数学建模课件--最小二乘法拟合
富豪榜-大学毕业论文致谢词
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数学建模课件--
最小二乘法拟合
4. 最小二乘法线性拟合 我们知道，
用作图法求出直线的斜率
a 和截据 b， 可以确定这条直线所对应的经验公式，
但用作图法拟
合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分
散时，
对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因
此是一种粗略的数据处理方法，
求出的 a 和 b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,
任何人去处理同一组数据，
只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，
用计算
的方法求出最佳的 a和 b。
显然， 关键是如何求出最佳的 a 和
b。
(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：
(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi， yi），假定自变量
xi 的误差可以忽略，
则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点
a+bxi 的偏差 di如下：
显
然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b
是最
理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、
dn为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn
1 11
有正有负， 加起来可能相互抵消，
因此不可取； 而| d1| + | d2|
++ | dn| 又不好解方程， 因而不可行。
现在采取一种等效方法：
当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、
d2、 、 dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）
为最小值， 求 a和 b 的方法
叫最小二乘法。
令
＝
-6-2)
D 对 a 和 b 分别求一阶偏导数为：
数学建模
再求二阶偏导数为：
显然：
；
满足最小值条件， 令一阶偏导
数为零：
(2-6-3)
；
(2-6-4) 引入平均值：
； ；
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；
则：
（2-6-5） 解得：
（2-6-6）
（2-6-7） 将 a、 b 值
带入线性方程，
即得到回归直线方程。
(2) y、 a、 b 的标准差 在最小二乘法中，
假定自变量误差
可以忽略不计， 是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量， 都有误差，
从而导致结果 y、 a、 b 的
标准差(n6) 如下：
(2-6-8) (根式的分母为 n-2, 是因为有两个变量)
(2-6-
(2-6-10) (3) 相关系数 相关系数是衡量一组测量数据 xi、
yi线
性相关程度的参量， 其定义为：
（2-6-11） r 值在 0| r| 1 中。
| r| 越接近于 1，
x 、 y 之间线性好； r 为正， 直线斜
率为正，称为正相关； r 为负，
直线斜率为负， 称为负相关。
3 11
| r| 接近于 0， 则测量数据点分散或xi、 yi之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出 a 和 b，
所以我们必须有一种判断
测量数据好坏的方法， 用来判断什么样的测量数据不宜拟合，
判断
的方法是| r| r0时， 测量数据是非线性的． r0称为相关系数的起
码值，
与测量次数 n 有关， 如下表 2-６ -2 表 2-6-2 相关
系数起码值 r0
n r0 n r0 n r0 3 1. 000 9 0. 798 15 0. 641 4 0.
990 10 0. 765 16 0. 623 5 0. 959 11 0. 735 17
0. 606 6 0. 917
12 0. 708 18 0. 590 7 0. 874
13 0. 684 19 0. 575 8 0. 834 14
0. 661 20 0.
561 在进行一元线性回归之前应先求出 r 值， 再与 r0
比较， 若| r| r0， 则
x 和 y 具有 数学建模 29 线性关系， 可
求回归直线； 否则反之。
例 9：
灵敏电流计的电流常数 Ki和内阻 Rg的测量公式为
测得的数据同例
7， 其中间处理过程如下， 试
用最小二乘法求出 Ki和 Rg， 并写出回归方程的表达式。
解：
测量公式与线性方程表达式 y＝a+bx 比较：
如表 2-6-3：
表 2-6-3 Rs＝0. 100
R1＝4350. 0 d＝40. 0mm i
1 2 3 4 5 6 7 8 平均值
R2( ) 400. 0 350. 0300. 0 250.
0200. 0150.
0100. 050. 0 225. 0 U(V) 2. 82 2. 49 2. 15 1. 82
数据处理
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1. 51 1. 18 0. 84 0. 56 1. 67125 22R (1042)
16. 00 12. 259.
000 6. 2504. 0002. 2501. 0000.
250 6. 375 U2(V2) 7. 95 6. 20
4. 62 3. 31 2.
28 1. 39 0. 71 0. 31 3. 34625 R2U(102 V) 11.
3 8. 72 6. 45 4. 55 3. 02 1. 77 0. 84 0. 28 4.
