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中学数学全套课件制作实例（几何画板）
1、《几何画板》：绘制三角形内接矩形的面积函数图像
2、《几何画板》：求过两点的直线方程
3、《几何画板》：验证两点间距离公式
4、《几何画板》：绘制分段函数的图像
5、《几何画板》：绘制某区间内的函数图像
6、《几何画板》：运用椭圆工具制作圆柱
7、《几何画板》：绘制四棱台
8、《几何画板》：绘制三棱柱
9、《几何画板》：绘制正方体
10、《几何画板》：绘制三角形的内切圆
11、《几何画板》：通过不在一条直线上的3点绘制圆
12、《几何画板》：给定半径和圆心绘制圆
13、《几何画板》：绘制棱形
14、《几何画板》：绘制平行四边形
15、《几何画板》：绘制等腰直角三角形
16、《几何画板》：旋转体教学
17、《几何画板》：画角度的箭头
18、《几何画板》：“派生”关系进行轨迹教学板
19、《几何画板》：制作“椭圆”工具
20、《几何画板》：显示圆和直线的位置关系
21、《几何画板》：研究圆切线的性质
22、《几何画板》：“垂径定理”的教学
23、《几何画板》：证明三角形的中线交于一点
24、《几何画板》：验证分割高线长定理
25、《几何画板》：证明三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半
26、《几何画板》：证明三角形内角和等于180度
27、《几何画板》：验证三角形面积公式
28、《几何画板》：验证勾股定理
29、《几何画板》：验证正弦定理
30、《几何画板》：验证圆弧的三项比值相等
31、《几何画板》：巧用Excel制作函数图像
32、《几何画板》：绘制极坐标系中的曲线函数图像
33、《几何画板》：绘制带参数的幂函数图像
34、《几何画板》：绘制带参数的正弦函数图像
35、《几何画板》：绘制带参数的抛物线函数图像
36、《几何画板》：绘制带参数的圆函数图像
37、《几何画板》绘制带参数直线函数图像
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《几何画板》：1.绘制三角形内接矩形的面积函数图像
第1步，启动几何画 板，依次单击“绘图”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。单击工具
箱上的“文本” 工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手时，单击
鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“A ”。
第2步，单击工具箱上的“点”工具，在坐标系第一象限绘制出
任意一点，并用“文本 ”工具加注标签为B。单击工具箱上的“点”
工具，移动光标至X轴上，当X轴呈现高亮度时，单击鼠标 左键，在
X轴上绘制出一点，并用“文本”工具加注标签为C。单击工具箱上的
“选择箭头”工 具，选中点A、点B和点C，按快捷键“ctrl+L”，在
操作区绘制出三角形ABC，如图187所 示。

第3步，单击工具箱上的“点”工具，移动光标至线段AC上，当
线段AC呈 现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出一点，并用“文本”工
具加注标签为D。单击工
具箱上的“ 选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象，然后
选中点D和线段AC，依次单击“构造”→“ 垂线”菜单命令，绘制出
过点D的选段AC的垂线。单击工具箱上的“选择箭头”工具，移动光
标至线段AB和刚绘制的垂线上，当他们均呈现高亮度时，单击鼠标左
键，绘制出他们的交点，并加注标 签为E。单击工具箱上的“选择箭头”
工具，选中点E和线段AC，依次单击“构造”→“平行线”菜单 命令，
绘制出过点E的线段AC的平行线。单击工具箱上的“点”工具，移动
光标至刚绘制的平 行线和线段BC的交点处，当他们均呈现高亮度时，
单击鼠标左键，绘制出交点，并用“文本”工具，加 注标签为F。单击
工具箱上的“选择箭
头”工具，选中点F和
线段AC，依次单击“构
造”→“垂线”菜单命令，绘制出垂线，并用上述方法，绘制出与
线段AC的交点G，如图18 8所示。
第4步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中第3步中绘
制的两条垂线和一条 平行线，按快捷键“ctrl+H”，隐藏它们。然
后依次选中点D、点E、点F和点G，依次单击“构 造”→“四边形
内部”菜单命令，填充四边形内部，如图189所示。依次单击“度
量”→“面 积”菜单命
令，矩形DEFG的面积值
显示在操作区中。
第5步，单击工具箱 上的“选择箭头”工具，单击操作区空白
处，释放所选对象，然后依次选中点D、点E、点F和点G，按 快捷键
“ctrl+L”，得到矩形DEFG，如图190所示。

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第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对 象，然后选中点A和点D，依次
单击“度量”→“距离”菜单命令，操作区中显示线段AD的长度度量值 。选中操作区中显示的两个度量值，依次
单击“图表”→“制表”菜单命令，操作区显示一表格，如图1 91
所示。右键单击表格，单击“属性”菜单项，弹出“属性”对话框，
单击
“表”选
项卡，取消
“在最后
一行中跟
踪变化中
的值”选
项，如图< br>192所示，
然后单击
“确定”
按钮。
第7步，拖动点D到一个新 位置，双击表格，表格中增加一行。用同样
方法，不断增加表格中的数据，直
到如图193所示 。
第8步，单击工具箱上的
“选择箭头”工具，单击操作区空
白处，释放所选 对象，选中表格，
依次单击“图表”→“绘制表中记
录”菜单命令，弹出“绘制表格数
据图像”对话框，单击“X”按钮下
拉列表中的“AD”，如图194所示，

“Y”下拉列表中选择“面积DEFG”，然后单击“绘制”按
钮，操作区中绘制出一些点，如图195 所示。


第9步，拖动点D至一新位置，可看到操作区中的两个度量值也< br>发生变化，依次选中AD距离的度量值和矩形DEFG的面积度量值，依
次单击“图表”→“绘制 （X、Y）”菜单命令，绘制出一点，并加注
标签为R。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点R和 点D，依次
单击“构造”→“轨迹”菜单命令，操作区中显示图像， 如图196所
示。
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第10步，在图像处于 被选中状态下时，按住“shift”键，依次单击“显示”→“线型”→“粗线”命令，将
函数图像设 置为粗线。并用“文本”工具增加说明性文字，并拖动到适当位置，如图197所示。


第11步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件


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《几何画板》：2求过两点的直线方程
第1步，启动几何画 板，依次单击“图表”→“定义坐标系”
菜单命令，在操作区建立直角坐标系。然后依次单击“图
表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的网格。单击工具
箱上的“文本”工具，移动光标至圆点 ，当变成一只小黑手时，
单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“O”。同
法，给 单位点加注标签为“1”。

第2步，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区绘制出 任
意三角形，并用“文本”工具修改标签为“A”、“B”、“C”。
单击工具箱上的“选择箭 头”工具，选中点A和线段BC，依次单
击“构造”→“垂线”菜单命令，绘制出过点A垂直于线段BC
的垂线。单击工具箱上的“点”工具，移动光标至刚绘制的垂线
与线段BC的交点处，当两条线 均呈现高亮度时，单击鼠标左键，
绘制出
两条线的交点，并用“文本”工具加注标签为“D”， 如图
181所示。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白
处，释放所选 对象，然后选中线段BC的垂线，按快捷键
“ctrl+H”，隐藏该垂线。然后选中点A和点D，按快 捷键
“ctrl+L”，绘制出线段AD。用同样方法，绘制出线段AB
的高CE，如图182 所示。
第3步，单击工具箱上的“点”工具，移动光标至线段
AD和线段CE的交点处 ，当两条线段均呈现高亮度时，单击
鼠标左键，绘制出两条线段的交点，并用“文本”工具，加
注标签为H。在点H处于选中状态下时，依次单击“度
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量”→“横坐标”菜单命令，点H的横坐标度量值显示在操作区中，同样方法，度量出点H的纵坐标的度量值， 如
图183所示。
第4步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中点B和线段AC，依 次单击“构造”→“垂线”菜单命令，
绘制出过点B的线段AC的垂线。单击工具箱上的“点”工具，移 动光标至刚绘制的垂线和线段AC的交点处，当两
条线均呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出两条线的 交点，并用“文本”工具加注标签为F，如图184所示。

第5步，单击工具箱上的“选 择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中直线BF，依次单击
“度量”→“方程”菜 单命令，操作区中显示直线BF的方程式，如图185所示。依次单击“度量”→“计算”菜
单命令，弹 出“新建计算”对话框，将点H的横坐标值0.60代入直线方程，计算器上显示如图186所示的计算式，单击“确定”按钮，操作区显示计算式及结果。观察结果，可发现此结果与点H的纵坐标值相等。


第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。
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《几何画板》：3验证两点间距离公式
第1步，启动几何画板 ，依次单击“图
表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角
坐标系。然后依次单击“图 表”→“隐藏网格”菜单
命令，隐藏坐标系中的网格。单击工具箱上的“文本”
工具，移动光标 至圆点，当变成一只小黑手时，单击
鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“O”。
同 法，给单位点加注标签为“1”。单击工具箱上的
“点”工具，在操作区任意绘制两点，并用“文本”< br>工具修改标签为“A”和“B”，如图176所示。

第2步，单击工具箱上的 “选择箭头”工具，选
中点A和点B，依次单击“度量”→“坐标”菜单命
令，操作区中显示两 点的坐标值。单击操作区空白处，
释放所选对象，然后右键单击点A，单击“横坐标”，
点A的 横坐标值显示在操作区中。同样方法，度量点A
的纵坐标值，以及点B的横坐标和纵坐标值。选中点A和 点B。依次单击“度量”→“坐标距离”菜单命令，度量
值显示在操作区，如图177所示。

第3步，选中操作区中的“XA=2.96”、“YA=0.95”、
“XB= -2.17”和“YB=-1.56”，依次单击“度量”→“计
算”菜单命令，弹出“新建计算”对话 框，依次单击“函数”
下拉列表中的“sqrt”、左括号“（”、左括号“（”、“数
值”下 拉列表中的“XA”、计算器上的减号“-”、“数值”
下拉列表中的“XB”、右括号“）”、计算器 上的平方号
“∧”、数字“2”、计算器上的加号“+”、左括号“（”、
“数值”下拉列表中 的“YA”、计算器上的减号“-”、“数
值”下拉列
表中的
“YB”、右
括 号“）”、
计算器上的
平方号
“∧”、数
字“2”，对话框中显示计算式，如 图178所示，

