快乐猪八戒-甲方乙方影评

第1章 数学建模概论
随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已 不再局限于传统的物理领
域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。生物、医学、军 事、社会、
经济、管理等各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。
利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型，简
称数学建模，数 学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。从这一意义上讲，数学建模被看
成是科学研究和技术开发的基 础。没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，
所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数 学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。
1.1 数学模型与数学建模
1.1.1 模型的概念
在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有文字、符号、图表、公式、框图等
描述客观 事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。
模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：
1.它是客观事物的一种模 仿或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运
行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进 行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来
表现一个复杂的系统或现象。
2.为了能协助 人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。此外，还应
包括决定其原因和效果的各个要 素之间的相互关系。有了这样的一个模型，人们就可以在模
型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它 们的效果。
模型可以分为实物（形象）模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。< br>对我们来说，最感兴趣的是数学模型。
与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的 原型（原始参照物）。所谓原
型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的 实际系统，如电
力系统、生态系统、社会经济系统等。而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当 地
简化、提炼而构造的一种原型替代物。它不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各
种 层次的特征，模型只反映了与某种目的有关的那些方面和层次的特征。因此，对同一个原
型，为了不同的 目的，可以建立多种不同的模型。例如，作为玩具的飞机模型，在外形上与
飞机相似，但不会飞；而参加 航模竞赛的模型飞机就必须能够飞行，对外观则不必苛求；对
于供飞机设计、研制用的飞机数学模型，则 主要是在数量规律上要反映飞机的飞行动态特征，
而不涉及飞机的实体。
1.1.2 数学模型的概念
在现实世界中，会遇到大量的数学问题，但是，它们往往并不是自然地以现成数学问题
的形式出现的。首先，我们需要对要解决的实际问题进行分析研究，经过简化提炼，归结为
一个 能够求解的数学问题，即建立该问题的数学模型。这是运用数学的理论与方法解决实际
问题关键的一步， 然后，才能应用数学理论、方法进行分析和求解，进而为解决现实问题提
供数量支持与指导。由此可见数 学建模的重要性。
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现实世界的问题往往比较复杂，在从实际问 题抽象出数学问题的过程中，我们必须抓住
主要因素，忽略一些次要因素，作出必要的简化，使抽象所得 的数学问题能用适当的方法进
行求解。
以解决某个现实问题为目的，经过分析简化，从中抽象 、归纳出来的数学问题就是该问
题的数学模型，这个过程称为数学建模。本书所讨论的数学模型主要是指 用字母、数字和其
它数学符号组成的关系式、图表、框图等描述现实对象的数量特征及其内在联系的一种 模型。
一般地说，数学模型可以这样来描述：对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定
的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一
个数学结构。 这里的特定对象，是指我们所要研究解决的某个具体问题，这里的特定的目的
是指当研究一个特定对象时 所要达到的特定目的，如分析、预测、控制、决策等。这里的数
学工具指数学各分支的理论和方法及数学 的某些软件系统。这里的数学结构包括各种数学方
程、表格、图形等等。
1.1.3 数学模型的分类
数学模型的分类方法有多种，下面介绍常用的几种分类。
1.按照建模所用 的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、
概论统计模型、控制论模型等。
2.按照数学模型应用领域的不同，可分为：人口模型、交通模型、经济预测模型、金融
模型、 环境模型、生态模型、企业管理模型、城镇规划模型等等。
3.按照人们对建模机理的了解程度的不同可分为：
（1）白箱模型
主要指物理、 力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这
些方面的数学模型大多已经建立 起来，还需深入研究的主要是针对具体问题的特定目的进行
修正与完善，或者是进行优化设计与控制等。
（2）灰箱模型
主要指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不很 清楚，故
称为灰箱模型。在建立和改进模型方面还有不少工作要做。
（3）黑箱模型
主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型。人们对其机理知之甚少，甚至完全不
清楚，故称为黑 箱模型。
在工程技术和现代管理中，有时会遇到这样一类问题：由于因素众多、关系复杂以及观
测困难等原因，人们也常常将它作为灰箱或黑箱模型问题来处理。
应该指出的是，这三者之间并没有 严格的界限，而且随着科学技术的发展，情况也是不
断变化的。
4.按照模型的表现特性可分为：
（1）确定性模型与随机性模型。前者不考虑随机因素的影响，后者考虑了随机因素的
影响。
（2）静态模型与动态模型。两者的区分在于：是否考虑时间因素引起的变化。
（3）离散模型与连续模型。两者的区分在于：描述系统状态的变量是离散的还是连续
的。
1.1.4 数学建模的重要意义
数学建模越来越受到人们的重视，从以下两个方面可以看出数学建模的重要意义。
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1.数学建模是众多领域发展的重要工具
当前，在国民经济和社会 活动的诸多领域，数学建模都有非常深入、具体的应用。例如，
分析药物的疗效；用数值模拟设计新的飞 机翼型；生产过程中产品质量预报；经济增长预报；
最大经济效益价格策略；费用最小的设备维修方案； 生产过程中的最优控制；零件设计中的
参数优化；资源配置；运输网络规划；排队策略等。数学建模在众 多领域的发展中扮演着重
要工具的角色。即便在一般的工程技术领域，数学建模仍然大有可为。在以声、 光、电机、
土木、水利等工程技术领域中，虽然基本模型是已有的，但由于新技术、新工艺的不断涌现，
产生了许多需要数学方法解决的新问题，而由于计算机的快速发展，使得过去某些即使有了
数学 模型也无法求解的问题（如海量数据的处理）也有了求解的可能，随着数学向诸如经济、
人口、生态、地 质等众多领域的渗透，用数学方法研究这些领域中的内在特征成为关键的步
骤和这些学科发展与应用的基 础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的
模型的余地相当大，数学建模的重要工具和 桥梁作用得到进一步体现。
2.数学建模促进对数学科学重要性的再认识
从某种意义上讲， 说明数学科学的重要性是件容易的事情，从日常生活到尖端技术可以
举出许多例子说明数学为什么是必不 可少的，但常常会发现许多人虽然不反对所列举的例子，
可还是认为数学没有多大用处或者说数学与其生 活和工作没有多大关系。这不仅仅是由于数
学的语言比较抽象不容易掌握，还有传统数学教育重知识传授 轻实际应用以及其他原因。传
统的数学教学比较形式、抽象，只见定义、定理、推导、证明、计算，很少 讲与我们周围的
世界以至日常生活的密切联系，使得数学的重要性变得很空泛。随着计算机革命引起的深 刻
变化，数学与实际问题的结合变得更为密切和广泛，数学建模进入研究生、大学生乃至中学
生 的学习内容，其思想逐渐融入数学主干课程的教学内容中，数学学科的重要性也显得更实
在、更具体。数 学建模在众多学科领域乃至日常生活中的广泛应用促使更多人认识到数学科
学的重要性。
1.2 数学建模的基本方法和步骤
建立实际问题的数学模型，尤其是建立抽象程度较高的 模型是一种创造性的劳动。因此
有人把数学建模看成是一种艺术，而不是一种技术。我们不能期望找到一 种一成不变的方法
来建立各种实际问题的数学模型。现实世界中的实际问题是多种多样的，而且大多比较 复杂，
所以数学建模的方法也是多种多样的。但是，数学建模方法和过程也有一些共性的东西，掌
握这些共性的规律，将有助于数学建模任务的完成。
1.2.1 对数学模型的一般要求
1.要有足够的精确度，就是要把本质的性质和关系反映进去，把非本质的东西去掉，而
又不影响反映 现实的本质的真实程度。
2.模型既要精确，又要尽可能的简单。因为太复杂的模型难以求解，而且如 果一个简单
的模型已经可以使某些实际问题得到满意的解决，那我们就没有必要再来建立一个复杂的模< br>型。因为构造一个复杂的模型并求解它，往往要付出较高的代价。
3.要尽量借鉴已有的标准形式的模型。
4.构造模型的依据要充分，就是说要依据科学规律 、经济规律来建立有关的公式和图表，
并要注意使用这些规律的条件。
1.2.2 数学建模的方法
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数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类：
1.机理分析法
机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等，分析研究对象中各
变量（因素）之间 的因果关系，找出反映其内部机理的规律的一类方法。使用这种方法的前
提是我们对研究对象的机理应有 一定的了解。
2.测试分析法
当我们对研究对象的机理不清楚的时候，可以把研究对象视为 一个“黑箱”系统，对系统
的输入输出进行预测，并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型，这 样的一类方法
称为测试分析法。
3.综合分析法
对于某些实际问题，人们常将上述 两种建模方法结合起来使用，例如用机理分析法确定
模型结构，再用测试分析法确定其中的参数，这类方 法称为综合分析法。
1.2.3 数学建模的一般步骤
数学建模的步骤并没有固定的模式 ，常因问题性质、建模目的等而异。下面介绍的是用
机理分析建模的一般步骤，如图1.1所示。 模型准备
模型假设
模型构成
模型求解
模型应用
模型检验
模型分析

