酒曲制作-小学语文评课稿

§2.7
壽函数
基础知识自主学习
要点梳理
1.
扇函数的定义
一般地，形如
y=x(g^R)
的函数称为幕函数，其中 兀是自
变量，。为常数.
a
2.
画幕函数图象的方法
(1)
列表、描点、连线法.
(2)
先画出幕函数在第一象限的图象,再利用幕函数 的性

质作出其余的图象.

3.
幕函数
y= x , y=

研究用描点法画出图象
・
2

=x,
2
y=x
的图象的
3
2 3 4
x

1 1
4.
幕函数
J=X, J=X, J=X,
y=Xy
的性质

23
y=x

定义域
R
y=x

R
2
J=X
R
3
1
y-x^
J=X
(
・
8, 0) U
_1
[0, +8
)
(0, +8
)
(
・
8, 0) U
值域
奇偶性
单调性
定点

R
[0, +8
)
R
[0, +8
)
(0, +oo)
奇
增
偶
(—8, 0)
减，
(0,
+8)增
奇
增
非奇非偶
增
奇
(—8, 0)
减，
(0,
+8)减
(1,1)
(0,0
)
(14)

［难点正本疑点清源］
对扇函数的理解
(1)
幕函数
(«£R),
其中。为常数，其本质特征是 以幕的底兀为自变
量，指数。为常数，这是判断一个函 数是否是幕函数的重要依据和
唯一标准.
(2)
在
(0
，
1)
上，幕函数中指数越大，函数图像越靠近兀轴
(简记为“指大图低”)，在
(1,
+8)上，幕函数中指数 越大，函数图
象越远离兀轴.

(3)
幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四
象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性;
幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幕函数的图 像与坐
标轴相交，则交点一定是原点.
(4)
幕函数的定义域的求法可分
5
种情况，即：①。为零；②
a
为
正整数；③。为负整数；④。为正分数；⑤。为负分数.
(5)
作帚函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性
等，只要作出幕函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性 就可作
出幕函数在定义域内完整的图象.

基础自测 < br>1
・
下列函数中：①
y=*;
②
y=3x—2
； @j=x
4
+x
2
；
④
y=
松是幕函数的个数为―
2
2
解析 ①中
J=X~
3
,
④中
y = x
3
符合幕函数的 定义；而
y=3x—2
③中
y=x
4
+x
2
9不符合摹函数的定义
②中

2.
幕函数丿= （兀）的图象经过一
2,-
舟
,
则满足（兀）
1 '
丿
=27
的
x
的值是
3 .
解析设幕函数尸代则
-i=（-2f,
=—3,
即
y=x~,
又
X
~=27,

.
X
=|.
•a=
3
3

3.
设
则使函数的定义域为
R
且为奇函数的所有
a
值为
1,3

4.
如图所示曲线是幕函数
j=x
在第一象限内 的图象.已知
H
兀分别取
±1, 2
四个值，则
相应曲线
Cl
、
C2
、
C3
、
C4
的〃依次为(
B )
A. —1, 1,2 B. 2,1, —1
以
C1
，
C
2f
C3,
C4
的兀依次为:
2,1,
故选
B.





-1,

解析 幕函数在
(0,1)
的图象为“指大图低”，所
C1
C
2f
C3,
:
2,1,
故选
B.
以
，
C4
的兀依次为
-1,

5.
若幕函数几
r)
的图象经过点
0
费 则其定义域为(
C )
A. {xlx^R, x>0} B. {xlx^R, x<0}
C. {xlx^R,
且
xHO} D. R
解析 设
f(x)= x
a
.
9
：
图象过点
［3,
站
.^=3
a
,
即
2,
即
(x)=x
_2
=p, .x
2
#
:
0,
即
xHO,
其定义域为
{xlxGR,
且兀
HO}.
2
=3
a
,
—

3~
.a=

题型分类深度剖析
题型一幕函数的概念
例
1
已知
f(x) = (m+2m) X

2n
加为何值时，(兀)是
(1)
正比例函数;
(2)
反比例函数;
⑶幕函数
・
思维启迪

结合正比例函数、反比例函数和幕函数的概
念求解•
解⑴若3)为正比例函数,

m-^m
—1 = 1
，解得
m = l.

加
?+2
加工
0
所以当加
=1
时，3)为正比例函数.
2

（2）
若（兀）为反比例函数，贝
II
m
+加—
1 = —1

赤+
2
加工
0
所以当加=—
1
时，（兀）为反比例函数
・
⑶若（兀）为幕函数，则
m--2m = l.

