（2）这个图形有几条对称轴？
（3）如果想得到一个含有5条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如
何折叠？
答案：（1）轴对称图形．（2）这个图形至少有3条对称轴．（3）取一个正十
边形的纸，沿它通过中 心的五条对角线折叠五次，•得到一个多层的36°角形纸，
用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，•打 开即可得到一个至少含有5条对称轴
的轴对称图形．
（二）回顾本节课内容，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们主要学习了 如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，
•并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案．在利 用轴对称变换设计图案时，
要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案．
Ⅴ．动手并思考
（一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后， •得到一个等腰
直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含90°
角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平．
（1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再
做一做．
（2）你能说明为什么会得到这样的图案
吗？应用学过的轴对称的知识试一试．
（3 ）如果将正方形纸按上面方式折3次，然后再沿圆弧剪开，去掉较小部
分，•展开后结果又会怎样？为什 么？
（4）当纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？
答案：（1）得到一个有2条对称轴的图形．
（2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正 方形的2条对称轴；因此（1）
•中的图案一定有2条对称轴．
（3）按题中的方式 将正方形对折3次，相当于折出了正方形的4条对称轴，
•因此得到的图案一定有4条对称轴．
（4）当纸对折2次，剪出的图案至少有2条对称轴；当纸对折3次，•剪出
的图案至少有4条对称轴．
（二）自己设计并制作一个花边．

课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
Ⅵ．活动与探究
如果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？设法使剪的
次数尽可能少．
过程：学生通过观察、分析设计自己的操作方法，教师提示学生利用轴对称
变换的应用．
结果：“小人”可以先折叠一次，剪出它的一半即可得到整
个图．
“十字”可以折叠两次，剪出它的四分之一即可．
课后反思


12．2 .2 用坐标表示轴对称
教学目标
在平面直角坐标系中，确定轴对 称变换前后两个图形中特殊点的位置关
系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的图形
教学重点:用坐标表示轴对称
教学难点:利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点
教学过程：
一、复习轴对称图形的有关性质
二、新授：
1．学生探索：
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标(x,－y)；点(x,y)关于y轴对称的点 的坐标(－
x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(－x,－y)
2．例3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－
2,5)、D(－5 ,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
（1）归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；
（2）学生画图
（3）对于这类问题，只要先求出已知图 形中的一些特殊点的对应点的坐标，
描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形．

3、探究问题
分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1( 记为n)对称的图形，你能
发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？
（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系
（2）若△P
1
Q
1
R
1
中P
1
(x
1
,y< br>1
)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P
2

(x
2
,y
2
) ，
则
x
1
x
2
m
，y
1
= y
2
．
2
若△P
1
Q
1
R
1< br>中P
1
(x
1
,y
1
)关于y=－1(记为n)轴对 称的点的坐标P
2
(x
2
,y
2
) ，
则x
1
= x
2
，
y
1
y
2
=n．
2
三、小结本节内容
四、训练：课本135页的第1～3题
五、作业：课本136页的第5～7题
课后练习〈课堂感悟与探究〉

§12．3．1．1 等腰三角形
教学目标
1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性
质的应用．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．
教学难点 等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，• 并且能
够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换
来设计一 些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的
几何图形．来研究：①三角形是轴 对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图
形？

有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直
线对折后两部分能够完全重合 的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线 L，在L上取点A，在L外取点B，作出
点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等 的两边叫
做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学
们在自 己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的
直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因
为等腰三角形的两腰相等， 所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是
轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线 ．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个
底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知
这个等腰三角形的两个底角相 等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的
中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常
称作“三线合一”）．
B
I
B
I
C
A
A

由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到
两个全等的三角形，从而利用 三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手
来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

ABAC,



BDCD,


ADAD,

A
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
B
DC
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

ABAC,



BADCAD,


ADAD,

A
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=
1
∠BDC=90°．
2
B
DC
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简
捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
B
A
D
C

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P141练习 1、2、3．
（二）阅读课本P138～P140，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应 用．等腰
三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴
是它顶 角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应
用它们．
Ⅴ．作业
（一）课本P147─1、3、4、8题．
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
课后反思


参考练习
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A．某一条边上的高; B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线; D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ）
A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50°
答案：1．C 2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．

求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．










§12．3．1．1 等腰三角形（二）
教学目标
1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论
2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.
教学重点:等腰三角形的判定定理及推论的运用
教学难点:1.正确区分等腰三角形的判定与性质.
2.能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.
教学过程：
一、复习等腰三角形的性质
二、新授：
I提出问题，创设情境
出示投 影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北
岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵 树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)
沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30 °，这时，地质
专家测得AC的长度就可知河流宽度．
学生们很想知道，这样估测河流宽度的 根据是什么？带着这个问题，引导学

生学习“等腰三角形的判定”．
II引入新课
1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦
∠B=∠C，则AB= AC吗？
作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？
2．引导学生根据图形，写出已知、求证．
2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板
书定理名称)．
强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要
依据，类似于性质定理可简称“ 等角对等边”．
4．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．
III例题与练习
1．如图2

其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形
(根据什么 ？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5
中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
3．以问题形式引出推论l______．
4．以问题形式引出推论2______．
例： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是
等腰三角形．
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
练习：5．(l)如 图6，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于
点F，过F作DEBC，交AB 于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等

腰三角形？
(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图6中还有等腰三角形吗？
IV课堂小结
1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？
2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？
3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？
4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？
V布置作业
1．阅读教材
2．书面作业：教材第150页第12题
3、《课堂感悟与探究》
课后反思




12．3．２ 等边三角形(一)
教学目的
1．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。
2．熟识等边三角形的性质及判定．
2．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。
教学重点：等腰三角形的性质及其应用。
教学难点：简洁的逻辑推理。
教学过程
一、复习巩固
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?
等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对
折，折叠两部分是互相重合的 ，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD
与CD也重合，所以∠B＝∠C。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三
线合一”。由于AD为等腰 三角形的对称轴，所以BD＝ CD，AD为底边上的中

线；∠BAD＝∠CAD，AD 为顶角平分线，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD又为底
边上的高，因此“三线合一”。
2．若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少?
二、新课
在 等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三
边都相等。我们把三条边都相等 的三角形叫做等边三角形。
等边三角形具有什么性质呢?
1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜
想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?
等边三角形是特殊的等腰三角形 ，由等腰三角形等边对等角的性质
得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠ A＝∠B
＝∠C＝60°。
3．上面的条件和结论如何叙述?
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?
等边三角形也称为正三角形。
例1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和
∠ADC的度数。
分析：由AB＝AC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三
线合 一”可知AD是△ABC的顶角平分线，底边上的高，从而∠ADC＝90°，
∠l＝∠BAC，由于∠ C＝∠B＝30°，∠BAC可求，所以∠1可求。
问题1：本题若将D是BC边上的中点这 一条件改为AD为等腰三角形顶角
平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?
问题2：求∠1是否还有其它方法?
三、练习巩固
1．判断下列命题，对的打“√”，错的打“×”。
a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )
b．有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°( )
2．如图(2)，在△A BC中，已知AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，且∠2
＝25°，求∠ADB和∠B的度数。

四、小结

由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°。“三线
合一”性 质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，
所以关键是寻找其中一个结论成 立的条件。
五、作业
1．课本P147─７，９
2、补充：如图( 3)，△ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求∠CBD，∠BOE，
∠BOC，
∠EOD的度数。
（一）课本P147─1、3、4、8题．
课后反思




§12．3．2.2 等边三角形（二）
教学目标
掌握等边三角形的性质和判定方法．
培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点：等边三角形的性质和判定方法．
教学难点：等边三角形性质的应用
教学过程
I创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．2．等边三角形每一个角相等，
都是60°

3．三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．有一个角是60°的等腰三角形是
等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
II例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，
为什么?
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．②作∠ADE＝60°，D、E分别在边
AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的 边BC上的两点，，
并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
分析：由已 知显然可知三角形APQ是等边三角形，每
个角都是60°．又知△APB与△AQC都是等腰三角形， 两底角相等，由三
角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
III课堂小结
1、等腰三角形和性质 2.等腰三角形的条件
V布置作业
1．教科书第147页练习1、2 2．选做题：
(1)教科书第150页习题14．3第ll题．
(2)已知等边△ABC，求平面内一点P，满 足A，B，C，P四点中的任意三点连
线都构成等腰三角形．这样的点有多少个?
课后反思



§12．3．2.1 等边三角形（三）
教学过程
一、 复习等腰三角形的判定与性质
二、 新授：
1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60°；三边上的中线、高、角平分
线相等
2．等边三角形的判定：

三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是6 0°的等腰三角形是等边三
角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一
半
注意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论2说明在等
腰三角形中，只要有一个 角是60
0
，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这
个三角形是等边三角形。推论 3反映的是直角三角形中边与角之间的关系.
3．由学生解答课本148页的例子；
4．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B,
∠ABC=120
o
, 求证: AB=2BC
分析 由已知条件可得∠ABD=30
o
, 如能构造有一个锐角是30
o
的直角三
角形, 斜边是AB,30
o
角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E
∵DB⊥BC(已知)
∴∠AED=90
o
(两直线平行内错角相等)
在△ADE和△CDB中

ECBD(已证)


ADEBDC(对顶角相等)


ADCD(已知)

B






∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等)
∵∠ABC=120
o
,DB⊥BC(已知)
∴∠ABD=30
o

在Rt△ABE中,∠ABD=30
o

∴AE=
1
AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30
o
,
2
1
AB 即AB=2BC
2
那么它所对的直角边等于斜边的一半)
∴BC=
点评 本题还可过C作CE∥AB
5、训练：如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为 边作等边△
CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线段AD的中点,点N为线段

BE的中点,求证:△CNM是等边三角形.
分析 由已知易证明△ADC≌△ BEC,得BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N
分别为BE、AD的中点，于是有BN=AM， 要证明△CNM是等边三角形，只须
证MC=CN，∠MCN=60
o
，所以要证△N BC≌△MAC，由上述已推出的结论，
根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC
证明：∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）
∠BCA=∠DCE=60
o
（等边三角形的每个角都是60）
∴∠BCE=∠DCA
∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等）
BE=AD（全等三角形的对应边相等）
又∵BN=
11
BE，AM=AD（中点定义）
22
∴BN=AM
∴△NBC≌△MAC（SAS）
∴CM=CN（全等三角形的对应边相等）
∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等）
∴∠MCN=∠ACB=60
o

∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60
o
的等腰三角形是等边三角形）
解题小结
1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复
杂的几何问题经常用这种方法进行分析
2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等 ,从而证得△
MCN是一个含60
o
角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地 找到
所需要的全等三角形是证题的关键.
三、小结本节知识
四、作业：课本151页第13，14题

§13．.1 平方根（一）

教学目标
教学难点
知识重点
情境导入
提出问题
感知新知
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方
根的非负性；
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根；
3.通过对实际 生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着
的，通过探究活动培养动手能力和激发学生 学习数学的兴趣。
根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
算术平方根的概念。
教学过程（师生活动） 设计理念
同学们，2003年10月 15日，这是我们每个中国人值“神舟”五号成功
得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航 天飞发射和安全着陆，
行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒标志着我国在攀
体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们登世界科技高峰
知道宇宙飞船离开地球进人轨 道正常运行的速度是在什么的征程上又迈出
具有重大历史意
范围吗？这时它的速度要大于第一宇 宙速度
v
1
（米／秒）
义的一步，是我们
伟大祖国的荣
而小 于第二宇宙速度：
v
2
（米／秒）．
v
1
、
v2
的大小满足
耀．此内容有感染
力，使学生对
22
v
1
gR,v
2
2gR
.怎样求
v
1
、
v
2
呢？这就要用到平方根
本章知识的应用
的概念，也就是本章的主要学习内 容． 价值有一个感性
这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 认识，同时激发学
请看下面的问题． 生的好奇心和学
习的兴趣．这里的
计算实际上是已
知
幂和乘方的指数
求底数的问题，是
乘方的逆运算，学
生以前没有见过，
由此引出了本章
所要 研究的主要
内容，以及研究这
些内容的大体思
路．
多媒体展示教科书第160页的问题（问题略），然后提练习：教科书第
出问题： 160页的填表．这
你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生个问题抽象成数
思考并交流解法） 学问题
这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值． 就是已知正方形
练习：教科书第160页的填表． 的面积求正方形
的边长，这与学生
以前学过的
已知正方形的边
长求它的面积 的
过程互逆，教学时
可以让学生初步