图1.1 数学建模步骤示意图
1.模型准备
要建立现实问 题的数学模型，首先要对需要解决的问题有一个清晰的提法，即要明确研
究解决的问题是什么？建模所要 达到的主要目的是什么？通常，当我们遇到某个实际问题时，
在开始阶段，对问题的理解往往不是很清楚 ，所以，需要深入实际进行调查研究，收集与研
究问题有关的信息、资料，与熟悉情况的有关人员进行讨 论，查阅有关的文献资料，明确问
题的背景和特征，由此初步确定它可能属于哪一类模型等等。总之是做 好建模前的准备工作，
明确所要研究解决的问题和建模要达到的主要目的。
2.模型假设 < br>对所研究的问题和收集的信息资料进行分析，弄清哪一些因素是主要的、起主导作用的，
哪一些因 素是次要的，并根据建模的目的抓住主要的因素，忽略次要的因素，即对实际问题
作一些必要的简化，用 精确的语言作出必要的简化假设。应该说这是一个十分困难的问题，
也是建模过程中十分关键的一步，往 往不可能一次完成，需要经过多次反复才能完成。
3.模型构成
在前述工作的基础上，根据 所作的假设，分析研究对象的因果关系，用数学语言加以刻
划，就可得到所研究问题的数学描述，即构成 所研究问题的数学模型，通常它是描述问题的
主要因素的变量之间的一个关系式或其他的数学表示形式， 在初步构成数学模型之后，一般
还要进行必要的分析和化简，使它达到便于求解的形式，并根据研究的目 的，对它进行检查，
主要是看它能否代表所研究的实际问题。
4.模型求解
选择合适的数学方法求解经上述步骤得到的模型。在多数情况下，我们很难获得数学模
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型的解析解，而只能得到它的数值解，这就需要应用各种数值方法、软件和计 算机。包括各
种数值优化方法，线性和非线性方程组的数值方法，微分方程（或方程组）的数值解法，各
种预测、决策和概率统计方法等，以及各种应用软件系统。当现有的数学方法还不能很好解
决所 归纳的数学问题时，就需要针对数学模型的特点，对现有的方法进行改进或提出新的方
法以适应需要。
5.模型分析
对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵 敏度分
析、对假设的强健性分析等。
6.模型检验
把求解的分析结果翻译回到实际 问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和
适用性，如果结果与实际不符，应该修改、补充假 设，重新建模，如图1.1中的虚线所示。
7.模型应用
模型应用就是把经过多次反复改进 的模型及其解应用于实际系统，看能否达到预期的目
的。若不够满意，则建模任务仍未完成，尚需继续努 力。
应当指出，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么
分 明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班。
1.2.4 几个需要注意的方面
对于给定的实际问题（原型），为了建立合理的模型，需要注意一下几个方面：
（1）根据需 要对原型作一些合理的假设。一个原型，常有众多的特性，这些特性所具
有的数量特征，常与众多的因素 有关。在一定的条件下，有的因素是主要的和本质的；有的
因素是次要的和非本质的；有的因素与我们所 考虑的数量特征之间遵循某种理论规律（如物
理学中的定律）；有些因素却没有理论规律可以遵循（如地 面上运动物体的速度与空气阻力
之间的关系）。为了获得可靠的并且通过计算机可以得到必要解答的数学 模型，必须对原型
作出适当的假设。例如，为了突出主体，可以略去那些次要的非本质的因素，达到简化 的目
的；又如，对那些没有理论规律可以遵循的关系，做出明确的假设，达到确定化目的。但所
有假设都必须是合理的，即符合或近似地符合自然规律。
（2）恰当地使用数学方法。很多数学方法可 以用来建立实际问题的数学模型。然而，
对于一个给定的原型，并非一切数学方法都是适用的。一般说来 ，对于不确定性问题常适宜
于用概率统计等数学方法；对于确定性问题常适宜于用微分方程或代数方程等 数学方法。例
如，我国1992年大学生数学建模竞赛中的A题—施肥效果分析，因为所给实验数据具有 随
机性，只宜建立不确定性模型，如使用回归分析方法等。因此，在建立数学模型之前，对原
型 作确定性与非确定性判断，再确定数学方法是非常重要的。此外，变量取连续值的模型，
称为连续型模型 ；变量取离散值的模型称为离散型模型。因为计算机的发展，直接以原型建
立起离散模型（如差分方程模 型）或对已建立的连续型模型寻找合理的离散方法，达到能使
用计算机进行计算的目的，已成为当今科学 计算方面的一个热门课题。
（3）对建立起来的模型进行必要的分析和检验。怎么判断在建模过程中所 作的假设是
合理的，使用的数学方法也是恰当的呢？一种有效的方法就是对建立起来的模型进行分析检< br>验。当使用不确定性数学方法建模时，方法本身的适用性要进行检验。例如，在进行回归分
析时， 要作回归效果的显著性检验；在作判别分析时要作判别效果的检验等。在使用确定性
方法建模时，通常并 没有完整的适用性检验方法，但仍需对所得结果进行分析，看是否与实
际情况相符。例如，在使用微分方 程或差分方程建立数学模型时，常希望某些平衡解能具有
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稳定 性，这需要对平衡解作稳定性分析。总之，任何一个数学模型，都应进行分析和检验，
以确定它是否能反 映现实原型的有关特征。
1.3 数学建模与能力培养
数学建模活动要求大学师生对范围 并不固定的各种实际问题予以阐明，分析并提出解法，
鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过 程。这种贴近实际的教学活动形式对传统
的教学模式形成了巨大的冲击，对现时期的数学教学改革产生了 深远的影响。教学中应更加
重视学生在教学活动中的学习主体地位，充分发挥学生的主观能动性，通过学 生的积极参与
来完成学生的能力培养和更高的教学目标的实现。在启发式教学的基础上，进一步强调教学
过程中的交互活动，通过提升学生在教学活动中的主动性实现教学活动的有效性。自学加串
讲、 “研讨式”教学、学生专题报告等多种教学形式都可以引入教学过程中，各种教学方法的
综合使用能提升 教学的针对性，多媒体等现代化手段的使用以及教学软件的结合确保数学建
模教学活动的有效性和完整性 。
在数学建模教学中，要注意对以下能力的培养。
（1）翻译能力，即把经过一定抽象、简 化的实际问题用数学的语言表达出来形成数学
模型（即数学建模的过程），对应用数学的方法进行推演或 计算得到结果，能用“常人”能懂
的语言“翻译”（表达）出来。在美国大学生数学建模竞赛的问题中曾 经有这样的要求，MCM93
问题A中就明确提出，“除了按竞赛规则说明中规定的格式写的技术报告外 ，请为餐厅经理
提供一页长的用非技术术语表示的实施建议”。
（2）综合应用与分析能力。 应用已学到的数学方法进行综合应用和分析，并能理解合
理的抽象和简化，特别是进行数学分析的重要性 。因为在数学建模中数学是我们的工具，要
在数学建模中灵活应用，发展使用这个工具的能力。有了数学 知识，并不意味着你就自动会
使用它，更谈不上能灵活地、创造性地使用它，只有多加练习，多方思考才 能逐步提高运算
能力。
（3）联想能力。因为对于许多完全不同的实际问题，在一定的简化层 次下，它们的数
学模型是相同的或相似的，这正是数学的应用广泛性的表现。这就是要培养学生有广泛的 兴
趣，多思考，勤奋踏实工作，通过熟能生巧而逐步达到触类旁通的境界。
（4）洞察能力。 通俗地讲就是一眼就能抓住（或部分抓住）要点的能力。为什么要发
展这种能力？因为真正的实际问题的 数学建模过程的参与者（特别是在一开始）往往不是很
懂数学的人，他们提出的问题（及其表达方式）更 不是数学化的，往往是在和你交谈过程中
由你“提问”、“换一种方式表达”或“启示”等方式（这里往 往表现出你的洞察力）使问题逐渐
明确的。搞实际工作的人一般很愿意与洞察力较强的数学工作者打交道 。
（5）熟练使用技术手段的能力。目前主要是使用计算机及相应的数学软件，这有助于
节省 时间，并有利于进一步开展深入的研究。
（6）科技论文的写作能力。科技论文的写作能力是数学建模 的基本技能之一，也是科
技人才的基本能力之一，是反映科研活动所做工作的重要方式。通过论文可以让 人了解用什
么方法解决了什么问题，结果如何，效果怎么样等。
数学建模还可以促进其他一些 能力的培养，如获取情报信息的能力，自我更新知识的能
力，团结协作的攻关能力等。开展好数学建模教 学，有一些问题是必须解决好的，如教师要
提高计算机及软件应用能力，注意与实际工作者的合作等。
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习题1
1.1 举出两三个实例说明 建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，
需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模 型等。
1.2 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，要考虑哪些有重要影响的变量。
（1）一家商场要建一个新的停车场，如何规划照明设施。
（2）一农民要在一块土地上作出农作物的种植规划。
（3）一制造商要确定某种产品的产量及定价。
（4）卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效。
（5）一滑雪场要进行山坡滑道和上山缆车的规划。
1.3 怎样解决下面的实际问题，包括需要哪些数据资料，要做哪些观察、试验以及建
立什么样的数学模型等。
（1）估计一个人体内血液的总量。
（2）为保险公司制定人寿保险金计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）。
（3）估计一批日光灯管的寿命。
（4）确定火箭发射至最高点所需要的时间。
（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度。
（6）为汽车租赁公司制定车辆维修、更新和出租计划。
（7）一高层办公楼有4部电梯，上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划。
1.4 为 了培养想像力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要
从侧面或反面思考。试尽可 能迅速地回答下面的问题：
（1）某甲于早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00 到达山顶并留宿。
次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店，某乙说，甲必在两天中的同 一时刻经过
路径中的同一地点，为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场 的每两支球队中的胜者及轮空者进入
下一轮，直至比赛结束，问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比 赛。如果是
n
支球队比
赛呢。






