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第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理定解问题
一、数理方程的概念
凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。一般地说，描写连 续体运动规律的方程式都是偏
微分方程。这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P 135）。在数学上，数学物理方程
本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。偏微分方程所含有最高偏导 数的阶数称为该偏微分方程的阶。在许
多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉 普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类 ——P162
二个自变数
x,y
的二阶偏微分方程的一般形式为

2
u
2
u
2
uuu

A
2
BC
2
DEFuG

xy xy
xy
式中系数
A,B,,G
是
x,y
的已知函 数或常数。当
G0
时，则方程称为齐次的；当
G0
时，则方程称为
非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数
A,B,C
所满足的条件划分为三类：
1、若
B4AC0
双曲型方程 （一维波动方程）
2、若
B4AC0
抛物型方程 （一维输运方程）
3、若
B4AC0
椭圆型方程 （二维拉普拉斯方程）
2
2
2
三、定解条件
在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式 叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条
件。因数理方程满足初始条件和边界条件的解是 完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统
称为定解条件。
这样，问题在数学 上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。这叫作数学物理定解问
题或简称为定解问题 。——P135
1

(数学物理方)程

泛定方程


初始条件


定解问题




边界条件

定解条件

衔接条件




§7.1 数学物理方程的导出

数学物理方程的导出步骤如下：——P135
一、波动方程
u
tt
a
2
u
xx
0

（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136
1、均匀弦的自由横振动
在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：
(1)、均匀细弦：弦的线密度
为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
(2)、轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力的影响。
(3)、柔软：弦中的张力只能是沿着弦线的切线方向。
(4)、微小振动：
u
1
。
x
(5)、横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向。
拿区间
(x,xdx)
上的小段
B
为代表加以研究。下面分析一下
小段
B
的长度为
ds
，则
m

ds

dx
，

a
：弦的横向加速度记作
u
tt




T
2
cos

2
T
1
cos

1
0
F
：



T
2
sin

2
T
1
sin

1
(

dx)u
tt
因为弦作微小横振动，所以

1
,

2
很小。
(1)
(2)

cos

1
cos

2
1
， sin

1
tg

1
u
x
(x, t)
，
sin

2
tg

2
u
x
(xdx,t)

由(1)得：
T
1
T
2
T
，
即均匀柔软的弦作微小振动时，弦上任一横截面上所受的张力都相等，(2)为
2

T[u
x
(xdx,t)u
x
(x,t)](

dx)u
tt
(3)
u
x
将(4)代入(3)得，
xdx
u
2
u

2
dx
(4)
x
x
x

2
u
dx(
< br>dx)u
tt

T
2
x

2
uT
2
u

dx0

22

xt
令
a
成为

u
tt
a
2
u
xx
0
(5) ——齐次的波动方程 （P137）
其实，作为代表的
B
段是任选的 ，所以方程(4)适用于弦上各处，是弦作微小的自由横振动时位移
u(x,t)
所满
足的二阶偏微分方程，称为弦的自由横振动方程。
2、均匀弦的受迫横振动
如果弦在振动过 程中还受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力为
F(x,t)
，则应将(2)式修改 为

T
2
sin

2
T
1
sin

1
F(x,t)dx(

dx)u
tt

T

（可证明
a
就是振动在弦上传播的速度——波速 ，
T
，


a
），则
B
段的运动方 程就

2
uT
2
uF(x,t)

dx

t
2

x
2
写成
u
tt
a
2
u
xx
f(x,t)
(6) ——非齐次波动方程
其中
f(x,t)
F(x,t)

——单位质量的弦所受的横向外力，称为力密度。(6)式称为弦的受迫振动方程。
（二）杆的纵振动方程
1、杆的自由纵振动
在以下几个条件下推导杆的自由纵振动方程：
(1)、均匀细杆：杆的密度

为常数；横截面积
S
为常数；由于是细杆，所以作为一维空间的问题来处理。
(2)、水平放置：杆不受纵向外力的作用。
(3)、微小振动：

u
1
，
x
3

(4)、纵振动：杆上各点的振动方向平行于振动的传播方向。
设均匀细杆沿 杆长的方向
x
作微小的自由振动，纵向位移
u
是杆上点的位置
x和时间
t
的函数，即
uu(x,t)
，这是我们所要研究的物理量。
设
t
时刻，杆处于如图所示的位置，
B
两端的位移分别
记作
u(x,t)
和
u(xdx,t)
。
x