体会这种互逆的
过程，为 后面的学
习做准备。
上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求
这个正数” 的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的
指数和它的幂求这个数．
一般地，如果 一个正数x的平方等于a，即
x
2
=a，那
么这个正数x叫做a的算术平方根 ．a的算术平方根记为
a
，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术
平方根 是0.
也就是，在等式
x
2
=a (x≥0)中，规定x =
a
.
归纳新知
思考：这里的数a应该是怎样的数呢？
试一试：你能根据等式：
12
2
=144说出144的算术平
方根是多少吗？并用等式表示出来．
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值
吗？
建议：求值时，要按照算术 平方根的意义，写出应该
满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的
值．例如
25
表示25的算术平方根，因为……
例．（课本第160页的例1）求下列各数的算术平方根：
49
（1）100；(2)1；(3)；(4)0.0001
64
建议：首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足
应用新知
怎样的等 式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再
求出结果，例如求100的算术平方根，就是求一个数x ，
使
x
2
=100，因为
10
2
100

提出问题：（课本第160页）怎样用两个面积为1的小
正方形拼成一个面积为2的大正方形？
方法1：课本中的方法，略；
方法2：

a
也可以写成
2
a
,读作“二次根
号a”。
算术平方根
的概念比较抽象，
原因之一是学生
对石这个新
的符号的 理解要
有一个过程．通过
此问题，使学生对
符号“而”表示的
具体含义有更具
体、更深刻的认
识．
例题的解答展示
了求数的算术平
方根的思考过
程．在开始阶段，
宜让学生适当模
仿，熟练后可以直
接写出结果．



教科书在边空提
出问题“小正方形
的对角线的长是
多少”，
这是为在10．3节
介绍在数轴上画
出表示
2
的点做
准备．








可还有其他方法，鼓励学生探究。
问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？
探究拓展
大正方形的边长是
2
，表示2的算术平方根，它到底是个
多大的数？你能求出它的值吗？
建议学生观察图形感受
2
的大小．小正方形的对角线
的长是多少呢？（用刻度尺测量它与大正方形的边长的大
小）它的近似值我们将在下节课探究．

小结与作业
提问:1、这节课学习了什么呢？
课堂小结 2、算术平方根的具体意义是怎么样的？
3、怎样求一个正数的算术平方根？
1、必做题：课本第167页习题10.1第1、2、3题；168
页第11题。
2、备选题：
（1）判断下列说法是否正确：
i. 是25的算术平方根；
2
ii. 一6是

6

的算术平方根；
iii. 0的算术平方根是0；
iv. 0.01是0.1的算术平方根；
布置作业
⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算
术平方根．
（2）下列各式哪些有意义，哪些没有意义？


在本节的第
一个 “探究”栏目
之前，重点是介绍
算术平方根的概
念，因此所涉及的
数（包括例 题中的
数）都是完全平方
数（能表示成一个
有理数的平方），
所求的是这些完
2
2
①－
3
②
3
③

3

④
10

全平方数的算术
（3）一个正方形的面积为10平方厘米，求以这个正方
平方根．
形的边为直径的圆的面积。




课后反思



§13．1平方根（二）
1、会用计算器求一个数的算术平方根 ；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算
术平方根扩大（或缩小）的规律；
教学目标
2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值；
3、体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数。
教学难点 夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想。
知识重点 夹值法及估计一个（无理）数的大小。
教学过程（师生活动） 设计理念
我们已经知道：正数x满足
x
2
=a,则称x是a的算术平
在
情境导入
2
出现之
方根．当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它 的算前，学生已经知道
利用乘方运算，通
术平方根了，例如，
16
=4；但当 a不是一个数的平方数时，
过观察的方法求
它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第161页 的大正方一些完全平方数

的算术平方根，但
是对于像2这样的
非完全平 方数，如
问题：
2
究竟有多大？
何求它的算术平
建议：1 、先让学生思考讨论并估计大概有多大，在此基础上方根，对学生来讲
按书本讲解并板书．可以这样提出 问题并讲解：由直观可知是一个新问题．
教科书给出
招大于1而小于2，那么了2
是1点几呢？（接下来由试验
两种求
2
的方
可得到平方数最接 近2的1位小数是1.4，而平方数大于2
法：一种是估算，
且最接近的1位小数是1.5，< br>2
大于1.4而小于1.5......
一种是使用计算
器．对于第一方这里默认了非负数a和b当a＜b时，
ab
这里可以
法，教科书利用夹
值的办法，夹值法
从
49
得到。
是重要的有效的
2、用夹值法去 逼近一个（无理）数，是一个重要的求近求近似值的方法，
似数的方法，也是一种无限逼近的数学思想， 教师应加以重所以应详细讲解．
视，让学生体验它的妙处． 对于无限不
循环小数这 个概
3、关于
2
是一个“无限不循环小数”要向学生详细说
念，教学时可以适
明．为无理数的概念的提出打下基础． 当回忆以前学生
学过的数，通过比
归纳（提出 问题）：你对正数a的算术平方根
a
的结果
较，了解无限不循
有怎样的认识呢 ？ 环小数的特征，为
后面学习实数做
a
的结果有两种情：当a是完全平方数时，a
是一个
铺垫。
形的边长
2
等于多少呢？
有限数；当a不是一个完全平方数时，
a
是一个无限不循
环小数。

例1（课本第162页的例2)用计算器求下列各式的值：
用计算器
求一个正
有理数的
算术平方
根
通过例题，使学生
掌握使用计算器
可按照书本讲．注意计算器的用法，指出计算器上显示
求算术平方根的
的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正
方法，可以和上面
数的算术 平方根的近似值．
所估计的
2
的大
安排学生独立解决引言中的问题，利用计 算器求出
v
1
和
小比较。
v
2
的值．
（1）
3136
（2）
2
（精确到0.001）

例2（用多媒体显示课本第163页的例3）题略．
建议：1、首先要注意学 生是否弄清了题意；然后分析解
题思路：能否裁出符合要求的纸片，就是要比较两个图形的
边长 ，而由题意，易知正方形的边长是20 cm，所以只需求
出长方形的边长，设长方形的长和宽分别是3xcm和2xcm,
求得长方 形的长为3
50
cm后，接下来的问题是比较
3
50
和20的大小， 这是个难点，要让学生思考，充分发表
综合应用
自己的意见，然后再比较．
2、视 学生掌握知识的情况在例3前可先解决下面的问
题：比较4和
15
，2
7和27大小．
例题给出了一个
实际问题背景，学
生一般会认为一
定能用 一块面积
大的纸片裁出一
块面积小的纸片，
通过学习可以纠
正学生的认识．重
点使学生掌握通
过平方数比较有
理数与无理数大
小的一种方法．
练习
课本第164页的练习（其中第2题要求不用计算器）

课本第16 3页中的用计算器探究被开方数扩大（或缩小）
与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律．
对于（1）应有如下的规律：当被开方数扩大（或缩小）
探究规律
100倍，10000倍…时，其算术平方根相应地扩大（或缩小）
10倍，100倍…
小结与作业
1、被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增
大或缩小， 因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根
的近似值；
课堂小结 2、利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；
3、被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）
的规律是怎样的呢？
4、怎样的数是无限不循环小数？
布置作业 课本第167~168页习题10.1第5、6、9、10题；


课后反思




§13． 1 平方根（三）


1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互
教学目标
逆关系；
3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力．
教学难点 平方根和算术平方根的联系与区别

知识重点 平方根的概念和求数的平方根。
教学过程（师生活动） 设计理念
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 这个思考题是 引
学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们入平方根概念的切入
是3和－3.受前面 知识的影响学生可能不易想到－3这个点，要让学生有充分
数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负 数．注意的时间进行思考和体
验．

3

2
9
中括号的作用．
在等式中求出x
4
的值，为填表做准备．
又如：
x
2

，则x等于多少呢？
通过填表中的x
25
使学生完成课本165页的填表练习． 的值，进一步加深时
给出 平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么“两个互为相反数的
平方等于同一个数”
2这个数就叫做a的平方根．即：如果
x
=a，那么x叫做a
的印象，为平方根的< br>的平方根． 引入做准备．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 教学中可以引导
例如：

3的平方等于9，9的平方根是

3，所以平学生通过查阅 资料等
方与开平方互为逆运算． 方式，了解平方根产
思考归纳
观察：课本165页中的图10.1-2. 生发展的过程．（通常
导入概念
图10 .1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运称为平方根．在研究
算的运算过程，揭示了开平方运算 的本质． 有关n次方根的问题
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关时，为使各次方根 的
系说出1,4,9的平方根． 说法协调起见，常采
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不用二次方根的说法．
引入平方根的符号，给出的数是完全平方数． 3表示＋3和一3两
个数．这种写法学生
不太习惯，在以后的
教学中宜不断提到。
例1：（课本165页的例4）。求下列各数的平方根。 通过此例使学生明
9
白平方根可以从平方
（1） 100 （2） （3） 0.25
运算中求得，并能规
16
范地表述一个数的平
建议教师要规范书写格式。 方根．这个例题也为
后面探讨平方根的特
征做好准备．
按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题： 通过讨论，使学生对
正数的平方根有什么 特点？0的平方根是多少？负有理数的平方根有一
数有平方根吗？ 个全面的认识．也是
平方根 概念的进一步
建议：可引导学生通过观察
x
2
=a中的a和x的取值
深化．
讨论归纳
范围和取值个数得出．
深化概念
根据上面讨论得出的结果填课本166页的表．
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，
一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个
结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不体验分类思想，巩
同，另 固平方根概念．

一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运
算，这种某 数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、
乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况
除外）．教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本
节以后的教学中继续强化这两点．




加深对符号意义
的理解和对平方根概
引入 符号：正数a的算术平方根可用
a
表示；正数
念的灵活应用．

a的负的平方根可用-
a
表示．例如……


思考：
a
表示什么意思，这里的x可取什么样的数

呢？ 测试学生对平方根概
念的掌握情况．
而对于
x1
又该怎样理解呢？这里的x又可取什
么样的数呢？
例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方
根，如果没有，说明理由。
2< br>－64、0，

4

，
10
2

如果有要用平方根的符号来表示。
例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。
（1）
144
，（2）－
0.81
，（3）

应用
2
121
196

（4）
56
，
56

建议：要让学生明白各式所表示的意义 ；根据平方关
系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方
根的概念是本章重点内容 ，两者既有区别又有联系．区别
在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在 于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根
据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我 们
可以利用算术平方根来研究平方根．
思考：－
15
的值是多少？
课本第167页的练习
小结：
练习巩固 1、什么叫做一个数的平方根？
2、正数、0、负数的平方根有什么规律？
3、怎样求出一个数的平方根？数a的平方怎样表示？
小结与作业
布置作业 教科书第167页习题10.1第3、4、7、8、11、12题。