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第2章 初等模型
初等模 型是指运用初等数学知识如函数、方程、不等式、简单逻辑、向量、排列组合、
概率统计、几何等知识建 立起来的模型，并且能够用初等数学的方法进行求解和讨论。对于
机理比较简单的研究对象，一般用初等 方法就能够达到建模目的。但衡量一个模型的优劣，
主要在于它的应用效果，而不在于是否采用了高等数 学方法。对于用初等方法和高等方法建
立起来的两个模型，如果应用效果相差无几的话，那么受到人们欢 迎和被采用的一定是初等
模型。
2.1 人行走的最佳频率
2.1.1 问题的提出
行走是正常人每天工作、学习以及从事其他大多数活动的一项肢体运动。人行走时的两个基本动作是身体重心的位移和腿部的运动，所做的功等于抬高身体重心所需的势能与两腿
运动所需 的动能之和。试建立模型确定人行走时最不费力（即做的功最小）所应保持的最佳
频率。
2.1.2 模型假设
1.基本假设
（1）不计人在行走时的空气阻力。
（2）人行走时所做的功为人体重心抬高所需的势能与两腿运动所需的动能之和。
（3）人的行走速度均匀。
2.符号及变量
l
：腿长；
d
：步幅；

：人体重心位移；
v
：行走速度；
m
：腿的质 量；
M
：人体质
量；
g
：重力加速度；
u
：两腿运 动动能；
W
：人行走所做的功；
n
：人的行走频率。
2.1.3 模型建立
1.重心位移的计算
人行走时重心位置的升高近似等于大腿根部位置的升高，如图2.1所示。
A
ll
A


l
2
(d2)
2
d2
图2.1 人行走时重心位置的变化示意图
由图2.1容易看出，人行走时重心位置的位移为


ll(d2)
22
4ll(d2)
15


d
2
22

，

由于
d l
，则
l
2
(d2)
2
l
，从而

2.两腿运动功率的计算
人的行走是一种复杂的肢体运动，下面主要基于两种不同的假设计算行走时两腿运动的
功率。
补充假设1 将腿等效为均匀直杆，行走设为两腿绕髋部的转动。
由均匀直杆的转动惯量计算公式，得到行走时两腿的转动惯量为

于是两腿的转动动能为

u
1
2
1
2
J

mv
.
26
1
Jml
2
.
3
d
2


.
8l
(2.1)
而人每行走一步所需时间为
tdv
，则单位时间内两腿的运动动能亦即运动功率为

umv
3
.
p
t6d
(2.2)
补充假设2 将行走视为脚的匀速直线运动，腿的质量主要集中在脚上。此时，两腿的
运动功率为

3.模型建立
相应于上面两个补充假设，可分别建立如下模型：
（1）均匀直杆模型
由于人的行走频率等于单位时间内行走的步数，所以
vnd< br>，从而得到两腿的运动功率
1
为
mn
3
d
2
。单位时间内人体重心抬高所需的势能为
6
umv
3
.
p
t2d
(2.3)

d
2
nMgd
2
.
nMg

nMg
8l8l
最后即得单位时间内人行走所做的功为

（2）直线运动模型
类似地，可得单位时间内人行走所做的功为
1
32
nMgd
2
d
2

3
Mg
Wmndn

.

mn
28l2

4l

1
32
nMgd
2
d
2

1
3
Mg

Wmndn

.

mn
68l2

34l

(2.4)
(2.5)
2.1.4 模型求解与分析
1.模型求解
（1）均匀直杆模型
易得

d
2
W
2
mn
3
Mgn

1
3
Mg

2
，
n

d

mn
34l34l

16

3Mg
mn
3
Mgn
当且仅当， 即
n
时，所做的功最小。

4ml
34l
（2）直线运动模型
类似地，可得当
mn
3

2.模型分析
根据上面求解出的 行走频率计算公式，可看出人做功最小（即最省力）时的行走频率只
与人体质量、腿的质量以及腿长有关 ，而与步长无关。
Mgn
，即
n
4l
Mg
时，所做的功最小。
4ml
2.2 代表名额的公平分配
2.2.1 问题的背景与提出
数学向各个领域的渗透可以说是当代科学发展的一个显著特点，代表名额的分配问题就
是数学在人类政治 活动中的一个应用。它起源于西方所谓的民主政治问题，美国宪法第1
条第2款指出：“众议院议员名额 ……将根据各州的人口比例分配……”。美国宪法从1788
年生效以来，200多年中，美国的政治家 和科学家们就如何“合理公正”地实现宪法中所规定
的分配原则展开了激烈的争论。虽然设计并实践了许 多方法，但没有一种方法能够得到公众
普遍的认可。
这个问题可用数学语言表达为：设第i
方人数为
p
i
(i1,2,L,s)
，总人数
p

p
i
，待分
i1
s
配的代表名额为
n
，问题是如何寻找一组相应的整数
n
i
(i1,2,L,s)
，使 得
n

n
i
，其中
n
i
i1
s
为第
i
方获得的代表名额，并且“尽可能”地接近
q
i
 np
i
p
，即按人口比例分配应得的代表
名额。
2.2.2 Hamilton方法
假设某校有甲、乙、丙3个系组成，分别有学生100名、60名和40名，校 学生会现设
20个代表席位，问应如何公平分配？简单的办法是按各系学生人数的比例进行分配，显然< br>甲、乙、丙三系分别应占有学生会10，6，4个代表名额。现在如果从丙系分别转入甲、乙
两系 各3名学生，则此时各系人数如表2.1的第2列所示。如果仍按比例（表中第3列）分
配就将出现小数 （表中第4列），而代表名额又必须是整数，怎么办？一个自然的想法就是：
对
q
i< br>“四舍五入取整，或截尾取整”。这样的话，将导致名额多余，或者名额不够分配。
表2.1 学生会名额的分配
20个席位的分配 21个席位的分配
学生 学生人数
人数 的比例%
比例分配的席位 H-方法的结果 比例分配的席位 H-方法的结果
甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11
乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙 34 17 3.4 4 3.57 3
总和 200 100 20 20 21 21
系别
为此，美国开国元勋、第一位财政部长A. Hamilton（1757-18 04）于1790年提出了解
决代表名额分配问题的一种方法，并于1792年被美国国会通过。
Hamilton方法的具体操作过程如下：
17

（1 ）先让各州取应得份额
q
i
的整数部分
[q
i
]
。
（2）让
r
i
q
i
[q
i
]
按照从大到小的顺序排列，将余下的议员名额逐个分配给各相应的
州，即小数部分最大的州优先获得余下 名额的第一个，次大的取得余下名额中的第二个，以
此类推，直到名额分配完毕。
于是根据H amilton方法，3个系的20个学生会席位的名额分配结果见表2.1的第5列。
由于20个席位 的代表会议在表决提案时可能出现10:10的僵持局面，学生会决定在下一届
增加1个席位，问此时又 应如何分配？按照Hamilton方法重新分配21个席位，计算结果见
表2.1第7列，显然新结果 对丙系是不公平的，因为总席位增加了1席，而丙系却由4席减
为3席，显然是不合理的。这反映出Ha milton方法在代表名额分配时存在严重缺陷，必须
加以改进。
2.2.3 相对不公平度和
Q
值法
那么如何改进Hamilton方法呢？数学家（Hunti ngton）从不公平度的角度提出了另一种
代表名额的分配方法。
“公平”是一个模糊的概 念，因为绝大多数情况下现实世界没有绝对的公平。因此，必须
从数学的角度给“公平”或“不公平”赋 以某一量化指标，以之来衡量“公平”或“不公平”的程度。
对于某一群体
(p
1< br>,p
2
,L,p
s
)
及其代表名额分配方案
(n1
,n
2
,L,n
s
)
，当且仅当
p
i
p
(i1,2,L,s)
全相等时，分配方案才是公平的，这里
i
表示第
i
方的每名代表所代表的群
n
i
n
i
体人 数。但是，由于人数和代表数必须是整数，
p
i
一般不会相等，这说明名额分配不公平 。
n
i
为叙述方便，以
s2
为例说明。设
A、B
两方人数分别为
p
1
和
p
2
，占有的席位数分别
为
n
1
、n
2
，则两方每个席位代表的人数分别为
p
1
p
2
pp
,
，通常当
1

