分别的诗句-129运动

数学建模
– 26 –

4.最小二乘法线性拟合
我们 知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验
公式，但用作图法拟合直线 时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分
散时，对同一组测量数据，不同的人去处理， 所得结果有差异，因此是一种粗略的数据
处理方法，求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理 数据时,任何人去处理同
一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a
和b。显然，关 键是如何求出最佳的a和b。
(1) 求回归直线
设直线方程的表达式为：

yabx
(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（x
i
，yi
），
假定自变量x
i
的误差可以忽略，则在同一x
i
下，测量点y
i
和直线上的点a+bx
i
的偏差d
i
如下：
d
1
y
1
abx
1

d
2
y
2
abx
2



d
n
y
n
abx
n

显然 最好测量点都在直线上（即d
1
=d
2
=……=d
n
=0） ，求出的a和b是最理想的，但
测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d
1
、d2
、……、d
n
为最小，也就是考虑d
1
+d
2
+……
+d
n
为最小，但因d
1
、d
2
、……、 d
n
有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d
1
|+
222
|d
2
|+……+ |d
n
|又不好解方程，因而不 可行。现在采取一种等效方法：当d
1
+d
2
+……+d
n
222
对a和b为最小时，d
1
、d
2
、……、d
n
也为最小。取（d
1
+d
2
+……+d
n
）为最小值，求 a
和b的方法叫最小二乘法。
令
D

d
i 1
n
2
i
＝
D

d
i1
n
2
i


[y
i
ab
i
]< br>2
(2-6-2)
i1
n
D对a和b分别求一阶偏导数为：
nn
D
 2[

y
i
nab

x
i
]

a
i1i1
26 11word.

数学建模 < br>D
nnn
b
2[

x
2
i
y
i
a
1

x
i
b
i1

x
i
]

ii1
再求二阶偏导数为：

2
D

2
D
n
 a
2
2n
；
b
2
2

x
2
i

i1
显然：

2
D
a
2
2n0
；

2
D
n
b
2
2

x
2i
0
i1
满足最小值条件，令一阶偏导数为零：

nn
y
i
nab
i
0
(2-6-3)
i1

x
i1
nnn


x
2
i
y
i
ab
i1

x
i
1

x
i
0
(2-6-4)
ii1
1
n
1
n
引入平均值：
x
n

x
i
；
y
i1
n

y
i
；
i1
2
1
n
x
n

x
2
；
xy
1

n
i
x
i
y
i

i1
n
i1
则：
yabx0


xyaxbx
2
0

解得：
aybx


b
xyxy
x
2
x
2

将a、b值带入线性方程
yabx
，即得到回归直线方程。
27 11word.
– 27 –

2-6-5）
2-6-6）
2-6-7）

（
（
（

数学建模
– 28 –

(2) y、a、b的标准差
在最小二乘法中， 假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作
中函数的误差大于自变量的误差即可认为 满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，
从而导致结果y、a、b的标准差(n≥6)如下：


y


d
i1
n
2
i
n2
n


(y
i1
n
i
bx
i
a)
2
n2
(2-6-8)
(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)

a
< br>
x
i1
n
i1
2
i
n
n
x
i
2
(

x
i
)
2< br>i1

y

x
2
n(xx)
2
2

y
(2-6-9)

b

n
n

x
i
2
(

xi
)
2
i1i1
nn

y

1< br>n(xx)
2
2

y
(2-6-10)
(3)相关系数
相关系数是衡量一组测量数据x
i
、y
i
线性相关程度的参量，其定义为：

r
xyxy
(x
2
x)(y
2
y)
22
（2-6-11）
r值在0<|r|≤1中。 |r|越接近于1，x

、y 之间线性好；r为正，直线斜率为正，
称为正相关 ；r为负，直线斜率为负，称为负相关。|r|接近于0，则测量数据点分散或
x
i
、 y
i
之间为非线性。不论测量数据好坏都能求出a和b，所以我们必须有一种判断测量
数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|0
时，测量< br>数据是非线性的．r
0
称为相关系数的起码值，与测量次数n有关，如下表2-６-2
表2-6-2 相关系数起码值r
0

n
3
4
r
0

1.000
0.990
n
9
10
r
0

0.798
0.765
n
15
16
r
0

0.641
0.623
28 11word.