单击“确定”按钮，操作区中显示计算结果，如图179所
示。并将其拖动到适当位置。
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第4步，选中操作区中显示的用两点间距离公式计 算的两点间距离以及“AB=5.72”，依次单击“图
表”→“制表”菜单命令，操作区中显示一表格 ，如图180所示。


第5步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后拖 动点A或点B，观察两组值的变化，比较他们是否相等。
依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文 件。
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《几何画板》：4绘制分段函数的图像
第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定
义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角 坐标系。单击工具
箱上的“文本”工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手
时，单击鼠标左键 ，然后再双击鼠标左键，将标签修改为
“O”，同样方法，给单位点加注标签为“A”。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，然后依次
选中点A和点O，依次单击“构造” →“射线”菜单命令，
在操作区中绘制出射线AO，即为区间X≤1。然后单击工具
箱上的“点 ”工具，移动光标至X轴上，当X轴呈现高亮度
时，在点A右边作出任意一点B，按照上述方法，绘制出 射
线AB。然后再用“点”工具，分别在X轴上，点A的左边
和右边分
别绘制出
点C和点D，
如图163所
示。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单 击操作区空白
处，释放所选对象，然后选中点C，依次单击“度量”→“横坐标”
菜单命令，度 量值显示在操作区中。选中操作区中显示的度量值，
依次单击“数值”→“计算”菜单命令，弹出“计算 器”对话框，
依次单击“数值”下拉列表中的“Xc”、计算器上的平方号、数字
“2”，对话 框中显示计算式，如图164所示，
单击“确定”按钮，操作区中显示计算式及结果。单击操作区
空白处，释
放所选对
象，然后依次选中度量值“Xc=-1.75”和操作中显示的另 外
一个计算值，依次单击“图表”→“绘制（X,y）”菜单命
令，在操作区绘制出一点，并用 “文本”工具加注标签为
“E”。依次选择点C和点E，单击“构造”→“轨迹”菜
单命令，绘 制出区间函数图像，如图165所示。
第4步，单击操作区空白处，释放所选择对象，按照上
述方法，度量出点D的横坐标值，依次单击“度量”→“计
算”菜单命令，单击“数值”菜单的下拉列 表中的“Xd”，
然后单击“确定”按钮，操作区中显示计算值。依次选中操
作区中的两个“X d=2.22”，单击“图表”→“绘制（x,y）”
菜单命令，绘制出一点，并用“文本”工具加注标 签为
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“F”。单击工具箱上的“选择箭头”工具，依 次选中点D和
点F，单击“构造”→“轨迹”菜单命令，绘制出区间内函数
y=x的图像，如图 166所示。
第5步，打开微软的文字处理软件Word，利用绘图工具
编辑输入如图167所示的公式，

将此公式“复制”、“粘贴”到操作区空白处，如
图168所示。


第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。
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《几何画板》：5绘制某区间内的函数图像
第1步，启动几何画板，依次 单击“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。然后
依次单击“图表”→“隐藏网 格”菜单命令，隐藏坐标系中的网格。单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至圆
点，当变成一只小黑 手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签修改为“O”。同法，给单位点加注标签
为“1”。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象。依次单 击“图表”→“绘制
点”菜单命令，弹出“绘制点”对话框，按照图143所示输入数据，

单击“绘制”按钮，操作区显示一点。继续在对话框中输入数据，如图144所示，

单击“确定”操作区中又显示一点。单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至绘制的第一点上，当 光标
变成小黑手时，双击鼠标左键，弹出如图145所示的对话框，按照图所示，在标签栏里输入“π” ，然后单击“确
定”按钮。同样方法，在第二个绘制点上加注标签“-π”。

第 3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点π和点-π，按快捷键“ctrl+L”，绘制出两点间的线段 。
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第4步，单击工具箱上的“点”工具，移动光 标至线段
上，当线段呈现高亮度时，单击鼠标左键，在线段上绘制出
任意一点，并用“文本”工 具，加注标签为E。依次单击“度
量”→“横坐标”菜单命令，度量点E的横坐标值，然后依
次 单击“编辑”→“参数选项”菜单命令，弹出“参数选
项”对话框，选择“单位”选项卡下拉列表中的“ 弧度”单
位，如图147所示，
然后单击“确定”
按钮。
第5步，单击工 具箱
上的“选择箭头”
工具，选中度量值，依次单击“度量”→“计算”菜单命令，依次选择计
算器上的“2”、乘号“*”、“函数”下拉列表中的“sin”、计算器上的
“1”、除号“ ÷”、数字“2”、“数值”下拉列表中的“XE”、计算器
上的“+”、“数值”下拉列表中的“π” 、计算器上的“÷”、数字“6”，
这时对话框中显示计算式，如图148所示，单击“确定”按钮，操 作区显
示计算结果。
第6步，选中操作区显示的度量值和计算值，依次单击“图表”→“绘
制（X，Y）”菜单命令，绘制出一点，并用“文本”工具加注标签F。单击工具箱上的“选择键头”工 具，依次选
中点E和点F，依次单击“构造”→“轨迹”菜单命令，绘制出
函数在区间内的图像 ，如图149所示。
第7步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中（π、
0）和（ -π、0）两个点以及X轴，依次单击“构造”→“垂线”
菜单命令，绘制出X轴的两条垂线，然后按住 “shift”键，单
击“显
示”→“线
型”→“虚
线”菜单命
令， 设置垂
线为虚线，
如图150所
示。
第8步，
依次单击
“文
件”→“保存”菜单命令，保存文件。
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《几何画板》：6运用椭圆工具制作圆柱
第1 步，启动几何画板，打开“课件实例12”所作的椭圆工具。依次单击“文件”→“新画板”菜单命令，
建立新文件。单击工具箱上的“自定义工具”，在其下级菜单中单
击“画椭圆”→“画椭圆”工具，在操 作区拖动光标，绘制出大小
合适的椭圆。

第2步，单击工具箱中的“选择箭 头”工具，选中除椭圆外所
有点。然后依次单击“显示”→“隐藏”菜单命令，隐藏这些点。
单 击工具箱上的“点”工具，移动光标至椭圆上，当光标呈现高亮
度时，单击鼠标左键，绘制出椭圆上的任 意一点，单击“文本”工
具，修改标签为“F”。

第3步，单击工具箱上的 “选择箭头”工具，选中点F，依次单
击“变换”→“平移”菜单命令，弹出平移对话框，如图51所示 ，
按图51中参数值输入数据，单击“平移”按钮，绘制出点F平移6
厘米的点F'。选中点F 和点F'，按快捷键“ctrl+L”，作出线段FF'。
第4步，单击工具箱上的“选择箭头 ”工具，选中点F'和点F'，依次单击“构造”→“轨迹”菜单命令，
绘制出点F'的轨迹。同法选中 点F和线段FF'，依次单击“构造”→“轨迹”菜单命令，绘制出椭圆侧面，如图52
所示。选中上下 底面椭圆，按住“shift”键，依次单击“显示”→“线型”菜单命令，选中“线型”菜单的下级
菜 单“粗线”，使上下地面均为“粗线”。同法在“显示”→“颜色”菜单的下级菜单中选择“红色”，如图53< br>所示。

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第5 步，增加说明性文字。单击工具箱上的“文本”工具，在操作区内空白处划出一个矩形框，输入“用椭圆
工具作圆柱”，在文本工具栏中修饰字体即可，如图54所示。


第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件。





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《几何画板》：7绘制四棱台
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具， 按
照“实例10”中的“第1步”的方法，在操作区绘制出四边形ABCD，
如图37所示。
第2步，单击工具箱上的“点”工具，在四边形ABCD的上方单击
鼠标左键，作出一点E。单 击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点E，
依次单击“变换”→“标记中心”菜单命令，标记点E为中 心点。



第3
步，按住鼠标左键不放，在操作区中拉出 一个足够大
的虚线框框住四边形ABCD的所有对象，如图39所示。
依次单击“变换”→“缩 放”菜单命令，弹出缩放对
话框，设置参数如图37所示，单击“缩放”按钮，
即可作出四边形 A'B'C'D'。

第4步，单击操作区空白处释放被选择对象，选中点A和点A'， 按快捷键“ctrl+L”，绘制出线段AA'。
同法绘制线段BB'、线段CC'和线段DD'，如图 40所示。
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第5步 ，选中线段AD、DC、CB、DD'、CC'，按住“shift”键不放，依次单击“显示”→“线型”菜单 命令，
移动光标至“线型”菜单的下级菜单“虚线”处单击鼠标左键，把线段线型设置为虚线，如图41 所示。


第6步，根据需要按照“实例9”中的方法，可添加说明性文字。 依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保
存此文件。
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《几何画板》：8绘制三棱柱
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“ 直
尺”工具，按住“shift”键不放，在操作区作出一条
水平线段AB。移动光标至点A上 方，当光标呈现高亮
度时，按住鼠标左键不放，拖动光标作出点B。同法将
点A和点B连接，作 出三角形ABC，如图34所示。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选
中三角形的 3条边以及3个顶点。依次单击“变
换”→“平移”菜单命令，弹出平移对话框，如图35
所示 ，按图中所示输入数据，然后点击“平移”按钮，
即可得到三角形A'B'C'。


第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作
区空白处，释放所选对象。然后选中 点A和点A'，按快捷键
“ctrl+L”，作出线段AA'。同法作出线段BB'和线段CC'。

第4步，选中线段AB，按住“shift”键不放，依次单
击“显示”→“线 型”菜单命令，单击“线型”菜单的下级
菜单“虚线”命令，把线段AB的线型设置成虚线，如
图36所示。


第5步，根据需要按照“实例9”中的方法，可添
加 说明性文字。依次单击“文件”→“保存”菜单命
令，保存此文件。
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《几何画板》：9绘制正方体
第1步，启动几何画板，单击工 具箱上的“直尺”工具，按住“shift”键不放，在操作区作出一条水平
线段AB。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A，依次单击“变换”→“标记中心”菜单命令 ，将点A
标记为中心点。选中点B和线段AB，依次单击“变换”→“旋转”菜单命令，弹出对话框，在 “固定角度”框种填
入“90.0”度，单击“旋转”，即可得到线段AB旋转90.0度后的线段AB '，如图28所示。单击工具箱上“文本”
工具，改标签“B'”为“D”。用同样方法，以点D为中心 点旋转AD，作出线段DC。选中点C和点B，按快捷键
“ctrl+L”，作出线段CB，即得到正方 形ABCD的前侧面，如图29所示。

