好用的洗发水推荐-如何写简历

仁智教育


三角函数

正角:按逆时针方向 旋转形成的角

1、任意角

负角:按顺时针方向旋转形成的角
< br>
零角:不作任何旋转形成的角

2、角

的顶点与原点重合 ，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称

为第几象限角 ．

第二象限角的集合为


k36090k360 180,k


第三象限角的集合为


k360 180

k360270,k


第四象限角的集合为


k360270

k360360,k


终边在
x
轴上的角的集合为


k1 80,k


终边在
y
轴上的角的集合为

 
k18090,k


终边在坐标轴上的角的集合为


k90,k


3、与角

终边相同的角的集合为


k360< br>
,k


第一象限角的集合为

k360

k36090,k









4、已知

是第几象 限角，确定

n

所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再

n
*
从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标 上一、二、三、四，则

原来是第几象限对应
的标号即为

终边所落 在的区域．
n
l
．
r
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角

所对弧的长为
l
，则角

的弧度数的绝对值是



180



7、弧度制与角度制的换算公式：
2

360
，
1
，
1

57.3

．

180





1



仁智教育

8、若扇形的圆心角为



为弧度制

，半径为
r
，弧长为
l< br>，周长为
C
，面积为
S
，则
11
lr
< br>，
C2rl
，
Slr

r
2
． < br>22
9、设

是一个任意大小的角，

的终边上任意一点
的坐标是

x,y

，它与原点的距离
是
r r

x
2
y
2
0
，则
sin



yxy
，
cos


，
tan



x0

．
rrx
10、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，
第四象限余弦为正 ．
11、三角函数线：
sin


，
cos


，
tan


．
y
22< br>12、同角三角函数的基本关系：

1

sin

 cos

1

P
T

sin
2

1cos
2

,cos
2

1sin< br>2


；

2

sin


sin

tan

cos

,cos



．
tan


13、三角函数的诱导公式：
sin

tan


cos

OMA
x

1

sin

2k




sin

，
cos

2k




cos

，
tan

2k




tan


k
．

2

sin





sin

，
cos





cos

，
tan




tan

．

3

sin< br>



sin

，
cos




cos

，
tan




tan

．

4

s in





sin

，
c os





cos

，
tan





tan

． 口诀：函数名称不变，符号看象限．{符号看象限，就是把α看作是某一个锐角（例如30°、
45 °、60°之类），然后π+α、π-α、-α就看作是π与这个锐角相加减或者相反后的角，然
后根据 这个角在第几象限，来判断三角函数的正负。例如把α看作是30°，所以π+α为
210°第三象限角 ，所以sin为负、cos为负、tan为正，也就是诱导公式二了。结论：当把
把α看作是某一个锐角 时，π+α、π-α、-α就分别为第三、第二、第四象限角了，又例如：
sin（3π+α）先化成s in【2π+（π+α）】，再化成sin（π+α），因为π+α第三象限角，而第三
象限角的sin 为负，所以sin（π+α）=-sinα，用等式表示为sin（3π+α）=sin【2π+（π+α）】< br>=sin（π+α）=-sinα}




2

仁智教育


5

sin









 cos

，
cos




sin
．

6

si

n
< br>


2

2

2


c

o
，
s



cos



sin

．

2
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（这里的符号看象限，跟上面的一样道理，不同的
是π减小到一半而已，其他没变，同样把α看作是某一个锐角，然后来判断）
14、函数
y sinx
的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，得到函数
ysin

