高考600分什么概念-雨季不再来三毛

新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 考研数学基础高等数学1
第一章 函数、极限、连续（全体） 第二章 一元函数微分学（全体）第三章 一元函数积分学（全体）第四章 常微分方程（全体） 第
五章 向量代数与空间解析几何（数学一）第六章 多元函数微分学（全体） 第七章 多元函数积分学 §7．1 二重积分（全体）
§7．2 三重积分§7．3 曲线积分§7．4 曲面积分（数学一）第八章 无穷级数 （数学一和数学三）
第一章 函数、极限、连续 §1．1 函数 甲 内容要点
一．函数的概念1．函数的定义
设
D
是一个非空的实数集，如果有一个对应规则
义在
D
上的一个函数，记以

f
，对每一个
xD
，都能对应唯一的一个实数
y
，则这个对应规则
f
称为定
yf

x

，称< br>x
为函数的自变量，
y
为函数的因变量或函数值，
D
称为函数 的定义域，并把实数集
Z

yyf

x

, xD

称为函数的值域
x1

x1

yf

x



x
2
1x1 是一个分段函数，它有两个分段点，
x1
和
x1
，它们两 侧

5xx1

yf

x

在分段点 处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和
2．分段函数 如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函
数称为分段函数。 例如
的函数表达式不同，因此讨论函数
左、右导数，需要 强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
又
< br>1,x0

x,x0

x0
，都是分段函数 ， f

x

sgnx

0,
f
< br>x

x


x,x0

1,x 0

yf

x

的函数称为显函数，由方程
F< br>
x,y

0
确定
yy

x

称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，
，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化 为显函数。
1
3．隐函数 形如
例如
x
2
y
2
1
，
y1x
2
4．反函数 如果
yf

x

可以解出
x

y

是一个函数（单值）则称它为
f

x

的 反函数，记以
xf

y

。有时也用
yf
1

x

表示，例如
yx
2
,

x0

解出
xy
，

y0

而yx
2

x0

解出
xy

y0


二．基本初等函数
1．常值函数
yc
（常数） 2．幂函数
yx

（

常数） 3．指数函数
ya
x
(
a0
,
a1
常数)

4．对数函数
ye
x
（
e2.7182
，无理数）
ylog
a
x
（
a0,a1
常数）常用对数
ylo g
10
xlgx
自然对数
ylog
e
xlnx


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5．三角函数
ysinx
；
ycos x
；
ytanx
；
ycotx
；
ysecx
；
ycscx
。
yarcsinx
；
yarccosx
；
yarctanx
；
yarccotx
。 6．反三角函数
关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会 用
x
limarctanx
；
limarctanx
；
lim

e
x
x0
1
x
；
li m
x0
e

1
x
；
lim
x0
x
等等。就需要关于
yarctanx
，
ye
，
y lnx
的图象很
lnx

清晰。
三．复合函数与初等函数1．复合函数 设
是定义在
yf

u

定义域
U

ug

x

定义域
X
，值域
U则
yf

g

x


*
如果
U*U
，
X
上的一个复合函数。其中
u
称为中间变量 。
2．初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。
四．考研数学中常出现的非初等函数
1．用极限表示的函数
（1）
ylimf
n

x

（2）
ylimf

t,x


ntx
x
2．用变上、下限积分表示的函数
（1）
则
y

f

t

dt
，其中
f

t

连续，则
0

2

x
dy
f

x

（2）
y
< br>f

t

dt
，其中

1

x

，

2

x

可导，
f< br>
t

连续，


x

1
dx
dy


x

f


1

x



1


x


f


2

x



2
dx
yf

x

在
X
内有 定义，若存在正数
M
，使
xX
都有
f

x

M
则称
f

x

在
X
f< br>
x

f

x

，则称
f< br>
x

在
X
上是奇函数；若
五．函数的几种性质1． 有界性： 设函数
上是有界的。 2．奇偶性： 设区间
X
关于原 点对称，若对
xX
，都有
对
xX
，都有
调性： 设
f

x

f

x

，则称
f

x

在
X
上是偶函数、奇函数的图象关于原点 对称；偶函数图象关于
y
轴对称。 3．单
，
x
1
f

x

在
X
上有定义，若对任意
x
1X
，
x
2
X
X
，
x
2
X
x
2
都有
f

x
1

f

x
2


f

x
1

f

x
2


则称
f

x

在
X
上是上是单调增加的[单调减少的]；若对任意
x
1
单调不减[单调不增]。
，
x
1
x
2
都有
f

x
1

f

x
2


f

x
1

f

x
2


则称
f

x

在
X （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）
4．周期性： 设
称
f

x

在
X
上有定义，如果存在常数
T0
，使得任意
xX
，
xTX，都有
f

xT

f

x
，则
f

x

是周期函数，称
T
为
f

x

的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
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乙 典型例题 一．求函数的定义域 例1．求函数
f

