西汉历代皇帝-惊蛰的含义

小学奥数公式汇总
奥数公式

和差倍问题:


和差问题

已知条件

几个数的和与差

和倍问题

差倍问题

几个数的和与倍几个数的差与倍
数

数

公式适用范已知两个数的和，差，倍数关系

围

①（和－差)÷2=较
小数

较小数＋差=较大
数

和÷（倍数＋１)差÷(倍数－1）=
和－较小数＝较大＝小数

小数

公式

数

小数×倍数=大小数×倍数=大
②（和+差)÷2=较数

数

大数

和-小数=大数

小数＋差=大数

较大数-差=较小数

和－较大数=较小
数

求出同一条件下的

关键问题

和与差

和与倍数

差与倍数

年龄问题的三个基本特征:

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;

③两个人的年龄的倍数是发生变化的;

归一问题的基本特点：

问 题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”,题目一般用“照这
样的速度……等词语来表示。

关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;

植树问题：

1 17·····谢阅。。。。。

基本类
型

基本公
式

在直线或者不在直线或者不在直线或者不封
封闭曲
封闭的曲线上封闭的曲线上闭的曲线上植
线上植
植树，两端都植植树,两端都树，只有一端植
树

树

不植树

树

棵数=段数+1

棵数=段数－1

棵数=段数

棵距×段数=总棵距×段数=
棵距×段数=总长

长

总长

关键问
确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系

题

鸡兔同笼问题:

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假 设问题,就是把假设错
的那部分置换出来；

基本思路:

①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):

②假设后，发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;

③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式:

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数)÷(兔脚
数－鸡脚数)

②把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚
数一鸡脚数）

关键问题:找出总量的差与单位量的差。

盈亏问题:

基本概念： 一定量的对象,按照某种标准分组，产生一种结果：按照
另一种标准分组，又产生一种结果，由于

分组的标准不同，造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数
或对象的总量。

基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结
果的变化,根据这个关系求 出参加分配的总份数，然后根据题意求出
对象的总量．
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基本题型：

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①一次有余数，另一次不足；

基本公式:总份数=(余数+不足数）÷两次每份数的差

②当两次都有余数；

基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数)÷两次每份数的差

③当两次都不足；

基本公式:总份数=（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点:对象总量和总的组数是不变的.

关键问题：确定对象总量和总的组数。

牛吃草问题：

基本思路: 假设每头牛吃草的速度为“1份，根据两次不同的吃法,
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的 原因,即可确定草的
生长速度和总草量.
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基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;

关键问题：确定两个不变的量.

基本公式：

生长量=(较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数)÷
（长时间- 短时间）;

总草量＝较长时间×长时间牛头数—较长时间×生长量;

周期循环与数表规律：

周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。

周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：确定循环周期.

闰 年：一年有366天；

①年份能被４整除；②如果年份能被10０整除，则年份必须能被40
０整除;

平 年：一年有365天。

①年份不能被４整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整
除;

平均数：

基本公式：①平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数＝总数量÷平均数

②平均数＝基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数

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基本算法:

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算．

②基准数法：根据给出的数之 间的关系，确定一个基准数；一般选
与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求< br>所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平
均数;最后求这个差的平均数和 基准数的和,就是所求的平均数,具
体关系见基本公式②
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抽屉原理:


抽屉原则一:如果把（ｎ+1)个物体放在n个抽屉里,那么 必有一个抽
屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分 解成三个整数的和,
那么就有以下四种情况：

①4=４＋0+0 ②4＝3+1＋０ ③4=2+2+0 ④４=2+1+１

观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点 :总有那么一
个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有
２个物体。< br>...文档交流 仅供参考...
抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n〉m， 那么必有
一个抽屉至少有：

①ｋ=［nｍ ]+1个物体：当n不能被m整除时.

②k＝n／m个物体:当n能被m整除时。

理解知识点：［X］表示不超过X的最大整数.

