担保行业-正气歌

新人教版八年级上册
期末总复习

0
昌
目
置




窈目食虚


乘

三角形知识结构图
三角形的定义、分类
►
二^三角形的边
—与三角形有 关
的线段
—高

一中线
►
k
角平分线
f三角形内角和
—与三角形有
f三角形外角和［＞ 内角与外
关的角
角关系

2.
三角形的分类
(1)
按角分
(锐角三角形 三角形钝角三角形
I
直角三角形
(2)
按边分
，［三边都不相等的三角形
三角形地口林_-“(底边和腰不等的等腰三
角形〔等边三角形
〔等腰二

2.
三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形的任意两边之差小于第三边.
两边之差 < 第三边 < 两边之和

练一练
下列条件中能组成三角形的是（）
c
A.
B.
C.
D.
5cm, 13cm, 7cm
3cm, 5cm, 9cm
14cm
f
9cm
r
6cm
5cm, 6cm
f
11cm
三角形的两边为
7cm
和
5cm
,则第三边
x
的
范围是
2cm v X v
；
12cm

4.
锐角三角形三条高交于三角形内部一点；
直角三角形三条高交于直角顶点； 钝角三角形三条
高所在直线交于三角形外部一点.



6.
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.(

三角形的中线
表示法：
①
AD
是
MBC
的
BC
上
的中线.
②
BD=DC=^BC.
中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

考点:三角形的三线
例：下列说法错误的是（
B
）
A:
三角形的三条中线都在三角形内。
B:
直角三角形的高线只有一条。
C:
三角形的三条角平分线都在三角形内。
D:
钝角三角形内只有一条高线。
例:在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的 中线
这边所对角的角平分线，最短的是（
0
A:
中线。
B:
高线。
C:
角平分线。
高和 ,

D:
不能确定。
7.
在
MBC
中，匕< br>A
是匕
B
的
2
倍，匕
C
比
4 *
zA+zB
还大
30
。，则匕
C
的外角为卫度， 这个三
角形是鈍豪角形 &如图,已知:
AD
是
MBC
的中线，
△
ABC
的面积为
50cm2,
则
MBD
的面积 最
5cm2
・

三角形外角和定理
三角形的外角和等于
360
。

三角形的外角与内角的关系
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内龟.

考点:三角形内角和定理:
例
3 ^ABC
中，
zB=
N
A=
,求
△
ABC
的三个内角度数.
解:设匕
B=x°
，贝
!lzA=3x° , zC=4x°
从而
:x+3x+4x=180°
f
解得
x=22.5
。.
即:匕
B=22.5
。，
zA=67.5° ,
zC=90° •
,

考点:三角形内角和定理:
例
4
如图,点
O
是
MBC
内一点,
zA=80°, zl=15°,
匕
2=40
。，则
zBOC
等于()
A
A. 95
。
B. 120° C. 135° D. 650
分析与解:
zO=180°- (zOBC+zOCB)
=180°- (180°- (zl+z2+zA )
B
=zl+z2+zA=135° .

三角形木架的形状不会改变，而 四边
.这就是说, 三角形形木架的形状会改变
具有稳定性，而四边形没有稳

了解一下
可表示为：五边形
ABCDE
或 五边形
AEDCB
对角线：连接多边形不相邻的两个顶 对角线
点的线段。

n
边形内角和、外角和、对角线

四边形

五边形

六边形

n
边形
图 形

过一个顶
点的对角
线条数
分成的三
角形个数

M
1

2

3 n-3
n-2
内角和
外角和

(n-2)
2 X180° 3 X180° 4 X180°
X180
。
360
。
360
。
360°
360
。

知识结构

知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形冬

1
.定义（重合）法；
（

；
3. SAS
；
不包括其它形
4. ASA
；

成
AAS.
状的三角形
标三南形全等特有的条件:
HL.