2
,解得加=—
1.
J.m =
—1±2,
所以当
m = — l±^2
时，（兀）为幕函数.
探究提高 ⑴正比例函数为
y=kx
仗
HO）
；
⑵反比例函 数为丿
=：（无
HO）
；
（3）
幕函数为
y=x.»
这类题目，要紧扣
定义.

a

变式训练
1
已知函数
f(x) = {m—m — l)x~^
~,加
n
3
为何 值时，
(x)
⑴是幕函数;
⑵是幕函数，且是
(0,
+8)上的增函数;
(3)
是正比例函数;
⑷是反比例函数;
(5)
是二次函数.
解
(1)0(x)
是幕函数，故
m
2
—nt
—1 = 1,
艮卩
— 2=0,
解得
m = 2
或
m = — l.

⑵若

(
X
)
是幕
l=j< br>函数且又是

(0,
+8)上的增函数,

2

{
—1 = 1

m—m


一
5
加 一
3>0

m
2
—m

（3）
右（兀）是正比例函数，贝
I）—5zn—3=1,
4
解得加=_亍
3
4
2
此时

M
—
m
— 1H0,
故加=—
（4）
若（兀）是反比例函数，则一
5
加一
3= —1,
2 2
则
m = —^
9
此时 加?一加一
1
工
0
，
故
m
= —-
9

（5）
若（兀）是二次函数，则
—5
加
—3=2,
即« = —
1
9
此时加
2—
m
— 1H0,
故加=—
1.
综上所述，当
m=2
或加=—
1
时，（无）是幕函数;
（兀）既是幕函数，又是
（0,
+8）上的增函数
4-52-5
时
（兀）是正比例函数;

时

（兀）是反比例函数;
（兀）是二次函数.

;

题型二
幕函数的图象和性质

例
2
比较下列各组值的大小:
(1) _ 8
3
禾口 _ (_
)3；
Z _2
(2) 4.15.3.8 5
和(一
19)
飞;
(3) O.2°
5
^no.4°-
3
.
思维启迪观察符号指数的特点，利用性质插入中间值进
化，从而得到结果.

_3
行转

解⑴一
b
『=—
9-
嘉由于幕函数
j=x4
在© +8)
上是减函数，所以
8 >9
一.
1 1
因此一
8
丐
v-9
飞，
即一
1
(2)
由
4.15 >1,0<3.8 5<1, (-1.9) I <0
2
右
>(-1.9) I.
因此
4.1
5
>3.

⑶由于指数函数
J = 0.2^
在
R
上是减函数，所以
0.2°-<0.2°-.
又由于幕函数
j=x
在
(0,
+8)上是递增函 数，所以
0.2°<0.4,
故有
0.2°-<0.4°.
探究提高 有关暮值的大小比较，可结合幕值的特点，选 择适当的
30353
5303

函数，借助其单调性进行比较.
一般地，几种幕值的比较方法如下：
① 幕的底数相同，指数不同型
可以利用指数函数的单调性进行比较.
② 幕的底数不同，指数相同型
可以利用幕函数的单调性进行比较.
③ 幕的底数不同，指数不同型 常运用媒介法，即找到一个中间
值，通过比较两个幕值与 中间值的大小，确定两个幕值大小.

2
变式训练
2
已知壽函数
y = x~~ (w e Z)
的图象与
y
43mm
轴有公共点，且其图象关于丿轴对称，求加的值，并




作出其图象.



解依题意，其图象与
y
轴有公共点，则




4—
3m—m
2
>0
9
即
—4v0,
解得一
4



又
•.•wGZ
，
:.
肌
=—3, —2, —1
，
0
・




当加=—
3
或加=
0
时，函数可化为
y=x
4
,
符合题意， 其



图象如图①.