x

lnlnlnx100x
2
的定义域
例2．求
yxx
1
lnx5
的定义域 例3．设
f

x

的定义域为

a,a


a0

，求
f

x
2
1

的定义域

3

f

。

2

0x2

1,
例4．设
g

x



求
f

x

g

2x

g

x1

的定义域，并求

2, 2x4
二．求函数的值域

3x
3
,x2
3
3

5x, 2x2
的值域，并求它的反函数 例1．求
ye
x1
的值域 例2．求
yf

x




1

x2

2,x2

1
三．求复合函数有关表达式
1．已知
f

x

和
g

x

，求
f

g

x


例1．已知
f

x



2
x
，求
x1

1


f< br>

f

x

1

x2x2
f

f

x


例2． 设
f

x


x
1x
，求
< br>f

f

f

x


f
n

x

例3．设


n重复合

4x
2
,
f

x




0,
，求
2．已知
g
例1．设
例3．设
3．已知
解：
g

x

和
f

g

x


，求
f

x


fe
x
1e
2x
e
x
x
，求
f

x

例2．已知
f

e
x
xe
x
，且
f< br>
1

0
，求
f

x


f


x

sinx
，求
f

x

例4．已知
f

sinx

3cos2x
，求证
f

cosx

3 cos2x

f
1
f

x

和
f

g

x


，求
g

x

例．已知
f

x

ln
1x

，
f

g

x


x
，求
g

x



x



x

实际上为求反函数问题
f

g

x


ln

1g

x


x
，
1g

x

e< br>x

g

x

e
x
1


x1

f

3f

x

2x< br>，求
f

x


x1

4．有关复合函数方程 例．设
四．有关四种性质
例1．设
F

（A）若
（C）若

x
f

x

，则下列结论正确的是[ ]
f

x

为奇函数，则
F

x

为 偶函数。（B）若
f

x

为偶函数，则
F
x

为奇函数。
f

x

为周期函数，则< br>F

x

为周期函数。（D）若
f

x
为单调函数，则
F

x

为单调函数。
解：（B）不成立，反例
x
3
f

x

x
，
F

x

1
（C）不成立，反例
f< br>
x

cosx1
，
F

x

sinxx

3
2
（D）不成立，反例
f

x

2x
，
F

x
x
2
在

,

内（A）成立。证明：
F

x

F

0


f

t

dt
，
f
0
x
为奇 函数
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F

x

F

0< br>


例2．求
I
1
1
x0
f

t

dtF

0



f

u

d

u

F

0



f

u

duF

x


F

x

为偶函数。
00
xx

xx
5
e
x
e
x
lnxx
2
1 dx


x
n
A
（称数列

x
n

收敛于
A
）任给

0
， 存在正整数
N
，当
nN
时，就有
x
n
A
。





§1．2 极限 甲 内容要点 一．极限的概念与基本性质
1．极限的定义 （1）
lim
（2）
（3）
n
x
limf

x

A
任给

0
，存 在正整
X
，当
xX
时，就有
f

x
< br>A

。
limf

x

A
任给

0
，存在正数
X
，当
xX
时，就有< br>x
f

x

A


（4）
lim
x
f

x

A
任给

0
，存在正数
X
，当
xX
时，就有
f

x

A


f

x

A
任给

0
，存在正数

，当
0
（5）
lim
（6）
xx
0
xx
0


时，就有
f

x

A


，当
0

xx
0
limf

x

A
（用
f

x
0
0

表示
f

x

在
x
0
的右极限值）任给

0
，存在正数

xx
0


时 ，就有
f

x

A


（7 ）

xx
0
limf

x

A
（用
f

x
0
0

表示
f

x

在
x
0
的左极限值） 任给

0
，存在正数

，当


xx
0
0< br>时，就
有
f

x

A

其 中
f

x
0
0

称为
f
x

在
x
0
处右极限值，
f

x0
0

称为
f

x

在
x
0
处左极限值。
f

x

A
表示上述 六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质，有时我们把
x
n
f

n

， 有时我们用
lim
把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。
2．极限的基本性质
定理1．（极限的唯一性）设
limf

x< br>
A
，
limf

x

B
，则
AB
定理2．（极限的不等式性质）设
limf

x

A
，
limg

x

B
若x
变化一定以后，总有
f

x

g

x

，则
AB
反之，
AB
，则
x
变化一定以后，有
f

x

g

x
< br>
（注：当
g

x

0
，
B0
情形也称为极限的保号性）
f

x

A
则当
x
变化一定以后，
f

x

是有界的。 定理3．（极限的局部有界性）设
lim
定理4．设
lim
则（1）
lim
f

x

A
，
limg

x

B


f

x

g

x


AB
（2）
lim< br>
f

x

g

x


AB
（3）
lim

f

x

g

x


AB

（4）
lim
f

x

A
g

x



B0

（5）
lim

f< br>
x


A
B

A0


g

x

B
f

x

0
，则称
f

x

为无穷小
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二．无穷小
1．无穷小定义 若
lim

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（注：无穷小与
x
的变化过程有关，
lim
2．无穷大定义 任给< br>M
记以
lim
111
0
，当
x
时，为 无穷小，而
xx
0
或其它时，
x
xxx
不是无穷小）
0
，当
x
变化一定以后，总有
f

x

M
，则称
f

x

为无穷大。
f

x



3．无穷小与无穷大的关系 在
x
的同一个变化过程中
若
f

x

为无穷大，则
11
为无穷小， 若
f

x

为无穷小，且
f

x

0
，则为无穷大

fxfx
limf

x

Af

x

A


x

其中
lim


x

0

f

x

0
，
limg

x

0
，且
lim
4．无穷小与极限的关系
5．两个无穷小的比较 设
lim
f

x

l
（1）
l0< br>，称
f

x

是比
g

x

高阶的无穷小，记以
g

x

f

x< br>
0

g

x


称
g

x

是比
f

x

低阶的 无穷小。（2）
l0
，称
f

x

与
g

x

是同阶无穷小。（3）
l1
，称
f

x

与
g

x

是
等价无穷 小，记以
f

x

~g

x


6．常见的等价无穷小
当
x0
时
< br>sinx~x
，
tanx~x
，
arcsinx~x
，
arctanx~x

1cosx~
1
2


x
，
e
x
1~x
，
ln

1x

~x
，

1x

1~

x

2
7．无穷小的重要性质 有界变量乘无穷小仍是无穷小
三．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在
（1）若
x
n1
（2）若
x
n1
x
n
（
n
为正整数）又
x
nm
（
n
为正整数） 则
limx
n
A
存在，且
Am

n
x
n
（
n
为正整数）又
x
n
M
（< br>n
为正整数） 则
lim
n
x
n
A
存在，且
AM

准则2．（夹逼定理）设
g

x

f

x

h

x

若
limg

x

A
，
limh

x

A
，则
limf

x

A

nu
1
sinx

1

1

3．两个重要公式 公式1．
lim1
公式2．
lim

1

 e
；
lim

1

e
；
lim

1v

v
e

x0
v0
n u
x

n

u

4．用无穷小重要性质和 等价无穷小代换5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）
x
2
x
n
0x
n
当
x0
时，
e1x< br>2!n!
x


x
3
x
5
x
2n1
n
sinxx

1

0 x
2n1

2n1

!3!5!