课后反思



2
熟练应用平方根的概
念，计算有关算式的
值，是本课的主要内
容。

被开方数不是完全平
方数时，可用计算器
求出它的近似值

§13．2立方根（一）
1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根；
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；
3、让学生体会一个数的立方根的惟一性；
教学目标 4、分清一个数的立方根与平方根的区别；
5、使学生理解“两个互为相反数的立方根的关系，即3
a
3
a
.
6、渗透特殊一般-特殊的思想方法。
教学难点 立方根与平方根的区别。
知识重点 立方根的概念和求法。
教学过程（师生活动）
（出示电热水器图片）
问题(1)：同学们在家里或者商场里都见过电热水
器，像一般家庭常用的是容积50 L的．如果要生 产这
种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径
的2倍，这种容器的底面直径应取 多少？
（学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演．）
解：设容积的底面直径为xdm,则

x



·

·2x=50

2

可得，
x
3

情境导入
100
2

31.84

问题是什么数的立方会 等于31.84呢？学生百思不
得其解，教师可在此处设置一个台阶，再设问：要制作
一种容积 为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱
的边长应该是多少？
在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过
程：
设这种包装箱的边长为x m,则
x
3
=27
这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为
3
3
=27，
所以x=3.
即这种包装箱的边长应为3 m.
（1）学生回忆平方根的概念，并联系上面的问题，
请学生归纳得出立方根的概念。
（2）学生联系开平方的概念，给出开立方的概念。 试一试
设计理念
从学生生活实际中
常常见到的热水器引
入课题，让学生从
实际问题情境中感受
立方根的计算在生活
中有着广泛的应用．
空间图形都是三维的，
有关空间图形的计算
常常涉及开立方．
这个实际问题中
的数量关系的分析对
于学生来说是不成
问题的，但在解决问题
的过程中引入了新问
题，这对学生来说是一
个挑战，从而激发学生
学习的兴趣．
“什么数的立方会
等于31.84?”这个问
题对于学生来说
是难解决的，但该问题
设置的目的是激发学
生学习的兴趣．
体会开立方与立
方互为逆运算．
联系平方根的概念，让
学生根据上述问题类
比地给出立方根的概
念，初步体会立方根与
平方根的联系与区别。

练一练
(1)请学生完成课本第172页习题10.2的第2题．
(2)请学生口头回答以下问题：
根据立方根的意义，求下列各数的立方根：
体会开立方与立方互
1251
，－64，

，1，－1
为逆运算，因此求一个
827
数的立方根可以通过
立方运算来求。
完成课本第169页的探究题：
(1)对于
2
3
8，可以进一步追问学生，除了2以外
是否有其他的数，它的立方也等于8呢？对于下面几个
问题可以类似设问．
(2)思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并
深入探究
追问一个正数有几个立方根？一个负数有几个立方
根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再 小组合作
交流，给出立方根的性质）
(3)尝试用符号给出数a的立方根的表示方法．（
3
a
并问a可以取什么数？）
9
例1 （1）求下列各数的平方根：；1；0
25
（2）求下列各数的立方根。
83
,3
，1，0，－1，－343，－0.729
1258

解：略

例2 求下列各式的值
10
（1）
3
64
； （2）
27
； （3）
3
2

27
巩固新知
（4）
3

1
；（5）
64
； （6）
64

1000
通过学生自己动手计
算，让学生感受任何一< br>个数都有立方根，以及
一个数的立方根的惟
一性。
3

64
请学生思考数的平方根与数的立方根有什么区别与联
系呢？（学生小组讨论后，请学生相互补充 ．）
例3判断题：
（1）64的立方根是

3
64
=
4
（ ）
11
（2）

是－的立方根 （ ）
26
（3）
3
27
3
27
（ ）
（4）立方根等于它本身的数是0和1（ ）
拓展新知：
(1 )学生独立研究课本第170页的探究题，并不妨请同
（7）
3
51281
3
1
3
2
让学生进一步体会立
方根与平方根的联系
与区别．
例题着眼于弄清
立方根的概念，因此不
仅用立方的方法求
立方根，且在书写上采
用了语言叙述和符号
表示相互补充的方
式，让学生学会从立方
根与立方是互逆运算
中寻找解题途径．



学生讨论，自己体会平
方根与立方根的区别。


< br>教学中应该给予学生
充分思考、讨论的时
间，让他们自己探索并
总结出两个互为 相反
数的立方根之间的关
系。

学再举几个例子，探索从上面的计算结果中可以得到什
么结论？
学生自己总结出两个互为相反数的立方根的关系：
1
3
a
3
a
, 请同学再试试看
3
27,
3

可以怎
100 0
样解？
（2）小组学习：课本第173页的第9题，探索从上面
计算结果中可以得到什么结论？
小结与作业
1.立方根和开立方的定义．
课堂小结 2.正数、0、负数的立方根的特征．
3.立方根与平方根的异同．
布置作业 课本第172页习题10.2第1、3、5、6题；




课后反思

§13．2立方根（二）

1、使学生进一步理解立方根的概念，并能熟练地进行求一个数的立方根的运
算；
教学目标 2、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生
的估算能力；
3、经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。
教学难点 用有理数估计一个无理的大致范围。
知识重点 用有理数估计一个无理的大致范围。
教学过程（师生活动） 设计理念
1、判断题：
4的平方根是2（ ）
1的立方根是1（ ） 进一步理解立方
－0.125的立方根是－0.5（ ） 根的概念，及立方
复习引新
82
根与平方根的区

的立方根是

（ ）
别。
273
－6是216的立方根（ ）
2、求下列各式的值

3
2
10
3
；

3


0.1

；
27

5

2

这里在提出问题
后，让学生回忆：
在前一节课讨论
“< br>2
有多大”的
方法，目的是让学
生从中类比解决
新问题。
立方与开立方是
互逆运算，以此可
以些数的立方根。






让学生经历这个
估计的过程，不仅
问题：
3
50
有多大呢？
（这里可以让学生回忆前面学习过程中讨论
2
有多
大时的方法）。
学生小组讨论，并交流学方法。
因为
3
3
27
，
4
3
64

所以
3
3
504

因为
3.6
346.656
，
3.7
3
50.653

讨论
所以
3.6
3
503.7

因为
3.683
49.836032
，
3.69
3
50.24349
所以
3.68
3
503.69

……
如此循环下去，可以得到更精确的
3
50
的近似值，它估算出
3
50
有多
大，培养学生的估
是一个无限不循环小数，
50
=一3．684 031 49……事实
算能力，同时也理
上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数．我们用 有
解
3
50
是无限不
理数近似地表示它们．
循环小数这个事
实。
1、利用计算器来求一个数的立方根，并完成课本第171
页的练习2.
在教学中， 鼓励学
（学生利用计算器的说明书独立学习．对于一些暂时
生自己探索计算
还没有学会 的学生，可以采用同学之间互帮互学的方式解
器的用法。
决．）

2、学生解决上节课未解决的一个问题，简单回忆：如
自主学习
果要生产这种容积 为50L的圆柱形热水器，使它的高等于
通过计算器的使
底面直径的2倍，这种容器的底面直径 应取多少？（结果
用，解决了上节课
保留两个有效数字）
未能解决的一个
解：略
问题。
3
1、利用计算器计算，并将计算 结果填在表中，你发现了什
计算器的使用可
么吗？你能说说其中的道理吗？
探一探，说以使学生从繁杂
…
30.000216

3
0.216

3
216

…
一说 的运算中解放出
来，将更的精力放

2、用计算器计算
3
100
（结果个有效数字）。并利用你发现
在更有意义的活
动，如探索规 律的
的规律说出
3
0.0001
，
3
0.1
，3
100000

问题，引导学生注
的近似值。
意观察被开方数
与立方根的小数
点的位置移动有
无规律。
小结与作业
必做：课本第172页第4、8题；
布置作业
选做：课本第173页第10、11题。



课后反思




§13．3实数（一）

1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能
力；
教学目标
2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义；
3、了解实数范围内相反数和绝对值的意。
教学难点 理解实数的概念。
知识重点 正确理解实数的概念。
教学过程（师生活动） 设计理念
学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数
的基本概念、分类．
学生自己回忆有
试一试
理数的分类，为引
1、使用计算器计算，把下列有理 数写成小数的形式，
入实数的分类作
你有什么发现？
好铺
3479115
3，

，，，，
垫．
581199
让学生动手
动手试一试，说说你的发现并与同学交流．
实践，自己去发现
（结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环
并学会与他人交试一试 小数的形式）
流．
可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都
在学生解决
可以写成有限小数或无限循环小数的形式．
了一个问题后，层
2、追问： 任何一个有限小数或无限循环小数都能化成
层深入地提出了
分数吗？
一个对学生
（课件展示）
有更大挑战性的
阅读下列材料：
问题，激发学生学

=0.333…①
习探索的兴趣．
设x=0.
3
则10x=3.333…②

1
则②－①得9x－3，即x=
3

=0.333…=
1
即0.
3
3


，根据上面提供的方法，你能把0.
7< br>0.
1
化成分数吗？
4
且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分 数？
在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或
无限循环小数都能化成分数，所以 任何一个有限小数或无
限循环小数都是有理数。

1、在前面两节的学习中，我们知 道，许多数的平方根
和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数．我们
给无限不循环小数 起个名，叫“无理数”．有理数和无理数
给出无理数
统称为实数．
定义后，请学生自
例1（1）你能尝试着找出三个无理数来吗？
己找找无理数，让
（2）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
学生在寻找的过
程中，体会无理数

的基本特征．
解决问题后，可以再问同学：“用根号形式表示的数
应该让学生
一定是无理数吗？”
自己小结得出结
2、实数的分类
论：判断一个数是
（1）画一画
有理数还是
引入新知 学生自己回忆并画出有理数的分类图．
无理数，应该从它
（2）挑战自己
们的定义去辩别，
请学生尝试画出实数的分类图．
而不能从形式上
例2把下列各数填人相应的集合内：
去分辩．
学生自己尝
试画出实数的分

类图，体会依据分
整数集合｛ … ｝
类标准的不
负分数集合｛ …｝
同会有不同的分
正数集合｛ …｝
法．
负数集合｛ …｝
有理数集合｛ …｝
无理数集合｛ …｝
我 们知道，在有理数中只有符号不同的两个数叫做互
33
为相反数，例如3和－3，和－等，实数 的相反数的意
随着数从有理数
44
义与有理数一样。 扩充到实数，原来
请学 生回忆在有理数中绝对值的意义．例如，|－3|=3，在有理数范围里
探一探
22
讨论的相反数、绝
|0|=0，||=等等．实数绝对值的意义和有理数的绝对
对值等，自然 地拓
33
值的意义相同． 展到实数范围内。
试一试完成课本第176页思考题．
引导学生类比地归纳出下列结论：

数a的相反数是－a
一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值
是它的相反数；0的绝对值是0.