数学建模
– 29 –

5
6
7
8
0.959
0.917
0.874
0.834
11
12
13
14
0.735
0.708
0.684
0.661
17
18
19
20
0.606
0.590
0.575
0.561
在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r
0
比较，若|r|> r
0
，则x和y具有
线性关系，可求回归直线；否则反之。
例9：灵敏电流 计的电流常数K
i
和内阻R
g
的测量公式为
R
2

R
s
UR
g
测得的
K
i
R
1< br>d
数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出K
i
和R
g
，并写出回归方程的表
达式。
解：测量公式与线性方程表达式y＝a+bx比较：
yR
2

xU

b
R
s

aR
g

K
i
R
1
d
数据处理如表2-6-3：
表2-6-3 R
s
＝0.100Ω R
1
＝4350.0Ω d＝40.0mm
i

R
2
(Ω)
U(V)
1

400.0
2.82
2
2

350.0
2.49
12.25
6.20
8.72
3

300.0
2.15
9.000
4.62
6.45
4

250.0
1.82
6.250
3.31
4.55
5

6

7

8

50.0
0.56
0.250
0.31
0.28
平均值

225.0
1.67125
6.375
3.34625
4.615625
200.0 150.0 100.0
1.51 1.18 0.84
R
2
2
(10Ω)
4
16.00
7.95
11.3
4.000 2.250 1.000
2.28
3.02
1.39
1.77
0.71
0.84
U(V)
R
2
U(10ΩV)
2
22

中间过程可多取位：

x
＝1.67125
y
＝225.0
x
＝3.34625
y
＝6.375×10
xy
＝461.5625
4
2
2
相关系数
r
xyxy
(x
2
x)(y
2
y)
29 11word.
22
0.998

数学建模
– 30 –

查表得知，当n=8时，r
0
=0.834，两者比 较r>r
0
，说明x、y(即U、R
2
)之间线性相
关，可以求回归 直线。
求回归方程的系数

代换


计算标准差为：

y
＝2.64561902；
计算不确定度：
ΔR
g
＝

a
＝2Ω；
测量结果表达式
电流计内阻： R
电流常数： K
回归方程： R
b
xyxy
x
2
154.6192304
x
2
＝
aybx
＝-33.4
R
g
a
＝33.4Ω
R
s
Kd
b
＝154.6192304
i
R< br>i
K
R
i
＝
s
bR
＝3.7170×10< br>-9
Amm
i
d

a
＝2.300545589；

b
＝1.257626418
K
i
K
＝
b
－9
b
＝0.81％； ΔK

＝0.03×10Amm
R
g
g
＝(33±2)Ω
R
＝6.1％
g
－9
K

＝(3.72±0.03)×10Amm
i
K
＝0.81％
2
＝155U－33
30 11word.

数学建模
– 31 –


5.计算器在数据处理中的应用
在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型
计算器为例作以介绍。
（1）计算标准偏差S
① 标准偏差S的计算器运行公式：
s
1
n
(x
i
x)< br>2


n1
i1

x2x

x
i


x
2
i
i1i1i1
nn n
2
n1

1
n
因为
x

x
i

n
i1
所以
s

x
i1
n
2
i

(
x
i
)
2
i1
n
n
n1
（只有为x
i
单变量）
② 操作步骤和方法
(ⅰ) 按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。屏右上角显示“STAT1”
指示符。
(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][]键。
(ⅲ) 数据输入：依次先键入数值，然后按 [DATA]键，每完成一次输入的同时，屏
幕均会显示数据的个数n值。
(ⅳ) 数据修正 ：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[]；按[DATA]键后
要删除错误数据，再次输入该 错误值，然后按[INV][DEL]。
(ⅴ) 取分析结果：
[INV][
x
]：平均值
[INV][
[INV][


x
]：数据和

x
]: 数据平方和
2
[INV][S]：测量列的标准偏差
31 11word.

数学建模
– 32 –

[INV][n]：数据个数
例10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83 .4、83.4、
83.1、83.2，试求
x
、
解：
按 键
[MODE][0]
[INV][]
83.1[DATA]
83.3[DATA]
83.3[DATA]
83.7[DATA]
83.9[DATA]
83.6[DATA]
83.4[DATA]
83.4[DATA]
83.1[DATA]
83.2[DATA]
[INV][
x
]
显 示
ST1 0
0
n 1
n 2
n 3
n 4
n 5
n 6
n 7
n 8
n 9
n 10
83.4
834
69556.22
0.262466929
10

x
、

x
、S、n 。
2

x
]
[INV][

x
]
[INV][
2
[INV][S]
[INV][n]
注：当n≥6时，认为

＝S 。
（2）最小二乘法求回归直线
① 求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式
由(2-6-6)、(2-6-7)、(2 -6-11)式得到以下只含x
i
、y
i
两个变量的公式：
a< br>
y
i1
n
i
b

x
i
i1
n
n

32 11word.

n
数学建模
– 33 –

n
b

x

y
i
i1i1
n
i1
n
i
n

x
i
y
i
i1
n

(

x
i
)
2
n

x
i
2
i1
r
n

x
i
y
i
< br>
x
i

y
i
i1i1i1
nnn< br>[n

x
i
2
(

x
i
)
2
][n

y
i
2
(

y< br>i
)
2
]
i1i1i1i1
nnnn

② 操作步骤和方法：
(ⅰ) 按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。屏幕右上角显示“STAT2”
指示符。
(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][]键
(ⅲ) 双变量数据输入：先键入x的值、 按[a]键， 然后键入y的值、 按[b]键，
再按[DATA]键，完成输入。屏幕会同时显示数据的个数，即n值。
(ⅳ) 数据修正：同单变量数据输入。
(ⅴ) 取分析结果
[INV][a]：回归直线的截距
[INV][b]：回归直线的斜率
[INV][r]：相关系数
还可以取以下值：