2n
x
2
x
4
n
x
cosx1
1

0x
2n

2n

!2! 4!


n
x
2
x
3
n1
x
ln

1x

x



1

0x
n
23n


2n1
x
3
x
5
n1
x
arctanxx

1

0x
2n1
352n1


- 39 -

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2!n!
0
6．洛必达法则 法则1．（型）设（1）limf

x

0
，
limg

x

0
（2）
x
变化过程中，
f

x

，
g


x

皆存在
0
（3）
lim

1x



1

x



1

x< br>2






1






n1


x
n
0x
n


f


x

f

x

A
（或

）则
limA
（或

）
g


x

g
< br>x

f


x

f

x< br>
不存在且不是无穷大量情形，则不能得出
lim
不存在且不是无穷大量情形）



gx
gx
（注：如果
lim
法则2．（

型）设（1）
limf
x


，
limg

x


（2）
x
变化过程中，
f


x

，
g


x

皆存在

f< br>

x

f

x

A
（ 或

） 则
limA
（或

）

g

x

g

x

（3）
lim
7．利用导数定义求极限 基本公式：
x0
lim
f

x
0
x

f

x
0

f


x
0

[如果存在]
x
1
n

k

1
lim

f



f

x

dx
[如果存在]
n
n

n

0
k1
8．利用定积分定义求极限 基本公式

9．其它综合方法10．求极限的反问题有关方法
乙 典型例题 一．通过各种基本技巧化简后直接求出极限
a
m
x
m
a
m1
x
m1


a
1
xa
0例1．设
a
m
0
，
b
n
0
求lim
n1
x
bx
n
bx

b< br>1
xb
0nn1
例2．设
a

0
，< br>r1
，当
lim

aarar
n
n 1

解：
lim

aar

ar

n1
n
1r
n
a
lima

n
1r1r
2

2

2

2


2
22
n1

2

3
特例（1）求
lim








1



解：例2中取
a
，
r
，可知原式

n
3
33

2

5

3

3

3




1



< br>3

23n
24
3
n1
2
n
 
例3．求
lim
n1
（2）
lim
n
n< br>2
n
3
3
3
n
1

1

1



2
3

3

n
1

1

1


2

2

n
例4．设
l
是正整数，求
lim
1
特例：（1）

n

kkl
k 1
n
n
n
l

2kl

113
lim

1
（2）
lim


例5．设< br>l
是正整数，求
lim

2
2
n
n
n
4
k1
k

kl

k1k

k1

k1
k

k2
< br>n

特例：（
l1
）
lim

nk1
2k1
k
2

k1

2
 1
（
l2
）
lim

n
k1
n< br>2

2k2

k
2

k2
< br>- 39 -
2
1
15


2
2
4

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例6．设
d
1

n1
d

11d

0
为常数，求
lim
< br>2

2



2

n
nnn

例7．求下列各极限
1x1x
（1）
lim
x0
x
二．用两个重要公式
例1．求
lim
1x
3
1x
（2）
lim< br>x0
x
3
3
（3）
lim
1x
3< br>1x
1x1x
x0
（4）
x
lim