例1 求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－
7
，

，0，
3
2
，

－3
5
例2 一个数的绝对值是
3
，求这个数。
练一练 例3 求下列各式的实数x：
（1）|x|=|－
3
|；
2
教学中应该 给学
生充分发表自己
想法的时间，自己
体会有理数关于
相反数和绝对值
的意义同样适用
于实数。
（2）求满足x≤4
3
的整数x
小结与作业
必做：课本第178页习题10.3第1、2、3题；
选做：课本第179页习题10.3第7题


布置作业


课后反思



§13．3实数（二）

1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；
2、学会比较两个实数的大小；
母了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成
教学目标 立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转
化为有理数进行计算；
3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学
思想。
教学难点 对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解
知识重点 实数与数轴上的点一一对应关系
教学过程（师生活动） 设计理念
我们知道有理数都可以用 数轴上的点来表示，但是数除了课件演示外
轴上的点是否都表示有理数？无理数可以用数轴上的点来再让 学生动手实
表示吗？ 践操作的目的是
1、课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利让学生直现认识
试一试 用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体到可以用数轴上
会． 的点来表示无理
数，而每一个无理
2、你能在数轴上画出坐标是
2
的点吗？画一画，说
数都可 以用数抽
说你的方法． 上的一个点来表

教师启发学生得出结论：每一个无理数 都可以用数轴
上的一个点表示出来．
练习：学生自己完成课本第178页练习第1题． 在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从
有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一 对应
的．即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上
的每一个点都表示一个实数． < br>类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结
合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的 几何意义．
3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之
间也存在着一一对应关系吗？
示，即无理数与数
轴上的点之间的
对应关系．
通过练习，让
学生对于实数可
以用数抽上的点
表示，数抽上的一
个点表示一个实
数有了直 现的认
识，体会实数与数
抽上的点之间的
一一对应关系．将
数与图形联系起< br>来，体会数形结合
的思想．
教师在此环
节中要留给学生
充足的时间，让学
生自己归纳
和总结．
1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？在数
轴上表示的数，右边的数总比左边的大．这 个结论在实数
范围内也成立。
2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的
值反而小；正数大于零，负数小于零，正数 大于负数。
例1比较下列各组数里两个数的大小
比一比
让学生回忆有理
数范围内比较大
小的方 法，体会
在实数范围内这
些两个数大小的
方法依旧成立。
（1）
2
，1.4；（2）
5
，-
6
；（3）－2，
3
3


分析：像例1(1)，即可以将
2
，1.4的大小比较转化通过例题，使学生
掌握比较两数大
为
2
，
1.96
的大 小比较；也可以先求出
2
的近似值，
小的方法。
再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）
的大小，从而比较它们的大小。
问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些
运算？
答：加、减、乘、除、乘方和开方运算．
接着问：有哪些规定吗？
除法运算中除数不为0,而且只有正数及0可以进行开
算一算 平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算．
问：有理数满足哪些运算律？
加法交换律：a十b=b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c＝a（bc）
鼓励学生多举一< br>些实际例子来验
证．其意义一是为
了避免学生产生
片面认识，以为从
几 个例子就可以
得出普遍结论，二
让学生了解结论
的重要性．
例2与例3要
求是不同的．例2

分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
例2计算下列各式的值：
练一练
在运算中遇到无
理数但并
不需要求出结果
的近似值，例3却
（1） （
2
＋
3
）－
2
；（2）3
3
＋2
3

不同，不仅在运算
例3计算： 中遇到无理数且
需要求出结果的
（1）
5
十

(精确到0.01)
近似值，在教学中
应 该提醒学生注
（2）3
3
＋2
3
2
（保留三个有效数字）
意按照问题的要
（在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近求解决问题．
似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似的有限小
数去代替无理数，再进行计算．）
课本第178页练习第2、3题

小结与作业
必做：课本第179页习题10.3第4、5、6、7题；
选做：课本第179页习题10.3第9题


布置作业


课后反思





§14．1 变量与函数(一)
教学目标
１．认识变量、常量． ２．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
教学重点
１．认识变量、常量． ２．用式子表示变量间关系．
教学难点:用含有一个变量的式子表示另一个变量．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．•行驶时间
为t小时．
１．请同学们根据题意填写下表：
t时 1 2 3 4 5
２．在以上这个过程中，变化的量是
s千米
________．不变化的量是__________．
３．试用含t的式子表示s．
Ⅱ．导入新课
首先让学生思考上面的几个问题，可以互相讨论一下，然后回答．
从题意中可以知道汽车是匀速 行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，

即120千米，3小时行 驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60•千米，即240千米，
5小时行驶5×60千米 ，即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系：
s=60t．其中里程s与时间t是 变化的量，速度60•千米／小时是不变的量．
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随 行驶时间的变化过程．其实现实生活中
有好多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程，其中有些量的 值是按照某种规律变化，
其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、•里程s，有些量的 数值是始终不
变的，如上例中的速度60千米／小时．
[活动一]
１．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310
张．三场 电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．•怎样用含x的
式子表示y?
２．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，
探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长0．5cm，怎样用含有
重物质量m的式子表示受力后的弹簧长度？
引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律．
结论：
１．早场电影票房收入：150×10=1500（元）；日场电影票房收入：205×10=2050（元）
晚场电影票房收入：310×10=3100（元）； 关系式：y=10x
２．挂1kg重物时弹簧长度： 1×0．5+10=10．5（cm）
挂2kg重物时弹簧 长度：2×0．5+10=11（cm）；挂3kg重物时弹簧长度：3×0．5+10=11．5
（c m）
关系式：L=0．5m+10
通过上述活动，我们清楚地认识到，要 想寻求事物变化过程的规律，首先需确定在这个
过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的．在一个变 化过程中，我们称数值发生变化的
量为变量（variable），那么数值始终不变的量称之为常量（ constant）．如上述两个过程中，
售出票数x、票房收入y；重物质量m，•弹簧长度L都是变 量．而票价10元，弹簧原长10cm……
都是常量．
[活动二]
１．要画一个面积为10cm
2
的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm
2呢？怎样用含
有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？
２．用10m长的绳子围成矩形 ，试改变矩形长度．观察矩形的面积怎样变化．•记录不
同的矩形的长度值，计算相应的矩形面积的值， 探索它们的变化规律：设矩形的长度为xcm，
面积为Ｓcm
2
．怎样用含有x的式子 表示Ｓ？
结论：１．要求已知面积的圆的半径，可利用圆的面积公式经过变形求出S=
r
2


r=
S


面积为10cm
2
的圆半径r=
（cm）
关系式：r＝
10

≈1．78（cm）； 面积为20cm
2
的圆 半径r=
20

≈2．52
S


２．因矩形两组对边相等，所以它一条长与一条宽的和应是周长10cm的一半，即5cm．
若长为1cm，则宽为5-1=4（cm） 据矩形面积公式：Ｓ＝1×4=4（cm
2
）
若长为2cm，则宽为5-2=3（cm） 面积 Ｓ＝2×（5-2）=6（cm
2
）… …

若长为xcm，则宽为5-x（cm） 面积 S=x·（5-x）=5x-x
2
（cm
2
）
从以上两个 题中可以看出，在探索变量间变化规律时，可利用以前学过的一些有关知识
公式进行分析寻找，以便尽快 找出之间关系，确定关系式．
Ⅲ．随堂练习
１．购买一些铅笔，单价0． 2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，•指出其中的常量
与变量，并写出关系式．
２．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h•变化关系式，并指
出其中常量与 变量．
解：１．买1支铅笔价值 1×0．2=0．2（元）
买2支铅笔价值 2×0．2=0．4（元）
……
买x支铅笔价值 x×0．2=0．2x（元）
所以 y=0．2x
其中单价0．2元／支是常量，总价y元与支数x是变量．
２．根据三角形面积公式可知：
1
×5×1=2．5cm
2
2
1

当高h为2c m时，面积Ｓ＝×5×2=5cm
2
2
当高h为1cm时，面积Ｓ＝
… …
当高为hcm，面积Ｓ＝
1
×5×h=2．5hcm
2
2
其中底边长为5cm是常量，面积Ｓ与高h是变量．
Ⅳ．课时小结
本节课 从现实问题出发，找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤．它
对以后学习函数及建立函 数关系式有很重要意义．
１．确定事物变化中的变量与常量．
２．尝试运算寻求变量间存在的规律．
３．利用学过的有关知识公式确定关系区．
Ⅴ．课后作业
1、 课后相关习题
2、 思考：瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放．试确定瓶子总数y与层数x之间的
关系式．

过程：要求变量间关系式，需首先知道两个变量间存在的规律是什么．不妨尝试堆放，
找出规律，再寻求确定关系式的
§11．1．1变量
办法．
一、常量与变量
结论：从题意可知：
二、寻求确定变量间关系式的方法
堆放１层，总数y=1
三、随堂练习
堆放２层，总数y=1+2
四、课时小结
堆放３层，总数y=1+2+3
… …
堆放x层，总数y=1+2+3+…x 即y=
1
x（x+1）
2

板书设计
备课资料
１．若球 体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝

Ｒ
3
．其中变量是_______、•__ _____，常
量是________．
２．夏季高山上温度从山脚起每升高100 米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则
温度y与上升高度x之间关系式为__________ ．
３．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，•则油箱内余油量Ｑ升与< br>行驶时间t小时的关系是_________．
答案： １．Ｖ Ｒ

;２．y=23°－
4
3
4
3
0.7x
;３．Ｑ＝40－ 5t.
100

§14．1 变量与函数(二)
教学目标
１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．
２．进一步理解掌握确定函数关系式．
３．会确定自变量取值范围．
教学重点１．进一步掌握确定函数关系的方法．２．确定自变量的取值范围．
教学难点：认识函数、领会函数的意义．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之
间 有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值
呢？
这将是我们这节研究的内容．
Ⅱ．导入新课
首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间
存在什么联系．
活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，•经计算可以发现：每当售票数量x取定
一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．
问题（2）中，通过试验可以看出： 每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之
确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物 使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则L=15，
当m=20时，则L=20．
再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？
2
问题（1）中，很容 易算出，当S=10cm
2
时，r=1．78cm；当S=20cm时，r=2．52cm．•
每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为r=
S

．
问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再
计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm
2
，当x=2cm 时，则Ｓ＝2×（5-2）
=6cm
2
……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x -x
2
．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，
面积Ｓ就随之确定一个值．
由以上回顾我们可以归纳这样的结论：
上面每个问题中的两个变量互相联系， 当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之
就有唯一确定的值与它对应．
其实， 在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两

个问题， 通过观察、思考、讨论后回答：
（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表 示心脏部位的生物
电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应 值吗？

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x 中国
人口数统计表
与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口
年份 人口数／亿
数（y）吗？
1984 10．34
通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个
1989 11．06
确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于
1994 11．76
表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．
1999 12．52
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且
对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定 的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量
（independentvariable），y是x的 函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当
自变量的值为a时的函数值．
据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值
s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题
中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口
数y 是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．
[活动一]
１．在计算器上按照下面的程序进行操作：
填表：
x 1
y
3

-4

0

101

显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么？
２．在计算器上按照下面的程序进行操作．
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果：
x
y
1
3
2
5
3
7
0
2
-1
-1
所按的第三、四两个键是哪两个键？y是x的函数吗？如果
是，写出它的表达式（用含 有x的式子表示y）．
活动结论：
１．从计算结果完全可以看出，每输入 一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对
应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．
２．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是
1
这两个键，且每个x•的 值都有
唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x +1
[活动二]
例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的 油量y（L）随行驶里程x

（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1Lkm．
１．写出表示y与x的函数关系式．
２．指出自变量x的取值范围．
３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？
结论：
１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．
行驶里程x时耗油为：0.1x
油箱中剩余油量为：50-0.1x
所以函数关系式为：y=50-0.1x
２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任 意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是
行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x， 它不能超过油箱中现有汽油50L，
即0．1x≤50，x≤500．
因此自变量x的取值范围是：
0≤x≤500
３．汽车行驶200km时 ，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将
x=200代入y=50-0 ．1x得： y=50-0．1×200=30
汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．
关于函数自变量的取值范围
1．实际问题中的自变量取值范围
问题1：在 上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是
什么样的限制?
问 题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，
写出每排的座位数 与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。
2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围
例．求下列函数中自变量x的取值范围
1
(1)y=3x－l (2)y＝2x2＋7 (3)y= (4)y=x－2
x＋2
分析：用 数学表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值，对于上
述的第(1)(2)两题， x取任意实数，这两个式子都有意义，而对于第(3)题，(x＋2)必须不
等于0式子才有意义，对于 第(4)题，(x－2)必须是非负数式子才有意义．
我们在巩固函数意义理解认识及确立函数 关系式基础上，又该学会如何确定自变量取值
范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不 仅要考虑函数关系式的意义，而
且还要注意问题的实际意义．
Ⅲ．随堂练习
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式
子．
１．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．
２．秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n•的变化而
变化．
解答：
１．正方形边长x是自变量，正方形面积Ｓ是x的函数． 函数关系式：S=x2
10
6
２．这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数．函数关系式：y=
n