牛刀小次
如图，
AB=AC, AE=Ab, BD=CE,
求证：△人
EBADC
。
证明：VBD=CE
・
•
・
BD-ED=CE-ED,
即BE=CD。
在AEB和ADC中,
AB=AC
< AE=AD
BE=Cb
竺△

AAEB 丝△ ADC (sss)

牛
Z7
小武
如图，
AC=BD,
你
能判断
BC=AD
吗？说明理由。
ZCAB=ZDBA,
ZXABC
与
ABAD
中
r AC=BD
X Z CAB= Z DBA
、
AB=BA
.AABC^ADEF (SAS)
证明：在

牛
Z7
小武
如图，已知点
D
在
AB
上，点
E
在
AC
上，
BE
和
CD
相
交于点
0, AB = AC, ZB
求证：
BD = CE
证明:在
ZXADC
和
ZkAEB
中
,ZA=ZA
（公共角）
J AC=AB
（已知）
VzC=ZB
（已知）
AAADC^AAEB （ASA）
AAD=AE
（全等三角形的对应边相等）

牛
Z7
小武
XVAB=AC
（已知）
•.•AB-AD=AC・AE
即
BD=CE
（等式性质）

牛
Z7
小武
己知，如图，
Z1 = Z2, ZC=ZD
求证：
AC=Ab
证明：在ZXABD和Z^ABC中
Z1 = Z2 （已知）
-ZD=ZC （已知）
A

AB=AB （公共边）
.'
△
ABD丝ZkABC
• AC=AD
（AAS
）
边相等）
（全等三角形对应

R

牛刀小就
已知：如图，在△
ABC
和
ZABD
中，
AC
丄
BC, AD
丄
BD,
垂足分别为
C,D,AD=BC,
求证：
BD=AC.
证明：
AC
丄
BC, AD
丄
BD AZC=Zb=90°
在
RtAABC
和
R17XBA D
中
JAB=BA
IBC = AD
・•・ RtAABC^R+ABAD (HL)
・.・BD=AC

三、方法指引
证明两个三角形全等的基本思路:
「找第三边
(SSS)
(1)
已知两边・・・
J
找夹角
(
5
签)
I
找是否有直角
(HL)
找这边的另一个邻角(些
A)
已知一边和它的邻角
找这个角的另一个边(奨
找这边的对角
(AAS)
已知一边和它的对角
找一角
(AAi)
已知角是直角，找一边
(HL)
(2);
已知一边一角・

找两角的夹边(心)
(3)
：
已知两角・一
找夹边外的任意边(丝)

4.
如图
（
4） AE=CF, ZAFD=ZCEB, DF=BE,
CEB
全等吗？为什么?
解：VAE=CF（Bftl）
••
・
AE-FE=CF-EF（等量减等量，差相
等） 艮卩AF=CE
在ZAFD和左CEB中，
'AF=CE（已证）
＜』AFD*CEB（已知）
DF=BE（已知）
X.
.AAFD^ACEB （SAS）
D
F
E
B

5.如图
（
5） ZCAE=ZBAD, ZB=ZD, AC=AE, AABC与
左ADE全等吗？为什么?
解：NCAEzzZBAD（已知）
'

・
•
・
zCAE+zBAE=zBAD+zBAE
（等量减等量，差相等）
艮 PzBAC=zDAE
4AABC和左ADE中,
zB=zD（已知）
zBAC=zDAE（已证）
AC=AE（己知）
. .
△
ABC罢 AADE
（AAS）

6.“三月三，放风筝”
11
如图
（
6）是小东同 学自己做的
风筝，他根据AB=AD,BC=DC, 不用度量，就
知道ZABC=ZADCo请用 所学的知识给予说明。
解：连
接
AC
在左ABC和ZADC中,
AB=AD（已知）
BC=DC（已知）
AC=AC（公共边）
AAADC^AABC(SSS)
・
.
・
ZABC=ZADC

(全等三角形的对应角相等)
练习：如图，小明不慎将一块三
角形模具打碎为两
块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就 能配一
块与原来一样的三角形模具呢？如果可以， 带那块去合
适？为什么？

二•角的平分线:
1
.角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
用法：
QD
丄
OA, QE
丄
0B,
点
Q
在
NAOB
的平分线上
・.・QD=QE
2
角平分线的判宗.
角的内部到
3
的两边扇距离相等的点
分线上。
用法：
V QD±OA, QE±OB, QD = QE.
.
NAOB
的平分线上.
Q
O
Q
在

在角的平
••点

3、如图
fl
，OB丄AB,OC丄AC,垂足为=OC
AO平分NBA
C吗?
为什么?
答：A。平分
ZBAC

... 0B
丄
AB,OC
丄
AC
:.ZB=ZC=90°


在
RtAABO
和
RTZkAC
。中
r OB=OC
I AO=AO
・
•
・
RtAABO^RtAACO (HL)
・
•• ZBAO=ZCAO
AO
平分
ZBAC

4
.如图，
ABCD, ZA=90°
，
AB=EC,
BC=DE, DE
、
BC
交于点
O.
求证：
DE±BC.
证明：
•:ABCb
A ZDCA = 180° -ZA = 180° -
90° =90°
在
RtAABC
和
RtZkCED
中
fBC=DE
lAB=EC
.RtAABC^RtACED (HL)
MB
=
NDEC