x
2
xx
2
3x


sinx< br>1tanx1sinx
例2．求
lim
x


x
x0
x

1cosx

解一：原式
 lim

tanx1



sinx1

x0
x

1cosx


1tanx 1sinx


1tanx

1cosx

1tanx1
limlim

x0x0
2x

1cosx

2x2
解二 ：原式
lim
x0

1tanx1



1sinx1


1
lim
tanxsinx

1
lim
tanx

1

x

1cosx

2
x0
x

1cosx
< br>2
x0
x2
例4．求下列极限
1
x
例3 ．求
lim
xxx
coscoscos
n
n
242
x10

2

（1）
lim

1 

x

x


1x

（ 2）
lim

x0
1x


x1

（3）
lim

x
x1

4
x1
x

2x3

（4）
lim

x
2x1

x1

例5．求下列极限
（1）
lim
x

1tanx

cotx
（2）
lim
x1
x
（3）
lim
x0
cosx

cot
2
x
（4）
lim
x0

cosx

csc
2

3x
< br>
三．用夹逼定理求极限
例1．求
lim

135 2n1242n

1352n1


解：令，
< br>xy


nn
n
2462n
2462n352n1

1
2
由夹逼定理可知
limx
n
0
，于是原极限为
0
。
n
2n1
则
0
2
x
n
y
n
，于是
0x
n
x
n
y
n

例2．求下列极限
lim

n
k1
n
1
nk
2

11
sin
0

nn
四．用洛必达法则求极限1．“”型 和“”型例1．求
lim
n
1
0

sin
3< br>n
解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑


l im
x0
xsinx
等价无穷小代换
xsinx
1cosx sinx1
lim
limlim

x0
x0x0
6x6
sin
3
xx
3
3x
2

12
e
x
1

原式

例2．求
lim
10
x0
x
6

- 39 -

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
1
1

cos
2
< br>1
2．“

”型 和“
0
”型。例1．求
lim


x


例2．求
lim
2

x0
x
x0
e1

x
2< br>

sinx
1

1

xx
< br>例3．求
limsinxlnx
例4．设
a0
，
b0
常数，求
limxab


x

x0< br>

x






2
3．“
1
”型，“
0
”型和“

”型 这类都是
lim
而
lim

0
0

f

x


g

x

形式，可 化为
e
limg

x

ln

f

x



g

x

ln

f

x


都是“
0
”型，按2 的情形处理
x0

例1．求
解：令
limx
sin
2
x
例2．求
lim
co t
2
x
x0

cosx

cot
2x
（前面已用重要公式的方法）
y

cosx

，
lnycot
2
xlncosx

limlnylimco t
2
xlncosxlim
x0
1
x0
lncosx lncosx

lim
x0
tan
2
x
x0
x
2
0
（“
0

tanx1
”型）=
lim
，


limye
2

x0
x0
2x2
1

1
例3．求< br>lim

sincos

x
xx

x

五．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
3
例1．求
lim
n
3
n
2
n1
n
2
n 1
2
sinn1
解：


limlim
nn
3n1
3n1
3
111

2
< br>3
n
nn
0
，
1
3
n

sinn
2
11
， 根据有界变量乘无穷小仍是无穷小，可知原式
0

3sinxx
2
cos
1

1cos2x

arctan3x
例3．求
lim
x
例2．求
lim
x
x0
e1

ln

x0

1cosx
ln

1x

12x

sin5x 解：这个极限虽是“
0
0
”型，但分子，分母分别求导数后的极限不存在 ，因此不能用洛必达法则。
1

sinx
3xcos

x

3
n
n
1xx
2

n
1x
1
x
原式
lim


例4 ．设
n
为正整数，求
lim
x0
x0
1cosx
ln1x
1cosx

2

x
 


六．求分段函数的极限
例1．求下列函数在分段点处的极限
（1）

x
2
1

sin2x
, x0
, x1



x1
x
（2）< br>g

x




f

x< br>


2

x
2

1
, x1

x
, x0


2


1cosx
- 39 -

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（1）
x
2
x
2
sin2xsi n2x
lim

2

limf

x

2

f

0 0

lim

lim

22

f

00

lim

x0
x0
1cosx
x0
1
2
x0x0
x2x
x
2
x
2
1
1

3

lim
< br>
x1

2

g

10
< br>lim


x
2



因为< br>g

10

g

10

，故
limg

x

不存（2）
g

10< br>
lim

x1
x1

x1
x1
x1
2

2
在。
1


2e
x
sinx

例2．求
lim




4
x0
x
1e
x

七．求极限的反问题
x
1t
2
x
2
axb
dt1
，求
a
和
b
。 例1．设
lim3
求
a
和
b
例2．设
lim
x0
bxsinx

0
x1
sinx
2
1
at

§1．3 连续 甲 内容要点 一．函数连续的概念1．函数在点
x
0
处连续
定义1．设函数yf

x

在点
x
0
的某个邻域内有定义， 如果当自变量的改变量
x
（初值为
x
0
）趋近于
0
时，相应的函数改变
x0
量
y
也趋近于
0
，即函数
yf

x

limy0
或
lim< br>
f

x
0
x

f

x
0


0
则称函数
yf

x

在点
x
0
处连续。
x0
在点
x
0
处连续也可作如下定义。定义2．设函数
在，且等于
x
0
处的函数值
yf

x

在点
x
0
的某个 领域内有定义，如果当
xx
0
时，函数
f

x

的极限值存
f

x
0

，即
limf
x

f

x
0

则称函 数
yf

x

在点
x
0
处连续，此时有
xx
0
xx
0
xx
0

xx0
limf

x

lim

f
< br>x

f

x
0

并且有
limf

x

f

x
0

 f

limx

即如果函数在点
x
0
处连 续，则在点
x
0
处可以交
xx
0
换极限号和函数号的顺序 。
定义3．设函数
yf

x

，如果
lim

f

x

f

x
0< br>
，则称函数
f

x

在点
x
0< br>处左连续；如果
lim

f

x

f
x
0

，则称函数
xx
0
xx
0
f

x

在点
x
0
处右连续。
由上述定义2可知，如果函数
yf

x

在点< br>x
0
处连续，则
f

x

在
x0
处既左连续也右连续。
2．函数在区间内（上）连续的定义
如果函数
如果
yf

x

在开区间
< br>a,b

内的每一点都连续，则称
f

x

在

a,b

内连续。
yf

x
< br>在开区间内连续，在区间端点
a
右连续，在区间端点
b
左连续，则称< br>f

x

在闭区间

a,b

上连 续。
yf

x

在点
x
0
不连续，则 称
x
0
为
f

x

的间断点。
yf

x

的间断点。如果
f

x
< br>在间断点
x
0
二．函数的间断点及其分类
1．函数的间断点的定义 如果函数
2．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设
x
0
是函数
- 39 -

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处的左、右极限都存在，则称
x
0
是
f< br>
x

的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
例如．
x0
是
x
sinx
的可去间断点，是
f

x


f

x


x
x
的跳跃间断点，是
f
x


1
x
的无穷间断点，是
f

x

sin
1
的振荡
x
间断点。
三．初等函数的连续性
1．在区间
I
连续的函数的和、差、积及商 （分母不为零），在区间
I
仍是连续的。
2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。
3．在区间
I
连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。
4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。
5．初等函数在它的定义区间内是连续的。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间

a,b

上连续的函数
f

x

，有以下几个基本性质。这些性质以后都要 用到。
f

x

在闭区间

a,b
< br>上连续，则
f

x

必在

a,b

上有界。
f

x

在闭区间

a,b

上连续，则在这个区间上一定存在最大值
M
和最小值
m
。
定理1．（有界定理）如果函数
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数
其中最大值
M
和最小值
m
的定义如下：
定义 设
数
f

x
0

M
是区间

a ,b

上某点
x
0
处的函数值，如果对于区间

a ,b

上的任一点
x
，总有
f

x
M
，则称
M
为函
f

x

在

a,b

上的最大值。同样可以定义最小值
m
。
f< br>
x

在闭区间

a,b

上连续，且其最 大值和最小值分别为
M
和
m
，则对于介于
m
和
M< br>之间的任 定理3．（介值定理）如果函数
何实数
c
，在
a,b

上至少存在一个

，使得
f


c

f

x

在闭区间

a,b

上连续，且
f

a

与
f
b

异号，则在

a,b

内至少存在一个 点

，使得 推论：如果函数
f



0
这个推论也称为零点定理 思考题：什么情况下能保证推论中的

是唯一的？
乙 典型例题 一．讨论函数的连续性
由于初等函数在它的定义区间内总是连续的 ，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段
点处的连续性，若 函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。
例1．讨论函数