xdx

A
A
x

m
：
m

Sdx
，
其中
S
为杆的横截面积。
u

B
udu

C
B
C

a
：杆的纵向振动加速度记作
u
tt
。

u
F
：胡克定律, 法向力
f
n
YS

Y
——杨氏模量（由杆的材料决定）
n
根据胡克定律，
f
1
YSu
x
x
，
f
2
YSu
xxdx

即由于伸长形变，作用在
(x,xdx )
小段
x
端的张就力是
f
1
，
xdx
端 的张就力是
f
2


f
2
f
1
(

Sdx)u
tt
（7）
u
tt

Y

u
xx
0
令
a
2
Y

（
a
就是纵振动在杆中传播的速 度——波速，
T
，


a
），则

u
tt
a
2
u
xx
0
（8）
(8)式就是均匀细杆作微小自由纵振动时位移所满足的方程式，称为杆的自由纵振动方程。它 是二阶偏微分方
程。从物理学知，纵振动在杆中传播的过程形成纵波，故（8）式是描写杆中纵波的一维 波动方程。
2、杆的受迫纵振动
若杆受到纵向外力的作用，单位体积的杆所受的纵向外力< br>F(x,t)
，则(7)式改写为

f
2
f
1
SdxF(x,t)(

Sdx)u
tt


u
tt
auxx

2
F(x,t)

f(x,t)

其中
f(x,t)
F(x,t)

——单位质量的杆所受的纵向外力。
从以上讨论可知：描写弦上横波的振动方程与描写杆上纵波的波动 方程完全相同。可见，任何无源的一
维波动方程都可用方程
4

2

2
u
2
u
a0

22
tx
来描写，这个方程是一维齐次波动方程的标准形式，与二维比较，对于一 维波动方程有
B4AC4a0
，
所以一维波动方程是双曲型方程。
一维空间的波动方程推广到二维、三维空间：
22

2
u
a
2
u0

2
t


2

2

x
2


2


其中


2< br>
2
y

x

222



2

22

yz

x
二 、输运方程
（一）热传导方程（以一维的为例）
由热学知，由于温度不均匀，热量从温度高 的地方向温度低的地方转移，这种现象叫热传导（P146）。
热传导的起源是温度的不均匀。温度不 均匀的程度可用温度梯度
u(r,t)
表示。热传导的强弱可用热流
强度
q (r,t)
，即单位时间通过单位横截面积的热量表示。（P146）
由实验知，热流强度
q(r,t)
与温度梯度
u(r,t)
成正比

q(r,t)ku(r,t)

其中比例系数
k
称为热传导系数，负号代表热流是流向温度低处，这是热传导现象的基 本定律，称为热传导
定律。
以能量守恒定律和热传导定律为基础，导出温度
u(r,t)
所满足的方程。
1、无热源情况
为简单起见，我们讨论一根均匀细杆的热传导。设细杆内无热源，细杆的横截 面积为常数
S
，它的侧面
绝热。由于杆很细，任何时刻同一横截面上各点的温度都可看 成是相同的。假设杆左端的温度高，右端的温
度低，
x
轴与杆轴重合，则热量只能沿< br>x
轴正向传导，这是一维的热传导问题。
在
t
时间内净流到小段< br>(x,xdx)
中的热量
Q
等于在
t
时间内小段
(x,xdx)
由于温度升高所吸收
的热量
Q

。
5
一维
二维
。它描写无源的波动过程，若是有源的，则方程中多了一项非齐次项。
三维






Qq(x,t)Stq(xdx,t)St


[k
u(x,t)u(xdx,t)
k]St

xx

2
u
dxSt

 k
2
x
一般来说，小段
(x,xdx)
中不同点的温度升高是不 同的，但是由于
dx
很小，小段中各点的温度升高
可近似地用小段质心处的温度升高来 代替。设在
t
到
tt
内，小段温度上升了
u
，有

uu
t
t

设细杆的比热为
c
，质量密度为

，由热学得

Q

c(

Sdx)uc

Sut
tdx

因为
QQ



2
u

k
2
dxStc

Su
t
tdx

x
uk
2
u

0

tc

x
2
令
dx0
，
k
a2
，则
c

2
u(x,t)
2
u(x, t)
a0

2
t
x
或
u
t
a
2
u
xx
0
——P147
这就是一维无源热传导中温度所满足的方程，它是二阶齐次偏微分方程，称为一维无源热传导方程。
2、有热源的情况
若细杆内存在热源，如细杆中通以电流或杆中有放射性物质。设
t
时刻
x
处热源在单位时间单位体积中
产生的热量为
F(x,t)，
F(x,t)
称为热源强度。可以证明，