2
时，说明
A,B
两方的
n
1
n
2
n
1n
2
代表名额严格按双方的人数比例分配，因此认为分配是公平的。
如果
p
1
p
2
pp

，即对
A
方不公平，此 时不公平程度可用数值
1

2
衡量，称为对
A
方
n
1
n
2
n
1
n
2
的绝对不公平度。它衡量 的是不公平的绝对程度，通常无法区分两种程度明显不同的不公平
情况。如表2.2所示，群体
A,B
与群体
C,D
的绝对不公平程度相同，但常识告诉我们，后面
这种情况 的不公平程度比起前面来已经大为改善了。因此，“绝对不公平”也不是一个好的衡
量标准。
表2.2 绝对不公平度
群体
A

B

人数
p

150
100
1050
1000
名额
n

10
10
10
10
C

D

p
1
p
2

，称
n
1
n
2
p

n
15
10
105
100
p
1
p
2


n
1
n
2
5
5
这时自然想到使用相对标准，下面给出相对不公平度的概念。
若

18

p
1
p
2

n
1
n
2

r
A
(n
1
,n
2
)
p
2n
2
(2.6)
为对
A
方的相对不公平度。类似地，若
p
2
p
1
，则称

n
2
n
1

p
2
p
1

n
2
n
1

r
B
(n
1
,n
2
)
p
1n
1
(2.7)
为对
B
方的相对不公平度。
现在的问题是，当总名额再增加一个时，应该给
A
方还是
B
方？
不失一般性，不妨设
下两种情况讨论。
（1）若
p
1
p< br>
2
，这说明给
A
方即使再增加一个名额，对
A
方还 是不公平，故增加的
n
1
1n
2
p
1
ppp
2
，这说明增加一个名额给
A
方后，变为对
B
方不公 平，但同时
1

2
n
1
1n
2
n
1
n
2
p
1
p
2

，这时对
A
方不公平，当再增加一个名额时，则可分为以
n
1
n
2
名额 应该给
A
方。
（2）若

p
2
，说明将增加的一 个名额给
B
方，对
A
方又变为不公平，那增加的一个名额到底应
n< br>2
1
该给哪一方呢？
此时，就必须要计算
A,B
两方的相对不公平度。
（1）若
rB
(n
1
1,n
2
)r
A
(n
1
,n
2
1)
，说明对
B
方的相对不公平度要小于
A
方，则增加的一
个名额应该给
A
方。
（2）若
r
B
(n
1
1,n
2
)r
A
(n
1< br>,n
2
1)
，则增加的一个名额应该给
B
方。
注 意条件
r
B
(n
1
1,n
2
)r
A< br>(n
1
,n
2
1)
等价于

2
p
2
p
1
2

.
n
2
(n
2
1)n
1
(n
1
1)
(2. 8)
而且容易验证由情形（1）可推出上式成立。从而可得结论：当式(2.8)成立时，增加的一个
名额应该给
A
方；否则，应该给
B
方。
将上述方 法推广到一般情况：设第
i
方的人数为
p
i
，已经占有
n< br>i
个代表名额，
i1,2,L,s
。
当总的代表名额增加一个时计算

p
i
2
Q
i

.
n
i
(n
i
1)
(2.9)
并将增加的名额分 配给
Q
值最大的一方，这种方法称为
Q
值法或Huntington方法。
实际上，在
Q
值法中，我们作了如下两个假设：
（1）每一方都享有平等的名额分配权利。
（2）每一方至少应该分配到一个名额，如果某一 方一个名额也分不到的话，则应把它
剔除在分配范围之外。
设有
s
个群体、
n
个代表名额，
ns
。则
Q
值法的一般步骤如下：
19

（1）每个群体分配一个代表名额。
p
i
2
（2）计算
Q
i
(i1,2,
L
,s)，若
Q
k
maxQ
i
，则第
s1
个代表名 额分配给第
k
个群
1is
12
体。
2
p< br>k

（3）计算
Q
k

，再将
Q
k

与（2）中的各
Q
i
(i1,2,L,k1,k1,L,s )
比较，并将第
s2
23
个代表名额分配给
Q
值最大的 个体。
（4）重复步骤（3），直至
n
个代表名额分配完毕。
下面我们用
Q
值法为甲、乙、丙3个系重新分配21个代表名额，计算结果见表2.3。表
2.3 的第二列后第二行后的单元格内含两个数字，括号外的数字为各系在不同状态下相应的
Q
值，括 号内的数字表示第几个名额分配给了相应的系。注意在第二行中，
Q
值设为

，
这表示甲、乙、丙3个系一开始即各自分得一个代表名额（根据
Q
值法的步骤（1 ））。
表2.3 学生会名额的
Q
值法分配方案

p
i
2
(01)

甲系（
p
1
103
） 乙系（
p
2
63
） 丙系（
p
3
34
）
(1)

5304.5(4)
1768.2(6)
884.1(7)
530.5(10)
353.6(11)
252.6(13)
189.4(16)
147.4(17)
117.9(19)
96.4(20)
80.4
(2)

1984.5(5)
661.5(8)
330.8(12)
198.5(14)
132.3(18)
94.5





(3)

578(9)
192.7(15)
96.3(21)
57.8







p
i
2
(12)

p
i
2
(23)

p
i
2
(34)

p
i
2
(45)

p
i
2
(56)

p
i
2
(67)

p
i
2
(78)

p
i
2
(89)

p
i
2
(910)

p
i
2
(1011)

p
i
2
(1112)

计算的MATLAB程序如下：
clc, clear, format long g
p=[103,63,34]; N=21; n=ones(1,3); Q=p.^2.(n.*(n+1));
m=[1,2,3]; k=3; %k为已分配代表个数
show=[n;m;Q] %显示各群体分配的代表个数，分配的次序及Q值
while k [mQ,ind]=max(Q); %找Q的最大值及最大值的序号
k=k+1; n(ind)=n(ind)+1; m(ind)=k;
Q(ind)=p(ind)^2(n(ind)*(n(ind)+1));
show=[n;m;Q]
end
format %恢复到短小数的显示格式
由表2.3可以看出：
Q
值法首先计算各群体的
Q
值
< br>Q
(m)
i
p
i
2
(m1,2,
L)
.
m(m1)
然后将这些
Q
值按由大到小排序，最后即得 代表名额的分配方案。
20

2.2.4 模型的公理化研究
上面我们在发现了Hamilton分配方法的弊端之后，按照相对不公平度最小的原则，提
出 了
Q
值法（Huntington分配方法）。当然，如果承认相对不公平度是衡量公平分配的 合理
指标，那么
Q
值法就是好的分配方法。但是，还可以有其他衡量公平的定量指标及 分配方法
（如习题1），所以有人想到，能否先提出一些人们公认的衡量公平分配的理想化原则，然后看看有哪些方法满足这些原则。
设第
i
方群体人数为
p
i< br>(i1,2,L,s)
，总人数
p

p
i
，待分 配的代表名额为
n
，理想化
i1
s
的代表名额分配结果为
n
i
，满足
n

n
i
，记
q
i
n
i1
s
p
i
，显然若
q
i
均为整数，则应有
n
i
q
i
，
p
以下研究q
i
不全为整数的情形。
一般地，
n
i
是
n
和诸
p
i
的函数，记
n
i
n
i
(n,p
1
,p
2
,L,p
s
)
。
1974年，两位学者巴林斯基（Balinsky M.L.）与杨（Young M.H.）首先在 名额分配问题
的研究中引进了公理化方法就是事先根据具体的现实问题给出一系列合理的约束，称之为< br>“公理”。然后运用数学分析的方法证明哪一个数学结构或者合适的函数或关系能满足所给定
的公 理，或者运用逻辑的方法去考察这些公理之间是否相容。如果不相容，则说明符合这些
公理的对象并不存 在。下面是他们关于名额分配问题提出的5条公理：
公理I（人数单调性）某一方的人口增加不会导致 其名额减少，即
n
固定时，若
p
i
p
i

，
p
j
p
j

(ji)
，则
n< br>i
n
i

。
公理II（名额单调性）代表总名额的增加不会使某一方的名额减少，即


得的份额。
公理V（无偏性）在整个时间上平均，每一方都应得到其分摊的份额。
从对模型的检验与分析可以看出，上面讨论的两种代表名额分配方法都有其自身的不足，
Hamilto n方法满足公理I，但不满足公理II；
Q
值法满足公理II却不满足公理I。
19 82年，Balinsky和Young证明了关于名额分配问题的一个不可能性定理，即不存在
完全满 足公理I~V的代表名额分配方法，从而为这一争论画上了问号。
n
i
(n,p1
,p
2
,L,p
s
)n
i

(n 1,p
1
,p
2
,L,p
s
)
.
公理III（公平分摊性）任一方的名额都不会偏离其按比例的份额数，即
[q
i< br>]n
i
[q
i
]1,i1,2,L,s
.
公理IV（接近份额性）不存在从一方到另一方的名额转让而使得它们都接近于各自应
2.3 称重问题
在现行“人教版”小学数学五年级（上）教材中有这样一个称重问题：在一堆零件中有一个是次品，用天平作为度衡工具，至少需要几次才能将次品找出来？称重问题属于组合优化
的范畴， 主要包括两类：一是在砝码数目一定的条件下，使能称出的质量最多；二是使称重
的次数最少？
2.3.1 第一类称重问题
例2.1 在天平上要称出1~40g的不同整数克数的物体，至少需要多少个砝码？
21