Ⅳ．小结
本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概 念，并通过两

个活动加深了对函数意义的理解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围 的方法，会求函
数值，提高了用函数解决实际问题的能力．
Ⅴ．作业1、习题11．1．1－1、2、3、4题． 2、《课堂感悟与探究》
Ⅵ．活动与探究
1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张３元，毛笔每支５元，商店正搞优惠活
动 ，买一支毛笔赠一张宣纸．小明买了10支毛笔和x张宣纸，•则小明用钱总数y（元）与
宣纸数x之间 的函数关系是什么？
过程：
根据题意可知：
当小明所买宣纸数x小于等于10张时，所用钱数为：y=5×10=50（元）
当小明所买宣纸数x大于10张时，所用钱数为：y=50+（x-10）×3=3x+20（元）
结果：
当0当x>10时 y=3x+20
2、 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用
水不超 过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市
某户居民5月 份用水x吨（x >10），应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系
式，并判断其中一个 变量是否为另一个变量的函数？（参考答案：
x
Y=1.8x-6或
510
y
93
）
2、如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式．
*3．如图(三) ，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，
AC与MN在同一直线上，开始时 A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N
点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函 数关系式．
课后反思





备课资料
１．校园里栽下一棵小树高1．8米，以后每年长0．3米，则n年后的树高L与年 数n
之间的函数关系式__________．
1500
２．在男子150 0米赛跑中，运动员的平均速度v=
t
，则这个关系式中________是
自变量， ________函数．
３．已知2x-3y=1，若把y看成x的函数，则可以表示为____________．
４．△ABC中，AB=AC，设∠B=x°，•∠A=•y•°，•试写出y•与x•的函数关系式
_ ____________．
５．到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0． 80元，超过20克而不超
过40克时付邮费1．60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0．80 元（信重量在100克
内）．如果某人所寄一封信的质量为78．5克，则他应付邮费________ 元．
21
答案：1．L=0．8+0．3n 2．t v是t的 3．y=
3
x-
3
4．y=180°-2x 5．3．20.

§14．1．3 函数图象(1)
教学目标
１．学会用列表、描点、连线画函数图象． ２．学会观察、分析函数图象信息．
3．提高识图能力、分析函数图象信息能力． 4．体会数形结合思想，并利用它解决问
题，提高解决问题能力．
教学重点：１．函数图象的画法．２．观察分析图象信息．
教学难点：分析概括图象中的信息．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立．但有些函数问题很难用函数
关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关
系．
即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰．
我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息．
Ⅱ．导入新课
问题1 在前面，我们曾经从如图所示的
气温曲线上获得许多信息，回答了一些问
题．现在让我 们来回顾一下．
先考虑一个简单的问题：你是如何从图
上找到各个时刻的气温的？
分析 图中，有一个直角坐标系，它的横轴
是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示
气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气
温T (℃)与时间t（时）的函数关系．例如，
上 午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是
(10,2)．实 质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t,T)，
表示时间 为t时的气温是T．
问题2 如图,这是2004年3月23日
上证指数走势图，你是如何从 图上
找到各个时刻的上证指数的？
分析 图中，有一个直角坐标系，它
的横轴表示时 间；它的纵轴表示上
证指数．这一指数曲线实质上给出
了3月23日的指数与时间的函数关系． 例如，下午14:30时的指数是1746.26，表现在指数
曲线上，就是可以找到这样的对应点，它 的坐标是(14:30, 1746.26)．实质上也就是说，当时
间是14:30时，对应的函数值是1746.26．
上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子．
一般来说，函数的图象是由直 角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标
(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐 标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它
对应的函数值．
一般地，对于一个函 数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，
那么坐标平面内由这些点组成的图形， 就是这个函数的图象（graph）．•上图中的曲线即为
函数Ｓ＝x
2
（x>0）的 图象．
函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利．

[活动一]
下图是自动测温仪记录的图象，•它反映
了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的 变
化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
引导学生从两个变量的对应关系上认识函< br>数，体会函数意义；可以指导学生找出一天内
最高、最低气温及时间；在某些时间段的变化
趋势；认识图象的直观性及优缺点；总结变化
规律……．
结论：
１．一天中每时刻t都有唯一的气温Ｔ与之对应．可以认为，气温Ｔ是时间t的函数．
２．这天中凌晨4时气温最低为-3℃，14时气温最高为8℃．
３．从0时至4时气温呈下 降状态，即温度随时间的增加而下降．从4时至14•时气温
呈上升状态，从14时至24时气温又呈下 降状态．
４．我们可以从图象中直观看出一天中气温变化情况及任一时刻的气温大约是多少．
[活动二]
下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄
草， 然后回家．•其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
根据图象回答下列问题：
１．菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
２．小明给菜地浇水用了多少时间？
３．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时
间？
４．小明给玉米地锄草用了多长时间？
５．玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？
引导学生分析图象、寻找图象信息，特别是图象中有两段平行于x•轴的线段的意义．
结论：
１．由纵坐标看出，菜地离小明家1．1千米；由横坐标看出，•小明走到菜地用了15
分钟．
２．由平行线段的横坐标可看出，小明给菜地浇水用了10分钟．
３．由纵坐标看出，菜地离玉米地0．9千米．由横坐标看出，•小明从菜地到玉米地用
了12分钟．
４．由平行线段的横坐标可看出，小明给玉米地锄草用了18分钟．
５．由 纵坐标看出，玉米地离小明家2千米．由横坐标看出，•小明从玉米地走回家用
了25分钟．所以平均速 度为：2÷25=0．08（千米／分钟）．
我们通过两个活动已学会了如何观察分析图象信息，那么已知函数关系式，怎样画出函
数图象呢？
例1 画出函数y＝x＋1的图象．
分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象 上的一些点，为此，首先要取一些自变量
的值，并求出对应的函数值．
解 取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，
1，2，3 …，计算出对应的函数值．为表达方便，
可列表如下：


由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，(－3,－2)，(－2,－1) ，(－1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，…在直角坐标系中，描出
这些有 序实数对(坐标)的对应点，如图所示．

通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示．
总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成
表格．
第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出
表中对应各点．
第三步：连线．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．
练习： （1）下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，•水从壶下
的小孔漏出 ，壶壁内画出刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x•表示时间，y表示
壶底到水面的高度．下 面的哪个图象适合表示y与x的函数关系？
（2）a是自变量x取值范围内的任意一个值，过 点（a，0）画y轴的平行线，•与图中
曲线相交．下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？

（提示：当x=a时，x的函数y只能有一个函数值）
解：１． 由题意可知，开始时壶内有一定量水，最终漏完，即开始时间x=0•时，壶底
水面高y≠0．最终漏完 即时间x到某一值时y=0．
故（1）图错．
又因为壶内水面高低影响水的流速，开始漏得快，逐渐慢下来．
所以（3）图更适合表示这个函数关系．
２．图（1）曲线表示y是x的函数．
因为过（a，0）画y轴平行线与图形曲线只有一个交点，即x=a时，y有唯一的值与其
对应，符合函 数意义．
图（2）曲线不表示y是x的函数．
因为过点（a，0）画y轴 平行线，与图中曲线有三个交点，即x=a时，y有三个值与其
对应，不符合函数意义．
Ⅲ．随堂练习

1. 在所给的直角坐标系中画出函数
y
16
x
的 2.画出函数
y
的图象（先
2
x
填写下表，
图象（先填写下表，再描点、连线）． 再描点、然后用光滑曲线顺次连
结各点）



3.画出下列函数的图象： (1)y＝4x－1； (2)y＝4x＋1．
Ⅳ．课时小结
本节学会了分析图象信息，解答有关问题．通过例题学会了用描点法画出函数图 象，这
样我们又一次利用了数形结合的思想．
Ⅴ．课后作业：习题11．1─5、6、7题．
数量x（千克） 售价y（元）
Ⅵ．活动与探究
1 8+0.4
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，
2 16+0.8
其数量x与售价y如下表表示．请你根据表中所提
3 24+1.2
供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式，并
4 32+1.6
求出当数量为2．•5千克时的售时是多少元．
5 40+2.0
结果：由表中可以看出：y=（8+0．4）·x=8．4x
… …
当x=2．5千克时 y=8．4×2．5=21（元）．
课后反思





§14．1．3 函数图象（2）
教学目标
1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；
2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现
实情境，预测变化趋势等问题．
教学重难点:
通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法
和图象法表示函数 关系的相互转换这一数形结合的思想．

教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，
然 后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）
的关系（从 小强开始爬山时计时）．
问 图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？
答 横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．
问 如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？
答 P的坐标是(3,90)．表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．
我们能否从图象中看出其它信息呢？
Ⅱ．导入新课
看上面问题的图，回答下列问题：
(1)小强让爷爷先上多少米？ (2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
分析 (1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示 爷爷的这条线段．由于从小强开始爬山时计时
的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用 时间，得x＝0．可在线段上找到
这一点A（如图）．A点对应的函数值y＝60．
(2) y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是
离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值．可 分别
在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点
分别向x轴、y轴作垂线，可发 现交y轴于同一点Q（因
为两人爬的是同一座山）, Q点的数值就是山顶离山脚的
距离，分别 交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强
和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出< br>谁先爬上山顶．
解 (1)小强让爷爷先上60米；
(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶．
归纳 在观察实际问题的图象时，先 从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．如图中
的点P(3,90)，这一点表示小强爬山3分后 ，离开山脚的距离90米．再从图形中分析两变量
的相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段 都可以看出随着自变量x的逐渐增大，
函数值y也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离 开山脚的距离越大，当x
达到最大值时，也就是到达山顶．
III 例题与练习
例1 小明从家里出发，外出散步，到一个公共
阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间 ，
然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离
家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之 间
的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情
况．
分析 从图中可发现函数图象分成四段，因此说
明小明散步的情况应分成四个阶段．
线段OA：O点 的坐标是(0,0)，因此O点表
示小明这时从家里出发，然后随着x值的增大，
y值也逐渐增 大（散步所用时间越长，离家的距离越大），最后到达A点，A点的坐标是(3,250)，
说明小明走 了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏．
线段AB：观察这一段图象可发现x值在增大而y值保 持不变（小明这段时间离家的距
离没有改变），B点横坐标是8，说明小明在阅报栏前看了5分钟报．