x


的图象；再将函数
ysin

x


的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵
坐标不变），得到函数
ysin


x
< br>
的图象；再将函数
ysin


x


的图象上所有
点的纵坐标伸长（缩短）到原来的

倍（横坐标不变），得到 函数
ysin


x


的图
象．
函数
ysinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
得到函数
1

倍（纵坐标不变），
ysin

x
的图象； 再将函数
ysin

x
的图象上所有点向左（右）平移

个单位长度，

得到函数
ysin


x
< br>
的图象；再将函数
ysin


x


的图象上所有点的纵坐标伸
长（缩短）到原来的

倍（横坐标不变），得到 函数
ysin


x


的图象．
函数
ysin


x


0,
0

的性质：
①振幅：

；②周期：
 
2


；③频率：
f
1


；④相位：

x

；⑤初相：

．
2

函数
ysin


x



，当
xx
1
时，取得最小值为
y
min
；当< br>xx
2
时，取得最大
值为
y
max
，则
 



3
11

y
max
y
min

，


y
max
y< br>min

，
x
2
x
1

x1
x
2

．
222

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性
质

函
数
ysinx

ycosx

ytanx

图象

定义域
值域
当
x2k



R

R




xxk

,k


2


1,1



2

1,1


当
x2k


k

时，
R


k

y
max
1
； 当
既无最大值也无最小值
时，
y
max
1
；当
最值
x2k


x2k





2

时，


k

时，
y
min
1
．

k

ymin
1
．
周期性
奇偶性
2


2




奇函数 奇函数 偶函数



2k

,2k



22


2k



,2k



k



在

k

,k




22

单调性

上是增函数；在

k
上是增函数；

2k

,2k






3


2k

,2 k



22


k

上是减函数．

k

上是增函数．


k

上是减函数．
4

仁智教育
对
对称性
称中心对称中心
对称中心

k

,0

k


对称轴

对称轴
x k


k


无对称轴
xk



k


2
< br>
k

,0


k

< br>
2


k


,0


k



2



三角恒等变换知识点
1、同角关系：
⑴商的关系：①
tan
< br>
ysin

xcos


②
cot



xcos

ysin

yx
cos

tan

④
cos

sin

cot


rr
⑵倒数关系：
tan

cot

1
③
sin


⑶平方关系：
sin

cos

1

2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
c os





cos

cos

sin

sin

；⑵
cos





cos

cos

sin
sin


⑶
sin





sin

cos

cos

s in

；⑷
sin





 sin

cos

cos

sin


⑸
tan






22tan

tan



（
tan< br>
tan

tan




 
1tan

tan


）
1tan

tan

tan

tan



（
tan

tan

tan





1tan

tan

）
1tan

tan

⑹
tan






3、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin2

2sin

cos

1 sin2

sin
2

cos
2

2sin

cos

(sin

cos
< br>)
2

cos2

cos
2

 sin
2

2cos
2

112sin
2



tan2



2tan


2
1tan

5

仁智教育
4、万能公式：
2tan

2tan< br>
1tan
2

tan2


cos2< br>

①
sin2


② ③
22
2
1tan


1tan

1tan

5、
asin

bcos

a
2
b
2
sin(



)




解三角形知识点


1．正弦定理:
abc
2R
或变形：
a:b:csinA:sinB :sinC
.
sinAsinBsinC

b
2
c2
a
2

cosA
222
2bc

abc2bccosA


2
a
2
c
2
b
2

22
2．余弦定理：

bac2accosB
或

cosB
. < br>2ac


c
2
b
2
a
22bacosC


b
2
a
2
c
2

cosC
2ab

3．（1）两类正弦定理解三角形的问题 ：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两
角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
< br>5．解题中利用
ABC
中
ABC

，以及由此推得的 一些基本关系式进行三角变换
的运算，如：
sin(AB)sinC,cos(AB) cosC,tan(AB)tanC,


sin



6
ABCABCABC
cos,cossin,tancot
.
222222

仁智教育

平面向量知识点


1平面向量的坐标运算：



(1) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
ab

x
1
x
2
,y
1
y
2



(2) 若
A
< br>x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，则
AB

x
2
x
1
,y
2
y
1


(3) 若
a
=(x,y)，则

a
=(

x,

y)





(4) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
abx
1
y
2
x
2
y
1
0





(5) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2< br>
，则
abx
1
x
2
y
1
y
2



若
ab
，则
x
1
x
2
y
1
y
2
0


2两个向量的数量积：






已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为

，则
a
·︱
b
︱cos


b
=︱
a
︱ ·




叫做
a
与
b
的数量积 （或内积） 规定
0a0

















7

仁智教育

类型1：已知角度的化简求值
1.
(cos

12121212< br>
4

sin
4
等于（ ） 2.
cos< br>88

sin

)(cos

sin
)
（ ）
3..
sin6cos24sin78cos48
的值为（ ）
4.求
cos

11
cos
2

3
< br>4

5

coscoscos
（ ）
11 111111
5.
2sin
2
2cos4
的值等于（ ）.
6.
代数式
sin15cos75cos15sin105
．
2cos10°－sin20°
7.的值是 ( )
sin70°
8.
oooo
13

.
sin10cos10
sin65
o
＋sin15
o
sin10
o
9.求值：
ooo
sin25－cos15cos803tan12

3
10.求的值．

2
sin12

4cos2

11.
tan70tan503tan70t an50

0000
12.