众所周知，用天平称物体质量的方法有两种：
（1）直接法：在天平的一边放 置待称重的物体，天平的另一边放置一定数量的砝码，
当天平平衡时，砝码质量之和即为物体的重量。
（2）间接法：在天平的两边均放置砝码，当天平平衡时，将不放物体的盘内砝码质量
和减去放 物体的盘内砝码质量和，所得的差即为物体的质量。
1.直接法
意大利数学家塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia，1499~1557）分别用重1g ，2g，4g，8g，
16g，32g的6个砝码给出了上述问题的一个解答，即1~40g中的任意一 个整数克数的质量
都可以表示成这6个砝码中的若干个之和。例如，

27g=1g+2g+8g+16g
，
事实上，用上述6个砝码可以称出1~63g内的任意一个整数克数物体的质量。
一 般地，运用直接法以及质量分别为
1g,2g,
L
,2
n1
g的
n
个砝码可以称出
1~(12L2
n1
)
g 内即
1~(2
n
1)
g内的任意整数克数物体的质量。
2.间接法
法国数学家梅齐利亚克（Bachet de Méziriac，1581~1638）于1624年用间接法提出了对
该问题的一个解法：
（1）要称1g，必须有质量为1g的砝码。
（2）要称2g，必须有质量为2g的砝码，用 1g，2g的砝码可以分别称出1g，2g，3g
的物体；但是用1g，3g的砝码可以分别称出1g， 2g，3g以及4g的物体。换言之，用1g，
3g的砝码可以称出1~(1+3)g即1~4g任意一 个整数克数的物体。
（3）类似地，可得出结论：如果再添加一个9g的砝码，就能称出1~(1+3 +9)g即1~13g
任意一个整数克数的物体；如果再添加一个27g的砝码，就能称出1~(1+3 +9+27)g即1~40g
任意一个整数克数的物体。
一般地，运用间接法以及质量分别为
1g,3g,
L
,3
n1
g
的
n
个砝码 可以称出
1~(13L3
n1
)
g即
1~
1
n
(31)
g的所有整数克数的物体质量，而且此时所用砝码的个数
2
是 最少的。
2.3.2 第二类称重问题
例2.2 有95颗钻石，已知其中有1颗是假 的，而且假的钻石除质量与真的不一样外，
其他完全相同。问用天平称重来鉴定钻石的真伪，最少需称多 少次？
我们假设，所有真钻石在外观、色泽、质量等物理特征上毫无差异。
一般地，分下面3种情况展开讨论。
情形1 真假钻石轻重已知，即真钻石要么比假钻石重，要么比假钻石轻。
假如，有9颗钻石（有且仅有1颗是 假的），把它们均分为三堆。先将其中两堆称重，
如果重量相同，那么假的在第三堆中；如果重量不同， 则称重的两堆中必有一堆含假的钻石。
再在含假的那堆中取两颗称重，如同重，则第三颗是假的；如不同 重，两颗中必有一颗是假
的（由于已知真假钻石在质量上的差异性，故而假钻石已经找出）。因此，此时 两次称重即
可找出假钻石。将上述情况推广，可知最多称重
n
次可在
3
n
颗真假钻石堆（有且仅有1颗是
假的）中鉴别哪颗是假的。
22

情形2 真假钻石轻重未知，但有一袋数量足够多的真钻石做砝码。
先考虑直接将情形2转化为情形1，再讨论其改进结果。
命题1 如果另有一袋钻石做砝码 ，称重
n1
次必可在
3
n
颗钻石中鉴别出假钻石。
事实 上，将真假掺杂的钻石（尤其仅有1颗是假的）与相同数量的真钻石一起称重，即
可知真假钻石在质量上 孰轻孰重，此时即将情形2转化为情形1。因此，最多称重
n1
次必
可在
3
n
颗钻石中鉴别出假钻石。
下面讨论更进一步的结论。
例如，有5颗钻石 ，分为两堆：一堆3颗，一堆2颗。将3颗与真钻石比重，若同重，
则假的在2颗那一堆中，继续称1次 即可知道哪颗是假的（只需从中任取一颗与真钻石一起
放在天平的两端称重，若不同重，则其本身必为假 的；若同重，则2颗中的另一颗是假的），
因此，称重2次即可找出假钻石。若不同重，则假的在3颗那 一堆中（同时即知真假钻石的
轻重），运用情形1的结论，再称1次即可，同样称重2次可鉴别出假钻石 。
又如，现有14颗钻石，分为两堆：一堆9颗，一堆5颗。将9颗与真的比重，若同重，
则 假的在5颗那一堆中，由上面的示例，可知此时称重3次可得结果。若不同重，则假钻石
必在9颗这一堆 中（同样已知真假钻石的轻重），由情形1，同样称重3次可鉴别出假钻石。
以此类推，称重4次可在 41颗钻石中鉴别出假钻石、称重5次可在122颗钻石中鉴别
出假钻石（如何分堆？请读者思考？）等 。
命题2 若另有一袋真钻石做砝码，则称重
n
次可在

颗钻石中鉴别出假钻石。
由于
3
证明。
证
n1,2,3
，由前面的两个示例可知命题2为真。
假设
nm
时命题为真，即称重
m
次可在
(13
m
)
颗钻石中鉴别出 假钻石。
当
nm1
时，先将
(13
m1
)
颗钻石分为两堆：
3
m
颗和
(13
m
)
颗。再 将
3
m
颗与真钻
石比较轻重，若同重，则假钻石在
(13
m
)
颗钻石堆中，此时由归纳假设，继续称重
m
次即
可找出假钻石。 若不同重，则假钻石在
3
m
颗钻石堆中（同时亦已知道真假钻石的轻重），由
情形1的结论，最多继续称重
m
次即可找出假钻石。因此，称重
m1
次必可 在
(13
m1
)
颗
钻石中找出假的。
最后，由数学归纳法原理即知命题2为真。
情形3 真假钻石轻重未知，也没有真钻石做砝码。
例如，现有11颗钻石，将其分为3堆：一堆5颗，其余两 堆各3颗。先称后面两堆，
若同重，则假的在5颗那一堆中，此时后面两堆均可以作为砝码（即已转化为 情形2），根
据命题2，继续称重2次可在5颗中找出假钻石。若不同重，则5颗那堆全是真的，再将两
堆中重的那堆与真钻石比较重量，如果同重，则轻的那堆中含假钻石（同时，假钻石比真的
轻） ，问题即转化为情形1，最后再称重1次可找出假的。否则，假钻石在重的那堆中（假
23

n1
11333L3
23n1
13
n


2
13
n
，因此命题2改进了命题1的结果。下面运用数学归纳 法给出命题2的

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2

钻石比真的重），同样再称重1次可找出假的。总 之，称重3次必可找出11颗中的假钻石。
命题3 真假钻石轻重未知，也没有真钻石做砝码，则称重
n
次可在

颗钻石中鉴别出假钻石。
143
n2
3
n1
1 3
n1
n2
证 将颗钻石分为三堆，两堆
3
和一堆，将两堆
3
n2
颗钻石称
2
2
重，分为两种情况：
3< br>n2
3
n2
13
n1
143
n2< br>3
n1


22
（1）若同重，则两堆均为真的，从而 可作为砝码，于是问题即转化为情形2，由命题2
可知结论成立。
13
n1（2）若不同重，则颗那堆钻石全为真的。再将
3
n2
颗重的那堆与真钻石比较 重
2
量，如果同重，说明轻的那堆中有假钻石（而且假钻石比真的轻），由情形1，最多继续称
重
n2
次可找出假钻石。如果不同重，说明重的那堆中有假钻石（而且假钻石比真的 重），
同样由情形1，最多继续称重
n2
次可找出假钻石。
总之，称重
n
次即可鉴别出假钻石。
现在回到例2.2，
953
3
3
3
(1133
2
3
3
)
，把两堆27颗钻石在天平上比较重量，
若同重，表示其余41颗钻石有假，由命题2即知最多 再称重4次可找出假钻石。若不同重，
则其余41颗钻石都是真的，从中任取27颗与两堆中重的那堆比 较，由命题3的证明可知继
续称重3次可找出假钻石。因此，最多称重5次可找出95颗钻石中的假钻石 。
上述问题虽然是初等的称重问题，但与信息论有着密切的关系。如果利用信息论的思想
和技 术，问题会变得十分简单，有兴趣的读者可参考相应的文献资料。
2.4 效益的合理分配
在经济活动中，若干经济实体（如个人或企业等）间的相互合作，常常能比他们单独经
营时获得更多的 经济效益。确定合理的效益分配方案是促成各方开展长远合作的基本前提之
一。这也是合作博弈所研究的 内容。
设
n
个经济实体各自单独经营时的效益分别为
x
1
,x
2
,L,x
n
(x
i
0,i1,2,L,n)，联合经营
时总效益为
x
，且
x

x
i。问应该如何合理分配效益？
i1
n
分配原则：合作经营时各成员的效益应高于各自单独经营时的所得。
最简单的分配方法：各经济实体依据各自单独经营的效益水平获得相应比例的效益份额
*
x
k
x
x
k

x
i1
n
(k1,2,
L
,n)
.
i
然而实际情况并非如此简单，下面看一个简单例子。
例2.3 设乙、丙两人受 雇于甲经商，并已知甲单独经营每月可获利1万元，乙、丙单
独经营时每月获利都为0，只雇乙每月可获 利2万元，只雇丙每月可获利3万元，乙、丙都
雇佣每月可获利4万元。问应如何合理分配这4万元的收 入？
根据例2.3中所给条件，单独经营时，甲获利
x
1
1
（单 位：万元，下同），乙获利
x
2
0
，
丙获利
x
3
0
；联合经营时，总效益
x4
。如果按照上面的简单方法，甲、乙、丙三 人分配
24