第3步，移光标至点A，双击鼠标左键，标记中心点 。同时选中线段AB和点B，依次单击“变换”→“旋转”
菜单命令，在对话框“固定角度”框中填入“ 45”度，单击“旋转”按钮，作出线段AB按逆时针旋转45度的线段
AB'。选中线段AB和点B， 依次单击“变换”“缩放”菜单命令，弹出对话框，如图30。按图30中所示设置参数
后，单击“确定 ”按钮，作出线段AB'缩小一半的线段AB''，如
图31所示。





第4步，
单击工具箱
上的“文
本”工具，
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将标前“B''”改为“A'”。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中线段AB'和点B' ，依次单击“显示”→“隐
藏”菜单命令，将其隐藏。

第5步，同样方法，以 点B为中心点，将线段BC和点C旋转-45度，并将旋转后的线段缩小一半，绘制出线段
BB'，同理 形成这样的图形，如图32所示。
第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A'、点B'、点C'、点D'，按快捷键“ctrl+L”，作出正方体的后侧
面。即得到正方体，如图 33所示。


第7步，根据需要按照“实例9”中的方法，可添加说明性文字 。依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保
存此文件。
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《几何画板》：10绘制三角形的内切圆
第1步，启动几何画板，单击工 具箱上的
“直尺”工具，按住“shift”键不放，在操
作区作出一条水平线段AB。当光标 在点B处呈
现高亮度时，单击鼠标左键不放，移动光标至
另一处，作出线段BC。同法继续移动 鼠标，画
出三角形ABC，如图24所示。

第2步，单击工具箱上的“选择 箭头”工
具，单击操作区空白处释放被选对象。然后先
后选中点C、点A和点B，依次单击“构
造”→“角平分线”菜单命令，绘制出角CAB
的平分线。单击工具箱上的“文本”工具，标< br>注角分线标签为j。同法作出角ABC的角分线
k，单击工具箱上的“点”工具，在两条角分线的交点处单击鼠标左键，作出交点D。

第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工
具，选中点D和线段AB，依次单击“构
造”→“垂线”菜单命令，作出过点D的线段
AB的垂线，如图25所示。单击工具箱上的
“点”工具，移动光标至垂线l和线段AB的交点处，当光
标呈现高亮度时，单击鼠标左键，作出交点E。


第4步，单击操 作区空白处，释放被选中对象，先后
选中点D和点E，单击“构造”→“以圆心和圆周上的点
绘 圆”菜单命令，作出以点D为圆心经过点E的圆，即三
角形ABC的内切圆，标注标签为C1，如图26 所示。


第5步，选中圆C1，按住“shift”键，及时单击
“显示”→“线型”菜单项，移动光标至“线型”菜单
的下级菜单“粗线”处单击鼠标左键，内切圆线型 改为
粗线。
20 68

第6步， 在圆C1被选中状态下，按住“shift”键，及时单击“显示”→“颜色”菜单项，移动光标至“颜色”菜单下的“红色”处单击鼠标左键，把圆的颜色设置为红色。

第7步，增加说明 性文字。单击工具箱上的“文本”工具，在操作区空白处拖动鼠标画出一个矩形框，进入文
本编辑状态， 键入“三角形的内切圆”，可通过框下放工具栏直接改变文本中字体的大小、粗细等，如图27所示。


第8步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件。
21 68

《几何画板》：11通过不在一条直线上的3点绘制圆

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“点”工具，按住“shift”键不放，作出不 在一条直线上的3个点，
即点A、点B和点C。在3点都处于被选中状态下时，依次单击“构造”→“线 段”菜单命令，作出三角形ABC。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，依次 选中线段AB和线段AC，依次单击“构造”→“中点”菜单
命令，作出两条线段的中点，即点D和点E ，如图16所示。


第3步，单击操作区空白处释放所选对象，然后选中线段 AB和中点D，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，
作出线段AB的中垂线。同法作出线段AC的中 垂线。

第4步，单击工具箱上的“点”工具，移动光标至两条中垂线的交点处，当光标 呈现高亮度时单击鼠标左键，
作出两条中垂线的交点F，如图17所示。


第5步，单击工具箱上的“文本”工具，移动光标至标签F上，双击鼠标左键，出现“交点F的属性 ”对话框，
改标签栏中的“F”为“O”，单击“确定”按钮即可。

22 68

第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点O和三角形3 个顶点中任意一点，依次单击“构造”→“以
圆心和圆周上的点绘圆”菜单命令，作出过3点的圆，如图 18所示。


第7步，单击操作区空白处释放所选对象，然后选中线段AB、 线段BC、线段AC、点D、点E以及两条中垂线，
依次单击“显示”→“隐藏”菜单命令，隐藏选对象 ，如图19所示。


第8步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件（你可以任意拖动圆上的3个点改变圆的大小）。
23 68

《几何画板》：12给定半径和圆心绘制圆

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”键不放，作一 水平线段AB。单击工具
箱上的“文本”工具，移动光标至线段AB上，当光标图形由一只“小白手”变 为“小黑手”时，单击鼠标左键，
显示线段的标签为j。单击鼠标左键不放，拖动标签j至合适位置释放 鼠标，如图14所示。


第2步，单击工具箱上的“点”工具，在线段j外任 意绘制一点C。单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时
选中线段j和点C，依次单击“构造”→“以圆 心和半径绘圆”菜单命令，绘制出一圆。

第3步，单击工具箱上的“文本”工具，移动 光标至圆上，当光标图形由“小白手”变为“小黑手”时，单击
鼠标左键，显示圆的标签C1，如图15 所示。


第4步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件（你可拖动线段j的端点改变圆的大小）。

24 68

《几何画板》：13绘制棱形

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“圆规”工
具，拖动光标画一圆A，其中 点B为圆上一点，如图7所示。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区 空白处释放所有被选对象，选中点A和点B，按快捷键
“ctrl+L”，作线段AB。单击工具箱上的 “点”工具，拖
动光标至圆A呈现高亮度时单击鼠标左键作任意一点C，用
上述方
法作 线
段AC。

第3
步，单击
操作区
空白处释放被选对 象，然后选择点C和线段AB，依次单击“构
造”→“平行线”菜单命令。同法作过点B的线段AC的平 行线。

第4步，单击工具箱上的“点”工具，拖动光标至两条平行
线呈现高亮 度时，单击鼠标左键得到点D，如图8所示。

第5步，单击操作区空白处释放被选对象 ，然后选择平行线CD、BD，依次单击“显示”→“隐藏”菜单命令，
隐藏被选择对象。然后选中点C 和点D，按快捷键“Ctrl+L”，作线段CD。同法作线段DB，如图9所示。



第6步，单击工具箱上的“文本”工具，拖动
光标至点C，当光标图形变为一只 “小黑手”时，
双击鼠标左键，弹出“点C的属性”对话框，修改
标签栏中的“C”为“D”即 可。同法修改另外的
“D”为“C”。

第7步，单击工具箱上的“选择箭头” 工具，
单击操作区空白处释放被选对象，然后选中圆A，
依次单击“显示”→“隐藏”菜单命令 ，隐藏所选
择对象，即可得到棱形ABCD。

第8步，依次单击“文件”→“ 保存”菜单命
令，保存此文件（你可任意拖动棱形任意顶点，改
变其形状，仍保持棱形的特性） 。


25 68

《几何画板》：14绘制平行四边形

第1步，启动几何画板，单 击工具箱上的“直尺”工具，按
住“shift”键不放画出一条水平线段AB。移动光标至A点，当光
标呈现高亮度时拖动光标至C点，在操作区绘制出线段AC，如图
4所示。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点c和线
段AB，依次单击“构造”→“ 平行线”菜单命令，作出过点C的
线段AB的平行线。然后在操作区空白处单击鼠标左键释放被选择对象，选择点B和线段AC，用上述方法作过点B的线段AC的平行
线。
第3步，单 击
工具箱上的
“点”工具，拖动光标至两条平行线呈现高亮度时，单击鼠标左键
绘制出 一点D，如图5所示。

第4步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白< br>处释放其他被选对象，然后选中平行线CD和DB，依次单击“显
示”→“隐藏”菜单命令，隐藏 被选对象。然后选中点C和D，按快
捷键“ctrl+L”，做出线段CD。同法作出线段DB。
第5步，单击工具箱上的“文本”工具，拖动光标至点C，光标
图形变为一只“小黑手”时 双击鼠标左键，出现“点C的属性”对话框，如图6所示。在“标签”栏修改“C”为
“D”，单击“确 定”按钮即可。同法修改“D”为“C”。

第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单 命令。（你可任意拉动平行四边形的任意一点，平行四边形的特性
始终保持不变）。


26 68

《几何画板》：15绘制等腰直角三角形
第1步，启动几何画板，单击工 具箱上的“直尺”工具，按住“shift”键不放，在操作区画出一条水平线段，
选工具箱上的“文本 ”工具，当光标由一只“小白手”变为一只“小黑手”时，分别点击线段两个端点即显示A、B，
得到线 段AB。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工
具，选中线段的一个端点和线段，依 次单击“构
造”→“垂线”菜单命令，绘制出线段AB的垂
线。 第3步，单击工具箱上的“ 点”工具，
移动光标到垂线上，当垂线呈现高亮度时单击
鼠标左键得到一点,选工具箱上“选择 箭头”
工具，依次选中刚做的点和A、B点，依次单击
“构造”→“角平分线”菜单命令，做出 角平
分线，如图1所示。
第4步，单击工具箱上的“选择箭头”工
具，选中B 点和刚做的角平分线，依次单击“构
造”→“垂线”菜单命令，绘制出角平分线的
垂线。 第 5步，单击工具箱上的“点”工
具，移动光标至垂线j、l呈现高亮度时点击鼠
标左键，得到一 点即垂线j、l交点，如图2所
示。单击工具箱上的“文本”工具，命名为C。



第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作
区空白处释放所有被选择 对象，然后选择垂线j、l、线段AC
上的点和角平分线，依次单击“显示”→“隐藏对象”菜单
命令，隐藏所选择对象。然后选中点C、A，按快捷键
“ctrl+L”，绘制出线段CA，单击操作 区空白处释放被选对
象。用同样方法，做出线段CB，得到等腰直角三角形，如图
3所示。


第7步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令。（你
可以任意拉动 三角形三个顶点，等腰直角三角形的特性始
终保持不变）。


