决问题的本领，有信心吗？
二、 创设情境。提出问题
（投影出示P16中喷水动画）：
师：请你用数学的眼光来观察画面，这是现代化农田里的< br>一个自动喷水头，喷射的距离为5米，从画面中得到了哪些数
学信息？[课件演示喷射过程，理解 什么是圆的面积]
学生可能回答：圆形，知道半径是5M
师：你能提出哪些数学问题呢？
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学生可能回答：这个自动喷水头喷射一周的周长是多少？
自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是多少？
师：求喷水头转动一周浇灌的面积有多大就是 求谁的面
积？课件演示由生活中的圆抽象的过程。（板书：圆的面积）
三、 探究思考。解决问题
1、估计圆面积大小
你能估一估这个圆的面积是多大平方米吗？
（1）与同桌说一说你是怎么估的
（2）汇报
师：求圆的面积，我们用数格子的方 法方便吗？如何又快
又好的求出圆的面积呢？[引出用公式计算。]
2、 探索圆面积公式
（1） 学生操作
师：请大家拿出准备好的的圆，和小组同学一起剪一剪，
拼一拼， 看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原
来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视 ）
（2）指名汇报实物展台展示
初步汇报：如何分的，把圆转换成了什么图形？拼成的图< br>形与原来的圆形有什么关系？（在学生说的同时教师课件演
示）
学生可能出现的4种情况：
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（3）操作反思
根据同学汇报，观察反思 (圆等分的份数越多,拼成的图
形越接近于长方形。
（4）转化思考：近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎
样用字母表示?
(圆周长的一半，C2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径
r)[课件演示]
（5）观察汇报： 你能否由长方形的面积公式得到圆形面
积公式呢？并说出你的理由。 [ 因为拼成的长方形的长也就
是圆形周长的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面
积=长 ×宽，那么那么圆形面积=圆周长的12×半径即可。
（生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？
[指导学生自己动手,并通过微机演示, 把一个圆剪拼成近
似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,
可以培养学生 初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证
唯物主义观点。
（6）拓展探究：根据上面的 由长方形的面积计算公式推
导出来圆的面积计算公式，你是否受到了启发？刚才还有的同
学把圆 转化成了平行四边形，等腰三角形或者是梯形，你能试
着用你转化成的那个图形的面积公式推出圆的面积 公式吗？
[小组探究尝试，然后汇报，
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[师根据汇报演示：1把圆16等份分割后拼插成近似的平
行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的 四分之一
（C4=πr2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以
S=πr22r=πr22圆 16等份分割后可拼插成近似的等腰三角
形。三角形的底
相当于圆周长的14,高相当于圆半 径的4倍,所以
S=122πr4r=πr23把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯
形上底 与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所
以S=12πr2r=πr2]
（7 ）总结：今天我们已经实践证明了，无论把圆拼成什
么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr 2,说明在求
圆的面积时,都要知道半径。
[引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法 ,利用等
积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,
从而推导出圆面积计算 公式。同时,利用计算机的演示,化静为
动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆
面积公式推导过程的理解。]
师：生活中处处有数学，我们要培养自己热爱数学，善于
观察的良好习惯。下面我们就一起来动脑筋解决以下下面的问
题。
四：实践应用
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你能计算出人民大会堂前的这样一个石柱的占地 面积吗？
怎样才能计算广场的面积呢师总结：大家真是太聪明了，通过
一节课的学习，你们的用 数学知识解决问题的本领更强了，希
望大家用数学的眼光到生活中找一找我们用今天学习的圆的面
积公式，还能能解决那些实际问题。好吗？
3稿教案教学反思
教学反思：
通过 试讲觉得学生对活动的设计比较喜欢，思维活跃，教
案设计基本满意。结合自己课堂教学体验反思和网友 和学校领
导的悉心帮助，总结出以下不足：
1、教学语言“迟钝”。
我平时讲课领 导总说我语速快，可这次今天试讲后领导首
先说的一句就是：今天的语速有点慢了。分析原因是：修改完
完成3稿教案，做完课件已经凌晨了3点，6点起床，9点30
分试讲，思路虽然清晰，但教案 熟悉内化的时间太短， 语言
组织不够自然，加上有领导和摄象，所以不自觉的紧张。
2、复习占用时间不当。
复习设计方式不够合理，教师的演示过程加上学生的叙述
占 用了宝贵的时间，现在反思，这一环节如此“精细”是在浪
费课堂的宝贵时间。
3、探究没有充分放手。
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在探究圆的 面积公式推导过程中，孩子的兴趣是很高的，
但在学生汇报的环节，我总是担心孩子，在孩子操作演示的 时
候给予帮助。造成了放手不够，造成了引导过度的现象。出现
了探究一直是在我的控制下进行 。
4、没给问题爆发的机会。
教学中很关注“R2” 在运算中容易出现的问题，所以在< br>教学时直接提醒学生这一运算顺序，本以为做的很好，但现在
反思，我的“先预防错误出现”的做 法，失去了让学生经历在
错误中反思的珍贵体验，也就是说由于我的“认真”，在计算
应用环节 孩子们失去了精彩的错误分析与错误反思。这也是我
们学生为什么学过知识遗忘快的根结所在，没有充分 理解，怎
么能记得好呢？
参赛的过程，是雪燕子学飞的过程。我在一次次反思中发
现 自己的不足，看到自己的幼稚，发现并改正自己教学不足的
过程是痛并快乐的。
有以上的反思 要谢谢网友们的帮助，区教研员和学校领导
的引导。由于自己数学教学的水平有限，也许我的反思还有不
当的地方。请大家继续热心指导。

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