615625 中
间过程可多取位：
x ＝1.
67125 y ＝225. 0 2x ＝3. 34625 2y ＝6.
375104 xy ＝461. 5625 相关系数 998.
查表得知， 当
n=8 时， r0=0.
834， 两者比较 rr0， 说明 x、 y(即 U、 R2)
之间线性相关， 可
以求回归直线。
求回归方程的系数 ＝154.
6192304
＝33. ＝-33. 4 代换
＝154. 6192304 Ki＝
dbRRis＝3. 717010-9Amm
计算标准差为：
＝2. 64561902； ＝2. 300545589；
＝
1. 257626418 计算不确定度：
Rg＝＝2 ；
KK＝＝0. 81％； K ＝
0. 0310－9Amm 测量结果表达式
电流计内阻：
Rg＝
数：
K ＝(3. 720. 03) 10－＝0.
5 11
＝6. 1％ 电流常
81％ 回归方程：
R2＝155U－33 5. 计算器在数据处理中的应用
在处理数据时，
不同的计算器的编程方式各不相同， 下面以震旦
AURORA SC180
型计算器为例作以介绍。
（1） 计算标准偏差 S ① 标准偏差 S
的计算器运行公式：
inni 因为 数学建模
31 所以
（只有为 xi单变量）
② 操作步骤和方法
(ⅰ ) 按[MODE][0] 键， 计算器进入单变量统
计计算状态。
屏右上角显示STAT1指示符。
(ⅱ ) 清除内存数据：
按[INV][ONC. CE]键。
(ⅲ) 数据输入：
依次先键入数值， 然后按[DATA] 键， 每完成一次输入的同时，
屏幕均会显示数据的个数
n 值。
(ⅳ) 数据修正：
按[DATA]键之前，
要删除错误数据， 按[ONC. CE]； 按[DATA]
键后要删除错误数据，
再次输入该错误值， 然后按[INV][DEL]。
(ⅴ ) 取分析结果：
[INV] [ x ]：
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平均值
数据和
：
数据平方和 [INV][S]：
测量列的标准偏差 [INV][n]：
数据个数 例 10：
一组等精度测量值为：
83.
1、 83. 3、 83. 3、 83. 7、 83. 9、 83. 6、 83. 4、 83.
4、83. 1、 83. 2， 试求 x 、
解：
按
键 显 示 [MODE][0] ST1 0 [INV] [ONC. CE]
0 83. 1[DATA] n 1 83. 3[DATA] n
2 83. 3[DATA] n
3 83. 7[DATA] n
4 83. 9[DATA] n 5 83. 6[DATA] n
6 83. 4[DATA] n 7 83. 4[DATA] n
8 83. 1[DATA]
、、 S、 n 。
556. 22 0.
262466929 [INV][n] 10
注：
当 n6 时， 认为＝S
。
（2） 最小二乘法求回归直线 ① 求回归直线参量 a、 b、 r
的
计算器运行公式 由(2-6-6) 、 (2-6-7) 、 (2-6-11)
式得到以下只
含 xi、 yi两个变量的公式：
7 11
操作步骤和方法：
(ⅰ )
按[MODE][. ] ， 计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示STAT2指示符。
(ⅱ ) 清除内存数据：
按[INV][ONC. CE]键 (ⅲ) 双变量数据输入：
先键入 x 的值、
按[a] 键， 然后键入 y 的值、 按[b]键，
再按[DATA]键， 完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数， 即 n 值。
(ⅳ) 数据修正：
同单变量数据输入。
(ⅴ ) 取分析结果 [INV][a]：
回归直线的截距 数学建模 33 [INV][b]：
回归直线的斜率 [INV][r]：
相关系数 还可以取以下值：
[INV][ x ] 、 [INV][ y ] 、 [INV][ x]、 [INV] [ x 2]
、
[INV][ y]、 计算器没有该三项的计算程序) 。
、、b例 11：
2] 、 [INV][ xy] ， 以便计算
灵敏电流计实验所测数据如下：
RS＝0. 100 R1＝4350. 0 d＝40. 0mm R2（ ）
400. 0350.
0 300. 0 250. 0200. 0150. 0100. 0
50. 0 U（V） 2. 82 2. 49 2.