27 68

《几何画板》：16旋转体教学

圆柱体教学中 ，课本对圆柱的定义是：“圆柱可以看成是矩形以它的一边所在的直线为轴，其余各边旋转一周
而成的面 所围成的几何体”。对于这种抽象的描述，学生看不见、摸不着，完全靠想像，教学效果不理想。《几何
画板》是一块展现动态图形的“黑板”，下面我们介绍如何在《几何画板》中完成圆柱体的教学。

1． 制作构思
矩形ABCO围绕OC旋转，点A在椭圆轨迹上运动，带动AB、BC、AO绕OC旋转（如图1）。


2． 制作过程

（1）作水平直线l，在直线l 上构造点O、E、F。作以O为圆心，OE、OF为半径的同心圆。在大圆上取点G，
连接OG交小圆于 点H。
（2）过点H作直线l的平行线，过点G作直线l的垂线，两线交于点M。
（3）选中点G和点M，选择“构造”菜单中的“轨迹”，出现椭圆。
（4）选椭圆上任取点A（不能取关键点F），过A作直线l的垂线，并在垂线上构造线段AB。
（5）以AB为标记向量，平移点O至C，连接AO、CO、BC。形成矩形ABCO的直观图（如图2）。

（6）选中线段AO、AB、BC，选择“显示”菜单中的“追踪线段”，实施跟踪功能。
（7 ）选中点A，选择“编辑”菜单中的“操作类按钮动画”实施动画功能（在《几何画板》3.5版中不但要
选中点A，还要选中椭圆）。

（8）选中除矩形ABCO外的所有图形，按“Ctrl +H”实施隐藏功能。

双 击[动画]按钮，可以看到线段AO、AB、BC三条线段旋转一周后所形成的圆柱体。如给予线段AO、AB、 BC不
同的颜色就更为直观。同样的方法适用于圆锥和圆台的教学。


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《几何画板》：17画角度的箭头

我 使用该方法顺利地制作出了光的反射和折射课件中光线的箭头，但在标角的范围时却遇到了画角度箭头（带
有弧度的箭头）的问题，后来经过摸索，仿照上面的方法，终于解决了这个问题，现写出来与大家分享。
我们仍采用《几何画板》对作图的记录功能，用记录工具生成一个画弧形箭头的工具供以后使用，但 应注意有
顺时针和逆时针的区别。
1、打开“文件”菜单，选择“新记录”命令，建立新记录窗口，单击[录制]按钮。
2、在窗口中的适当位置画线段AB和BC的夹角∠BAC。
3、在AB上任取一点D，以A为圆 心，AD为半径画圆，交AC于E。选取A、D、E作劣弧DE，将点E向右平移
0.4厘米，得到像点 E'。
4、以E为圆心，过点E'做圆C2，得到与劣弧D的交点F。
5、以点E为中心，分别将点F旋转+30度和-30度，得点F'、F''。
6、同时选择点E 、F'、F''，打开“作图”菜单，选择“多边形内部”命令，即得三角形箭头，右键单击多边
形，选 择黑色。
7、保留黑色多边形和点D（AB边上），隐藏其他内容，因为在使用记录时，当弧的大 小不合适时，可以调整
弧的弯曲程度使其更美观。
8、在“记录”窗口中选择“停止”， 打开“文件”中的“另存为”命令，根据情况以“逆弧.gss”或“顺
弧.gss”存到相应的目录中 。


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《几何画板》：18“派生”关系进行轨迹教学板
在进行轨迹教学时，课 本有一配套例题，题意为：“一根竹竿（AB）长2M，斜靠在墙壁（BC）上，∠ABC=30°，
B B'长度如图所示，如果竿端A、B分别沿CA、BC方向滑动至A'、B'，问竹竿中点D随之运动所经过的路 程是多少？”。

经分析，要得到竹竿中点D运动所经过的路程，首先要求出点D运动的 轨迹。但是传统的教学手段难以进行动
态演示，“动点”只能用黑板上静态的“定点”来表示，学生很难 形象地理解。

《几何画板》中的移动、跟踪功能可以辅助轨迹教学，于是笔者就在《几 何画板》窗口中画了两条互相垂直的
直线l1、l2，分别表示水平地面和墙面。在这两条直线上分别取 点A和点B，连接AB，线段AB表示竹竿。但当对
点B实施“移动”功能时，竹竿是下滑了，但竹竿的 长度也变了，这与现实生活是不一致的。为什么呢？

原来《几何画板》中图形元素间有 “派生”关系，即所谓的“父母”与“子女”。如：线段是由两点派生出来
的，因此两端点是“父母”， 而两端点间的线段是“子女”，删除端点，则线段就消失。端点位置变化，线段的长
度也变了，这是因为 图形元素间的“派生”关系在起作用。

明确了原因，经过一番思索，理顺图形元素间的“派生”关系，终于解决了问题。具体步骤如下：

1. 作互相垂直的直线l1、l2，再作线段r=2m。
2. 在水平直线l1上取点A。
3. 以点A为圆心，以线段r的长为半径，画⊙A。
4. 选中⊙A和直线l2，选择“构造”菜单中的“交点”，设交点为B。
5. 连接AB，作线段AB的中点D。
6. 选中点D，选择“显示”菜单中的“跟踪中点”命令。
7. 在直线l1上点A的右侧取一点A'，选中点A和点A'后再选择“编辑”菜单中的“操作类 按钮”→“移动”
（改名为“下滑”）。
8. 选中⊙A，按“Ctrl+H”，隐藏⊙A。
双击[下滑]按钮，可见到竹竿徐徐下滑，竹竿中点 所留下的轨迹是一段圆弧。因此，由条件求得弧长所对的圆
心角为（60°-45°），弧半径为1，根 据弧长公式可求得该圆弧的长度，即竹竿中点D随之运动所经过的路程。

在制作过程的 第3步，点A和线段r是“父母”，而⊙A是“子女”。第4步中，⊙A和直线l2是“父母”，
而交点 B是“子女”。第5步中，点A和点B是“父母”，而线段AB是“子女”。第6步中，线段AB是“父母”，< br>而中点D是“子女”。在“四世同堂”的连锁作用下，竹竿在下滑过程中，长度始终保持不变并显示点D运 动的轨
迹。

由此可见，只要积极地去挖掘，灵活地加以利用，《几何画板》中 “貌不惊人”的“图形元素间的派生关系”
同样可以给我们带来意想不到的收获。

30 68

《几何画板》：19制作“椭圆”工具

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“画圆”工具，按住“shift”键，拖动鼠标在操作区中绘制一个以
点A为圆心的圆，点B是圆周上的点。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A和点B，按快捷键“ ctrl+L”
作出线段AB。
第2步，单击操作区空白处释放被选对象。然后选中点 A和线段AB，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，
绘制出线段AB的垂线，标注为j，如图42所 示。


第3步，单击工具箱上的“点”工具，在垂线
j上和圆A内 画点C。单击工具箱上的“选择箭头”
工具，依次选中点A和点C，然后单击“构
造”→“以圆 心和圆周上点绘圆”菜单命令，作出
以点A为圆心，经过点C的圆，并加注标签为C2。

第4步，单击工具箱上的“直尺”工具，移动
光标至点A上，当点A呈现高亮度时，拖动鼠 标作
线段AD，点D在圆C1上。单击工具箱上的“选择
箭头”工具，选中点D和线段AB，依 次单击“构
造”→“垂线”菜单命令，作出线段AB的垂线，
加注标签为k。

第5步，单击工具箱上的“点”工具，移动光
标至线段AD和圆C2的交点处，当它们呈现 高亮度
时，单击鼠标左键，作出交点E。

第6步，单击工具箱上的“选择箭 头”工具，选中点E和线段AB，依次单击“构造”→“平行线”菜单命令，
过点E作出线段AB的平行 线，单击工具箱上的“文本”工具，加注标签为l。单击工具箱上的“点”工具，作出直
线l和直线K的 交点F，如图43所示。


第7步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选 中点D和点F，
依次单击
“构
造”→“轨
迹”菜单命
令，作出椭圆，如图44
所示。


第8
步，选中点C和线段AB ，依次单击“构造”→“以圆心和
半径绘圆”菜单命令，作出以点C为圆心，线段AB长度为
半 径的圆，单击工具箱上的“文本”工具，加注标签为C3。
单击工具箱上的“点”工具，移动光标至圆C 3和线段AB
的交点处，当它们呈现高亮度时，单击鼠标左键，作出交
31 68

点G，如图45所示。


第9步，单击 工具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放被选择对象。然后选中直线j，依次单击
“变换”→“标记镜面”菜单命令，标记直线j为镜面。
选中点G，依次单击“变换”→“反射”菜单 命令，得到一
点，用“文本”工具加注标签为G'。点G和点G'是椭圆的
两个焦点，如图46 所示。


第10步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，除去点A、点B、 点C、点G、点G'以及椭圆外，选中其他所有
对象。依次单击“显示”→“隐藏对象”菜单命令，隐藏 所选对象。得到椭圆，如图47所示。

32 68

第11步，在操作区划出一矩形框，框住所有对象，即所有对象被选中。 单击工具箱上的“自定义工具”，移
动光标至“创建新工具”菜单命令，如图48所示。弹出“新建工具 ”对话框，在“工具名称”框中填入“画椭圆”，
如图49所示，单击“确定”按钮即可。




第12步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存该文件。


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《几何画板》：20显示圆和直线的位置关系

第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“圆规”工具，拖动光标在操作区画出一个圆A。单击工具箱上的“点”
工具，移动光标至圆上，当圆呈现高亮度时，单击鼠标左键作出一点C，如图20所示。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A和点C，依次单击“构造”→“线段”菜单命 令，作出
半径AC。选中点C和线段AC，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，作出线段AC的垂线 。单击工具箱上的“文
本”工具，移动光标至垂线上，当光标图形由“小白手”变成“小黑手”时单击鼠 标左键，显示垂线标签为j，如
图21所示。


第3步，单击工具箱 上的“直尺”工具，按下鼠标左键不放，就会显示选择面板，选择“直线”工具，在操作
区作出一条圆外 直线，标注标签为k，如图22所示。
34 68

第4步，单击工具箱上的“直线”工具，在操作区作出一条与圆相交的直线，并标注标签 为l。单击工具箱上
的“点”工具，在直线l和圆相交处单击鼠标左键，绘制两个交点，并标注标签为H 、I，如图23所示。