线段BC：观察这一段图象可发现随着x值的增大，y值又逐渐增大，最后到达C点，C
点的坐标是(10,450)，说明小明看了5分钟报后，又向前走了2分钟，到达离家450米处．
线段CD：观察这一段图象可发现随着x值的增大，而y值逐渐减小（10分钟后散步所
用时间 越长，离家的距离越小），说明小明在返回，最后到达D点，D点的纵坐标是0，表
示小明已到家．这一 段图象说明从离家250米处返回到家小明走了6分钟．
解 小明先走了约3分钟，到达离家250米 处的一个阅报栏前看了5分钟报，又向前走了2
分钟，到达离家450米处返回，走了6分钟到家．
IV小结
1.画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便 ，建立直
角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度
可以取得不一致；
2.在观察实际问 题的图象时，先从两坐
标轴表示的实际意义得到点的坐标的实
际意义．然后观察图形，分析两变 量的
相互关系，给合题意寻找对应的现实情
境．
V 检测反馈
1.下图为世界总人口数的变化图.根据
该图回答：
(1)从1830年到1998
年，世界总人口数呈怎样
的变化趋势？(2)在图中，
显示哪一段时间中世界总
人口数变化最快？
2.一枝蜡烛长20厘米，点
燃后每小时燃烧掉5厘
米，则下列 3幅图象中能
大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是( )．
3.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm．
(1)写出y与x的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围；

(3)画出这个函数的图象．
4.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时 回到家里．他离开家后的距离S
（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回 答下列问题：
(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？
(2)小李何时第一次休息？
(3)10时到13时，小骑了多少千米？
(4)返回时，小李的平均车速是多少？

§14．1．4 函数的图象（3）
教学目标
１．总结函数三种表示方法．了解三种表示
方法的优缺点．
３．会根据具体情况选择适当方法．
教学重点
１．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点． ２．能按具体情况选用适当方法．
教学难点：函数表示方法的应用．
教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境
我们在前几节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的 方法表示了一些函
数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．
思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体
问题时，该如何选 择适当的表示方法呢？
这就是我们这节课要研究的内容．
Ⅱ．导入新课
从前面几节课所见到的或自己做的练习可以看出．列表法比较直观、准确地表示出函数
中两个变量的关系 ．解析式法则比较准确、全面地表示出了函数中两个变量的关系．至于图
象法它则形象、直观地表示出函 数中两个变量的关系．
相比较而言，列表法不如解析式法全面，也不如图象法形象；而解析式 法却不如列表法
直观，不如图象法形象；图象法也不如列表法直观准确，不如解析式法全面．
从全面性、直观性、准确性及形象性四个方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点．
表示方法
列表法
解析式法
图象法
全面性
×
∨
×
准确性
∨
∨
×
直观性
∨
×
∨
形象性
×
×
∨
从所填表中可清楚看到三种 表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、
具体要求选择适当的表示方法，有时为了 全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
III 例题与练习
例1：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．
t时
y米
0
10
1
10．05
2
10．10
3
10．15
4
10．20
5
10．25
…
…
１．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t•（时）变化的函数解析式，并
画出函数图象．
２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？
分析：记录表中已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系．•我们现在
需要从这些数值找出这两个表量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式来，再画出函数
图象，进而预 测水位．
解：１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米， •这样
的规律可以表示为： y=0．05t+10（0≤t≤7）
这个函数的图象如下图所示：
２．再过2小时的水位高度，就是t=5+2=7时，y=0． 05t+10的函数值，从解析式容
易算出：y=0．05×7+10=10．35
从函数图象也能得出这个值数．
2小时后，预计水位高10．35米．
提出问题：
１．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？
２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函
数图象估算出的好？
３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？
从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，• 且估计这种上涨情况还会持续
2小时，所以自变量t的取值范围取0≤t≤7，超出了这个范围，•情况 将难以预计．2小时
后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便．•就这个题目来说，2小时 后水位
高本身就是一种估算，但为了准确而言，•还是通过解析式求出较好．
从这个例子可以 看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们

通过分析求出 解析式并画出了图象，所以可以相互转化．
练习：
１．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数．
２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数．
解析：１．因为n表示的是多边形的边数，所以，n是大于等于3的自然数．
n
m
3
180
4
360
5
540
6
720
…
…
由表可看出，三角形内角和为180°，边数每增 加1条，•内角和度数就增加180°．故
此m、n函数关系可表示为：
m=（n-2）·180° （n≥3的自然数）．
２．因为等边三角形的周长L是边长a的3倍．所以周长L与边长a•的函数关系可表
示为：
L=3a
a … 1 2 3 4 …
（a>0）
L … 3 6 9 12 …
我们可
以用描点法来画出函数L=3a的图象．
列表：
描点、连线：
3、 甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前
面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变
化的函数解析式 ，并画出函数图象．
解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是：
甲车为：20x 乙车为：25x
两车行驶路程差为：25x-20x=5x
两车之间距离为：500-5x
x
y
…
…
10
450
20
400
30
350
40
300
…
…
所以：y随x变化的函数关系
x 50 60 70 80
式为：
y 250 200 150 100
y=500-5x 0≤x≤100
用描点法画图：
Ⅳ．课堂小结
通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳
总结出三种表示方法 的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当
的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不 同表示方法之间
可以转化．
其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如
下：
图象特征 函数变化规律
由左至右曲线呈上升状态．

y随x的增大而增大．
由左至右曲线呈下降状态．

y随x的增大而减小．
曲线上的最高点是（a，b）．

x=a时，y有最大值b．
曲线上的最低点是（a，b）．

x=a时，y有最小值b．
Ⅴ．课后作业
1、 习题11．1─8、9、11、12题． 2.《课堂感悟与探究》
课后反思

备课资料
甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发 到B城旅游．甲、乙两人离开A•城的路
程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两 人旅游的哪些信息？
１．甲骑自行车从Ａ城去Ｂ城用了８个小时．乙骑摩托车从Ａ城去Ｂ城用了２个小时．
２．甲比乙早４个小时出发，晚２个小时到达．
３．甲骑自行车在出发后第一个２小时内行驶 了４０千米，第二个２小时内行驶了２０
千米，然后停留了１个小时，又在１个小时内行驶了２０千米， 最后用２个小时行驶了２０
千米完成全程到达Ｂ城．
乙骑摩托车在２小时内行驶了100千米路程到达Ｂ城．
４．甲、乙在距Ａ城60多千米的地方相遇一次．


§14．2．1 正比例函数
教学目标
１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．
３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．
教学重点
１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．
３．能根据要求完成转化，解决问题．
教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研 究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们
在2．56万千米外的澳大利亚发现了 它．
１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km ，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）
的函数．函数解析式为：
y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行 路程问题进行了刻画．尽管这只是近
似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．
Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题， 看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些
函数有什么共同特点？

１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
２．铁的密度为7．8gcm
3
．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm
3
）的大小变化而变化．
３． 每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本
的本数n的变化 而变化．
４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t （分）
的变化而变化．
答应:１．根据圆的周长公式可得：L=2

r．
２．依据密度公式p=
m
可得：m=7．8V．
V
３．据题意可知： h=0．5n．
４．据题意可知：T=-2t．
我们 观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x
的形式一样．
一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（pro portional
func-tion），其中k叫做比例系数．
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
[活动一]
画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑
两个函数的变化规律．
x -3 -2 -1 0 1 2 3
１．y=2x ２．y=-2x
y -6 -4 -2 0 2 4 6
结论：
１．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表
示几组对应值：
画出图象如图（1）．
２．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列
表表示几组对应值：
x
y
-3
6
-2
4
-1
2
0
0
1
-2
2
-4
3
-6
画出图象如图（2）．
３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．
不 同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即
随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y =-2x的图象从左向右呈下降状态，即随
x增大y反而减小；•经过第二、四象限．
尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行
比较．
１．y=
x
y=
11
x ２．y=-x
22
-6 -4
-2
2
-2
-1
1
0
0
0
2
1
4
2
6
3
-3
1
-3
x
2
1
3
Y=-x
2
-1 -2
比较两个函数图象可以看出：两个图象都 是经过原点的直线．函数y=
1
x•的图象从左
2

向右上升， 经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-
1
x•的图象从左向右下降，经
2
过二、四象限，即随x增大y反而减小．
让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出 正比例函数解析式与图象特征之间的规律：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过 原点的直线．•当x>0时，图象经过
三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时 ，•图象经过二、四象限，
从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例 函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直
线y=kx．
[活动二]
经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最
简单？为什么？
让学生利用总结的正比例函数图象特征与解析式的关系，完成由图象到关系式的转化，
进 一步理解数形结合思想的意义，并掌握正比例函数图象的简单画法及原理．
结论：
经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．
画正比例函数图象时，只需在原点外 再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应
数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线 ．
Ⅲ．随堂练习
用你认为最简单的方法画出下列函数图象：
１．y=
3
x ２．y=-3x
2
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象
的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律 ，经过思考、尝试，
知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，
为以后学 习一次函数奠定了基础．
Ⅴ．课后作业1.习题11．2─1、2、6题．2.《课堂感悟与探究》
Ⅵ．活动与探究
某函数具有下面的性质：
１．它的图象是经过原点的一条直线．２．y随x增大反而减小．
请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象．
解：函数解析式：y=-0．5x
x
y
0
0
2
-1

课后反思
备课资料
汽车由天津驶往相距

120千米的北京，Ｓ（千米）
表示汽车离开天津的距离，•t（小时）表示汽车行驶的
时间．如图所示
１．汽车用几小时可到
达北京？速度是多少？
２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？

３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
解法一：用图象解答：
从图上可以看出4个小时可到达．
速度＝
120
=30（千米／时）．
4
行驶１小时离开天津约为30千米．
当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．
解法二：用解析式来解答：
由图象可知：Ｓ与t是正比例关系，设S=kt，当t=4时S=120
即120=k×4 k=30
∴S=30t．
当t=1时 S=30×1=30（千米）．
当S=100时 100=30t t=
10
（小时）．
3
以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．

§14．2．2 一次函数(一)
教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义 2、知道一次函数与正比例函数的
关系
3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律
教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律
教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1 小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公 路后,小明观察里程碑,发现汽
车的平均车速是95千米小时．已知A地直达北京的高速公路全程为57 0千米，小明想知道
汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便 根据时
间估计自己和北京的距离．
分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要 想找出这两个变化着的量的
关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此, 我们设汽车在高速
公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系 式是s＝
570－95t．
说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步, 这里的s、t是两个变
量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．
问题2 小张准备将平 时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月
节存12元．试写出小张的存款与从现 在开始的月份之间的函数关系式．
分析 我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：
y＝50＋12x．
问题3 以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?
Ⅱ．导入新课
上面 的两个函数关系式都是左边是因变量y，右边是含自变量x的代数式。并且自变量
和因变量的指数都是一 次。若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数k

≠0）的形 式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当b=0时，称
y是x的正比例函数 。
例1：下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
①y=x-6；②y=
2x
；③y=；④y=7-x
x8
A、①②③ B、①③④ C、①②③④ D、②③④
例2 下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？
(1)面积为10cm
2
的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
（5）汽车以60 千米时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间
的关系式；
（6）圆的面积y（厘米
2
）与它的半径x（厘米）之间的关系；
（7）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）
分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符
合y＝kx＋b(k≠0 )或y＝kx(k≠0)形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．
解 (1)
a
20
，不是一次函数．
h
(2)L＝2b＋16，L是b的一次函数．
(3)y＝150－5x，y是x的一次函数．
(4)s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．
（5）y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；
（6）y=πx
2
，y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；
（7）y=50+2x，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数
例3 已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k
的值．
分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．
解 若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝

1
．
2
若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．
例4 已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)y与x之间是什么函数关系；
(3)求x＝2.5时，y的值．
解 (1)因为 y与x－3成正比例,所以y＝k(x－3)．
又因为x＝4时，y＝3，所以3＝ k(4－3)，解得k＝3，
所以y＝3(x－3)＝3x－9．
(2) y是x的一次函数．
(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．
例5 已知A、B 两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米

的速度从 A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千
米）．
(1)当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．
(2)当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．
分析 (1)当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程
的差．