例[4.35１]＝4；［0。321]=0；[2.99９9]＝2;

关键问题： 构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后
依据抽屉原则进行运算。

定义新运算：

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种
基本(混合）运算。

基本思路:严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加
减乘除的运算，然后按照基 本运算过程、规律进行运算。
...文档交流 仅
供参考...
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义.

注意事项:

4 17·····谢阅。。。。。

①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

数列求和：

等差数 列：在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列
数,就叫做等差数列.

基本概念：首项:等差数列的第一个数,一般用ａ1表示;

项数:等差数列的所有数的个数,一般用ｎ表示;

公差:数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;

通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示；

数列的和：这一数列全部数字的和,一般用Sn表示．

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,ａn， d， n,sn，，通
项公式中涉及四个 量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公
式中涉及四个量,如果己知其中三个，就可以求这第四 个。
...文档交流 仅
供参考...
基本公式：通项公式:an = a1＋(ｎ-1)d;

通项=首项+(项数一1)×公差；

数列和公式:ｓn,= (a1＋ an）×n÷２;

数列和=（首项＋末项)×项数÷2；

项数公式:n＝ (ａn+ ａ１)÷d＋１；

项数=（末项-首项）÷公差+１；

公差公式：d =(an—ａ1）)÷(n－1）;

公差=(末项—首项）÷(项数－1)；

关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;

二进制及其应用：
< br>十进制：用０～9十个数字表示，逢10进１;不同数位上的数字表
示不同的含义,十位上的2表 示20，百位上的2表示200.所以23４
＝20０+3０+4=２×102+３×10＋4。
...文档交流 仅供参考...
=Ａn×１0ｎ－1+An—1×１0n
－2+An－2 ×１0n－3+Ａn-3×１０n-4＋An－4×10n—5＋Aｎ－6×
1０ｎ－7+……+A3× 102+A2×101+A1×1０0
...文档交流 仅供参考...
注意：N0=１;Ｎ１=N(其中N是任意自然数）

二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示
不同的含义。

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(2）= An×2ｎ－1+Ａn—１ ×2n-2+Ａn—2×2n-3+An－3×２
n-4+An-4×2n—５+Ａn-6×２ｎ—7< br>...文档交流 仅供参考...
+……＋A3×２2＋A２×２1+Ａ1×20

注意：An不是０就是1。

十进制化成二进制：

①根据二进制满 ２进1的特点，用２连续去除这个数,直到商为0，
然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。< br>...文档交流 仅供参考...
②先找出不大于该数的２的n次方，再求它们的差,再找不大 于这个
差的2的n次方，依此方法一直找到差为０,按照二进制展开式特点
即可写出。
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加法乘法原理和几何计数：

加法原理：如果完成 一件任务有n类方法，在第一类方法中有m
1
种
不同方法，在第二类方法中有m
２
种不同方法……,在第n类方法中
有m
n
种不同方法,那么完成这件任务 共有：m
1
＋ m
２
..。．..． ＋
ｍ
n
种不同的方法。
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关键问题：确定工作的分类方法。

基本特征:每一种方法都可完成任务。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有
m
1
种方法 ,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m
２
种方法……不管
前面n-1步用哪种方法 ,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共
有:ｍ
1
×m
2
。。 ..。.。×ｍ
ｎ
种不同的方法.
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关键问题:确定工作的完成步骤。

基本特征:每一步只能完成任务的一部分。

直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

直线特点：没有端点,没有长度。

线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。

线段特点:有两个端点，有长度。

射线:把直线的一端无限延长。

射线特点：只有一个端点；没有长度。

①数线段规律：总数＝1＋2+３+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3＋…＋(射线数一１);

③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：

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④数长方形规律：个数＝１×１＋2×2+3×3＋…+行数×列数

质数与合数:

质数：一个数除了1和它本身之外,没有别的约数，这个数叫做质数，
也叫做素数。

合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。

质因数：如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的
质因数。

分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因
数。通常用短除法分解质因数。任何 一个合数分解质因数的结果是
唯一的.
...文档交流 仅供参考...
分解质因数的标准表示形式：N＝ ，其中ａ
1
、a
2
、a
３
……ａ
ｎ
都是合数Ｎ的质因数，且a
1
＜ａ
2
< ａ
3
<……〈a
ｎ
.
...文档交流 仅
供参考... < br>求约数个数的公式：Ｐ＝（r
1
＋1)×（r
2
+1）×（r
3
+1)×……×(r
n
＋1）

互质数：如果两个数的最大公约数是１,这两个数叫做互质数。

约数与倍数：

约数和倍数:若整数ａ能够被b整除，ａ叫做b的倍数，b就叫做a
的约数。

公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数；其中最大的一
个,叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质:

1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数.

２、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

3、 几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。

4、 几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个
数的最大公约数乘以m。

例如:12的约数有1、2、3、4、6、1２;

18的约数有:1、２、3、６、9、１8;

那么12和１8的公约数有：1、２、3、６;

那么12和18最大的公约数是：６,记作（12，18)=６；

求最大公约数基本方法:

1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

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2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。

3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,
就是所求的最大公约数。

公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一
个,叫做这几个 数的最小公倍数。

12的倍数有：12、2４、３6、48……；

18的倍数有：1８、３６、5４、７2……；

那么12和１8的公倍数有:36、７2、108……；

那么12和18最小的公倍数是36，记作[1２，18]=３6；

最小公倍数的性质：

1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

２、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数
的方法

数的整除：

一、基本概念和符号：

１、整除:如果一个整数a， 除以一个自然数b,得到一个整数商c，
而且没有余数,那么叫做a能被ｂ整除或b能整除a,记作b| a.
...文档
交流 仅供参考...
2、常用符号：整除符号“｜”，不能整除符号“ ”;因为符号“∵”，
所以的符号“∴”；

二、整除判断方法：

1． 能被2、5整除：末位上的数字能被2、５整除。

２。 能被4、2５整除：末两位的数字所组成的数能被4、2５整除。

3． 能被8、1２５整除：末三位的数字所组成的数能被8、1２5整
除。

4。 能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被
7整除.

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

６. 能被1１整除:

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①末三位上 数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

７. 能被13整除：

①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除.

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被１3整除。

三、整除的性质:

1。 如果ａ、b能被ｃ整除，那么(a+b)与(ａ-b)也能被c整除。

２. 如果ａ能被b整除,c是整数，那么a乘以c也能被ｂ整除。

3。 如果a能被b整除，b又能被c整除,那么ａ也能被c整除.

4。 如果ａ能被b、ｃ整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整
除。

余数及其应用：

基本概念：对任意自然数ａ、ｂ、q、r，如果使得a÷b=q…… ｒ，
且0...
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余数的性质：

①余数小于除数。

②若a、b除以c的余数相同，则ｃ｜a-ｂ或ｃ｜b—a。

③a与b的和除以ｃ的 余数等于a除以ｃ的余数加上b除以c的余
数的和除以ｃ的余数。

④a与b的积除以ｃ的余数等于a除以c的余数与ｂ除以ｃ的余数
的积除以c的余数。

余数、同余与周期:

一、同余的定义：

①若两个整数a、b除以ｍ的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、ｂ、m,如果m｜a—ｂ,就称a、b对于模m同余,
记作a≡b（mod ｍ）,读作ａ同余于b模m.
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二、同余的性质：

①自身性：a≡a（mod m）；

②对称性:若a≡ｂ（ｍod ｍ)，则ｂ≡a（mod m）;

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③传递性:若a≡ｂ(mod m），b≡c（mod m)，则a≡ c(mod m）；

④和差性：若a≡b（ｍｏｄ m），c≡d（mod m),则a+ｃ≡ｂ+d
（mod m），a-ｃ≡ｂ-d（moｄ m）;
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⑤相乘性:若a≡ ｂ（ｍｏd m),c≡d（ｍｏd ｍ），则a×c≡ ｂ
×d（ｍｏd m)；