第5步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件（可演示圆和直线相交、相切、相离的关系）。
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《几何画板》：21研究圆切线的性质
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“圆规”工具，在操作
区作出一圆A，单击工具箱上的“文本” 工具，改圆心的标签“A”为
“O”。
第2步，单击工具箱上的“直尺”工具，按住鼠 标左键不放，单
击“直线”工具，释放鼠标。然后移动光标至圆O上，当圆呈现高亮
度时，单击 鼠标左键，并拖动光标，绘制出一条直线，标注直线为CD，
如图75所示。单击工具箱上的“点”工具 ，移动光标至圆与直线交
点处，当它们都呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出交点E。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，
释放所选对象。然后选择点O和点C， 按快捷键“ctrl+L”，绘制出
线段OC。单击工具箱上的“点”工具，在靠近点C的半径OC上绘 制
出一点F，
选择点C和
点F，然后
单击“构
造”→“以圆心和圆周 上点绘圆”菜单命令，作出过点F
的圆心为点C的圆，如图76所示。单击工具箱上的“点”
工 具，移动光标至小圆C与直线CD的交点处，当它们都呈
现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出交点G。依 次选择点C、
点G和点F，然后单击“构造”→“圆上的弧”菜单命令，
作出圆弧GF。单击工 具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放所选择对象。然后选中小圆C、点G和
点 ，依次单击“显示”→“隐藏”菜单命令，隐藏所选对
象，如图77所示。


第4步，同时选择点E和点C，依次单击“度量”→“距离”菜单命令，度量点E到点C的距离，在 操作区中
显示度量值。在操作区单击鼠标左键，释放所选对象，然后选择点O、点C和点D，依次单击“ 度量”→“角度”
菜单命令，操作区中显示角OCD的度量值，如图78所示。
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第5步，拖动点D，操作区中两个度量值都 在不断变化，当点E到点C的距离为0时，角OCD的值为90度，此
时直线CD与圆O相切，如图79 所示。依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。
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《几何画板》：22“垂径定理”的教学
垂径定理在人们日常生活中有着 广泛的应用，如教材某一章节中下的例子：河北省赵县的赵州桥是一座圆弧石
拱桥，它的跨径（弧所对的 弦的长）约为37.0米，拱圈的矢高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱圈的半
径（精确到0 .1米）。要解决这个问题首先要掌握垂径定理。

提出任务
由于学 生接触几何不久，根据学生的认知规律，课本在提出垂径定理时没有直接用推理的格式来说明。而是通
过 轴对称性质“对折”一个圆引出垂径定理。如果我们利用教学软件向学生展示这一“对折”过程，可让学生直观< br>地感受知识的正确性，在此基础上激发学生探索证实知识的正确性，逐步使学生的认识上升到理性认识。对 比几种
教学软件，笔者选择了《几何画板》。

发现矛盾
《 几何画板》以“动态几何”为特色，当笔者利用“编辑”菜单中
“操作类按钮”下的“移动”功能将圆的 左半部绕直径翻折，发现半圆
在运动过程中始终是半圆。这与立体几何中圆的直观图是椭圆相矛盾。

解决方法
经过一番思索，理顺图形元素间的“派生”关系，终于解决了问题
（如图所示），具体步骤如下：



1. 作直径为AB的⊙O。
2.在⊙O内直径AB的一旁取一点C。
3.选中A、C、B，作弧ACB，拖动点C，直观地 看到弧ACB的形状的变化。给弓形ACB和弓形AFB取不同的颜色。
4.在AB上取一点D，选中点D和直径AB，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E、F。
5.选中点C、D，作线段CD，同样作线段FD。
6.连接OC、OF，隐藏线段EF。
7.选中点C和点F，执行“编辑操作类按钮移动”，出现移动按钮，改名为“折叠”，选中点C和 点E，执
行“编辑操作类按钮移动”，按钮改名为“还原”。

8.拖动点C至E，使点C和点E重合，隐藏点E。

双击〔折叠〕按钮，左半圆绕直 径徐徐翻动，由半圆变为半椭圆，最后和右半圆重合。学生观看了动画演示后
加深了对知识的理解，强化 了记忆，教师节省了教学时间，收到了事半功倍的效果。

心得体会

《几何画板》中“动画”与“移动”是人们将古老几何变为“动态几何”运用较多的两大功能。《几 何画板》
不仅可以让一个点沿一条路径运动，也可以“点到点”运动。前者叫“动画”，后者叫“移动” 。本例制作第7步
采用了“点到点”的移动。第8步中拖动了点C使它和点E重合，“拖动”操作无非改 变了图形元素的位置，其操
作本身“貌不惊人”。但本例制作将“移动”与“拖动”相结合，起到了“移 花接木”的作用，达到了“以假乱真”
的效果。
38 68

《几何画板》：23证明三角形的中线交于一点

第1步，启动几 何画板，单击工具箱上的“直尺”
工具，按住“shift”键不放，作一条水平线段AB，将
鼠标移至点B呈现高亮度时，单击鼠标左键拖动至点C，
绘制出线段BC，如图10所示。当鼠标在点C 呈现高亮
度时继续拖动至点A，作出线段CA，即得到三角形ABC。

第2步 ，单击工具箱上“选择箭头”工具，单击操
作区空白处释放被选对象，依次选中线段AC、线段BC和线
段AB，然后依次单击“构造”→“中点”菜单命令，分别
作出三角形3条边的中点。单击工具 箱上的“文本”工具，
分别将三点命名为D、E、F，如图11所示。

第3步 ，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作
区空白处释放被选对象，选择点B和点D，按快捷键“Ctrl+L”，作出边AC的中线。单击工具箱上的“文本”
工具，移动光标至边AC的中线上 ，当光标图形由一只“小
白手”变为“小黑手”时，单击鼠标左键显示平行线的标签j。同法，作出边A B的中线k，如图12所示。


第4步，单击工具箱上的“点”工具，移动光 标至两条中线都
呈现高亮度时，单击鼠标左键，即得到两条中线的交点G。
第5步，仿照 第3步，作出边BC的中线l。拖动三角形ABC的
任意一顶点，改变三角形的形状，可验证中线l始终 经过点G，即3
条中线交于一点，如图13所示。依次单击“文
件”→“保存”菜单命令，保存 文件。

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《几何画板》：24验证分割高线长定理
《几何画板》： 验证等边三角形内任意一点到三边的距离之和与三角形的高线长相等
第1步，启动几何画板，单击 工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”键不放，在操作区绘制出一条水平线
段AB。单击工具箱 中的“选择箭头”工具，选中点A，依次单击“变换”→“标记中心点”菜单命令，标记点A为
中心点， 然后选中线段AB和点B，依次单击“变换”→“旋转”菜单命令，弹出旋转对话框，如图55所示，按照
图55中的参数值输入数据，单击“旋转”按钮，绘制出线段AB'，单击工具箱上的“文本”工具，修改“B '”为
“C”。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点B和点C，按快捷件“ctrl+L”，绘制 出线段BC，作出等边三
角形ABC，如图56所示。

第2步，单击工具箱上 的“点”工具，在三角形ABC内部，作出任意点，并用“文本”工具修改其标签为“D”。
单击工具箱 上的“选择箭头”工具，选中点D和线段AB，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，作出过点D的线
段AB的垂线，如图57所示。
第3步，单击工具箱上的“点”工具，移动光标至垂线和线
段AB的交点处，当它们呈现高亮度时，单击鼠标左键，作出交
点，并用“文本”工具修改标签为E。 选中垂线，按快捷键
“ctrl+H”，隐
藏垂线。同时选
中点D和点E，
按 快捷键
“ctrl+L”，作
出线段DE。选中
点D和点E，依
次单击“度量 ”→“距离”菜单命令，度量出点D到点E的距离并
在操作区显示度量值，如图58所示。

40 68

第4步，用同样的方法，作出点D到其他两条 边的垂线段DF和DG，并显示度量值，如图59所示。单击工具箱
上的“选择箭头”工具，选中3个度 量值，依次单击“度
量”→“计算”菜单命令，弹出“新建计算”对话框，
单击“数值”按钮， 可看到刚才选中的3个度量值在列
表中，如图60所示。依次单击度量值DE、计算器上的
“+ ”、度量值DF、计算器上的“+”、度量值“DG”，
计算器编辑栏中出现“DE+DF+DG”，单 击“确定”按
钮，得到计算结果，如图61所
示。



41 68

第5步，单击工具箱上的“选择箭 头”工具，单击操作区中空白处，释放所选对象，然后选中点C和线段AB，
依次单击“构造”→“垂线 ”菜单命令，绘制出过点C的线段AB的垂线。单击工具箱上的“点”工具，移动光标
至垂线和线段AB 的交点处，作出交点，并用“文本”工
具修改标签为“H”。然后选中垂线，按快捷键
“ctr l+H”，隐藏垂线，选中点C和点H，按快捷键
“ctrl+L”，作出线段CH，如图62所示。选 择线段CH，
依次单击“度量”→“长度”菜单命令，得到线段CH的
长度度量值。


第6步，选中操作区显示的线段CH的度量值以及
DE+DF+DG=3.12 厘米两个对象，然后单击“图表”→“制
表”菜单命令，操作区中出现表格，如图63所示。


第7步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，任意拖动点A、B、C、D中的一个，观察 表格中数据的变化，可
以看到两值始终不变。