(2)当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的
差．

解 (1) y＝30－12x．(0≤x≤2.5)
(2) y＝12x－30．(2.5≤x≤6.5)
例6 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间 内，只开进油管，不开出油管，油
罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的 油从24吨增至40吨．随
后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进 油管与出油管
的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数
式及相应的x取值范围．
分析 因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的 16分钟和最后的只开出
油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以 此题因分三
个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系．
解 在第一阶段：y＝3x(0≤x≤8)；
在第二阶段：y＝16＋x(8≤x≤16)；
在第三阶段：y＝－2x＋88(24≤x≤44)．
Ⅲ．随堂练习
1、见下表：
x
y
-2
-5
-1
-2
0
1
1
4
2
7
……
……
根据 上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x一的次函数？y
是否 为x有正比例函数？
2、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下： 每户
每月用水量不超过6米
3
时，水费按0.6元米
3
收费；每户每 月用水量超过6米
3
时，超过
部分按1元米
3
收费。设每户每月用水 量为x米
3
，应缴水费y元。（1）写出每月用水量不
超过6米
3
和 超过6米
3
时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。（2）
已知某 户5月份的用水量为8米
3
，求该用户5月份的水费。[①y=0.6x，y=x-2.4，y 是x的

一次函数。②y=8-2.4=5.6（元）]
Ⅳ．课时小结
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。2、能根据已知简单信息，写出一次函数的表
达式。
Ⅴ．课后作业
1、已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7
(1)写出y与x之间的函数关系． (2)y与x之间是什么函数关系． (3)计算y＝－4时x
的值．
2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，每件另加手续 费0.2元，求总邮资y（元）与包
裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算5千克重的包裹的邮资 ．
3.仓库内原有粉笔400盒．如果每个星期领出36盒，求仓库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系．
4.今年植树节，同学们种的树苗高约1.80米．据介绍，这种树苗在10 年内平均每年长高
0.35米．求树高与年数之间的函数关系式．并算一算4年后同学们中学毕业时这些 树约有
多高．
5.按照我国税法规定：个人月收入不超过800元，免交个人所得税．超过8 00元不超过1300
元部分需缴纳5%的个人所得税．试写出月收入在800元到1300元之间的人 应缴纳的税金y
（元）和月收入x（元）之间的函数关系式．
课后反思






§14．2．2 一次函数(二)

教学目标
1、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。2、能较熟练作出一次函
数的图象。
教学重点1、能熟练地作出一次函数的图象。2.归纳作函数图象的一般步骤。
教学难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境
1、回顾作函数图象的一般步骤
前面我们已经 学习了一次函数及正比例函数的概念,正比例函数与一次函数的
关系,并能根据已知信息列出x与y的函 数关系式,本节课我们研究一下一次函数的
图象及性质。
2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y＝-6x (2)y＝-6x＋5 (3)y＝3x (4)y＝3x＋2

Ⅱ．导入新课
问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢?
让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．
问题2：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证．
让学生猜想， 举例验证，发现一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。
指出这条直线通常也称为直线y＝ kx＋b(b≠0)，特别地，正比例函数y＝kx(k≠
0)的图象是经过(0，0)的一条直线．
问题3：几个点可以确定一条直线?
问题4：画一次函数图象时，只要取几个点?
只要取两点。今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．
问题5：观察“做一做”画出 的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对
一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．
111
(1)y＝-6x与y＝-6x＋2 (2)y＝
2
x与y＝
2
x＋2 (3)y＝-6x＋2与y＝
2
x
＋2
能否从中发现一些规律?
问题6：对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．常数k和b的取值对于直
线的 位置各有什么影响?
让学生讨论，交流，然后填空：
两个一次函数，当k一样，b不一样时，有
共同点：__________________ ________不同
点:___________________________
当两个一次函数，b一样，k不一样时，有
共同点：__________________ ________不同点：
__________________________
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象
1
(1)y＝2x与y＝2x＋3 (2)y＝2x＋l与y＝
2
x＋1
请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．
Ⅲ．例题与练习
例1（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们 的横坐标和纵坐标，并验证它们
是否满足关系式y=-2x+5。
列表：
x
y=-2x+5
…
…
-2
9
-1
7
0
5
1
3
2
1
…
…

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标第内描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线。
图象如下：在图 象上找点A（3，-1）B（4，-3），当x=3时，y=-2×3+5=-1；
当x=4时，y=- 2×4+5=-3。（3，-1），（4，-3）满足关系式y=-2x+5。
议一议
（1 ）满足关系式y=-2x+5的x、y所对应的点（x,y）都在一次函数y=-2x+5的图
象上吗？
（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5吗？
分组讨论，然后回答。
（1）满足关系式y=-2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在 一次函数y=-2x+5的
图象上。
（2）一次函数y=-2x+5的图象上的点（x,y）都满足关系式y=-2x+5。
由此 看来，满足函数关系式y=-2x+5的x,y所对应的点（x,y）都在一次函数
y=-2x+5的图 象上；反过来，一次函数y=-2x+5的图象上的点(x,y)都满足关系式
y=-2x+5。所以， 一次函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足一次函数
的代数表达式的点在图象上，图象上的每一 点的横坐标x，纵坐标y都满足一次
函数的代数表达式。
例2 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．
1
(1)y＝2x与y＝2x＋3； (2)y＝3x＋1与
yx1
．
2
解

想一想 (1)上面每组中的两条直线有什么关系？(2)你取的是哪几个点，互
相交流，看谁取的点比较简便． 结论：一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交

点比较简便．
111
例3 直线
yx3,yx5
分别是由直线
y x
经过怎样的移动得到
22
2
的．
分析 只要k相同，直线就平 行，一次函数y＝kx＋b(k≠0)是由正比例函数的图
象y＝kx(k≠0)经过向上或向下平移< br>b
个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，
直线向下移．
11
解
yx3
是由直线
yx
2
2向上平移3个单位得到的；而
11
yx5
是由直线
yx
向下
2
2
平移5个单位得到的．
Ⅳ．课时小结

1．一次函数的图象是什么形状呢?
2．画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?
3．两个一次函数图象，当k一样，b不一 样时，有什么共同点和不同点?当
b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?
Ⅴ．课后反思

§14．2．2 一次函数(三)

教学目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质. 2.能根据k与b的值说出函数的有
关性质.
教学重点
1.一次函数中k与b的值对函数性质的影响；
2.结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力．
教学难点：一次函数k、b的取值和直线位置的关系，数形结合能力
教学过程：Ⅰ．提出问题，创设情境
1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点
比较简便？
2.在同一直角坐标系中，画出函数
y
2
x1
和y＝3x-2的 图象.
3
问 在所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

Ⅱ．导入新课
1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.
2 .观察图象发现在直线
y
2
（即自
x1
上，当一个点在直线上从 左向右移动时，
3
变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变 到
大）.
即：函数值y随自变量x的增大而增大.
讨论：函数y＝3x-2是否也有这种现象?
既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述 两个函数的图象，从它经过
的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？
发现 上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是(0,b)
所以，当b＞0时，直线与 x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b
＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称 在x轴的下方．所以当k＞0,b
≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.
3< br>3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和
yx1
的图象（图略）.
2
根据上面分析的过程，研究这两个函数图象是否也有相应的性质？能发现什
么规律.
3
观察函数y＝-x＋2和
yx1
的图象发现：当一个点在直线上从左 向右
2
移动时(即自变量x从小到大时)，点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从
大变到小）.
即：函数值y随自变量x的增大而减小.
又发现上述两条直线都经过二、四 象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点
在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的 交点在y轴的负
半轴，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.
一次函数y＝kx＋b有下列性质：

(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.
当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.
下面，我们把一次函数中k与b的正、
负与它的图象经过的象限归纳列表为：
4.利用上面的性质，我们来看问题1和
问题2反映了怎样的实际意义？
问题1 随着时间的增长,小明离北京越
来越近.
问题2 随着时间的增长,小张的存款越
来越多.
Ⅲ．例题与练习
例1 已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大
而减小？
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若k＜0，则y随x的增大而减小．
解 因为一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．
所以，2m-1＜0,即
m
1
.
2
例2 已知一次函数 y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数
的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围.
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函 数的
图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.

12m0
1
解 由题意得:

, 解得，
m1

2

m10
例3 已知一次函数y＝ (3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的
增大而减小，其中m为整数.
(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？
分析 一次函数y＝kx＋b(k≠0 )与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，
则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.


3m80
解 (1)由题意得：

，

1m0
解之得，
1m
8
,又因为m为整数,所以m＝2 .
3
(2)当m＝2时，y＝-2x-1.
又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.
解得：

51
m
.
22
1
x2
；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．
2
例4 说出直线y＝3x＋2与
y
分析 k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为(0,b)．
解 直线y＝3x＋2与
y
且交点坐标为(0,2)；
直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．
例5 画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:
(1)直线上横坐标是2的点；
(2)直线上纵坐标是-3的点；
(3)直线上到y轴距离等于1的点．

解 (1)直线上横坐标是2的点是A(2,-1)；
(2)直线上纵坐标是-3的点B(3,-3)；
(3)直线上到y轴距离等于1的点C(1,1)和D(-1,5)．
例5 画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
(1)这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？它的图象从左到右怎样变
化？
(2)当x取何值时，y＝0?
(3)当x取何值时，y＞0？
分析 (1)由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.
(2) y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.
(3) y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.
解 (1)由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小.
当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在
1
x2
的b相同，所以这两条直 线与y轴交于同一点，
2

逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.
(2)当x＝1时, y＝0 . (3)当x＜1时, y＞0.
Ⅳ．课时小结
1．(1)当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.
当b>0,直线与 y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴；当b=0
时，直线与y轴交于坐标原点.
2．k＞0,b＞0时，直线经过一、二、三象限； k＞0,b＜0时，直线经过一、三、
四象限；
k＜0,b＞0时，直线经过一、二、四象限； k＜0,b＜0时，直线经过二、三、
四象限.
Ⅴ．课后作业
1.已知函数
y(m1)x
m
2
m1
m
,当m为何值时，这个函数是 一次函数.并且图
象经过第二、三、四象限？
2.已知关于x的一次函数y＝(-2m＋1)x＋2m
2
＋m-3.
(1)若一次函数为正比例函数，且图象经过第一、第三象限，求m的值；
(2)若一次函数的图象经过点(1，-2),求m的值.
3.已知函数
y(m3)x
2
.
3
(1)当m取何值时，y随x的增大而增大? (2)当m取何值时，y随x的增大而
减小?

1

4.已知点( -1,a)和

,b

都在直线

2

y 
2
x3
上，试比较a和b的大小.你
3
能想出几种判断的方法？
5.某个一次函数的图象位置大致如下图
所示，试分别确定k、b的符号，并说出
函数 的性质.
§14．2．2 专题: 一次函数应用(一)

教学目标

1.理解待定系数法； 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关
现实问题．
3、体会用“数形结合”思想解决数学问题．
教学重难点：待定系数法确定一次函数解析式
教学过程
：
Ⅰ．提出问题，创设情境
一次函数关系式y＝kx＋b (k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确
定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？
问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能
否写出这个一次函数的解析式呢？
根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:y＝kx＋b(k≠ 0),问题就归结
为如何求出k与b的值．
由已知条件x＝-2时，y＝-1，得-1＝-2 k＋b．由已知条件x＝3时，y＝-3，得-3
＝3k＋b．
两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程
2

k

12kb,

5
所以，一次函数解析式为

解得


33kb.

b9

5

29
yx
．
55
问题2 已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一
次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹
簧的长度是7.2厘米, 求这个一次函数的关系式．
考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时 ，弹
簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？
Ⅱ．导入新课
上题可作如下分析：
已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式 ，所以
要求的就是系数k和b 的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是
当x＝ 0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求
k与b 的二元一次方程组，进而求得k与b的值．


6b,
解 设所求函 数的关系式是y＝kx＋b(k≠0),由题意，得

解这个方程

7.2 4kb.

k0.3,
组，得

所以所求函数的关系式是y＝0 .3x＋6．(其中自变量有一定的范
b6.