1

e
x
,x0
1

在点
x0
处的连续性。 解： 因
f

00
lim

f

x

lim
< br>e
x
0

f

x



0,x0
x0x0

1

xsin,x0
x

f

00

lim

f

x

lim

xsin
x0x0
1
0
f

0

0
即有
f
< br>00

f

00

f

0

，故
f

x

在点
x0
连续 。
x
- 39 -
例2．讨论函数

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
ln

1x

, x 0

x


1
f

x


, x0
在点
x0
的连续性。
2


1x1
, x0

x

二．已知函数的连续性求未知参数
例1．设

sinx
x0

在
x0
处连续 求常数
k

f

x



x
x0

k

1
x0

x
sinx

f

x



p x0
在
x0
处连续，求常数
p
和
q
。

1

xsinq x0
x

x1
1x1
在

,

内连续 求常数
a
和
b

x1
例2．如果函数
例3．设

2

f

x


x
2
axb

2

解：

由
x
f

1

1a b
，
f

1

1ab
， 由
x1
的连续性可知
1ab2
得
ba3

1
的连续性可知
1ab2
得
ba1
所以
a2,b1

三．求函数的间断点并确定其类型
例1． 求函数
x1
x
2
2x
f

x


的间断点，并确定其类型 例2．求函数
f

x
< br>
x1
xx
2
4
3

的间断点，并确 定其类型。 例
3．求函数
f

x


ta nx
的间断点，并确定其类型。 解：这是初等函数，在它的定义区间内函数都是连续的，此函数 在
x0
及
x
2
xk


型。
当
x
当
x

2

k0 ,1,2,

无定义，所以它的间断点是
x0
和
x k




k0,1,2,

下面确定它们的类
tanx
1
，所以
x0
是第一类间断点，且是 可去间断点。
x0
x
0
时，由于
lim
k



2

k0,1,2,

时，由于< br>
2
lim
xk



2
tan x


k0,1,2,

，
x
所以
xk



k0,1,2,

是第 二类间断点，且是无穷间断点。
例4．求函数
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
1

e
x
x 0

f

x



0,x0


1

arctan,x0
x

的间断点，并确定其类型。
四．求连续函数的极限
分两种情形： 1．如果
则
lim
f

x

是初等函数，
x
0
是
f

x

定义区间内的一点， < br>xx
0
f

x

f

x


lim

f

x
0

， 即只需在函数的表达式中把自变量
x
换成它的极限值
x
0
就行了。

xx
0

x
例1．求
lim

2
ln

2sinx

解：
ln< br>
2sinx

是初等函数，
x

2
是 它的定义区间内的一点，所以



limln

2sinx

ln

2sin

ln3


2

x

2
g

x

a
，而函数
yf

u

在点
ua
连续， 则
limf

g

x


f

limg

x



 f

a


xx
0
xx
0

xx
0

sinx

sinx

arc tan

解：因
lim1
，而函数
yarctanu< br>在点
u1
连续，所以

x0
x0
x

x


2．如果
lim
例2．求
lim

sinx



sinx

limarctan

ar ctan

limarctan1

x0
4
x

x0
x

2
x
1
4

1

例3．求
lim
例4．设
f< br>
x

在
x2
处连续，且
f

2

3
，求
limf

x


2

x2
x0
x2
x
x4

五 ．利用介值定理的推论判断方程的根
例1．证明五次代数方程
x
例2．证明
x
例3．设
5
5x10
在区间

1,2

内至少有一个根。
sinx2
至少有一个不超过3的实根
f

x
在

a,b

上连续，且
f

a
< br>a
，
f

b

b
，
第二章 一元函数微分学
§2．1 导数与微分甲 内容要点
一．导数与微分概念
1．导数的定义 设函数
yf

x

在点
x
0
的某邻域内有定义，自变量
x
在
x
0
处有增量
x
，相应地函数增量
f

x
0
x

f

x
0

y
lim
存在，则称此极限值为 函数
f

x

在
x
0
处的导数（也
x0
x
x0
x
yf

x
0x

f

x
0

。如果极限
l im
称微商）
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记作
f


x
0

，或
y
xx
0
，
dydf

x

，
dx< br>xx
0
dx
xx
0
等。
并称函数yf

x

在点
x
0
处可导。如果上面的极 限不存在，则称函数
yf

x

在点
x
0
处不可导。
x
0
x
，
xxx
0
， 则
f


x
0

lim
导数定义的另一等价形式，令
x
我们也引进单侧导数概念。
右导数 ：
xx
0
f

x

f

x< br>0


xx
0
f



x
0

lim

xx
0
f

x

f

x
0

f

x
0
x

f

x
0

lim

x0
xx
0
x
左导数：
f



x
0

lim

x x
0
f

x

f

x
0

f

x
0
x

f

x
0

lim


x0
xx
0
x
则有
f

x

在点
x
0
处可导
f

x< br>
在点
x
0
处左、右导数皆存在且相等。
yf

x

在点
x
0
处导数
f

x
0

存在，则在几何上
f


x
0

表示曲线
yf

x

在点

x
0
,f

x
0

处的切线的斜率。
yf

x
0

f


x
0< br>
xx
0

法线方程：
yf

x
0


2．导数的几何意义与物理意义
如果函数
切线方程：
1

xx
0


f


x
0

0


f


x
0

设物体作直线运动时，路程
S
与时间
t
的函数关系为
S
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数
处可导。
例如，
f