类型
3tan113tan19tan11tan19
=

2.未知角度的求值与化简
1.已知x为第三象限角，化简
1cos2x
（ ）
A.
2sinx
B.
2sinx
C.
2cosx
D.
2cosx

π4
2．已知x∈(－,0)，cosx＝，则tan2x等于 ( )
25
8

仁智教育
772424
A． B．－ C． D．－
242477
1
3．已知α∈(0,π)，且 sinα＋cosα＝，则tanα的值为 ( )
5
443343
A．－ B．－ 或－ C．－ D． 或－
334434
4. 已知
sin

cos


1
，则
sin2


（ ）
3
11
8
8
A．

B．

C． D．
22
9
9
5. 已知
cos2


244
，则
cos

sin

的值为（ ）
3
A．

4
2
2
B． C． D．1
9
3
3
6、已知
x

2k


（ ）
A、


< br>3


3




,2k




kZ

，且
cos

x


，则
cos2x
的值是
5
44


4

724247
B、

C、 D、
25252525
7、已知
sin

cos2x




12


的值为（ ）
x



x

，则式子



2

4
13

4
cos

x


4

1024512
B、 C、 D、


13131313
1cosxsinx
2
，则
sinx
的值为 （ ） 8、已知
1cosxsinx
A、

A、

9.已 知

为第二象限角，
25sin

sin

2 40
，则
cos
2
443
15
B、

C、

D、


555
5

2
的值为（ ）.
9

仁智教育
A．

3

5
B．

3

5
C．
2

2
D．

4

5
2cos
2
x sin2x
10.设
(2cosxsinx)(sinxcosx3)0
，则 的值为（ ）.
1tanx
A．
8

5
B．
5

8
C．
2

5
D．
5

2
2sin2

cos
2


（ ） 11.
1cos2

cos2

1

2
cos2

sin2

12.已知
sin
2cos

0
，求的值.
1cos
2


A.
tan

B.
tan2

C. 1 D.

13．
已 知α12．已知cosθ＋cos
2
θ＝1，则sin
2
θ＋sin
6
θ＋sin
8
θ＝
sinx cosx
14．f(x)＝的值域为
1＋sinx＋cosx
4m－ 6
15．等式sinα＋3cosα＝有意义，则m的取值范围是 ( )
4－m
7777
A．(－1,) B．[－1,] C．[－1,] D．[―,―1]
3333
16.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=2
.(1)求实数m的范围.(2)当m取最小值时，求
sin(α+β)的值.





17.已知不等式
f

x

32sin
xxx6
cos6cos
2
m 0
对于任意的
4442
10

仁智教育

5
x
恒成立，则实数
m
的取值范围是（ ）.
66
A.
m3
B.
m3
C.
m3
D.
3m3


类型3：两角和与差的诱导公式的运用
1.下列命题中不正确的是（ ）..
．．．
A．存在这样的

和

的值，使得
cos(



)cos

cos

sin

sin


B．不存在无穷多个

和

的值，使得
cos(



)cos

cos< br>
sin

sin


C．对于任意的

和

，都有
cos(



)cos< br>
cos

sin

sin


D．不存在这样的

和

值，使得
cos(

< br>
)cos

cos

sin

sin


2.若
3sinx3cosx23sin(x

)
，

(,)
，则

等于（ ）.
A．－


6
B．


6
C．
5

6
D．

5

6
3
.若均

,

为锐角，
sin

253
,sin(



),则cos


（ ）
55
A.
252525
2525
B. C. D.