AZACB+ZDEC=90°

'NA=90
。
・・・
NCOE=90
。

・
.
・
DE
丄
BC
.
又
•••Z4CB+zB=90°

5
.如图，
OC
是
ZAOB
的平分线，
P
是
OC
上一点，
PD
丄
OA
于
D,
PE
丄
OB
于
E, F
是
OC
上的另外一
点,
连接
DF
、
EF. ,
求证：
DF=EF.
（提示：分两步证明：
① 证明△€>
PD
丝
△
OPE
；
。
② 证明△
OFD#ZOFE）

6
.如图，
OC< br>是
NAOB
的平分线，
P
是
OC
上一点，
PD
丄
OA
于
D, PE
丄
OB
于
E, F
是
OC
上的另外
一点, 连接
DF
、
EF.
求证：
DF=EF. ,
证明：..
・
0C是ZAOB的平分线，
PD丄OA, PE±OB
.
・
.PD=PB
在 RtAOPD 和
RtZOPE 中
O
.RtAOPD^RtAOPE (HL)
OP=OP
PD=PE
・・・
OD=OE
又..・OC是NAOB的平分
b
F
E
B
OD=OE
ZbOF=ZEOF
OF=OF
AAOFb^AOFE (SAS)
・
.
・
DF=EF

线
AZDOF=ZEOF
4A0FD和中

7
.如图，在
AABC
中，
AB=2AC,
AD^F^ZBACKAD=BD.
求证：
CD
丄
AC.
（提示：过点
D
作
DE
丄
AB
于
E
分两步证明：
① 左
ADE^ABDE
；
B D
C

②
△
ADE^ADC）

8
.如图，在
AABC
中，
AB=2AC, AD
平分
NBAC
且
AD=BD.
求证：
CD
丄
AC.
证明：过点D作DE丄AB于E
・・・
NAED =
NBED=90°
^RtAADE 和
Rt^BDE 中
B
IAD=BD
I bE=bE
ARtAAbE^RtABbE (HL)
・
.
・
AE=BE 艮卩AB=2AE 又
•.•AB=2AC
:.
AE
=
AC

•.•AD 平分
ZBAC

•.•NEAD=NCAD
D
在ZXADE和MDC
中
(AE=AC

〈
ZEAb=ZCAb

AD=AD
「.△ADE丝MDC (SAS)
「• ZC=ZAEb=90°

.LCD
AC
丄

第十三章轴对称

归纳与整理







































37

知识回顾:
3
、轴对称图形和轴对称的区别与联系






图形









区



别
联系
轴对称图形
轴对称
（1）
轴对称图形是指（一
（1）
轴对
（两个）图形
|、
称是 的位
I,
必须涉及 图
具有特殊形状的图形，
置关
形； ①对称轴
只对（一个）图形而言
（
（2）
只有

2
）

对称轴不一定只有一
条
如果把轴对称图形沿对称轴


L
称

.
=11
分成两部分，那么这两个图
如果把两个成轴对称的图形
形 就关于这条直线成轴对
拼在一起看成一个整体，那





.

么它就是一个轴对称图形.

4
、轴对称的性质:
① 关于某直线对称的两个图形是全等形。
② 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称
任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③ 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所
段的垂直平分线。
④ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直
分，那么这两个图形关于这条直线对称。
轴是
连线
平

练习：
1
、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴
对称图形的是（
C
）
A.
加拿大，韩国，乌拉圭
C.
加拿大、瑞典、瑞士
加拿大 韩国 澳大利亚
B.
加拿大，瑞典，澳大利
亚
乌拉圭 瑞典 瑞士

2
.哪一面镜子里是他的像?
3
、小明照镜子的时候，发现
T
恤上的英文 单词在

镜子中呈现
“
UWA
”的样子， 请你判断这个英文单
词是（
A
）
A）
（
APPLE （«）AqqLE
O ELqqA ELPPA
（

二•线段的垂直平分线
1
、什么叫线段垂直平分线?
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,
叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2
、线段垂直平分线有什么性质?
线段垂直平分线上的点与这条线段的 两个端点
的距离相等（纯粹性）。