Qq(x,t)Stq(xdx,t)StF(x,t)Sdxt


2
u

k
2
dxStF(x,t)Sdxt

x

Q

c

Su
t
dxt

有源的一维热传导方程为
6

u
t
au
xx

2
1
F(x,t)f(x,t)

c

1
F(x,t)
是热源在方程中的反映。因
B
2
4AC0
，所以一维热
c

它是二阶非齐次偏微分 方程。非齐次项
传导方程是抛物型方程。
（二）扩散方程 ——143
由于浓 度（单位体积中的分子数或质量）的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移，这种现
象称为扩 散。
扩散运动的起源是浓度的不均匀。浓度不均匀的程度可用浓度梯度
u(r,t)
表示。扩散运动的强弱可用
扩散流强度
q(r,t)
，即单位时间里通过单位横截面 积的原子或分子数或质量表示。
由实验知，扩散流强度
q(r,t)
与浓度梯度u(r,t)
成正比

q(r,t)Du(r,t)

其中比例系数
D
称为扩散系数 ，“负”号表示扩散是向浓度低处进行，这是扩散现象的基本定律，称为扩散
定律。
以质量守 恒定律和扩散定律为基础，导出浓度
u
所满足的方程，推导方法与推导热传导方程完全类似。
2
u(x,t)
2
u(x,t)
2
a0
或
uau
xx
0

t
2
t
x




其中
Da
.这是二阶齐次偏微分方 程，称为一维无源扩散方程。
与热传导情况类似，有源的一维热传导方程为

Du
xx
dxStF(x,t)Sdxtu
t
tS dx


u
t
a
2
u
xx
F(x,t)

其中
F(x,t)
——扩散源的强度：单位时间内单位体积中产生的粒子数。
热传导方程和扩散方程形式完全相同。这不是偶然的，因为这两种方程所描写的现象同属于物理上的输
运现象。
一维空间的输运方程推广到二维、三维空间：
二维空间：
u
t< br>a(u
xx
u
yy
)0
或
u
t
a
2

2
u0

三维空 间：
u
t
a(u
xx
u
yy
u
zz
)0
或
u
t
a
2

3
u0

7
2
2
2

它描写无源的波动过程，若是有源的，则方程中多了一 项非齐次项。
三、稳定场方程：拉普拉斯方程与泊松方程
1、稳定的温度（浓度）分布
若温度（或浓度）分布不均匀，就会产生热传导（或扩散）现象。假如源是不随时间变化的，在 一定条
件下，热传导（或扩散）最终将导致系统的温度（或浓度）的分布达到不随时间变化的状态，称为 稳定分布
状态。所以若在与时间无关的热源
F(x,y,z)
的作用下，温度的分布为 稳定分布，即
分布
u(x,y,z)
满足方程

u(x,y,z)
u
0
，则稳定的温度
t
F( x,y,z)F(x,y,z)


2
k
a

c
同理，若在与时间无关的扩散源强度
F(x,y,z)
的作用下，浓度的分布为稳定分 布，稳定的浓度分布
u(x,y,z)
满足方程

u(x,y,z)
1
F(x,y,z)

D
显然，上述两个方程形式一样，可统一地表述为

u(x,y,z)

g(x,y,z)
——泊松方程
其中

是系数，
g(x,y,z)
是不随时间变化的源在方程中的反映。上 式就是含源系统处于稳定温度（或浓度）
分布状态时温度（或浓度）所满足的方程式。它是不含时间的二 阶非齐次偏微分方程，称为泊松方程。
若无源，
g(x,y,z)0
，稳定分布的
u
满足方程

u(x,y,z)0

这称为拉普拉斯方程。
2、稳定的电场分布 < br>
稳定的电场就是静电场。静电场是有源无旋场，
E0
，对无旋场可引入 势函数（电势）
V(x,y,z)
，


EV
。
静电场中
E


，

0


E(V)


0
8

()VV



0
即
V

(10)

0

这就是静电场的电势函数
V
应当满足的静 电场方程，它是泊松方程。
E
是矢量，而
V
是标量，求解方程(10)
比较方便。
如果在静电场的某一区域里没有电荷，即

0
，则电势函数
V
的静电场方程(10)在该区域上简化为拉
普拉斯方程

V0

从以上讨论可知：描写稳定状态（或稳定分布）的物理量，有源时，满足泊 松方程；无源时，满足拉普
拉斯方程。

§7.2 定解条件
一、初始条件 ——P153
初始条件：给出某一初始时刻整个系统的已知状态。由于运动 状态是用一些物理量来描写，所以初始条
件是给出在初始时刻，系统每一点上这些物理量之值。
如描写机械运动状态的物理量是位移和速度，所以对于机械运动，初始条件就是给出在初始时刻系统在
每一点的位移
u
和速度
u
的值。如
t

< br>u(x,y,z,t)
t0


(x,y,z)