第8步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件。
42 68

《几何画板》：25证明三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，在操作区绘制出线段AB，移动光标至点B ，当点B呈
现高亮度时，继续拖动光标做出线段BC。同法拖动光标从点B至点A，绘制出三角形ABC 。单击工具箱上的“选择
箭头”工具，选中点C和线段AB，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，绘 制出过点C的线段AB的垂线。同法，
绘制出过点B的线段AC的垂线。单击工具箱上的“点”工具，移 动光标至两条垂线的交点处，当两条垂线呈现高
亮度时，单击鼠标左键，绘制出交点D，即三角形ABC 的垂心，如图64所示。单击工具箱上的“选择箭头”工具，
选中两条垂线，然后依次选中“显示”→“ 隐藏”菜单命令，
隐藏两条垂线。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工 具，选中线段
AB和线段BC，依次单击“构造”→“中点”菜单命令，绘制
出两条线段的中点E和F。单
击操作区空白
处，释放被选择
对象，然后选中
点C和点E ，按
快捷键
“ctrl+L”，构
造线段CE，即
边AB的中线。同法绘制出 线段BC的中线AF。单击工具箱上的“点”
工具，移动光标至两条中线的交点处，当两条中线呈现高亮 度时，单
击鼠标左键，绘制出两条中线的交点G，即得到三角形的重心，如图
65所示。单击工 具箱上的“选择箭头”工具，选中两条中线，依次单
击“显示”→“隐藏”菜单命令，隐藏两条中线。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点E和线段AB，依次单击“构造”→“垂线”菜 单命令，即
可作出线段AB的中垂线。同法，绘制出线段BC的中垂线。单击工具箱上的“点”工具，移 动光标至两条中垂线的
交点处，然后单击鼠标左键，作出交点H，即三角形的外心，如图66所示。单击 工具箱上的“文本”工具，移动光
标至点H，修改“H ”为“O”。单击工具箱上的“选择箭头”工具 ，选中两条中垂线、点E和点F，依次单击“显
示”→“隐藏”菜单命令，隐藏这些对象。
第4步，单击工具箱上的“直尺”工具，按住不放，移动光标单击
“直线”工具。移动
光标至点 O，单击鼠
标左键不放，拖动光
标至点D，释放鼠标
左键，作出过点O
和点D 的直线，单击
工具箱上的“文
本”工具，给直线加注标签j，如图67所示。


43 68

第5步，单击工具箱上的“选择箭 头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选择点O和点G，依次
单击“度量”→“距离”菜单 命令，得到两点距离值，如
图68所示。同法，选中点G和点D，度量出两点间距离值。

第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，右键单
击OG=0.32厘米度量值，在菜单 中单击“属性”菜单项，
弹出属性对话框，单击“值”选项卡，如图69所示，
在“精确度”下 拉列表中单击“千分之一”值，单击
“确定”按钮即可。同法，改变GD=0.64厘米度量值的
精确度也为“千分之一”。


第7步，单击工具箱上的“选择箭头”工具 ，选中操作区中的两个度量值，依次单击“图表”→“制表”菜单
命令，作出两度量值对照表格，如图7 0所示。


第8步，拖动点B，可以看到两距离值都在变化。依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件。
44 68

《几何画板》：26证明三角形内角和等于180度

第1步，启 动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，
在操作区绘制出线段AB，移动光标至点B，当点B呈现高 亮
度时，继续拖动光标作出线段BC。同法拖动光标从点B至点
A，绘制出三角形ABC，如图 71所示。

第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，依
次选择点A、点B 和点C，然后单击“度量”→“角度”
菜单命令，在操作区中得到角ABC的度量值。同法，
度 量角BCA和角CAB的值，如图72所示。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单< br>击操作区空白处，释放所选对象，然后选中3个角度
度量值，依次选择“度量”→“计算”菜单命 令，弹
出“新建计算”对话框，单击“数值”按钮，如图73所示。依次选择度量值m∠ABC、计算器 上的“+”、度量值m
∠BCA、计算器上的“+”、度量值m∠CAB，单击“确定”按钮，在操作区 得到计算结果值。


第4步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，同时选中 操作区显示的4
个度量值。然后依次单击“图表”→“制表”菜单命令，绘制出一表格，如
图7 4所示。选中表
格拖动到适当位
置。


第5步，任意拖动三角形的一个
顶点，改变其形状，
可以看到3个角的
度量值的变化，但
是它们之和始终等
于180度。依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此
文件。



45 68

《几何画板》：27验证三角形面积公式
第1步，启动几何画板，单击工 具箱上的“直尺”工具，在操作区绘制出线段AB，移动光标至点B，当点B呈
现高亮度时，继续拖动光 标做出线段BC。同法拖动光标
从点B至点A，绘制出三角形ABC。

第2 步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中
点A和线段BC，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，
作出线段BC的垂线。单击工具箱上的“点”工具，移动
光标至垂线与线段BC交点处，当它们 都呈现高亮度时，
单击鼠标左键，作出交点D。单击工具箱上的“选择箭
头”工具，单击操作区 空白处，释放所选对象，然后选
中垂线，按快捷键“ctrl+H”，隐藏垂线。选中点A和
点 D，按快捷键“ctrl+L”，作出线段AD，如图80所示。
第3步，选择线段AD，依次 单击“度量”→“长度”
菜单命令，在操作区显示线段AD的度量值。同法，度量
线段BC的长 度，如图81所示。


第4步，同时选中操作区中显示的两个度量值，依次
单击“度量”→“计算”菜单命令，弹出“新建计算”对
话框，单级“数值”按钮，可看到刚才 被选中的3个度量
值。依次单击度量值mAD、计算器上的“*”、度量值mBC、
计算器上的 “÷”和数字“2”，计算器编辑兰中出现如
图82所示的面积计算公式，单级“确定”按钮，在操作< br>区中显示计算结果。


第5
步，
单击工具箱上的“选 择箭头”工具，同时选中三角形的3个顶
点，依次单击“构造”→“三角形内部”菜单命令，使三角形处
于选中状态。然后依次选择“度量”→“面积”菜单命令，度量
三角形ABC的面积，度量值显 示在操作区内，如图83所示。
46 68

第6步，选中操作区中显示的面积计算值和面积度量值，依次单击“图表”→“制表”菜单命令，制 作出表格，
如图84所示。拖动三角形任意一个顶点，改变其形状，可看到表格中的数据也在随着变化， 但他们始终相等。依
次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存此文件。



47 68

《几何画板》：28验证勾股定理
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工
具，按住“shift”不放，在操作 区绘制出一条水平线段AB。
在其被选中状态下，依次单击“构造”→“中点”菜单命
令，作出 线段AB的中点，并用“文本”工具，修改标签为
O，如图85所示。
第2步，单击工 具箱上的“选择箭头”工具，选中点O
和点
A，依
次单
击
“构
造”
→“
以圆
心和
圆周
上点
绘圆”，作出圆O。单击工具 箱上的“点”工具，移动光标至
圆上，当圆呈现高亮度时，单击鼠标左键，绘制出在圆上的一
点 ，修改标签为C。按快捷键“ctrl+L”，分别作出线段AC和
线段BC，绘制出直角三角形ABC ，如图86所示。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区
空白处，释放 所选择对象。然后选中圆O，按快捷键“ctrl+L”，
隐藏圆O。
第4步，移动光 标至点B，双击点B，标记为中心点，选中点A和线段AB，依次单击“变换”→“旋转”菜单
命令，弹 出对话框，按照图87所示输入参数值，
按“旋转”按钮，绘制出线段BA'，修改标签
“A' ”为“E”。同法，以点E为中心点，旋转
BE绘制出EB'，修改标签为F，单击工具箱上的
“直尺”工具，连接点A和点F，绘制出线段
FA，如图88所示。
第5步，单击工具 箱上的“选择箭头”工
具，同时选中点A、点B、点E和点F，依次单
击“构造”→“多边形内 部”菜单命令，绘制
48 68

正方形内部。用同样上述方法 ，绘制边AC和边BC对应的正方形ACGH和正方形BCIJ，并分别绘制正方形内部，如
图89所示 。

第6步，同时选中3个正方形，依次单击“度量”→“面积”菜单命令，在操作区 显示3个度量值。选中两条
直角边对应的正方形的面积度量值，单击“度量”→“计算”菜单命令，计算 两个度量值的和。选中操作区中显示
的两直角边对应的正方形面积的和的度量值和斜边对应的正方形的面 积度量值，单击“图表”→“制表”菜单命
令，绘制出表格，如图90所示。

49 68

《几何画板》：29验证正弦定理

第 1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，
在操作区作出任意三角形ABC。单击工具箱上的 “选择箭头”
工具，选中三角形的三条边，依次单击“度量”→“长度”菜
单命令，度量3条边 的长度值，度量值显示在操作区里，如图
91所示。
第2步，单击操作区空白处，释放 所选对象，然后依次选
中点A、点B和点C，依次单击“度量”→“角度”菜单命令，
角ABC 的度量值出现在操作区。同样方法，度量角BCA和角CAB
的角度。然后同时选中3组角度度量值，按 住鼠标左键不放，
当光标变成一个黑色箭头时，拖动光标，使3组数据移动到合
适位置。
第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中操
作区中线段AB的度量值和角BC A的度量值，依次选择“度
量”→“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”
列表下的“m AB”、计算器上的“÷”，然后单击“函
数”下拉列表，选择“sin”，再单击“数值”下拉列表下的“m∠BCA”，单击“确定”按钮，操作区中出
现正弦定理的一个比值。同样方法，计算出 另外两条
边和所对角的正弦比值。然后选中3个比值，拖动到
适当位置，如图92所示。
第4步，同时选中3个比值，依次单击“图
表”→“制表”菜单命令，在操作区制作出一个 表格，
如图93所示。拖动三角形的任意一个顶点，可看到操
作区的数值变化，但表格中的比值 始终相等。


第5步，单击工具箱上“选择箭头”工具，选中表格，然后双击表格，可在表格中添加一行纪录。依次单击“文
件”→“保存”菜单命令，保存文件。
50 68

《几何画板》：30验证圆弧的三项比值相等
第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“圆规”工具，在操作区绘制一圆，并用“文本”工具，修 改圆标签
为“O”。单击工具箱上的“点”工具，移动光标至圆上，
当圆呈现高亮度时，单击鼠 标左键，在圆O上作出两个任
意点C和D，如图99所示。
第2步，单击工具箱上的“选 择箭头”工具，依次单
击点B、点C和点D，然后依次单击“构造”→“过三点
的弧”菜单命令 ，绘制出经过这三点的圆弧。在圆弧处于
被选中状态下时，按住“shift”键不放，依次单击“显< br>示”→“线型”→“粗线”菜单命令，将圆弧设置为粗
线。然后在圆弧处于被选中状态下时，依次 单击“构
造”→“弧内部”→“扇形内部”菜单命令，并用“文
本”工具加注标签为“A1”， 如图100所示。


第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中扇< br>形依次单击“度量”→“面积”菜单命令，操作区中显示
扇形面积的度量值。单击空白处释放所选 对象，然后选中
弧BCD，依次单击“度量”→“弧角度”菜单命令，操作
区显示度量值；继续 选中该弧，依次单击“度量”→“弧
长”菜单命令，弧长度量值显示在操作区。同法，选中圆，
依次单击“度量”→“圆周长”菜单命令；选中圆，依次
单击“度量”→“面积”菜单命令。这些度量值 均出现在
操作区内，选中其中一个或几个度量值，当光标变为一个
黑色箭头时，可将其拖动到适 当位置，如图101所示。


