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学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第11讲—— 盈亏问题

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
① 了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型
② 掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法
③ 熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题

授课日期及时段
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理
一、基本方法
盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不 同的情况．分配不足时，称之为
“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品 平均分给一定数量的人时，如果每人少
分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足( 也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈
亏问题”。
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数
(盈－盈)÷两次分得之差=人数或单位数
(亏－亏)÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”。
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二、方法技巧
注意1.条件转换 2.关系互换
典例分析

考点一：直接计算型盈亏问题

例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则 少2块
砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两 次
搬砖，每人相差5-4=1（块）。第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数 ：7+2=9（块），
每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）．共有砖 ：4×9+7=43（块）

例2、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那
么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？
【解析】“多8元”与“多4 元”两者相差8-4=4（元），每个人要多出8-7=1（元），因此就知道，共有4÷1=4
（人） ，蛋糕价钱是8×4-8=24（元）
例3、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃， 那么
一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？
【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃 子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7（个），两次分配 之
差是11-10=1（个）， 由盈亏问题公式得，有小猴子：7÷1=7=（只），老猴子有7×10+9=79（个）桃子
例4、 猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若
大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多少只？
【 解析】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．也就是盈亏问题说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20-10=1 0个，
所以大猴比小猴多10只


考点二：条件关系转换型盈亏问题
例1、一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位 学生？
共多少粒糖果？

【解析】第一种分配方案盈9粒 糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5-4=1（粒），
由盈亏问题公式得 ，参与分糖的同学有：9÷1=9（人），有糖果9×5=45（粒）

例2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那 么一共
有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？
【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是 11-10=1
（条） ，由盈亏问题公式得，有小猫：8÷1=8（只），猫妈妈有8×10+8=88（条）鱼
例3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人， 恰好多
出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？
【解析】每辆车坐60人，则多余15人， 每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人。此车辆数目
为：（65+15）÷5=8 0÷5=16（辆）。学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人 ）
考点三：复杂的盈亏问题
例1、国庆节快到了，学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5 盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4
盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先 队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？
【解析】 这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其 余
的人 各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况——2人各摆4盆，其余的人各摆6
盆．如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就么还差6×2-2×4=4(盆)．因此，原问题 就转
化为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人 摆6盆花，还缺4盆．问有多少少先队员，一共摆
多少花盆？ 人数： （3+4）÷（6-5）=7 (人)， 盆数：5×7+3=38(盆)或6×7-4=38(盆)
例2、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果 其中一
人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?
【解析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两 人
每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了4+4=8个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少 12个”转

化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就 缺12-2=10个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：
全家的人数：(8+10)÷(4-2)= 9(人), 橘子的个数：2×9+8=26 (个)
例3、堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则 多2元.已
知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？
【解析】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉 18
千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成 18千克猪肉，
就要少花8×18=144（角）=14元4角.这样就会多出 14元4角-4元=1 0元4角。因此问题就可变为：“小李
买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单 价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，
不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差。
解： 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵 8×18=144（角）=14元4角.
因此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=1 0元4角。由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪
肉每千克价格为 （104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角. 所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角
=5元. 小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）


例4、四⑵班举行“六一”联欢晚会 ，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千克，还差4元； 如
果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了 多少元钱？
【解析】 这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13×2=26元， 所以这笔钱买
13千克奶糖会多出26-4=22元。而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克 奶糖的价格为：
(22-2)÷(15-13)=10（元）．辅导老师共带了10×15+2=152 元

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
1、有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班 有多少学
生，多少练习本呢？
【解析】 由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案 分
配 结果相差：70-10=60（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2（本），相差60本 的学生
有：60÷2=30（人）。练习本有：30×5+70=220（本）或（30×7+10=2 20）
2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30 元，问儿
童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？
【解析】本题购物的两个方案，第一 个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7 把变
成买5把，少买了7-5= 2（把），而钱的差额为：110+30=140（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提
琴的 单价是每把70元，王老师一共带了70×7-110=380（元）
3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这 批花瓶后，
工人共得4400元，则损坏了多少个？
【解析】本题中“损坏一个倒赔10 0元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120（元），
即损1个花瓶不但 得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费
20×25 0=5000元）。这样比实际多得5000-4400=600（元），就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶 相差120
元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶。根据以上分析，可得损坏了（20×2 50-4400）÷（100+20）
=5（个）
4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全 部分给小
班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？
【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回3×5=15个苹果，人数 一样， 根
据盈亏问题公式，小班人数为：(15+10+2)÷(8-5)=9人，苹果总数是8×9 -2=70个。
5、有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两 块，这
些糖共有多少块？
【解析】 第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出5-4=1块糖分给新增加的人，
而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差4-2=2块，一共差< br>了10+2=12块，所以新增加了12÷2=6人，原有6×2=12人．糖果数为：12×5+10= 70 (块)
6、卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如 果 大熊猫
数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多 少棵？

【解析】使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊 猫”。先要转化这一条件，假设还有10棵竹子， 10÷2=5，
就可以多有5个大熊猫，把“少5只 大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原
大熊猫数每只大熊猫给2×3=6 (棵)竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10+10+8=28(棵)，所以原有
大熊猫数2 8÷(6-5)=28 (只)，竹子总数是5×28+10=150 (棵)
7、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已 知每千克
牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？
【解析】 因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元）， 这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱 数是：12×
10＋4＝124（元）
8、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比 上课时
间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？
【解析】迟到3分钟转化成米数： 50×3=150（米），提前2分钟到校转化成米数：60×2=120（米），距离上
课时间为：( 150+120)÷(60-50)=27（分钟），家到学校的路程为：50×(27+3)=1500（米）
➢ 课后反击
1、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人 ，则多出4个床位，问宿舍几
间?住宿生几人?
【解析】 由已知条件每间5人,少14 个床位,每间7人,多4个床位。比较两次分配的方案，可以看出，由于
第二种方案比第一种每间多7- 5=2人，一共要多出14+4=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位
差，可以求出宿舍 间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数。
解：(4+14)÷(7-5)=9(间)， 5×9+14=59(人)或7×9-4=59（人)
2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出 48个萝卜；
如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？
【解析】 题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝 卜
剩余 个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8
个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多
少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（4 8＋8）
÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）

3、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张 信纸，一
段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多

少张信纸？
【解析】 由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信 纸，
两次分配的差为(3－2)张信纸，所以有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸2× 50＋20=120(张）
4、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分 7个，少5
个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果 每
人分 7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）。苹果个数为13×7-5=86（个）， 桔子数为 13×3+4=43
（个） 答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子

5、李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣 粉比买碧
浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？
【解析】 （法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24
（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）。这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）。
（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普 通的盈亏
问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈 带的钱数是：12×10＝
120（元）

6、王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米， 就可以
比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？
【解析】迟到3分钟 转化成米数：500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：600×2＝1200（米）王
老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟），王老师家到学校的路程：50 0×（270+3）＝136500
（米）
直击赛场



S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中 每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之
为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际 问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每
人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果 每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题
叫做“盈亏问题”。
名师点拨

1.条件转换 2.关系互换 这两种典型例题的常见类型以及复杂问题转化为基本盈亏问题。
学霸经验

➢ 本节课我学到

➢ 我需要努力的地方是