⑥乘方性：若ａ≡b（mｏd m）,则an≡bｎ(ｍoｄ m)；

⑦同倍性:若a≡ b（mod ｍ）,整数ｃ，则ａ×c≡ ｂ×c(mod m×
c）；

三、关于乘方的预备知识:

①若A＝ａ×b,则ＭA=Ma×ｂ=（Ma）b

②若B=ｃ+d则MB=Mc+d=Ｍc×Ｍd

四、被3、9、11除后的余数特征：

①一个自然数Ｍ，n表示M的各个数位上数字的和,则M≡ｎ（mod ９)
或（mod ３）;

②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各
个偶数数 位上数字的和,则M≡Y－X或Ｍ≡１1—（X—Y）(ｍod 11)；
...
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五、费尔马小定理:如果ｐ是质数(素数）,ａ是自然数,且ａ不能被
p整除 ，则aｐ—1≡1（moｄ ｐ）。

分数与百分数的应用：

基本概念与性质:

分数：把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。

分数的性质：分数 的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),
分数的大小不变.

分数单位：把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。

百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数.

常用方法：

①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果）进行思考。

②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关
系。

③转 化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常
见的是转换成比例和转换成倍数关系;把 不同的标准(在分数中一般
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指的是一 倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方
法是确定不同的标准为一倍量。
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④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设
成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果,然后再进行调
整，求出最后结果。
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⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中，总有一个量是不变的,不
论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。B、 总量发生变化，但其中有的分量
不变。Ｃ、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化.
...文
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⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、
量率关系明朗化。

⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况.

分数大小的比较：

基本方法：

①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母
的关系比较。

②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分
子的关系比较.

③基准数法:确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母
越大的分数值越大.

⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了
运用以上方法外，可以用同 倍率的变化关系比较分数的大小.（具体
运用见同倍率变化规律）
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⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值）后进行比
较.

⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。

⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

⑨倒数比较法:利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

⑩基准数比较法:确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

分数拆分:

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一、 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：


完全平方数:

完全平方数特征:

１. 末位数字只能是:0、１、4、5、6、9;反之不成立.

2. 除以3余０或余1;反之不成立。

3. 除以４余0或余1；反之不成立。

4。 约数个数为奇数；反之成立.

5。 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

６. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

7。 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数.

平方差公式：X2－Y２=（X-Ｙ）（X＋Ｙ)

完全平方和公式:（X+Y）2=X2＋２ＸY+Ｙ2

完全平方差公式:（Ｘ—Ｙ）2＝X2—2XY+Y2

比和比例：

比:两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后
面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值.

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外)，比
值不变。

比例:表示两个比相等的式子叫做比例。ａ：b＝c:d或

比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，aｄ＝bc.

正比例：若A 扩大或缩小几倍,Ｂ也扩大或缩小几倍（AＢ的商不变
时),则Ａ与B成正比.

反比 例:若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时）,
则Ａ与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配.

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综合行程：

基本概念:行程问题是 研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、
路程三者之间的关系.

基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间＝速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题:顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=(船速- 水速）×逆水时间

顺水速度=船速＋水速

逆水速度=船速-水速

静水速度=(顺水速度+逆水速度）÷2

水 速=(顺水速度－逆水速度）÷２

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式.

主要方法：画线段图法

基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程）、时间（相遇时 间、追
及时间）、速度（速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。
...
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工程问题:

基本公式：

①工作总量=工作效率×工作时间

②工作效率＝工作总量÷工作时间

③工作时间=工作总量÷工作效率

基本思路:

①假设工作总量为“１”（和总工作量无关）；

②假设一个方便的数为工作总量(一 般是它们完成工作总量所用时
间的最小公倍数），利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作
效率及工作时间。
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关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。

经验简评:合久必分，分久必合.