15 1. 82 1. 51 1.
18 0. 84 0. 56 要求所使用计算器具有计算最
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小二乘法的功能，
求回归直线以及电流计的电流常数Ki和内阻 Rg。
解：
测量公式
y＝R2 x＝U，则：
按 键 显 示 [MODE][. ]
ST2 0 [INV] [ONC. CE]
0 2. 82{a}
400. 0[b][DATA] n 1 2. 49[a]350. 0[b][DATA]
n 2 2. 15[a]300. 0[b][DATA] n 3
1. 82[a]250.
0[b][DATA] n 4 1.
51[a]200. 0[b][DATA] n 5 1.
18[a]150.
0[b][DATA] n 6 0. 84[a]100. 0[b][DATA] n
7 0. 56[a]50. 0[b] [DATA] n 8 [INV][a]
a -32.
12335698 [INV][b] b 153.
8509241 [INV][r] r 0.
9998323336 查表知道，
当 n＝8 时， r0＝0. 834， rr0， 说明 U、
R2之间线性相关。
得到：
回归方程 R2＝154U－32 电流计内阻
Rg＝电流常
与线性方程表达式 y＝a+bx 比较
数 K＝3.
7410－9Amm 习 题 1． 指出下列测量结果的
有效数字：
(1) I＝5010mA (2) C＝2. 99792458108ms 2． 按四舍
五入
修约法， 将下列数据只保留 3 位有效数字：
(1) 1. 005 (2)
979. 499 (3) 980. 501 (4) 6. 275 (5)
3. 134
3． 单位变换：
9 11
(1) m＝3. 1620. 002kg ＝ g ＝
mg ＝ T (2) ＝(59. 80. 1) ＝(
) ˊ(3)
L＝98. 960. 04cm ＝ m ＝
mm ＝
m 4． 改错并且将一般表达式改写成科学表达式：
(1) Y＝(1. 9610(2) L＝(160000100) m 5．
按有效数字运算
规则计算下列各式：
(1) 10003＋3. 2＝
(3) tg30 115. 78 109)
Nm2 -5＝ (2)
3. 21005ˊ ＝ (4)
＋＝
(5) R1＝5.
10k ， R2＝5. 1010 R＝R1+R2+R3＝
(6) L＝1. 674m-8.
00cm＝ 2 ， R3＝51 。
求：
数学建模 35 6． 求下列公式的不确定度：
＝
数据为：
98. 98cm、 98. 96cm、
98. 97cm、 98. 94cm、 99. 00cm、 98.
95cm、 98.
97cm， 试求 L 、 L， 并写出测量结果表达式 L L。
8．
测量出一个铅圆柱体的直径为 d＝(2. 0400. 001) cm， 高
度为 h＝(4.
1200. 001) cm,质量为 m＝(149. 100. 05) g， 试计
算 、，
并表示测量结果。
＝＝h+3d (4) Z
． 用分度值为 1mm
的米尺测量一物体长度 L， 测得
9． 某同学测量弹簧倔强系数的数据如下：
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F(g)
2. 00 4. 00 6. 00 8. 00 10. 00 12. 00 14. 00 y(cm)
6. 90 10. 00 13. 05 15. 95 19. 00 22. 05 25.
10 其中 F 为弹
簧所受的作用力， y 为弹簧的长度， 已知 y-y0＝(k1) F，
试用作
图法求弹簧的倔强系数 k 及弹簧的原来长度 y0。
10．
用伏安法测电阻时， 测出的数据如下， 试求回归直线，
并求出测量结果 R 值。
I(mA) 2. 00 4. 006. 008. 00 10. 0012. 0014. 0016.
0018.
00 20. 00 U(V) 1. 00 2. 013. 054. 00 5.
015. 996. 988. 009.
00 9. 96 11.
用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量， 测得数
据如下：
R（
）：
12. 06 12. 10 12. 12 12. 15 12. 16
12. 17 12. 19 12.
21 12. 22 12. 25 12. 26
12. 35 12. 42 12. 83 试用
准则判断该测量列中是否有坏值，
计算出检验后的算术平均值
及平均值的标准差， 正确表达测量结果。
11 11