[INV][
x
]、[INV][
y
]、[INV][Σx]、[INV][Σx]、[INV][Σy]、[INV][Σy]、
22
[INV][Σxy]， 以便计算

y
、

a
、

b
(计算器没有该三项的计算程序)。
例11： 灵敏电流计实验所测数据如下：
R
S
＝0.100Ω R
1
＝4350.0Ω d＝40.0mm
R
2
（Ω） 400.0
U（V） 2.82
350.0
2.49
300.0
2.15
250.0
1.82
200.0
1.51
150.0
1.18
100.0
0.84
50.0
0.56
要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数< br>K
i
和内阻R
g
。
解： 测量公式
R
2< br>
R
s
UR
g
与线性方程表达式y＝a+bx比较y＝R< br>2
x＝U，
K
i
R
1
d
33 11word.

数学建模
– 34 –

则：
按 键
[MODE][.]
[INV][]
2.82{a}400.0[b][DATA]
2.49[a]350.0[b][DATA]
2.15[a]300.0[b][DATA]
1.82[a]250.0[b][DATA]
1.51[a]200.0[b][DATA]
1.18[a]150.0[b][DATA]
0.84[a]100.0[b][DATA]
0.56[a]50.0[b][DATA]
[INV][a]
[INV][b]
[INV][r]
显 示
ST2 0
0
n 1
n 2
n 3
n 4
n 5
n 6
n 7
n 8
a -32.12335698
b 153.8509241
r 0.9998323336
查表知道，当n＝8时，r
0
＝0.834， r>r
0
，说明U、R
2
之间线性相关。得到：
回归方程 R
2
＝154U－32
电流计内阻 R
g
＝32


－9
电流常数 K＝3.74×10Amm


习 题
1．指出下列测量结果的有效数字：
(1) I＝5010mA
8
(2) C＝2.99792458×10ms
2．按“四舍五入”修约法，将下列数据只保留3位有效数字：
(1) 1.005
(2) 979.499
(3) 980.501
(4) 6.275
34 11word.

数学建模
– 35 –

(5) 3.134
3．单位变换：
(1) m＝3.162±0.002kg
＝ g
＝ mg
＝ T
(2) θ＝(59.8±0.1)°

＝( )ˊ
(3) L＝98.96±0.04cm
＝ m
＝ mm
＝ µm
4．改错并且将一般表达式改写成科学表达式：
1192
(1) Y＝(1.96×10±5.78×10)Nm
(2) L＝(160000±100)m
5．按有效数字运算规则计算下列各式：
-5
(1) 1000＝
3
(2) 3.2×10＋3.2＝
0
(3) tg305ˊ＝
(4)
100.325＋100.125
＝
100.325100.125
2
(5) R
1
＝5.10kΩ， R
2
＝5.10×10Ω，R
3
＝51Ω。 求：
R＝R
1
+R
2
+R
3
＝
(6) L＝1.674m-8.00cm＝

6．求下列公式的不确定度：
(1)


4m


d
2
h
xy
3
(2) N＝


22
35 11word.

数学建模
– 36 –

(3) L＝h+
d

3
(4) Z＝
xy

xy
7．用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L，测得数 据为：98.98cm、98.96cm、98.97cm、
98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，试求
L
、 ΔL，并写出测量结果表达式

L
±ΔL。
8．测量出一个铅圆柱体 的直径为d＝(2.040±0.001)cm，高度为h＝(4.120±0.001)cm,
质量为 m＝(149.10±0.05)g，试计算

、


，并表示测量 结果。
9．某同学测量弹簧倔强系数的数据如下：
F(g)
y(cm)
2.00
6.90
4.00
10.00
6.00
13.05
8.00
15.95
10.00
19.00
12.00
22.05
14.00
25.10
其中F为弹簧 所受的作用力，y为弹簧的长度，已知y-y
0
＝(
1
)F，试用作图法求弹
k
簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y
0
。
10．用伏安法测电阻时，测出的数据如下，试求回归直线，并求出测量结果R值。
I(mA)
U(V)
2.00
1.00
4.00
2.01
6.00
3.05
8.00
4.00
10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00
5.01 5.99 6.98 8.00 9.00 9.96
11. 用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量，测得数据如下：
R（Ω）：12.06 12.10 12.12 12.15 12.16 12.17 12.19 12.21 12.22
12.25 12.26 12.35

12.42 12.83
试用3

准则判断该测量列中是否有坏值，计算出检验后的算术 平均值及平均值的
标准差，正确表达测量结果。


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36 11word.