第4步，单击工具箱上的“选择箭头”工具， 单击操
作区空白处，释放所选对象，然后选中操作区中弧BCD的
长度度量值和圆O的圆周长的 度量值，依次单击“度
量”→“计算”菜单命令，弹出对话框，单击“数值”按
钮，在下拉列表 中单击“长度BCD”、计算器上的“÷”、
“数值”列表中的“圆周⊙OB”，单击“确定”按钮，操
作区显示两个度量值的比值。同法，计算扇形A1面积度量
值和圆O面积度量值的比值，以及圆 弧BCD的弧度值和360
度的比值（在输入360后，要在“单位”下拉列表中选择
“度”单 位），并将这些比值拖动到适当位置，如图102
所示。
51 68

第5步，同时选中操作区中的3个比值，依次单击“图表”→ “制表”菜单命令，在操作区内绘制出一个表格，
如图103所示。拖动点D或点B，度量值在改变，但 他们的比值始终不变。

第6步，单击工具箱上的“文本”工具，在操作区空白处划出 一个矩形框，键入“圆弧的三项比值”，并在文
本工具栏中选择字体和字号等。最后依次单击“文件”→ “保存”菜单命令，保存文件。
52 68

《几何画板》：31巧用Excel制作函数图像

我是一位数学 老师，在实际教学实践中发现《几何画板》在数学作图方面比较出色，而Excel在数值计算方面
更胜 一筹，如果在Excel中根据函数表达式计算出函数的一些关键点坐标，再根据这些坐标在《几何画板》中做出
函数图像，那将是两者的完美结合。

下面以函数y=3x2-2x+1的图像 为例，说明本人将Excel与《几何画板》结合以后完成函数图像的方法，希望
对您有所启发。


★准备数据


在Excel中根据函数y=3x2-2x+1做出一些关键点坐标。

1、打开Excel软件。

2、在A1单元格内输入字母x，在B1单元格内输入字母y（x为自变量，y为函数的值）。

3、分别在A2、A3……A12单元格中输入-1.2、-0.8、-0.4、0、0.4、0. 8、1.2、1.6、1.7、1.8、1.87等数值
（给出自变量x的值）。

4、在B2单元格中输入表达式“ =3*A2^2-2*A2+1”。

5、用鼠标选 中B2单元格，将鼠标指针指向B2单元格的右下角，当鼠标指针变为“+”时，按住左键向下拖动
至B 12单元格时释放左键，这时函数y=3x2-2x+1的一些关键点坐标就轻松搞定了（如图1）。

图1

6、选中“A2：B12”区域，单击工具栏上的[复制]按钮，这时所 选中的函数关键点坐标数值就复制到剪贴板上
了，以备《几何画板》中调用。


★完成图像


53 68

1、启动《几何画板》4.0。

2、在《几何画板》窗口中，单击菜单栏的“图面”菜 单，选择“建立坐标轴”，建立直角坐标系。选择“文
本编辑”工具，将标签“A”改为“O”，将标签 “B”改为“1”。

图2
3、单击菜单栏上的“图面”菜单，选择“画点… ”选项，弹出的“画点”窗口中，单击左下方的[粘贴数据]
按钮，这时“画点”窗口上就出现了Exc el中的两列数据（如图2）。

4、单击“画点”窗口中的[确定]按钮，在《几何画板》的直角坐标系上就出现了11个点的坐标。

图3
5、在菜单栏内单击“构造”菜单，选择“线段”选项，这时这11个点之间就用线 段连接起来了，最后去掉头、
尾两点间的线段，并隐藏这11个点，函数y=3x2-2x+1的图像就 完成了（如图3）。

根据以上方法，您还可以制作各种函数的图像，赶紧试一试吧。



54 68

《几何画板》：32绘制极坐标系中的曲线函数图像

第1步，启 动几何画板，单击“图表”→“网格”→“极坐标网格”菜单命令，单击工具箱上的“文本”工具，
加注 极点标签为“O”，单位点为“A”。

第2步，单击工具箱上的“直尺”工具，按住 不放，
选择“射线”工具，按住“shift”键不放，在操作区绘制
出一条水平射线，并加注 标签为CD。单击工具箱上的“点”
工具，移动光标至射线CD上，当射线呈现高亮度时，单击
鼠标左键，在射线上绘制出任意一点E，如图169所示。

第3步，单击工具箱上的 “选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放所选对象，然后选中点C和点E，依次单
击“度量 ”→“坐标距离”菜单命令，操作区显示度量值。
同样方法，度量
出点C和点D的
“坐 标距离”。
选中操作区中显
示的两个度量
值，依次单击
“度量”→“计算”菜 单命令，弹出“新建计算”对话框，单击“数值”
下拉列表中的“CD”、计算器上的除号“÷”、“数 值”下拉列表中的
“CE”，对话框中显示计算式，如图170所示，

单击“ 确定”按钮，操作区中显示计算结果。在操作区中右键单击计
算值，单击“属性”菜单项，在弹出的对话 框的“标签”编辑栏中输入
“e”，单击“确定”按钮。单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中点D，按快捷键“ctrl+H”，隐藏点D，如图171所示。

第4步，单 击工具箱上的“射线”工具，按住“shift”键不
放，在操
作区绘
制出一
条水平
射线FG，
如图172
所示。

单
击工具箱上的
“点”
工具，移
动光标至射线FG上，当射线呈现高亮度时，单击鼠标左< br>键，在射线上绘制出任意一点H。单击工具箱上的“选择
箭头”工具，单击操作区空白处，释放所 选对象，然后选
55 68

中点F和点H，依次单击“度量” →“坐标距离”菜单命令，操作中显示度量值，并按照“第3步”中所述的方法，
修改标签为“p”，如 图173所示。单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中点G，按快捷键“ctrl+H”，隐藏
点 G。


第5步，选中操作区中显示的“e=2.73”和“p=1.56” ，依次单击“图表”→“绘制新函数”菜单命令，弹出
“新建函数”对话框，单击“方程”按钮下拉列表 中的“p=f(θ)”，然后依次单级“数值”下拉列表中的“e”、
计算器上的乘号“*”、“数值” 下拉列表中的“p”、计算器上的除号“÷”、左括号“（”、数字“1”、计算
器上的减号“-”、“ 数值”下拉列表中的“e”、计算器上的乘号“*”、“函数”下拉列表中的“cos”、“数值”
下拉 列表中的“θ”，对话框中出现计算式，如图174所示，单击“确定”按钮，操作区中显示函数图像，如图17 5
所示。拖动方程式至合适位置。


第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。（拖动点E或点H，可改变曲线图像）

56 68

《几何画板》：33绘制带参数的幂函数图像

第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角 坐标系。然后依次
单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的网格。单
击工具箱上 的“文本”工具，移动光标至圆点，当变成一只小黑手
时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左键，将标签 修改为“O”。同
法，给单位点加注标签为“1”。
第2步，依次单击“图表”→“新 建函数”菜单命令，弹出“新
建函数”对话框，按照图所示输入数据，然后单击“确定”按钮，
操作区显示新建的参数。单击操作区空白处，释放所选对象。然后
按照上述方法，新建参数“P=1.0 0”。
第3步，同时选择两个新建参数，依次单击“图表”→“绘制
新函数”菜单命令 ，弹出“新建函数”对话框。依次选择“数值”
下拉列表中的“X”、计算器上的平方号“∧”、计算器 上的左括号
“（”、“数值”下拉列表中的“q”、计算器上的除号“÷”、“数
值”下
拉列表
中的
“p”，
对话框
显示如
图140所示的计算式，单击“ 确定”按钮，绘制出幂函数
的图像。

第4步，单击操作区空白处，释放所选 对象，然后只
选中函数图像，按住“shift”键不放，依次单击“显
示”→“颜色”→“红 色”菜单命令，同样按住
“shift”键不放，单击“显示”→“线型”→“粗线”
菜单命令 ，此时函数图像如图141所示。

第5步，移动光标至操作区显示的两个新建参数的 任
意一个，双击新建参数，弹出对话框，修改参数值，单击
“确定”按钮，可看到操作区中的函 数图像也随之发生变
化，如图142所示。


第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保
存文件。

57 68

《几何画板》：34绘制带参数的正弦函数图像
第1步，启动 几何画板，依次单击“图表”→“定义
坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。然后依次
单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的
网格。单击工具箱上的“文本”工具，移动光标 至圆点，
当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左
键，将标签修改为“O”。同 法，给单位点加注标签为“L”。
单击工具箱上的“点”工具，移动光标至X轴上，当X轴
呈现 高亮度时，单击鼠标左键，在X轴上绘制出2个点，
并用“文本”工具，加注标签分别为D、E，如图1 30所示。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放所选 对象。然后选中点D、点E和X轴，
依次
单击
“构
造”
→“
垂线”菜单命令，绘制出过点D和点E的垂直于X轴的两条垂
线。单击工具箱上的“点”工具，移动光标 至两条垂线上，当
垂线呈现高亮度时，单击鼠标左键，分别在两条垂线上作出一
个点，并用“文 本”工具加注标签为A、B。单击工具箱上的
“选择箭头”工具，选中两条垂线，按快捷键“ctrl+ H”，隐
藏两条垂线。然后选中点A和点D，按快捷键“ctrl+L”，绘
制出线段AD，同 样方法，绘制出线段BE，如图131所示。
第3步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后 选中点
A和点B，依次单击“度量”→“纵坐标”菜单命令，操作区
中显示两点的纵坐标的度量 值，移动光标至度量值上，当光标
变成黑色箭头时，拖动度量值至合适位置。右键单击度量值
“ yA=1.14”，选择“属性”菜单项，弹出对话框，在标签选
项卡中标签框中输入“A”，单击“确 定”按钮，同样方法，修改“yB”为“ω”，如图132所示。
第4步，单击操作区空白处， 释放所选对象，然后依次选中原点
O和单位点L，单击“构造”→“以圆心和圆周上点绘圆”，绘制出< br>单位圆。单击工具箱上的“点”工具，移动光标至圆上，当圆呈现高
亮度时，单击鼠标左键，在圆 上绘制一点G，如图133所示。