当
m = —2
或
m = — l
时,

」、





函数可化为
J=x
6
,
符合题


O
1
兀



意，其图象如图②.
图①


图②

题型三幕函数的综合应用
2
例
3
已知幕函数
f(x)= x
m
一的图象关于
y

轴对称，且在
(0,
+8)上是减函数，求满足
(
6Z + l)
_y

<(3-
2a)~
7
的
a
的取值范围
・
2
思维启迪 由
f(x)=x
m
—加
-3
(< br>加
WN+)
的图象关于
y
轴对
称知
m
2-2m-3
为偶数，又在
(0,
+~)±是减函数，所
以
m
2
—2m—3<0
9
从而确定加值，再由函数
(x)= x
3
的
单调性求。的值.

m
HI

解•
・
•幕函数沧）=兀一加-
3
在
（
0,
+8）上递减，
Am
2
—
2m
—3<0,
解得一
1
<3.
•:加
W N+,
J.m =
1,2.
又函数的图象关于丿轴对称，
.—2M — 3
是偶数，
而
2
2
—2X2—3=—3
为奇数，
X
2
—2X1—3=—4
为偶数,
W(x)=x
3

在(一8,
0), (0,
+8)上均为减函数,
A
(
€Z + Ip <(3-2^p
等价于

—加
>0
或
0>a+l>3—
2a

+ lv0v3—
2a.






a
或

探究提高 本题集幕函数的概念、图象及单调性、奇偶性
于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幕函数的概念
及性质.解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调
性和奇偶性（图象对称性）求出加的值或范围；
E=1
第二步，利
用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数
a
的取值范

变式训练
3
指出函数(对二孑亦口的单调区间，并比
较( 一冗)与 [―明的大小.
X
2
+4
X
+5
1
解
V(X
)
=
X
2
+4
X
+4
=1
+
^+2?
= l + (x+2)
-2
,
其图象可由幕函数< br>J=x-
2
的图象向左平移
2
个单位，再
向上平移
1
个单位得到，
^2!

I
0

该函数在(一
2,
+8)上是减函数，在(―
OO, —2)
上是增
函数，且其图象关于直线
x=-2
对称(如图所示).
XV —2—(―7r)=7t—2<— 2 —(—2)=2— 2
，

思想与方法
利用转化思想求参数范围

试题：
(
12
分)若函数
(x) = (mx+4x+w+2) +

24
（
X
—
FHX
+1）°
的定义域为
R
，
求实 数
m

的取值范围.
2
3
审题视角
（
1）
从幕函数的视角看，幕指数为一亲
AQ
的 定
义域为
R
，
转化为
mx+4x+^+2>0
恒成立，且戏
—mx

2
+1^0.（2）wx+4x+m+2>0
恒成立转化为
y —
加+
4
兀+
2

加
+2
开口向上，且与兀轴无交点.
规范解答
解设
g (x)=mx+4x+w+2,
2
①
②
h(x) =x—mx
+1
，

2
原题可转化为对一切MR
有
g(x)>0
且方(兀)工
0
恒成立.
[4分]
fn>0,
由①得
L1=4? - 4
加(加+
2) vO.
Jm>0
2
yw+
2m
—4>0
•••加>一
1+
书.
由②得
J
2
=(-^)-4<0,
即一
2
综上可得书一
l

Jm>0,
[m<
—1—
寸
5,
或加〉—
1+
诟，
[8
分]
[10
分]
[12
分]
2

批阅笔记 ⑴有关幕函数
y=x
的定义域的确定，当
a
为分数时，可转化为根式考虑，当
«=0
时，底是非零
的，不可忽视•本题将原题转化为对一切
x£R
有
g(x)>0
且恒成立
是解题的关键.⑵不等式恒成立问题, 可利用数形结合思想，如
a
g(x)>0
和仇(兀)工
0
在
R
上恒成 立作进一步转化.
(
3)
易错分析：
第一，不能将问题转化 为加兀
2+4
兀+加
+2>0
恒成立问题，也就
是缺乏转化的 意识；第二，易忽略
x-mx+1^0
的隐含条件，致
使
范围扩大.
2
思想方法感悟提高
方法与技巧

1 .
幕函数
y=x(a^R)
f
其中
rz
为常数，其本质特征 是
以幕的底兀为自变量，指数
Q
为常数，这是判断一
个函数是否是幕函数的重要依据和唯一标准.应当
注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幕函数, 如
j=x+l,
J
=
X
2
a
-2
X
等都不是幕函数.
2.
作幕函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调
性、奇偶性等，只要作出幕函数在第一象限内的图 像，然后
根据它的奇偶性就可作出幕函数在定义域 内完整的图象.
失误与防范
1.
幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出
现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内, 要看函数
的奇偶性；幕函数的图象最多只能同时出现

在两个象限内；如果幕函数图象与坐标轴相交，则交 点一定
是原点.
2.
利用幕函数的图象和性质可处理比校大小、判断复合
函数的单调性及在实际问题中的应用等类型.
的数形结合、分类讨论等数学思想方法.
进一步 培养学生
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