t

，如果
f


t0

存在，则
f


t
0

表示物体在时刻
t
0
时的瞬时速度。
yf

x

在点
x
0
处可导，则
f

x

在点
x
0
处一定连续，反之不然，即函数
yf

x

在点
x
0
处连续，却不一定在点
x
0
yf< br>
x

x
，在
x
0
0
处连续， 却不可导。
4．微分的定义 设函数
yf

x

在点
x
0
处有增量
x
时，如果函数的增量
yf
x
0
x

f

x
0

有下面的表达式
yA

x
0

x 0

x


x0

其中
A

x
0

为与
x
无关，
0

x

是
x0
时比
x
高阶的无穷小。 则称
f

x

在
x
0
处可微，并把
y
中的主要线性部分
A

x
0

x
称为
f

x

在
x
0
处的微分， 记以
dy
我们定义自变量的微分
dx
就是
x
。
5．微分的几何意义
xx
0
或
df
< br>x

xx
0

yf

x
0< br>x

f

x
0

是曲线
y f

x

在点
x
0
处相应于自变量增量
 x
的纵坐标
f

x
0

的增量，
微分dy
xx
0
是曲线
yf

x

在 点
M
0

x
0
,f

x
0

处切线的纵坐标相应的增量（见图）。
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6．可微与可导的关系
f

x< br>
在
x
0
处可微
f

x

在
x
0
处可导。
且
dy
xx
0A

x
0

xf


x
0

dx
一般地，
yf

x

则
dyf


x

dx
所以导数f


x


dy
也称为微商，就
d x
是微分之商的含义。
7．高阶导数的概念
如果函数
y f

x

的导数
y

f


x

在点
x
0
处仍是可导的， 则把
y
f


x

在点
x
0
处 的导数称为
yf

x

在点
x
0
处的二阶导数， 记以
y

xx
0
，或
d2
y
f


x
0

，或
2
等， 也称
f

x

在点
x
0
处二阶可导。
dx
xx
0

n

， 如果
可导。
yf

x

的
n1
阶导 数的导数，称为
yf

x

的
n
阶导数记以y
f

n

d
n
y

x
，
n
等，这时也称
yf

x

是
n
阶
dx
二．导数与微分计算 1．导数与微分表











c


0

d

c

0


x




x

1
（

实常数）
dx



x

1
dx
（

实常数）


sinx


cosx

dsinxcosxdx


cosx


sinx

dcosxsinxdx


tanx


sec
2
x

dtanxsec
2
xdx


cotx


csc
2
x

dcotxcsc
2
xdx


secx


secxtanx

dsecxsecxtanxdx


cscx


cscxcotx

dcscxcscxcotxdx

1

a0,a1


dlog
a
x
dx

a0,a1


xlnaxlna

lnx



1

dlnx
1
dx

xx

a
x
a
x
lna

a0,a1

< br>da
x
a
x
lnadx

a0,a1



log
a
x






x

e


e
x

de
x
e
x
dx

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
arcsinx



1
1x
2

darcsinx
1
1x
2
dx

< br>
arccosx



1
1x
2
darccosx
1
1x
2
dx




arctanx



11

darctanxdx

1x
2
1x
2
< br>arccotx



1
2

darccotx
1
2
dx

1x1x


ln

x

ln

x
x a
22




1
xa
1
x a
22
22

dlnxx
2
a
2




1
xa
1
xa
22
22
dx


xa
22





dlnxx
2
a
2


dx

2．四则运算法则

f

x

 g

x



f


x

g


x



f

x

g

x



f

x

g

x

f
< br>x

g


x





f

x


f


x

g

x

f

x
g


x




g

x

0


d< br>
f

x

g

x


df

x

dg

x

< br>
g

x


2

gx



f

x


g

x

df

x

f

x

dg

x

d

f

x
g

x


g

x

df

x

f

x

dg
x


d



g

x

0




2
g

x


g

x


yf

u

，
u

< br>x

，如果


x

在
x
处可导，
f

u

在对应点
u
处可导，则复合函数
yf



x


3．复合函数运算法则 设
在
x
处可导，且有
由于公 式
dy
dydydu
f




x< br>




x

对应地
d yf


u

duf




x





x

dx

dxdudx
f


u

du
不管
u
是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
4．由参数方程确定函数的运算法则
设
x


t

，
y


t

确定函数
yy
x

，其中



t

，



t

存在，且


t

0
，则

dy



t



dx


t


dy

d
< br>dx

d
2
y




t

0

二阶导数
2


< br>dx
dx

dy

d


dx< br>

1




t




t





t




t


3
dx
dt



t


dt
5．反函数求导法则
设
yf

x

的反函数< br>xg

y

，两者皆可导，且
f

x

0
则
g


y


11



f


x

0



f

x

f

g

y


- 39 -

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
1

d

f


x


d

g


y




1
二阶导数
g


y


dy
dydx
dx
6．隐函数运算法则 设
把
F


f
 

x

f


g

y




f


x

3

f


g

y


3


f


x

0


yy

x

是由方程
F

x,y
0
所确定，求
y

的方法如下：

x,y

0
两边的各项对
x
求导，把
y
看作中间变量，用复合函 数求导公式计算，然后再解出
y

的表达式（允许出现
y
变量）
2
例：
xy
2
1
，
2x2yy< br>
0
，
y


x
y


y0


7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数
对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数
关于幂指函数
y