3
.逆定理:与一条线段两个端点距离相等師点, 在线段
的垂直平分线上。（完备性）
4
.钱段逢直年舍钱衿集企定义:
线段垂直平分线可以看作是， 与线段
两个端点距离相等的所 有点的集合。

三.用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于
X
轴对称
的点横坐标相等，纵坐标互为相反数.关
于
y
轴对称的点横坐标互为相反数，纵
坐 标相等.
点
（
x, y）
关于
X
轴对称的点的坐标为二
点
（
x,y）
关于
y
轴对称的点的坐标为
C1M
）< /p>

1、完成下表・(
抢答)
已知点
(2,-3)
5,2)
(-6,-5)
(0,-1.6)
(4,0)

关于X轴的对称点
(2, 3) (-1,-2) (-6, 5) (0,1-6) (4,0)
关于y轴的对称点
(-2, -3) (1,2) (6, -5) (0. -1.6) (40)
2
、已知点
P(2a+b,
・
3a)
与点
F(8,b+2).
若点
p
与点
p'
关于
x
轴对称，贝
Ha= b=
若点
p
与点
p'
关于
y
轴对称，贝
!la= 6 b= .
20
24

恩考：如图，分别作出点
P,M,N
关于直为
x=1
的对称点，你能发现它们坐标之间分别有什么 关糸吗？
点
x, y)
P(-2,4)
V
5
• .... '4

■
M(
:
・
1J)
3
2
M'(3J)
-4 -3 -2 2 3 4
N(
・
3,
・
2)
关于直线
x=l
对称的点的坐标为
(

4
.利用轴对称变换作图：
如图：要在燃气管道
L
上修建一个泵站，分别 向
A
、
所用的输气管道线最短？
B
两镇供气，泵站修在管道什么地方, 可使

利用轴对称变换作图及有关计算
1
.有
A
、
B
、
C
三个村庄，现准备要
建一所学校，要求学校到三个村庄 的
距离相等，请你确定学校的位置。

三.（等腰三角形）知识点回顾

r<
1
.等腰三角形的性质
① •等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）
② •等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边
上的高互相重合。（三线合一）
2
、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两 个角
所对的边也相等。（等角对等边）

四.（等边三角形）知识点回顾
1
.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都 等
于
60
。。
2
、 等边三角形的判定：
① 三个角都相等的三角形是等边三角形。
② 有一个角是
60
。的等腰三角形是等边三角形。
3.
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30
。，那么它
所对的直角边等于斜边的一半。

练习:
1
、如图，在
ZABC
中，
AB=AC
时,
(1) VAD±BC
・
•
・
Z BAT)= ZcAD
；
BD= CD
(2) LAD
是中线
・
3
丄*
dD= ZXAD
廿
(3) AD
是角平分线
V AD ±_BC
；
_BLL=_CD

本章知识导引
—I
单项式
T整式的概念
系数
整式
|整式的运算
1=-
I
因式分解
多项式—
——整式加减
IU1
互
逆
运
算
—整式除法
概念
同类项
合并同类项
幕的运算
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
乘法公式
提公因式法
互
逆
变
形































・




►I

知识要点：
一、 幕的
4
个运算性质
二、
三、
四、因式分解
整式的乘、除
乘法公式

知识点一嘉的
4
个运算法则复习 考
查知识点：（当
m,n
是正整数时
）

1
、 同底数幕的乘法：
a ■ a = a
2
、 同底数冨的除法：
am + af am-n
；
a°=1 （a#=0）
n
3
、 幕的乘方:印
） = amn
nn
4
、 积的乘方:
（
ab
）
n = ab
mnm+n

解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆

1 .(x-3)=1 x+2=0,x=-2
aF
（
a
和）
x+2
2.
若
lOx=5J0y=4,
求
l()2x+3y-l
的值.
原式
=io
2x
xi o
3
y: 10=(1 ox
)
2 x
(
1 oy
)
3
4-1 o
3.
计算：
0.25i
。。。
X
(-2)
2
。。。
溪喩盅，
[0.5X (.2)
]2
。
0
。
(1)
指数：加减|
矜化
A乘除
(2)
指数：乘法
—转化A
皋的乘方
(3)
底数：不同底数也同底数
=

知识点三
计算：
现惫法全式复:习
平方差公式：
(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
24
(a+b)(a-b)=a-b
22
(l-x)(l+x)(l+x)(l-x)
完全平方公式:
(a+b)=a+2ab+b
(x+4y-6z)(x-4y+6z)
222
(x-2y+3z)
三数和的平方公式:
2222
2
(a-b)=a-2ab+b
222
(a+b+c)=a+b +c+2ab+2ac+2bc