逻辑推理：

基本方法简介：

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①条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个
假设去判断,如果有与题设条件矛盾的 情况，说明该假设情况是不成
立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设ａ是偶数成立，在
判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。
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②条件分析-列表法:当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时,
就需要进行列表来辅助分 析。列表法就是把题设的条件全部表示在
一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况， 观察
表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
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③条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用
连线表示两个对象之间的关系，有连线 则表示“是，有”等肯定的
状态，没有连线则表示否定的状态.例如A和B两人之间有认识或不
认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
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④逻辑 计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要
进行相应的计算，根据计算的结果为推理提 供一个新的判断筛选条
件。
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⑤简单归纳与推理:根 据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规
律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的 关系式，
从而得到问题的解决.
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几何面积：

基本思路:

在一些面积的计算上，不能直接运用公式 的情况下，一般需要对图
形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则
的图 形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的
面积规律。
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常用方法：

１. 连辅助线方法

2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。

3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意
点设置在特殊位置上).

４． 利用特殊规律

①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平 方
除以4等于等腰直角三角形的面积)

②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。

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③圆的面积占外接正方形面积的７8。5%。

立体图形：

时钟问题—快慢表问题：

基本思路:

１、 按照行程问题中的思维方法解题;

2、 不同的表当成速度不同的运动物体；

3、 路程的单位是分格（表一周为6０分格）；

4、 时间是标准表所经过的时间;

5、 合理利用行程问题中的比例关系；

时钟问题-钟面追及：

基本思路:封闭曲线上的追及问题。

关键问题:①确定分针与时针的初始位置;

②确定分针与时针的路程差;

基本方法:

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格， 每小格我们称为1分格。分针
每小时走6０分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格，时针每分钟走１／12分格。
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②度数方法:

从角度观点看，钟面圆周一周是３6０°，分针每分钟转 ３60６０
度，即6°，时针每分钟转3６012X6０度,即1／２度。
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浓度与配比：

经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系 ，进行混合
的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等)叫溶剂。

溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量=溶质重量＋溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度= 溶质溶液×10０%=溶质(溶剂+溶质）×1０0％

理论部分小练习:试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式.

经验总结：在配比的过 程中存在这样的一个反比例关系,进行混合的
两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

经济问题：

利润的百分数＝（卖价—成本)÷成本×100%；

卖价=成本×（1+利润的百分数)；

成本=卖价÷（1+利润的百分数);

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×(1+期望利润的百分数）；

本金：储蓄的金额;

利率：利息和本金的比;

利息=本金×利率×期数；

含税价格＝不含税价格×(1+增值税税率);

经济问题：

利润的百分数＝（卖价－成本）÷成本×100%；

卖价=成本×(1＋利润的百分数)；

成本=卖价÷(１＋利润的百分数）；

商品的定价按照期望的利润来确定；

定价=成本×(１+期望利润的百分数）;

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比;

利息=本金×利率×期数;

含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）;

不定方程：

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一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元 一次方程，
由于它的解不唯一,所以也叫做二元一次不定方程；
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常规方法：观察法、试验法、枚举法；

多元不定方程:含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不
唯一；

多元不定方程解法:根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一
个未知数，这样就把三元一次方程变 成二元一次不定方程，按照二
元一次不定方程解即可；
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涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较;

解不定方程的步骤：1、列方程；2、 消元;3、写出表达式；4、确定
范围；5、确定特征;6、确定答案；

技巧总结： Ａ、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特
征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示 范围大的未知数；
B、消元技巧:消掉范围大的未知数;
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循环小数：

一、把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环 小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作
为分子,分母的各位都是9，９的个数与循环节 的位数相同，最后能
约分的再约分.
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②混循环小数 小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数
部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数 之差，分母的
头几位数字是9，９的个数与一个循环节的位数相同，末几位是０,0
的个数与不 循环部分的位数相同。
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二、分数转化成循环小数的判断方法:

①一个最简分数,如果分母中既含有质因数２ 和5,又含有2和5以
外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。
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②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这
个分数化成的小数必定是纯循环小数。

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