。
y

f

x

g

x

常用的一种方法
ye
g

x

lnf

x

这样就可以直接用 复合函数运算法则进行。
关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。
乙 典型例题 一．用导数定义求导数
例1．设
f

x


xa

g

x

，其中
g

x

在点
a
处连续，求
f


a

。
解：

没有假设
g


x

可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义
f


a

lim
xa

xa

g

x

0

f

x
f

a

lim
xa
xaxa< br>xa

limg

x

g

a


例2．设
例3．设
，求
f


a


f

x



x
n
a
n

xa
（
n
为正整数）
f

x

，g

x

在

,

内有定义 ，
g

0

1
，
f


0

a
，且满足
f

xy

f< br>
x

g

y

f

y

g

x

，
f

0

0
，
g


0

b
，其中< br>a,b
为常数，求
f


x

。
二．分段函数在分段点处可导性
例1．讨论函数

xx0
在
x
0
0
处的连续性与可导性。
yf

x< br>
x

xx0

在
x
0
解：函数
yf

x

x
x0
0
处 连续，因为
f

0

0
，
lim
< br>f

x

lim


x
0

x0x0
x0
x0

limf

x

lim

x0
则
limxf

0

0
但是，在< br>x
0
0
处
f

x

没有导数，因 为
f



0

lim

 x0

0x0x
yx
lim

 lim

lim

1

x0
x
x0
x
x0
xx
- 39 -

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f



0

lim

x0
0x0x
yx
lim< br>
lim

1

lim

x 0
x
x0
xx
x0
x


f



0

f



0

曲线
yx
在原点的切线不存在。（见上图）
例2．讨论函数
f

x


3
x2
在点
x2
处的连续性与可导性。
例3．设函数

x
2
,x1
试确定
a
、
b
的值，使
f

x

在点
x1
处可导。
f

x




axb,x 1
例4．设
x
2
e
n

x1
axb
f

x

lim
问
a
和
b
为何值时，
f

x

可导，且求f


x

。
n

x1

n
e1
例5．设f

x

maxx,x
2
,x
3
2

，在

0,2

内求
f


x

。
例6．设

e
x
, x0,


x
f

x


< br>0, x0,

F

x



f

t

dt
，求
F
< br>
x

。

0

x
2

e, x0,
三．用各种运算法则求导数
1．运用四则运算和复合函数求导法则
例1．求下列函数的导数：
（1）
y1x
2
lnx1x
2
2


； （2）
2
y cot
2
xarccos1x
2
2
； （3）
y
sin2x
； 解：（1）
1cos2x
y




1x

ln

x1x

1x

ln

x1x



x1x
ln

x1x

1x



1

1x1x

x1x

2


22
2

2

2


x
2



lnx1x1


2
1x



1
11x
2


（2）
y

cotxarccos1x

2



2



2cotxcscx
2


x

1x
2

2cosxx




sin
3
x
x1x
2






（3）
y


2cos2 x

1cos2x

2sin
2
2x
1cos2x

2
x
2

2

1 cos2x


1cos2x

2

2
。
1cos2x
例2．求下列函数的微分
（1）
yesinx
； （2）
y
lnxcotx
22
； （3）
yarctanxlnx1
。
sinx
例3．设f

x

x

x1

x2< br>


x100

，求
f

< br>50

例4．设
f

x

可导，< br>yfarctane
f

x

- 39 -

，求
dy

dx

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例5．设
f

x

可微，
yf

lnx

e
f

x

，求
dy
例6．设
e
f

x

arctanf

x

，求
dy

f

x

可微，
y
f

x

2．运用隐函数求导法则
例1．设
yy

x

由方程
arcta nx
2
y
2
ye

x
所确定，求
解：对方程两边关于
x
求导，

y
看作
x
的函数，按中间变量处理
x
dy
dx
和
dy

1
1xy
y
2x

22


2x2yy

< br>y

e
2
x

y
2x
x
e
x


2y
y


e
22
2


1

xy

x

y
e



2x
x

2x1

xy
22
2


e
2x
1x
2
y
2
2
2

y



2
2y
1x
2
y

y

1

x
2
dy
yx


1

x
4yx2

y< br>

4xx
x

1

xy


e
22
2
22
2
e
x
4yx 2x1xy

y
2



4
2
22
2


e
xx
x
于是，
x
dx

3．运用对数求导法则
例1．求
y
3

x

x1

x2

x
2
1e
x
x

的导数
y
解：
lny
1
lnxln

x1
ln

x2

lnx
2
1lne
x
x
3




对
x
求导，得
11

1112xe
x
1

y




2

x

因此，
y3

xx1x2
x1ex

1x

x1

x2


1112x e
x
1

y


3
2
< br>



3

x1

e
x
x


xx1x2
x
2
1e
x
x

例2．设
yx
x

x0
，求
x
dy
dx
例3．设
yy

x

由方程
x
y
y
x
所确定，求dy
dx

4．运用参数方程求导法则

x< br>t
e
u
2
sinudu


t
dx
dy


xln

1t

例1．设

，求 例2．设

，求
2
2t
d y
dx


y

e
u
ln
< br>1u

du

ytsint
0

32

例3．设
f

u

可导，< br>g

u

连续，
xf

1t

2

y

g1u
2
du
，求< br>0
t


dy
dx

五．高阶导数
1．求二阶导数

xarctant
例1．设
ylnxxa
求
y

例2．设

2

yln1t
22



d< br>2
y
求
2
dx
x
y
例3． 设
yy

x

由方程
x
2
y
2
1
所确定，求
y

解：
2x2yy

0
，
y


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x
2
y

1 yxy
y
y


y
2
y
2
y
2
x
2
1

y
3
y
3

2．求
n
阶导数（
n
先求出
2
，正整数） y

,y

,,
总结出规律性，然后写出
y

n

，最后用归纳法证明。
有一些常用的初等函数的
n
阶导数公式
（1）
ye
x

y

n

e
x
（2）
ya
x

a0,a1


y
n

a
x

lna

n

（3）
n


n





n

ysinx

y

n

sin

x

（4）
ycosx

ycos

x


2
2


n1
(5)
ylnx

y

n



 1

n1

!x
n

n!