(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
• =9x
-16-(6x-4x+9x-6) ・=9x-16-
222
2
+4x-9x+6
=3x
2
-5x-10
6x
•

(1-x)(1+x)(1+x2)(1・x4)
•=(1-x
)(1+x)(1+x) ・=(1-
224
x
4
)(1+x
4
)
• =1-x
8

(x+4y・6z)(x・4y+6z)
• = [x+(4y-6z)] [x-(4y-6z)]
• =x
-(4y-6z)
•
=x2-(16y2-48yz+36z2)
•
=x2-16y2+48yz-36z2
22

(x-2y+3z)
. =[(x.2y)+3z]2
2
•
=(x-2y)
+6z(x-2y)+9z
222
• =x
-4xy+4y+6zx-12yz+9z
222
• =x
+4y+9z-4xy+6zx-12yz
22
三数和的平方公式：
(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc

运用乘法公式进行简住计算
计算
:(l)98X102
(2) 299
2

(3) 2006
2
-2005 X 2007

•(1)98X102
・=(100-2)(100+2)
・=100
-2
22
• =9996

• (2)299

. =(300-1)2
>=3002-2X300X1+1
. =90401
2

(3) 2006-2005 X 2007
• =2006
-(2006-1 )(2006+1)
• =20062-(20062-1
2)
22 +
• =2006
-20061
2
2

活用漿法公式求代敛式孙亶
1
、 已知〃+力=
5
ab=
-2
2
、
3
、
求
(
1)
a
2
+b
2
(2) a-b
a
2
+b
2
=(a+b )
2
-2ab (a-b )
2
=(a+b )
知
a
2
-3a+1=0,
求< br>(
1)
宀丄
(2)
Cl
x=J3+l
求
x2
・
2x
・
3
的值

2
-4ab


已
已知

1
、固式分解度又：和—
►
釈
2
、因式分解方法：—督二套三豪
網：網公因汽

埋页号
二项支：套平方養
M顼式：套完全平方与十积乘法
有：着夏香分解完

3
、固式分解应用：

1
.从左到右变形是因式分解正确的是
A. x
2
-8=(x+3)(x-3)+1
B. (x+2y)
2
=x
2
+4xy+4y
2

C. y
2
(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y
2
+y)
D
)
(

2
.下列各式是完全平方式的有（
D
）
①
W-4 *1
A.
①②③
C.
①②④
2
②
X
+兀+日
1
2
2
B.
②③④
D
.
②④
1
2

因式分解崑习
把下列各式分解因式：
L
X
5・16
X

2. -4a
2
+4ab- b
2

3. m
2
(m- 2) - 4m(2- m)
4. 4a
2
- 16(a -2)
2
(1)
提公因式法
(2)
套用公式法
—项式:平方差
三项式:完全平方

第十五章
分式的复习

A
f
客的形式
概念
r
分式有意义
I B
中含有字母
BWO
f
同分母相加减
I
分式的值为
0
分式的加减
I
通分
I
异分母相加减^
・
A
同分母相加减
分式的乘除—A约分一^最简分式 解分式方程苦
►
解整式方程验根 分式方程应用

知识回顾一








1 ,分式的定义：形
如
，其中A,B都是整式，
且
I中含有字
母.
2. 分式有意义的条件：B知
分式无意义的条件：B = 0
3. 分式值为0的条件：A=0且B知
_A
4. 分式

R
>0 的条件：A>0
5
B>0 或
A
V
O,

B
V
O
分式
A
<0的条件：A>0 ,BvO或A<0 ,B>0
B

练习
3 9v 9
X
2

1 .下列各式
（
1
）
：、（
2
）
咅、⑶
竺、
Lx
3
x
是分式的有 3个。
2.下列各式中x取何值时,分式有意义.
(1)
、
(2)
x
球・
2
x
尹土
1
3, 下列分式一定有意义的是（B ）
(4)-.
JI
4x
(5)1
一
、
X
为任意实数
(4)

x+1 2S±L X2+1 1
C x-1
D
A
量
B x+1
2

糸■中的X和y的值都扩大3倍,
7.