的效益份额分别为

显然这是不合理的。
***
假设在某一合理的分配原则下，甲、乙、丙三人分配应得 的效益份额分别为
x
1
，
,x
2
,x
3
1 00
***
x
1
44
，
x
2
=4 =0
，
x
3
=4=0
，
111
则应满足 ***

x
1
x
2
x
3
4,< br>
**

x
1
x
2
2,

**
xx3,

13

x
*
 1,x
*
0,x
*
0.
23

1
(2.10)
式(2.10)的解并不是唯一的，例如
(2.5,1.5,1)、(2.4, 0.6,1)
以及
(2r,1r,1)(0r1)
均为
其解。
这类问题称为
n
人合作对策，L. S. Shapley在1953年给出了解决该问题的一种方法，称
为Shapley值方法。现介绍如下。
定义2.1 设有集合
I{1,2,L,n}
，若对任何子集
SI，对应一个实值函数
v(S)
满足
（1）
v(

)0
，
（2）当
S
1
IS
2


时，有

v(S
1
US
2
)v(S
1
)v< br>2
(S
2
)
， (2.11)
称
[I,v]
为
n
人合作对策，
v
为对策的特征函数。
这里
I
可以是
n
个人或经济实体的集合，以下只理解为
n
人集合，
S为
n
人集合中的任
一种合作，
v(S)
为合作
S
的效益函数。
定义2.2 合作总获利
v(I)
的分配（与
v
有关）定义为

φ(v )


1
(v),

2
(v),L,

n
(v)

，
这里

i
(v)
为局中人
i
所获得的收益。 为确定
φ(v)
，Shapley归纳了合理的分配原则所应满足的三条公理，统称为Sh apley公
理。
Shapley公理 设

为
I{1,2,L,n}
的一个排列。
（1）对称性：若< br>S{i
1
,i
2
,L,i
s
}I
，
(S){

(i
1
),

(i
2
),L,

(i
s
)}
，对特征函数
v(S)，
u(S)v(

(S))
也是一个特征函数，且


(i)
(v)

i
(u)
，即每人分配应得的份额与其 被赋予的
记号或编号无关。
（2）有效性：如果对所有包含
{i}
的子集< br>S
都有
v(S{i})v(S)
，则

n
i
(v)0
，且


j
(v)v(I)
，
j1
即若成员
i
对于每一个他参加的合作都没有贡献，那么他不应从全体合 作的效益中获得报酬，
且各成员分配的效益之和等于全体合作的效益。
（3）可加性：对于定 义在
I
上的任意两个特征函数
v
和
u
，

φ(vu)φ(v)φ(u)
，
这说明，当
n
人同时进行两项合作时，每人所得的分配是两项合作的分配之和。
25

定理2.1 存在唯一的满足Shapley公理的映射
φ
，且有


i
(v)
SS
i


nS

!
< br>S1

!
[v(S)v(S{i})],i1,2,
L
,n
，
n!
(2.12)
其中，
S
i
为I
中包含
i
的一切子集所构成的集合，
S
表示集合
S< br>中元素的个数。
记

w

S



nS

!

S1

!
,g(S) v(S)v(S{i})
，
n!
i
(2.13)
称
g
i
(S)
为
i
在集合（合作）
S
中产生的效益，
w

S

为
g
i
(S)
的权函数 。
现在回到例2.3，借此解释式(2.12)的用法和意义。
甲、乙、丙3人记 为
I{1,2,3}
，经商获利定义为
I
上的特征函数
v
，即


v(

)0
，
v({1})1，
v({2})v({3})0
，
v({1,2})2
，
v({1,3})3
，
v({2,3})0
，
v({1,2,3}) 4
.
容易验证
v
满足式(2.11)，为计算

1
(v)
，首先找出
I
中包含1的所有子集
S
1
{{1} ,{1,2},{1,3},
{1,2,3}}
，再列表（见表2.4），将表中最后一行相加 得

1
(v)2.5
（万元），同理可计算出

2
(v)0.5
（万元），

3
(v)1
（万元）。
表2.4 甲的分配效益

1
(v)
的计算
S

S

{1}
1
1
0
1
13
13
{1,2}
2
2
0
2
16
13
{1,3}
2
3
0
3
16
12
{1,2,3}
3
4
0
4
13
43
v(S)

v(S{1})

g
1
(S)

w

S


w

S

g
1
(S)

计算

1
(v)
的MATLAB程序如下：
clc, clear, format rat %有理数的显示格式
n=3; m=[1 2 2 3];
w=factorial(n-m).*factorial(m-1)factorial(n)
g=[1 2 3 4]; s1=sum(w.*g)
format %恢复到短小数的显示格式
通过此例对式(2.12)解释如下：对表2.4的
S
， 如
{1,2}
，
v(S)
是有甲参加时合作
S
的效
益，
v(S{1})
是无甲参加时的效益，
v(S)v(S{1})
可视为 甲对这一合作的贡献。式(2.12)是
甲对其所参加的所有合作的贡献的加权平均值，加权因子为w

S

，即式(2.12)是按贡献大
小分配效益的。
下面给出一个实际问题说明这个模型的应用。
例2.4 有3个位于某河流同岸的城市，从 上游到下游的编号依次为1，2，3，污水需
处理才能排入河中，三城市既可以单独建立污水处理厂，也 可联合建厂，将污水集中处理。
1，2两地距离为20km，2，3两地距离为38km。用
Q
表示污水排放量（m
3
s），
L
表示管道
长度（km），按 照经验公式建立处理厂的费用为
p
1
73Q
0.712
（万元）， 铺设管道费用为
26

，已知三城市的污水排放量分别为5 m
3
s，3 m
3
s，5 m
3
s，试从节约
p< br>2
0.66Q
0.51
L
（万元）
投资的角度为三市制定污 水处理方案，如联合建厂，各城镇如何分担费用？
通常，管道假设只能从上游通往下游。因此，可能的污水处理方案及相应费用如下：
（1）1 ,2,3三市分别建厂，仅需建厂费，容易算出各需投资229.61万元、159.60万元、
229 .61万元，总投资为618.82万元。
（2）1,2两市合作在城2建厂，污水处理厂建设费用约 为320.87万元，管道建设费用
为30.00万元，加上城3的污水处理厂建设费用229.61万 元，总投资为580.48万元。
（3）1,3两市合作在城3处建厂，投资为463.10万元，此 时已经大于两市单独建污水
处理厂的费用之和，合作没有效益，不需要考虑。
（4）2,3两市合作在城3处建厂，投资约为364.79万元，总投资为594.39万元。
（5）1,2,3三市合作在城3处建厂，总投资为555.79万元。
比较上述结果，三城合作的总投资最小，所以应选择联合建厂方案。
三城合作节约了投资，产 生的效益是一个
n
人合作对策问题，可以用式(2.12)分配效益，
将三城市记为< br>I{1,2,3}
，联合建厂比单独建厂节约的投资定义为特征函数，于是有（单位
为 万元）




为

v(

)0
；
v({i})0,i1,2,3
；
v({1,3})0
，
v({1,2})(229.61159.60)(320.8730.00)38. 35
，
v({2,3})(229.61159.60)364.7924.42
，
v({1,2,3})618.82555.7963.03
.
则
v
满足式(2.11)，用式(2.12)计算这个效益的分配，具体计算见表2.5，则城1应得的份额

1
(v)6.3912.8719.26
（万元）.
类似 得

2
(v)31.47
（万元），

3
(v) 12.30
（万元）。
表2.5 城1在合作建厂时节约的投资

1
(v)
的计算
S

S

{1}

1
0
0
0
13
0
{1,2}

2
38.35
0
38.35
16
6.39
{1,3}

2
0
0
0
16
0
{1,2,3}

3
63.03
24.42
38.90
13
12.87
v(S)

v(S{1})

g
1
(S)

w(S)

w(S)g
1
(S)