0

0

，
u

x

u

x

，
v

x

v

x


k!

nk

!
两个函数乘积的
n
阶导数有莱布尼兹公式

u

x

v

x


假设
u

n

k

k

k


C
n
u

x

v

nk

< br>x

其中
C
n

k0
n
x

和
v

x

都是
n< br>阶可导。
yx
k
例1．设（
k
正整数）求
y

n

（
n
正整数） 解：
y

n


k

k1


kn1

x
kn
,nk,



0,nk,

x
n
例2．设
y
1x
，求
y

n

（
n
正整数） 例3．设
y
1

n

y
求（
n
正整数）
2
x3x2
x
3

n

例4．设
y
2
求
y
（
n
正整数）
x3x4
§2．2 微分中值定理
本节专门讨论考研数学中经常考的 四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）
[注：数学三不考泰勒定理，数学四不考柯西中值定理和泰勒定理]
这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。
甲 内容要点 一．罗尔定理
设函数
f

x

满足 （1）在闭区间

a,b

上连续； （2）在开区间

a,b

内可导； （3）
f

a

f

b


则存在

在


a,b

，使得
f




0
几何意义：条件（1）说 明曲线
yf

x

A

a,f

a

和
B

b,f

b

之间是连续曲线；[包括点
A
和点
B
]
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条件（2）说明曲线
条件（3）说明曲线
结论说明曲线
yf

x

在
A,B
之间是光滑曲 线，也即每一点都有不垂直于
x
轴的切线[不包括点
A
和点
B
]
yf

x

在端点
A
和
B
处纵坐标相等。
yf

x

在
A
点和
B
点之间[不包括点
A
和点
B
]至少有一点，它的切线平行于x
轴。
f

x

在

a,b

内是单调增加或单调减少，一般就需要证明在

a,b

内 （注：如果要证明这样的

还是唯一的，那么需要证明
f


x

0
或
f


x

0< br>）
二．拉格朗日中值定理
设函数

f

x

满足 （1）在闭区间

a,b

上连续； （2）在开区间

a,b

内可导； 则存在



a,b

，使得
f
b

f

a

f




或写成
f

b

f

a

f




ba



a

b

有时也写成
ba
f

x
0
x

f

x
0

f


x
0


x

x


0

1

这里
x
0
相当
a
或
b
都可以，
x
可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线
括点
yf

x

在点
A

a,f

a

和点
B

b,f

b

之间[包
A和点
B
]是连续曲线；
yf

x

[不包 括点
A
和点
B
]是光滑曲线。 条件（2）说明曲线
结论说明曲线
推论1．若
推论2．若
yf

x< br>
在
A,B
之间[不包括点
A
和点
B
]至少 有一点，它的切线与割线
AB
是平行的。
f

x

在

a,b

内可导，且
f


x
0
，则
f

x

在

a ,b

内为常数。
f

x

，
g

x

在

a,b

内皆可导，且
f< br>

x

g


x

， 则在

a,b

内
f

x

g

x

c
，其中
c
为一个常数。
f< br>
a

f

b

特殊情形，就是罗尔定理 ） （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当
三．柯西中值定理（数学四不要）
设函数
f

x

和
g

x

满足： （1）在闭区间
[a,b]
上皆连续； （2）在 开区间

a,b

内皆可导；且
g


x

0



a,b

使得 则存在

f

b

f

a
< br>f







a

b


g

b

g

a

g



 （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形
g

x

x
时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）
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

xg

t

几何意义：考虑曲线
AB
的参数方程


t

a ,b

点

yft


A

g

a

,f

a

，点
B< br>
g

b

,f

b

曲线在
AB
上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割
线
AB
。
值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有 时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，
柯西中值定理虽然更广，但用得 不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较
少 。
四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）
定理1．（皮亚诺余项的
n
阶泰勒公式） 设
f

x

在
x
0
处有
n
阶导数，则有公式
f

x
0

f


x
0< br>
f

n


x
0

2< br>
xx
0



xx
0




xx
0

n
R
n

x



xx
0


f

x

f

x
0


1!2!n!
其中
R
n
lim

x
0


xx
0

n



xx
0

称为皮亚诺余项。

xx


R
n

x

0

xx
0

n

0




x
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n
，所以对常用的初等函数如
e,sinx,cosx,ln

1x< br>
和

1x


（

为实常数） 等的
n
阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的
n
阶泰勒公式） 设
f

x

在包含
x
0
的区间

a,b

内有n1
阶导数，在

a,b

上有
n
阶连续导 数，则
对
x

a,b

，有公式
f

x
0

f


x
0< br>
f

n


x
0

2< br>
xx
0



xx
0




xx
0

n
R
n

x


f

x

f

x
0


1!2!n!
f

n1< br>




xx
0

n1， 其中
R
n

x


（
< br>在
x
0
与
x
之间） 称为拉格朗日余项。

n1

!
上面展开式称为以
x
0为中心的
n
阶泰勒公式。当
x
0
如果
lim
0
时，也称为
n
阶麦克劳林公式。
n< br>R
n

x

0
，那么泰勒公式就转化为泰勒级数， 这在后面无穷级数中再讨论。
乙 典型例题 一．用罗尔定理的有关方法

例1．设
f

x

在

0,3

上连续，在

0,3

内可导，且
f

0

f

1

f

2

3< br>，
f

3

1
，


0,3

，使
f




0

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试证：必存在