或
5255
525
312



，



,


，
sin

，

是第三象限角，则
cos





的
513

2

4、已知
cos
< br>
值是 （ ）
A、

33635616
B、 C、 D、


65656565
54
5、已知< br>
和

都是锐角，且
sin


，
cos






，则
sin

的值是
135
（ ）
A、

33165663
B、 C、 D、
65656565
11

仁智教育
6、设
cos

xy

sinxsin
xy

cosx
（ ）
A、

y
12
，且
y
是第四象限角，则
tan
的值是
2
13
2332
B、

C、

D、


3223
7、已知



0,
（ ）
A、






4


，



0,


，且
ta n






11
，
tan< br>

，则
2



的值是
27
5

2

7

3

B、

C、

D、


63124
παα5π
8．已知0＜α＜，tan＋cot＝，则sin(α－)的值 为
22223
9、已知
sinx
1
，
sin

xy

1
，则
sin

2y x



3
312
3
,)
，
sin(



)
，
si n(

)
，则
cos(

)
.
44134
5
11



)
的值为 .
,cos

cos


，则
tan(43
10．函数y＝5sin(x＋20°)－5sin(x＋80°)的最大值是 。
11.已知

,

(
12.已知
sin

sin


13
．已知

,
为锐角，
cos


1
10
,cos


1
5
,则



的值为

．
sin(

)
15
4
,
求
14.
已知α为第二象限角，且 sinα=

4
sin2

cos2

1






15.已知
0



2
，
tan

2

1
tan
< br>2



5

，试求
sin



的值．
3

2


12

仁智教育


sin2

2co s
2

1



16.已知
tan





，试求式子的值．
1tan

42


17．
已知
< br>




3

123
,cos(



),sin(



),求 sin2

．
24135





18
. 已知

(0,

4
),
(0,

),且tan(



)
12
,tan


1
7
，
求
tan (2



)
的值及角
2



．







类型4：解三角形
1. 在
ABC
中,
a1,b2,A3 0

,
则
B
（ ）
A .
45

B
45

或
135

C
135

D 无解
2. 在
ABC
中，若< br>(abc)(bca)3bc,
则
A
等于（ ）
A
30

B
150

C
60

D
120


abc< br>3.△ABC中，若
A60

，
a3
，则
nsi AsnisnBiC
等于
1
3
A 2 B
2
C
3
D
2

4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形
13
（
( )
D．正三角形
）

仁智教育 5.在△
ABC
中，若
sinAsinBcosAcosB
，则△< br>ABC
一定为（ ）.
A．等边三角形

A＋B
6．在△ABC中，已知tan＝sinC，则以下四个命题中正确的是 ( ) < br>2
(1)tanA·cotB＝1．(2)1＜sinA＋sinB≤2．(3)sinA＋co sB＝1．(4)cosA＋cosB＝
sinC．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．在△ABC中，sinA＋cosA＝
2
，AC＝2，AB＝3，则tanA= ，△ABC的面积为
2
2
2222
B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
2
8
．
在
ABC
中，已知tanA ,tanB是方程
3x7x20
的两个实根，则
tanC
．

9
．
△ABC中，已知
cosA
35
,cosB,求sinC的值

513


13
，
tanB.

45
（1）求角
C
的大小. （2）若
ABC
最大边的边长为
17
，求最小边的边长.
10.在
ABC
中，
tanA






11.在△ABC中，已知
(abc)(abc)3ab，且
2cos
的形状.



14
AsinBsin,C
试确定△ABC

仁智教育
类型5：与平面向量有关三角函数


1、某物体受到恒力是
F 1,3
，产生的位移为
s

sint,cost

， 则恒力物体所做的

功是 （ ）
A、
31
B、
2
C、
22
D、
3



 
2、已知向量
a

2cos

,2sin
< br>
，



90,180

，
b

1,1

，则向量
a
与
b
的夹角为
（ ）
A、

B、

45

C、
135



D、
45






3
. 已知A、B、C是
ABC
三内角，向量
m(1,3),
n(cosA ,sinA),
且m.n=1
(1)求角A;
(2)若







a3sin

x,c os

x
4.已知，
b

cos

x, cos

x



0

，令函数
f

x

a

b
，
1sin2B< br>3,求tanC
.
22
cosBsinB

且f

x

的最小正周期为

．
（1） 求

的值；
（2） 求
f

x

的单调区间．






15

仁智教育

< br>
23cosx2sinx

5.将函数
f

x< br>

的图像按向量得到
a,2
2

平移，< br>2
52cosx23sinxcosx

6

函数
g

x

的图像．
（1） 化简
f

x

的表达式，并求出函数
g

x

的表示式；
（2） 指出函数
g

x

在





,

上的单调性；
22



16