如果把分式

则分式的值（
B ）






A扩大3倍 B不变











8.
如果把分式
SI
xy
I


x+y A )



则分式的值（



A扩大3倍B不变
C缩小13 D缩小16
x和y的值都扩大3
,
C缩小13 D缩小16
中的
倍

整数指数幕有以下运算性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
a
m
* a
n
=a
m+n

(畔
0)
(a
m
)
n
=a
mn
(a0)
(ab)
n
=a
n
b
n
(a.b^O)
a
m
4-a
n
=a
m
'
n
(a^O)
a
粉(衅
0)
a
尹。时，
a°=l
o

n
是正整数时,
a
』属于分
并且。—〃
=3
(
30)
(
当
式。

今式方程

解分式方程的思路地:
分式
方程
去分母
整式
方程
解分式方程的
Tfc
步礙
1
、
在方程的两边都乘以最简公分母, 约去分母,
化成整式方程.
2
、解这个整式方程.
3
、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简 公
分母的值不为
0,
则整式方程的解是原分式方程的 解；
否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4
、写出原方程的根.
一化二解三检验

列分式方修钢应用题

Ml
：某文具厂加工一种文具
2500
套，加工
10
天后， 由于
釆用了新设备，每天的工作效率变为原来的
1.5
倍，结果
提前
5
天完成了加工任务。求该文具 厂原来每天加工多少
fin
套这种文具。
例
解:设该文具厂原来每天加工
x
套这种文具；根 据题
意列方程：
2500-1000 2500-1000
厂
--------

=5
x
1.5%
去分母得：2250-1500=7.5x
解之得：X=100,
经检验：x=100是原分式方程的根，
答：该文具厂原来每天加工100套这种文具
2.
某人骑自行车比步行每小时多走
8
千米，如果他步

行
12
千米所用时间与骑车行
36
千米所用的时间相等，求
他步行
40
千米用多少小时？
解:设他步行
1
千米用
X
小时，根据题意列方程
12 _ 36
x x + 8
12(* + 8) = 36x
x + 8 = 3x
x = 4

例3.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件,
已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的
零件个数.
解：设甲每小时加工
件，依题意翼
0
x个零件，则乙每小时加工
240
（
x+5） 个零

例
4
、甲乙两人分别骑摩托车从
A
、
B
两地相向而行， 甲
先行
1
小时之后，乙才出以，又经过
4
小时，两人 在途中
的
C
地相遇，相遇后，两人按原来的方向继 续前行，乙
is
在由
C
地到
A
地的途中因故停了
20
分钟， 结 果乙由
C
地到
A
地时，比甲由
C
地到
B
地 还提前了
40
fl
分钟，已知
乙比甲每小时多行
4
千米，求甲乙两车 的速度。
分析：本题把时间作为考虑的着眼点。
设甲的速度为x千米时 “


1）、相等关系：乙的时间=甲的时间-若-首
以乙用的时间=一
乙白勺建尾
77?
3）、甲用的时间
=乙由
中白勺窟
x

例
4
、甲乙两人分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行 1
小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相 遇，相
遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A 地的途中因故
73
停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C 地到B地还
提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求 甲乙两车的速
度。
1=]
III
解：设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千
米 根据题意，得
解之得，xl=16, x2= - 2,都是原方程的根 但x=-2不
合题意，舍去
所以 x=16时，x+4=20
答：甲车的速度为16千米小时，乙车的速度为20 千
米小时。

例
5
、一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，
若乙单做，则要超过规定时间6天完成；现甲乙两人合作
4
天后，剩下工程由乙单独做，刚好在规定日期内完成。问
规定日期是几天?
分析：设工作总量为
1,
工效
X
工时=工作量 设规定日期为
X
天，则甲乙单完成各需
x
天、
(
X+6)
天，甲乙
1 1
的工效分别为
―，―

x x + 6
(1)< br>、相等关系：甲乙合做
4
天的量+乙单独做
(x-4)
天的量=总量< br>歹
ll
出方程： 任--
1 - -- -----------
(2)
、相等关系：甲做工作量+乙做工作量
=1
4
x ,
1

刚好在规定日期里车呼据 苦乙单做，
则要超过规定时间6天完成；现甲乙
列出方程得：一+二般=
1
x
x + o
例
5
、一项工程，若甲单独做，
两人口作4
?
解：设规定日期为X天，根据题意得
4 x I
-- ----------


=1
x
x + 6
解得
x
_|2
?

经检验，x=12是原方程的解。
答：规定日期是12天。
天后，剩下工程由乙单独做，刚好在规定日期内完成。问
规定日期是几天