1,2,3三市承担的污水处理建设费用分别 为210.35（万元），128.13（万元），217.31（万
元）。
计算1市承担的污水处理建设费用的MATLAB程序如下：
clc, clear
p1=@(Q)73*Q.^0.712; p2=@(Q,L)0.66*Q.^0.51.*L;
f1=p1([5,3,5]) %计算单独建厂的费用
t1=sum(f1) %计算单独建厂时的总投资
f2=p1([8,5]), L2=p2(5,20)
t2=sum(f2)+L2 %计算1,2合作时的总投资
f3=p1(10), L3=p2(5,58)
t3=f3+L3 %1,3合作建厂的总费用
27

f4=p1([5,8]),L4=p2(3,38)
t42=f4(2)+L4, t4=sum(f4)+L4 %2,3合作建厂的总费用
t5=p1(13)+p2(5,20)+p2(8,38) %1,2,3合作建厂的总费用
v12=sum(f1(1:2))-(f2(1)+L2) %计算v({1,2})
v23=sum(f1(2:3))-t42 %计算v({2,3})
v123=t1-t5 %计算v({1,2,3})
g14=v123-v23 %计算g1(S)的最后一个分量
n=3; m=[1 2 2 3];
w=factorial(n-m).*factorial(m-1)factorial(n)
wg=w.*[0, 38.34, 0, g14]
s1=sum(wg) %计算城1应得的份额
c1=f1(1)-s1 %计算城1承担的费用
2.5 桌子能放平吗？
1.问题提出
将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别 处，但允许其绕中心旋转，
问是否总能设法使其四条腿同时落地？
2.问题分析
将方桌往不平的地面上一放，在通常情况下只能做到三只脚着地、放不平稳，然而只需
稍微转动一下， 就可以使四只脚同时着地。
如果上述问题不附加任何条件，答案应当是否定的，例如方桌放在某台阶上 ，而台阶的
宽度又比方桌的边长小，自然无妨将其放平；又如地面是平的，而方桌的四条腿却不一样长，
自然也无法放平。可见，要想给出肯定的答案，必须附加一定的条件。基于对这些无法放平
情况 的分析，我们提出以下条件（假设），并在这些条件成立的前提下，证明通过旋转适当
的角度必可使方桌 的四条腿同时着地。
3.模型假设
（1）地面为连续曲面。
（2）方桌的四条腿长度相同。
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的。
（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
假设（3）较为模糊，有人可能要问，何为“ 足够长”。我们的意思是，总可以使三条腿
同时着地。
现在我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
由假设（2），方桌的四只脚 的连线呈正方形，以方桌四只脚的对称中心为坐标原点建立
直角坐标系，如图2.2所示，方桌的四条腿 分别在
A,B,C,D
处，
A,C
的初始位置在
x
轴上，< br>而
B,D
则在
y
轴上。当方桌绕中心
O
旋转

角度后，正方形
ABCD
转至
A

B

C

D

的位置，对
角线
A

C

与
x
轴的夹角

决定方桌的位置。
28
< /p>

B

y
B
A

C
C

O

A
x
D
D


图2.2 方桌旋转示意图
显然，方桌在不同位置时，四条腿到地面的距离不同，所以，腿到地面的距离是

的函
数。另外，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的，例如，若只有A
未着地，
按下
A
，在
A
到地面距离缩小的同时，C
到地面的距离则在增大。为消除这一不确定性，
令
f(

)< br>为
A,C
离地距离之和，
g(

)
为
B,D
离地距离之和，它们的值由

唯一确定，且两者
均为非负函数。由假设（1） ，
f(

),g(

)
均为

的连续函数 。又由假设（3），三条腿总能同
时着地，所以对于任意的

，
f(

)
和
g(

)
中至少有一个为零，故


，
f(

)g(

)0
恒成立。
不妨 设
f(0)0
，（若
g(0)0
也成立，则初始时刻四条腿都已着地，不 必再作旋转），
g(0)0
于是问题归结为：已知
f(

),g(

)
均为

的连续函数，
f(0)0,g(0)0且


有
f(

)g(

)0，
证明存在某一

0
，使
f(

0
) g(

0
)0
。
证明 将方桌旋转

，对 角线
AC
与
BD
互换位置，由
f(0)0
和
g( 0)0
可知
2



f

0

2



和
g


=0< br>。构造函数
h(

)f(

)g(

)
，显然，由于
f(

),g(

)
均为连续函数，
h(

)
也是


2







的连续函数，且有
h(0)f(0) g(0)0
，和
h


f

g

0
，由闭区间上连续函数

2

2
< br>2


的性质可知，必存在角度

0
，
0

0

，使得
h(

0
)0
， 即
f(

0
)g(

0
)
。又由于2
f(

0
)g(

0
)0
，故必 有
f(

0
)g(

0
)0
，证明完 毕。
如果桌子表面的形状是长方形的，是否有类似的结果呢？有兴趣的同学可以试一试。
2.6 银行借贷
国内各商业银行根据存款期限的不同，将人民币储蓄业务分为活期储蓄和 定期储蓄两大
品种。活期储蓄是指不确定存期，储户可随时存取款且存取金额不限的一种储蓄方式。定期
储蓄是储户在存款时约定存取，一次或按期分次存入本金，整笔或分期、分次支取本金或利
息的 一种储蓄方式。定期储蓄按照存取方式的不同分为整存整取、零存整取、整存零取、存
本取息、定活两便 和通知存款等多种类型。
储蓄存款利率由国家统一规定，人民银行挂牌公告。利率也称为利息率，是在 一定日期
内利息与本金的比率，一般分为年利率、月利率、日利率三种。年利率以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以万分比表示。如年息九分写为9%，即每百元存款定期一年的利
息为9元 。月息六厘写为6‰，即每千元存款一月利息为6元，日息一毫五写为0.15‰，即
每万元存款每日利 息1元5角。为了计息方便，三种利率之间可以换算，其换算公式为：年
利率÷12=月利率；月利率÷ 30=日利率；年利率÷360=日利率。
活期储蓄是居民储蓄存款中最基本和最重要的一种形式。银行规定各种储蓄存款除活期
29

年度结息可将利息转入本金生息外，其他各种储蓄不论存期如何，一律于支取 时利随本清，
不计复息。活期储蓄每年6月30日结算一次利息并记入本金。银行还规定不论闰年、平年 ，
不论月大、月小，全年按360天，每月均按30天计算。
设根据中国人民银行公告，活期 储蓄存款年利率为0.3%。按照换算公式，月利率为
0.3%÷12=0.00025，日利率为0. 3%÷360=0.00000833。假如2018年1月1日存入活期10000
元，一年之后于2 018年12月31日全部取出。按照年利率的定义，本金加利息应为
10000+10000×0.0 03=10030元。
由于活期储蓄每年6月30日结算一次利息并记入本金，计算利息时应该分成两 个阶段：
2018年1月1日至2018年6月30日和2018年7月1日至2018年12月31日 。两个阶段
的时间均未到一年，恰为6个月，因此计算利息时不能按照年利率来计算，而应按月利率计< br>算。前一阶段结束时的本金和利息共为10000+6×10000×0.00025=10015元。根 据银行规定，
后一阶段的本金变为10015元，到2018年12月31日全部取出时，最终拿到的本 金加利息
应为10015+6×10015×0.00025=10030.02元。
为什么 会比原来计算的10015元多出0.02元呢？显然只可能是6月30日结息一次并计
入本金的原因！ 结息一次利息便多出0.02元，那么多结息几次呢？银行规定活期储蓄每年
只在6月30日结息一次并 计入本金，我们可以利用活期储蓄随时存取款的特性，使银行为
我们多结息几次并计入本金。如我们在2 018年1月31日将本金和利息全部取出，银行必须
为我们结息，当日将结息之后本金和利息作为新的 本金继续存成活期，到2月28日再将本
金和利息全部取出并作为本金继续存成活期，以此类推，到12 月31日全部结息取出，银行
共需给我们结息12次。1月31日的本金和利息共为
1000 0+10000×0.00025=10000×(1+0.00025)=10002.5元,
2月28日的本金和利息共为
10002.5+10002.5×0.00025=1000 2.5×(1+0.00025）=10000×(1+0.00025)
2
元，…，
12月31日的本金和利息共为10000×(1+0.00025)
12
=10030.0 4元，又多了0.02元！
看来增加结息计入本金的次数确实可以增加利息！我们再来试试让银行每天 给我们结息
并计入本金，也就是说，我们每天到银行将存款全部取出，并于当日将本金和利息作为新的< br>本金继续存成活期，当然这个工作不胜其烦！到12月31日，银行一共要为我们按日利率结
息3 65次（因为不是按年存取所以不受银行每年按360天计算的限制），得到的本金和利息
共为
10000×(1+0.00000833)
365
=10030.45元，
比按360天计算的
10000×(1+0.00000833)
360
=10030.03元
要多出0.42元！当然，银行不可能让你拿走这么多的利息的，因为银行规定储蓄存款利息
计算时，本 金以“元”为起息点，元以下的角、分不计利息，利息的金额算至分位，分位以下
四舍五入。并且你也不 可能每天跑到银行去存取款，如果这样还不如存一年的定期，到期全
部取出。根据当前定期一年的年利率 1.75%计算，到期的本金和利息共为
10000×(1+0.0175)=10175元！从银行的 角度看，虽然你每日存取款，但你的10000元的本金
相当于在银行存了一年定期，银行却只需要给你 支付比一年定期存款利息175元少得多的
30多元。而对于你而言，你相当于损失了140多元的收入 ，并且又付出了太多的劳动，实
在是得不偿失！
现在我们来考虑一个数学问题，假设本金不论 元、角、分均计息，并且可以按小时、分
钟、秒、毫秒甚至更短的时间存取款（存款所花费的时间不计） ，则2018年1月1日存入活
30