围)
讨论 1．本题中把 两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k
和b的二元一次方程组的问题．
2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．
问题3 若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．
分析 考虑到直线y＝mx-(m-2 )过点(0,3)，说明点(0,3)在直线上，这里虽然已
知条件中没有直接给出x和y的对应值，但 由于图象上每一点的坐标(x,y)代表
了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵 坐标y表示与它
对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元
一次方程．
解 当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．
这种先设 待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方
程或方程组，求出未知系数，从而得到 所求结果的方法，叫做待定系数法
Ⅲ．例题与练习
例1 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3,5)和点(-4，-9),求当x＝5时，函
数y的值．
分析 1．图象经过点(3,5)和点(-4，-9)，即已知当x＝3时，y＝5；x＝-4时，y< br>＝-9．代入函数解析式中，求出k与b．
2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为 要求x＝5时，函数y的
值，仍需从求函数解析式着手．

3kb5

k2
解 由题意，得

解这个方程组，得

这个函数解析式为y＝2x-1
4kb9b1

当x＝5时，y＝2×5-1＝9．
例2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．分析 从“形” 看，图象
经过x轴上横坐标为2的点， y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标(2,0),(0,-3)
满足解析式．
解 设：所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．

直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得
3


02kb,
3

k,
解得 所以所求的一次函数的关系式是
yx2
．
2

2
3b.



b3.
例3 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线
的表达式.
分析 直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为
-2,可求出b的值.
解 因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点
的纵 坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2.
Ⅳ．课时小结
本节 课，我们讨论了一次函数解析式的求法。求一次函数的解析式往往用待
定系数法，即根据题目中给出的两 个条件确定一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)
中两个待定系数k和b的值；
Ⅴ．课后作业
1.根据下列条件写出相应的函数关系式．
(1)直线y＝kx＋5经过点(-2,-1)； (2)一次函数中，当x＝1时，y＝3；当x＝
-1时，y＝7．
2.写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2,3)．
3.如图是某长途汽车站旅客 携带行李费用示意图．试说明收
费方法，并写出行李费y（元）与行李重量x（千克）之间
的函 数关系．
4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(3,3)和
(1,-1)．求 它的函数关系式，并画出图象．
5.陈华暑假去某地旅游，导游要大家上山时多带一件衣服，
并介绍当地山区海拔每增加100米，气温下降0.6℃．陈华在山脚下看了一下随
带的温度计，气温为 34℃，乘缆车到山顶发现温度为32.2℃．求山高．
课后反思


一次函数（4）

知识技能目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质. 2.能根据k与b的值说出函数的有关性
质.
过程性目标
1.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的
影响；
2.观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合
能力．
教学过程
例3 求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．
分析 两个函数图象的 交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系
式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程． 所以交点坐标就是方程组的解．

y2x,

x3,
解 两个函数关系式组成的方程组为

解这个方程组，得



y6.

yx3.
所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．
例4 已知两条直线y
1
＝2x-3和y
2
＝5-x．
(1)在同一坐标系内作出它们的图象； (2)求出它们的交点A坐标； (3)求出这
两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积； (4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋
4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析 (1)这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点，即
可画出这两条直线．
(2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
(3)求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面
积． (4)先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为
正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解 (1)

8

x,

< br>y
1
2x3,

3
(2)

解得


7
y5x.

2

y.< br>
3


87

所以两条直线的交点坐标A为

,

．

33

(3)当y
1＝0时，x＝
33
所以直线y
1
＝2x-3与x轴的交点坐标为B(，0 )，当y
2
22
117749
．
BCAE
22 2312
＝0时，x＝5，所以直线y
2
＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)． 过点A作AE⊥x
轴于点E，则
S
ABC


2k1 5x4y,
(4)两个解析式组成的方程组为

解这个关于x、y的方程组，得
k2x3y.
2k3

x,


7



y
k2
.

7

2k3
0,

3

7
由于交点在第四象 限，所以x＞0,y＜0．即

解得
k2
．
2

k2
0.


7
课后反思



实践与探索(一)
教学目标
1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维。
2、能利用函数图象解决简单的实际问题，提高学生的数学应用能力。
教学过程
一、范例
1、学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100
页40元计费 。现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额
的承包赞，则可按每100页15元收费。两复印社每月 收费情
况如图所示。
根据图象回答：

(1)乙复印社的每月承包费是多少? (2)当每月复印多少页时．两复印社实
际收费相同? (3)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社?
提问：1、“收费相同”在图象上怎么反映出来?
2、如何在图象上看出函数值的大小?
请同学们讨论、解答、并交流自己的解答；教师引导学生如何读懂图形语
言．并把图形 语言转化为数学语言或文字语言。
解答结果是：(1)乙复印社的每月承包费是200元；( 2)当每月复印800页时，
两复印社实际收费相同；(3)如果每月复印页数在1200页左右，那么 应选择乙复
印社。
说明：本题亦可用代数方法解。
3．在17．3问题2 中，小张的同学小王以前没有存过零用钱．听到小张在
存零用钱，表示从现在起每个月存18元，争取超 过小张。请你在同一平面直角
坐标系中分别画出小张和小王有数和月份数的函数关系的图象，在图上找一 找半
年以后小王的存款数是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小
张。
分析： (1)列表：这两个函数的自变量x的取值范围是自然数，列出x与y
的对应值表： (2)描点作图，就得到函数的图象
提问：你能用其他方法解决上述问题吗?
y＝2x－5
4．利用图象解方程组
y＝－x＋
分析：两个一次函数图象 的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函
数关系式。而两个一次函数的关系式就是方程组中的两 个方程，所以交点的坐标
就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解。
二、课堂练习：P54练习l、2。
三、小结：这节课，你学会了什么知识？
四、作业 ：P57页17、5 1、2
课后反思


实践与探索(二)
教学目标

1、熟练掌握一次函数图象的画法，能通过函数图象获取信息，发展形象思
维。
2、体验一次函数图象与一元一次方程的解，一元一次不等式的解集之间关
系的探索过程，培养 学生图形语言，数学语言以及文字语言相互转化的能力。
教学过程
一、范例
3
1．画出函数y＝
2
x+3的图象，根据图象，指出：
(1)x取什么值时，函数的值等于零? (2)x取什么值时，函数值y始终大于零?
33
从函数y＝
2
x+3图象可以看出： 当函数值y等于零时，直线y＝
2
x+3与
x轴相交于点(－2，0)，这时的横坐 标就是所求的x值。所以当x=－2时，函数
值y等于零。因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都 大于0，横坐标都大
于－2。所以当x>－2时，函数值y始终大于零。
小结：在x 轴上方的函数图象，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解
析式上，就是函数值大于0，在x轴下方 的函数图象，任意一点的纵坐标都小于
0，反映在函数解析上，就是函数值小于0。提问：①当x取什么 值时，函数值y
始终小于零?②当x取什么值时，函数值y小于3?③当x取何值时，0≤y≤3?
二、想一想
33
由上例，想想看，一元一次方程
2
x+3＝0的解，不等式
2
x+3>0的解集与
3
函数y＝
2
x+3的图象有什么关系?说说你的想法，并和同学讨论交流．
在学生讨论、交流和发表意见后，教师加以引导，最后归纳.
三、课堂练习 P55页练习l、2．
四、小结：本节课，通过作函数图象、观察函数图象，并从中初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的内在联系，使我们感受到不等式、方程、
函数是紧密联系着 的一个整体，今后，我们还要继续学习并研究它们之间的内在
联系。
§14．2．2 专题: 一次函数应用(一)
教学目标:利用一次函数知识解决相关实际问题．
教学重点:灵活运用知识解决相关问题．
教学难点:灵活运用有关知识解决相关问题．

教学过程: I提出问题，创设情境
我们前面学习了有关一次函数的 一些知识及如何确定解析式，如何利用一次
函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主 要问题.
II导入新课：下面我们来学习一次函数的应用．
例1 小芳以200米 ／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度
20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间 里她跑步速度y（米／分）随跑
步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
分 析：本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x•
变化函数关系式时要分成两部 分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变
量的取值范围．

20x200

解：y=

300
(0x5)
(5x15)
我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，
要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
例2 Ａ城有肥料2 00吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、
Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分 别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、
Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料 240吨，Ｄ乡需要
肥料260吨．怎样调运总运费最少？
思考方法：从影响总运费 的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关
系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数 知识解决问题．
通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥< br>料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．•然而它们之间又有一定的必
然联系，只要确定 其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其
中一个变量为x，把其他变量用含x的代数 式表示出来：
若设Ａ──Ｃx吨，则：
由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，200─x吨．
由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，240─x吨．
由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．
那么，各运输费用为：
Ａ──Ｃ 20x
Ａ──Ｄ 25（200-x）

Ｂ──Ｃ 15（240-x）
Ｂ──Ｄ 24（60+x）
若总运输费用为y的话，y与x关系为：
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．
化简得：y=40x+10040 （0≤x≤200）．
由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．
因此，从Ａ城运往Ｃ乡0 吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，•
运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040 元．
若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
解题方法与思路不变，只是过程有所不同：
Ａ──Ｃ x吨 Ａ──Ｄ 300-x吨
Ｂ──Ｃ 240-x吨 Ｂ──Ｄ x-40吨
反映总运费y与x的函数关系式为：
y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．
化简：y=4x+10140 （40≤x≤300）．
由解析式可知： 当x=40时 y值最小为：y=4×40+10140=10300
因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡 260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运
往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．
如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？
由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40 吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城
中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在 40吨到300吨之间．
解后小结:
解决含有多个变量的问题时，可以分析这 些变量间的关系，选取其中某个变
量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数．这样 就可以利
用函数知识来解决了．
在解决实际问题过程中，要注意根据实际情况确定自 变量取值范围．就像刚
才那个变形题一样，如果自变量取值范围弄错了，很容易出现失误，得到错误的< br>结论．
Ⅲ 课堂练习
从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水1 5万吨，乙地需水13万
吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千 米；

从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨· 千
米）最少．
解答：设总调运量为y万吨·千米，Ａ水库调往甲地水x万吨，则调往 乙地
（14-x）万吨，Ｂ水库调往甲地水（15-x）万吨，调往乙地水（x-1）万吨．
由调运量与各距离的关系，可知反映y与x之间的函数为：
y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）．
化简得：y=5x+1275 （1≤x≤14）．
由解析式可知：当x=1时，y值最小，为y=5×1+1275=1280．
因此从Ａ水库 调往甲地1万吨水，调往乙地13万吨水；从Ｂ水库调往甲地
14•万吨水，调往乙地0万吨水．此时调 运量最小，调运量为1280万吨·千米．
Ⅳ．课堂小结
本节课我们学习 并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决
多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问 题开辟了一条坦途，使我们进一步
认识到学习函数的重要性和必要性．
．课后反思



§14．2．2 专题：一次函数应用(二) 习题课
例1 求函 数
y
3
x3
与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成2
3
x3
与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标
2< br>的三角形的面积.
分析 求直线
y
和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标 和纵坐标；结合图象，易知直线
3
x3
与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两 条直角边就是直线
2
3
yx3
与x轴、y轴的交点与原点的距离. < br>2
y
解：当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x＝0 时，y＝
-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3).
S
OAB

11
OAOB233
.
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