第5步，单击工具箱上的“选择箭头” 工具，选中点G和点O，
按快捷键“ctrl+L”，绘制出线段GO。单击操作区空白处，释放所选< br>对象，然后依次选中点G、点O和点L，单击“度量”→“角度”菜
单命令，角GOL的度量值显 示在操作区，并移动到适当位置，然后依
次单击“编辑”→“参数选项”菜单命令弹出“参数选项”对话 框，
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在“单位”选项卡的下拉列表中选择“弧度” 单位，如图134所示，然后单击“确定”按钮，操作区中的角GOL的
度量值单位由“度”转换成“弧 度”，如图135所示。右键单击操作区中显示的度量值“m∠GOL=-0.35π弧度”，
单击“属 性”菜单项，弹出“属性”对话框，在标签选项卡中的标签栏中输入“φ”，单击“确定”按钮。


第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中操作区中显示的3个度量值，依次单击 “图表”→“绘制新
函数”菜单命令，弹出如图136所示的“新建函数”对话框。

依次单击“数值”下拉列表中的度量值“A”、计算器上的乘
号“*”、“函数”下拉列表 中的函数“sin”、度量值“ω”、计
算器上的乘号“*”、自变量“X”、计算器上的加号“+”、 度量
值“φ”，在“新建函数”对话框中出现如图137所示的计算式，
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单击“确定”按钮，在操作区得到正弦函数的图像，如图13 8所示。单击操作区空白处，释放所选对象，然后
选中正弦函数图像，按下“shift”键，依次选择 “显示”→“线型”→“粗线”菜单命令，将其设置为粗线。


第7步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。
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《几何画板》：35绘制带参数的抛物线函数图像

第1步，启动 几何画板，依次单击“图表”→“定
义坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。然
后依次 单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏
坐标系中的网格。单击工具箱上的“文本”工具，移
动光标至圆点，当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，
然后再双击鼠标左键，将标签修改为“O”。同 法，给
单位点加注标签为“1”。单击工具箱上的“点”工
具，移动光标至X轴上，当X轴呈现 高亮度时，单击
鼠标左键，在X轴上绘制出2个点，并用“文本”工
具，加注标签分别为D、E ；在Y轴上绘制1个点，加
注标签C，如图123所示。
第2步，单击工具箱上的“选 择箭头”工具，单
击操作区空白处，释放所选对象。然后选中点D、点E
和X轴，依次单击“构 造”→“垂线”菜单命令，绘制出过
点D和点E的垂直于X轴的两条垂线。单击工具箱上的“点”
工具，移动光标至两条垂线上，当垂线呈现高亮度时，单击
鼠标左键，分别在两条垂线上作出一个点， 并用“文本”工
具加注标签为A、B。单击工具箱上的“选择箭头”工具，选
中两条垂线，按快 捷键“ctrl+H”，隐藏两条垂线。然后选
中点A和点D，按快捷键“ctrl+L”，绘制出线段 AD，同样
方法，绘制出线段BE，如图124所示。

第3步，单击操作区 空白处，释放所选对象，然后选中
点A、点B和点C，依次单击“度量”→“纵坐标”菜单命
令 ，操作区中显示3点的纵坐标度量值，移动光标
至度量值上，当光标变成黑色箭头时，拖动度量值
至合适位置。右键单击度量值“yA=1.46”，选择
“属性”菜单项，弹出对话框，在标签选项卡 中标
签框中输入“a”，单击“确定”按钮，同样方法，
修改“yB”为“b”，修改“yC” 为“c”，如图125
所示。


第4步，同时选择操作区中的3个 度量值，依
次单击“图表”→“绘制新函数”菜单命令，弹出
“新建函数”对话框，如图126 所示。
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依次选择“数值”下拉列 表中的“a”、乘号“*”、“数值”下拉列表中的自变量“X”、计算器上的平方号、
数字“2”、加 号“+”、“数值”下拉列表中的“b”、乘号“*”、“数值”下拉列表中的自变量“X”、加号“+”、“数值”下拉列表中的“c”，对话框中出现如图127所示的计算式，

然后单击“确定”按钮，得到抛物线图像，如图128所示。
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第5步，单击操作区空白处，释放所选对象，然后选中抛物线 图像，按住“shift”键，依次单击“显示”→“线
型”→“粗线”菜单命令，设置抛物线为粗线， 如图129所示。


第6步，依次单击“文件”→“保存”菜单命令，保存文件。


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《几何画板》：36绘制带参数的圆函数图像

第1步 ，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义
坐标系”菜单命令，在操作区建立直角坐标系。然后依次< br>单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的
网格。单击工具箱上的“文本”工具，移 动光标至圆点，
当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左
键，将标签修改为“O ”。同法，给单位点加注标签为“1”。
单击工具箱上的“点”工具，移动光标至X轴上，当X轴
呈现高亮度时，单击鼠标左键，在X轴上绘制出3个点，
并用“文本”工具，加注标签分别为D、E、 F，如图111
所示。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区 空白处，释放所选对象。然后选中点D、点E、点F
和X轴，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，绘 制出
过三点的垂直于X轴的3条垂线。单击工具箱上的“点”
工具，移动光标至3条垂线上，当 垂线呈现高亮度时，单
击鼠标左键，分别在3条垂线上绘制一点，并用“文本”
工具加注标签， 分别为A、B、C，如图112所示。

单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中3条垂 线，
按快捷键“ctrl+H”，隐藏3条垂线。然后选中点A和点
D，按快捷键“ctrl+ L”，绘制出线段AD。同法，绘制出
线段BE和线段CF。
第3步，单击操作区空白 处，释放所选对象，然后选中点A、点B和点C，依次单击“度量”→“纵坐标”菜
单命令，3点的纵坐 标度量值显示在操作区，选中度量值，当光标变为一个黑色箭头时，拖动度量值到适当位置，
如图113 所示。

右键单击操作区显示的“Ya=0.936”度量值，单击“属性”菜
单项，弹出如图114所示的对话框，

按对话框标签选项卡的标签栏中所示，输入“a”，然后单级
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“确定”按钮，此时操作区中的“Ya”变为“a”。同法，
将操作区显示的“yB”变为“ b”，“yC”变为“c”，
如图115所示。


第4
步， 同时选
中3个度量
值，依次单
击“图
表”→“
绘制新函
数” 菜单
命令，出现
对话框，如
图116所
示。

在对话 框中依次选择“函数”下拉列表中的开根号“sqrt”、
“数值”下拉列表中的“c”、计算器上的平 方号“∧”、数字“2”、
减号“-”、左括号“（”、“数值”下拉列表中的自变量“X”、计
算器上的减号“-”、
“数值”下拉列表中
的“a”、右括号“）”、计算器上的“+”、“ 数值”下拉列表中
的“b”，对话框显示出计算式，如图117所示，

单击“确定”按钮，得到上半圆，如图118所示。

同样方法，在输入上述计算式之前，先输入负号“-”，得到下半圆，如图119所示。
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第5步，单击操作区空白处，释放所选对象 ，然后选
中两个半圆，按下“shift”键，依次单击“显示”→“线
型”→“粗线”菜单命 令，设置圆的线型为粗线。单击工
具箱上的“文本”工具，在操作区空白处划出一个矩形框，
然 后输入“圆方程的图像”，在文本工具栏中选择适当的
字号和字体等。将光标移至“圆方程”后面，单击 工具栏
中如图120所示的按钮，

出现如图121所示的编辑工具，

利用这些工具输入圆的方程表达式，并拖动至合适位
置，如图122所示。


第6步，依次选择“保存”→“文件”菜单命令，保存文件。

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《几何画板》37绘制带参数直线函数图像

第1步，启动几何画板，依次单击“图表”→“定义
坐标系”菜单命令，在操作区 建立直角坐标系。然后依次
单击“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的
网格。单击 工具箱上的“文本”工具，移动光标至圆点，
当变成一只小黑手时，单击鼠标左键，然后再双击鼠标左< br>键，将标签修改为“O”。同法，给单位点加注标签为
“1”。单击工具箱上的“点”工具，移动 光标至X轴上，
当X轴呈现高亮度时，单击鼠标左键，在X轴上绘制出3
个点，并用“文本”工 具，加注标签分别为A、B、E，如
图104所示。
第2步，单击工具箱上的“选择箭 头”工具，选中点A、
点B和X轴，依次单击“构造”→“垂线”菜单命令，绘制
出过两点垂直 于X轴的两条垂线。单击工具箱上的“点”工
具，移动光标至两条垂线上，当垂线呈现高亮度时，单击鼠
标左键，分别在两条垂线上绘制一点，并用加注标签为C、D，
如图105所示。单击工具箱上 的“选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放所选对象，然后选中两条垂线，依次单击
“显示 ”→“隐藏”菜单命令，隐藏两条垂线。然后选中点
A和点C，按快捷键“ctrl+L”，作出线段A C，同法，作出
线段BD。
第3步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操作区空白处，释放所选对象。然后选中点C和点D，依次单击“度量”→“纵坐标”菜单命令，操作区显示两点 纵坐
标度量值。右键单击Yc=1.30度量值，单击“属性”菜单项，
弹出如图106所示的 对话框，

按照图示在标签栏中输入“a”，然后单击“确定”
按钮。同法，修 改标签“Yd”为“b”，如图107所示。


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第4步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放所选 对象。选中点E，依次单击“度
量”→“横坐标”菜单命令，点E的横坐标的度量值显示
在操作 区。同时选中3个度量值，依次单击“度
量”→“计算”菜单命令，弹出“新建计算”对话框，单
击“数值”按钮，在下拉菜单中选择“a”、计算器上的
“*”、“数值”下拉菜单中的“Xe”、计 算器上的“+”、
“数值”下拉菜单中的“b”，单击“确定”按钮，操作
区出现计算值，如图 108所示。


第5步，依次选中操作区中的“XE=2.62”和
“a*XE+b=4.98”两组度量值，依次单击“图表”→“绘
制（x,y）”菜单命令，绘制出一 点，并用“文本”工具，
加注标签为“H”，如图109所示。


第 6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，单击操
作区空白处，释放所选对象。然后选中点E和点H，依 次
单击“构造”→“轨迹”菜单命令，绘制出一条直线，如
图110所示。


第7步，单击工具箱上的“文本”工具，在操作区空
白处划出一个矩形框，输入 “直线方程y=ax+b的图像”，
并在下面的文本工具栏中选择适当的字号、字体等。依次
单 击“保存”→“文件”菜单命令，保存文件。



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