期10000元，按照这些存 取方法满一年之后于2018年12月31日全部取出时，根据前述的
规律，按小时存取款要比按日存取 款得到的利息多，按分钟存取款又要比按小时存取款得到
的利息多等等，即利息是存取次数的严格单调递 增函数。问如果可以在任意时刻存取款，同
样的10000元钱不断地存取再存取，满一年之后得到的利 息是否会趋向于无穷大？
按照题意我们可以在任意时刻存取款，也就是说在一年中可以存取款无穷多次 。那么如
何实现存取款无穷多次呢？我们可以对此问题做如下改进：先假设我们在一年中等间隔地
（请读者考虑为何要等间隔）存取有限次，不妨计为
n
次，然后再令
n
趋向 于无穷大。设按
月取款，月利率=年利率÷12，如果按日取款且每年按360天计算，日利率=年利率 ÷360，那
么我们等间隔地取款，每次的利率应为年利率÷取款次数。同前面的计算方法一样，等间隔
地存取
n
次之后本金和利息为
10000(10.003n)
n< br>，存取无穷多次之后的本金和利息为
n
lim10000(10.003n)
n
，

1

而由熟知的公式
lim

1

e
，我们马上可以得到
n

n

n

n 
lim10000(10.003n)
n
lim10000e
0.00 3
10030.05
，
n
利息仅有30.05元，比定期存款的利息少得多！
下面考虑住房贷款问题 ，全国各大银行个人住房贷款品种齐全，既有针对在住房一级市
场上购买商品房的个人发放的住房贷款， 也有针对在住房二级市场购买二手房的个人发放的
再交易住房贷款；既有公积金个人住房贷款，也有自营 性个人住房贷款，还有组合贷款等等。
现在，银行个人住房贷款的还款方式主要有两种：一种是等本不 等息递减还款法，即每
月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清；另一种是 等额本息
还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清。
例2.5 按照 中国人民银行的规定，从2015年10月24日起，贷款期限为5年以上的，
贷款年利率4.9%，假 如你现在为购买住房必须向银行申请个人住房贷款100万元，并分30
年还请，你会选择哪一种还款方 式呢？
我们可以计算出，贷款的月利率大约为4.08333‰。如果按照第一种等本不等息递减还< br>款方法，每月偿还的本金为
1000000
=2777.78
元，而第一个月需 还的利息为
3012
1000000×0.00408333=4083.33元，第一个月 总还款额为6861.11元；第二个月由于已还本金
2777.78元，需还的利息也相应地减少为< br>(1000000-2777.78)0.00408333=4071.99
元，第二个月总还款额为6849.76元；以此类推，每月还款额的公式为

每月还款额
贷款本金
+(贷款本金累计已还本金)月利率
，
还款期数
最后一个月还款额仅为
2777.78+2.777.780.00408333= 2789.12
元。
这里我们给出一般的总还款额计算公式。假设贷款本金为
a0
，贷款月利率为
r
，总贷款
时间为
N
个月，用
x
k
记第
k
月的还款额，等本偿还的意思就是每月要还本
a
0
N
，而且每月
都要付清利息，从而每月要还的利息是不同的，第
k
月还的利息为
a
0
(1
月还款的模型为

x
k

a
0

k1

a
0
< br>1

r,k1,2,
L
,N
，
NN
 
k1
)r
，因此，第
k
N
(2.14)
利用等差级数的求和公式，得到还款总额为
31

因此，总利息为

x
k
a
0

k1
N
(N1)a
0
r
.
2
(2.15)
(N 1)a
0
r
，贷款100万元的还款总利息为737041.66元，累积还款总< br>2
额为1737041.66元。
与每月平均偿还贷款本金的等本不等息递减还款方法 不同的是，等额本息还款法需每月
以相等的额度平均偿还贷款本息，那么这个相同的额度是多少，应当如 何计算呢？
设每月还款额度为
x
，第
k
个月后欠款金额为
b
k
(k0,1,L,N)
，这里
b
0
a
0< br>，则有递推
关系
b
k1
(1r)b
k
x< br>，
k0,1,L,N
.
于是得
b
1
(1r)b
0
x
，
b
2
(1r)b
1
x
，
………………，
b
k
(1r)b
k1
x
，
可以计算得到
b
k
b
0
(1r)
k
x[(1r)
k1
(1r)
k2

L
(1r)1]
(1 r)
k
1
b
0
(1r)x,k0,1,
L,N.
r
k

即得到
b
k
,b
0
,x,r,k
之间的关系。 < br>因而得到贷款总额
b
0
、月利率
r
、总贷款时间
N< br>个月、每月的还款额
x
的如下关系
(1r)
N
1
(2.16)
b
N
b
0
(1r)x0
，
r
从 而若已知贷款总额、月利率、总贷款时间、每月还款额这四个变量中的任意三个，通过解
N
上述 代数方程，就可以求出另外一个。
由(2.16)式，得到等额本息还款时，每月还款额的公式为

(1r)
N
xb
0
r
.
(1r)
N
1
(2.17)
将贷款总额
b
0
1000000
，月利率
r4.08333%
，以及还款期数
N 1230360
代入(2.17)式，
得到利用等额本息还款法还款时每月还款额为53 07.27元，累计还款总额为1910616.19元，
还款总利息为910616.19元。
同样的贷款总额，同样的还款期数，而使用等额本息还款法还款要比用等本不等息递减
还款法还款多付173574.53元利息，看来贷款买房还是有点学问的，到底采用哪种还款方式
合算 呢，这要看每个人的还款能力而定。
计算的MATLAB程序如下：
clc, clear, format long g %长小数的显示格式
N=30*12; a0=1000000;
ry=0.049; %年利率
rm=ry12 %计算月利率
mb=a0N %计算每月偿还的本金
mx1=a0*rm %计算第一个月偿还的利息
32

mh1=mb+mx1 %计算等本还款时第一个月总还款额
mx2=(a0-mb)*rm %计算第二个月偿还的利息
mh2=mb+mx2 %计算等本还款时第二个月总还款额
mhz=mb*(1+rm) %计算等本还款时最后一个月总还款额
tx1=a0*(N+1)*rm2 %计算等本还款时的总利息
th1=a0+tx1 %计算等本还款时累计还款总额
x=a0*rm*(1+rm)^N((1+rm)^N-1) %计算等额还款时的月还款额
th2=x*N %计算等额还款时的总还款额
tx2=th2-a0 %计算等额还款时的总利息
dtx=tx2-tx1 %计算等额还款比等本还款多付的利息
format %恢复到短小数的显示格式
我们再举一个计算利息的问题。
例2.6 已知贷款总额
A
0
55000
元，贷款期限为15年 ，即
N180
，每月还款额
x514.58
元，试计算银行的贷款月利息
r
是多少？
解 由式(2.16)，得到方程
180
55000（1r)
可以解得
r0.006376
。
计算的MATLAB程序如下：
(1r)
180
1
514.580
，
r
clc, clear, format long g %长小数的显示格式
fr=@(r)55000*r*(1+r)^180-514.58*(1+r)^180+514.58;
r=fzero(fr,[0.0001,0.1]) %求贷款的月利率
format %恢复到短小数的显示格式
习题2
2.1 学校共有1000名学生，其中235人住在 A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在
C宿舍，学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法 分配各宿舍的委员会名额：
（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）
Q
值法。
（3）D’Hondt方法：将A，B，C三宿舍的人数分 别用正整数
n1,2,3,L
相除，其商数
如表2.6所示。将所得商数从大到小取 前10个（10为席位数），在数字下标以横线，这就是
3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理 吗？
表2.6 D’Hondt分配方法计算数据

A
B
C
1
235
333
432
2
117.5
166.5
216
3
78.3
111
144
4
58.75
83.25
108
5
…
…
86.4
…
…
…
…
如 果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结
果列表比较。
33

（4）你能提出其他的方法吗？并用你的方法分配上面的名额。
2.2 雨 滴匀速下降，假设空气阻力与雨滴表面积和速度的平方成正比，试建立合适的
数学模型以确定雨速与雨滴 质量间的关系。
2.3 甲、乙、丙三人合作经商。倘若甲、乙合作可获利7万元，甲、丙合作可获 利5
万元，乙、丙合作可获利4万元，三人合作则获利10万元，每人单干各获利1万元。问三
人合作时如何分配获利？
2.4 考虑一个数学模型，来计算人的臂膀有多重。
2.5 将一张四条腿的桌子放在不平的地面上，桌子的四条腿的连线呈长方形，不允许
将桌子移到别处，但允许 围绕着其中心旋转，问是否总能设法使桌子的四条腿同时落地？若
桌子的四条腿共圆，结果又如何？
2.6 我国已经实行了大学收费制度。为保障子女将来的教育费用，某家庭从他们的儿
子出 生时开始，每年在银行中存入若干元作为将来子女的教育基金。若年利率为3.5%，儿
子18岁入大学 后共需受教育费用约20万元，该家庭每年应存入银行多少钱？







34