，


u
t
(x ,y,z,t)
t0


(x,y,z)
其中

(x,y,z)
和

(x,y,z)
是已知函数。
例：一根长为< br>l
而两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离
h
，然后放手任其振动。写 出弦横振动的
初始条件。——P154

l

2h
0x 


2

l

u(x,t)


t0
l
初始条件为：



2h
(lx)xl


2

l

0xl< br>

u
t
(x,t)
t0
0
9

在热传导现象中，初始时的运动状态系指初始温度在空间中的分布情况，故其初 始条件就是给出初始时
刻系统中每点的温度
u
之值。如

u(x,y,z,t)
t0
T(x,y,z)

其中
T(x,y,z)
是已知函数。
对于扩散现象，初始状态系指 初始时刻浓度在空间中的分布情况，故初始条件就是给出初始时刻系统中
每一点上浓度的值。如

u(x,y,z,t)
t0


(x,y,z)

其中

(x,y,z)
是已知函数。
二、边界条件
边界条件：给出系统的边界在各个时刻的已知状态。
描写系统边界状况的表示式称为边界条件 ，边界条件通常可用
u
（所研究的物理量）或
u
（其在边界
n< br>外法线方向上的方向导数）在边界上的值来表示。根据边界条件的形式，一般地可分为三类：——P155
以上三类边界条件中的
f(t)0
，则这种边界条件是齐次的；若
f(t)
是某个不为零的常数或函数
f(t)
，
则称这种边界条件是非齐次的。以上这 三种边界条件是最常见的。——P157
1、 弦的横振动
(1)、两端固定
u (x,t)
x0
0
，
u(x,t)
xl
0

(t0)

(2)、
x0
端位移状态已知
u(x,t)
x0
f(t)

(t0)

2、 杆的纵振动
(1)、两端自由
u
x
x0
0
,
u
x
xl
0

(t0)

( 2)、作纵振动的杆，
x0
端固定，
xl
端受有沿端点外法线方向的外力
f(t)


u(x,t)
x0
0

u
x
xl

f(t)

(t0)

YS
3、 杆的热传导
10

(1)、两端保持零度

u(x,t )
x0
0
，
u(x,t)
xl
0

(t0)

(2)、两端的温度变化已知，
u(x,t)
x 0
f
1
(t)
，
u(x,t)
xl
f2
(t)

(t0)

(3)、两端绝热

u
x

u
x
x0
0

(t0)

0

(t0)

x0,l
xl
合并写成
u
x
0

(t0)

(4)、两端有热流强度为
f(t)
的热流流出
f(t)

(t0)

x0
k
f(t)
在
xl
端：
u
x
xl


(t0)

k
f(t)
合并写成
u
n
x0,l


(t0)

k
在
x0
端：
u
x

同理得，两端有热流强度为
f(t)
的热流流入

u
n
x0,l

f(t)

(t0)

k
(5)、两端按牛顿冷却定律与外界进行热交换（自由冷却）
牛顿冷却定律：单位时间内通过单位横截 面积与外界热交换流出的热量为
h(u

)
，其中
h
—— 牛顿冷
却系数；
u
——系统边界的温度；

——外界的温度。
见上图，只要把
f(t)
换成
h(u

)
即可。
在
x0
端：

(
ku
u)


hx
x0
令
H
k
，
(Hu
x
u)
x0



(t0)

h
在
xl
端：
(Hu
x
u)
xl



(t0)

合并写成
(Hu
n
u)
x0,l



(t0)

三、衔接条件
11

当考虑的系统 不是均匀介质或其它一些情况时，如在所研究的区域里出现跃变点（泛定方程在跃变点失
去意义），需把 系统分成二个或二个以上部分处理，此时的边界条件往往不能单独写出，边界上的情况与相
邻二个部分的 状态有关，它们的关系称为衔接条件。
例1、弦横振动时在
xx
0
点受一 力
F(t)
作用时的衔接条件。——P190
例2、静电场电介质界面上的衔接条件 ——P161习题7
电介质界面上电势连续：
u
I

u
II

。
界面上电位移矢量的法向分量连续，

D
1n
D
2n


f
，

D
1n


f
0

D
2n


D

E

u

n
u
I


n
I



II
u
II
n



u
I
u
II< br>


II
综上，衔接条件为

u
I
III
u




nn




§7.3 定解问题 定解问题的适定性
求得 某个物理问题的解答归结为求出相应的数理方程的确定解，所谓确定解要求既满足方程又满足定解
条件。 我们说数理方程和它的定解条件构成数理方程的定解问题。

数理方程


初始条件


定解问题




定解条件

边界条件< br>
衔接条件



若要求写定解问题，一定要全面。
既然数理方程的一个确定解代表系统的一个具体运动状态，从物理上来说，要求定解问题：（1）有解；
（2）其解是唯一；（3）解是稳定的。
12

若某定解问题满足上述三 个条件，我们就说这个定解问题提得正确，或说这个定解问题是适定的，否则
说不正确，必须修改问题的 提法。


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