火力发电厂生产过程-道路从业资格证考试

线段的和差倍分问题的证明
一、运用定理法
即直接或间接运用 某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类
定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线 定理；直角三角形30°的锐角
所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 。
例1 如图，在△
ABC
中，∠
B
=2∠
C
，
AD
⊥
BC

于
D，M
为
BC
中点.
1
求证：
DM
=
AB
2
2
B
D
M
A
N
3
1
C
对应练习
1、已知：如图所示，点D、E分别是等边
ABC
的边AC、BC上的点，AD=C E，BD、AE交于
点P，
BQAE
于Q．求证：
PQ
1
PB
．
2
A


P
D


Q


B
C
E
2、如图所示， 在
ABC
中，AB=AC，
BAC90
，BE平分
ABC
，交AC于D，
CEBE
于E点，求证：
CE





3、如图所示，在
ABC
中，
AB
1
BD
．
2
A
D
E
B
C
1
BC
，D是BC的中点，M是BD的中点．求证：AC=2AM．
2

A



B
C

M
D
4、已知：如图所示，D是
ABC
的边BC上一点，且C D=AB，
BDABAD
，AE是
ABD
的中线．求证：AC=2A E．
A

1
B
E
D
C

5、已知：如图所示，锐角
ABC
中，
B2C
，BE是角平分线，
ADBE
，垂足是D．求
证 ：AC=2BD．

A

E


D
二、割补线段法
B
C
这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即 通过“分割”或“添补”
的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍
分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，
往往通过添辅助 线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。
但在添加辅助线之前一定要结合题意和 图形深入分析，想一想，图形中是否已经
存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只 能把图形复杂
化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。
例2、
P
是正方形
ABCD
的边
BC
上的任意一点，
AQ
平分∠
PA D
.
求证：
AP
=
BP
+
DQ
.


例3、 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AE是经过点A的一条直线，交 BC
于F，且B
、
C在AE在的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
求证：
DB
=
DE
+
CE
。


A
D
F
B
E
C
对应练习

1、如图所示，已知
ABC
中，
A60
，BD、CE分别平 分
ABC
和
ACB
，BD、CE交
于点O．求证：BE+CD= BC．
A


E

D
O

B

C
2

2、如图所示，已知ABC
中，
A2B
，CD是
ACB
的平分线，求证： BC=AC+AD．

A


D


B
C

3、如图所示，若E为正方形ABCD的边BC上一点，AF为< br>DAE
的平分线，AF与CD相交于
F点．求证：AE=BE+DF．

A
D



F

B
C
E



4、如图所示，等边
ABC
和等边< br>BDE
，点A在DE的延长线上，求证：BD+DC=AD．

C


D

E


A
B
三、比例线段法
即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得< br>出线段之间的和差倍分关系。
例5 如图，在△ABC中，BD是∠B的平分线，△ABD的外 接园交BC于E，
若AB=
1
AC，
2
A
D
求证：
CE
=2
AD
。


B
E
C




3

证明线段的和差倍分问题作业

1、如图所 示，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上的任意一点．（1）求证：P点到两腰的
距离之和等于腰上 的高．（2）若P点在BC的延长线上，那么点P到两腰的距离与腰上的高
三者之间存在什么关系？
A



D

F

E
M

B
C
P

2、如图所示，等腰三角形 ABC中，AB=AC，
A108
，BD平分
ABC
．求证：BC= AB+DC．


A

D


C
B


3、如图所示，已知
ABC
是等腰三角形，AB =AC，
BAC45
，AD和CE是高，它们相
交于H，求证：AH=2BD．
A



E

H

B
D
C









4

线段的和差倍分问题的证明
一、运用定理法 < br>即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类
定理和推论有：三角形 中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角
所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△
ABC
中，∠
B
= 2∠
C
，
AD
⊥
BC

于
D，M
为
BC
中点.
1
求证：
DM
=
AB

2
2
B
D
M
A
N
3
1
C
分析：如图，因为
1
AB
等于△
ABC
的
2中位线NM的长，所以原命题就转化为证明
DM
＝
NM
。∵
DN
为
Rt
△
ADC
斜边上的中
线，∴
DN
=
NC
；∴∠2=∠
C
，又∵2∠
C
=∠
B
=∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠
C
，∴
DM
=
MN
，
问题得证。
说明：证明线段的 和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的
和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。 “转化”是证明线段的和差倍分
问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到 化未知

5

为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说 来，运用定理法证明线段的和差倍
分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。
1、已 知：如图所示，点D、E分别是等边
ABC
的边AC、BC上的点，AD=CE，BD、AE 交于
点P，
BQAE
于Q．求证：
PQ
1
PB
．
2
A


P
D


Q


B
C
E

2、已知：如图所示，在ABC
中，AB=AC，
A120
，AB的垂直平分线MN分别交BC、
AB于点M、N．求证：CM=2BM．








能力挑战1、如图所示，在
ABC
中，
AB
AC=2AM．






1
BC
，D是BC的中点，M是BD的中点．求证：
2
A
B
M
D
C
能力挑战2、已知：如图所示，在
AB C
中，BD是AC边上的中线，BH平分
CBD,AFBH
，
分别交BD 、BH、BC于E、G、F．求证：2DE=CF．

A
D
E
【经典练习】
H
1
G
1、如图所示，已知
ABC< br>中，
12
，AD=DB，
DCAC
．求证：
ACA B
．
B
2
C
F

A

1
2

C

B

D
6

2、已知：如图所示，D是
AB C
的边BC上一点，且CD=AB，
BDABAD
，AE是
ABD< br>的中线．求证：AC=2AE．

A



B C
D
E

E
E
3、已知：如图所示，在
A BC
中，AB=AC，
BAC120
，D是BC的中点，
DEAB< br>于
E．求证：EB=3EA．
A

E


B C
D






B AC120
，4、已知：如图所示，在
ABC
中，AB=AC，P是BC上一点 ，且
BAP90
．求
证：PB=2PC．

A


B

C
P



5、已知：如图所示，锐角
ABC
中，
B2C
，BE是角平分线 ，
ADBE
，垂足是D．求
证：AC=2BD．

A

E


D
6、如图所示，在
ABC
中，AB =AC，
BAC90
，BE平分
ABC
，交AC于D，
CE BE
C
B
1
于E点，求证：
CEBD
．
A
2




D
E
B
C

7

二、割补线段法
这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”< br>的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍
分关系，从而将多 线段问题转化为两线段问题。
例2 如图，在△
ABC
中，
BD
=
FC
，
FG
∥
DE
∥
BA
，
D< br>、
F
在
BC
上，
E
、
G
在
AC
上.
求证：
FG
=
AB
-
DE

分析：本题的关键在于构造一条线段，
使之等于（
AB
-
DE
）,如图，在
AB
上载取线
段
AH
=
DE
，则
AB
-
DE
=
BH
，从而把原命题转化
为证明
FG
=
BH
的问 题，进而通过证△
BHD
≌
FGC
，使原命题得证。
例3 如图，
P
是正方形
ABCD
的边
BC
上的任意一点，
AQ
平分∠
PAD
.
求证：
AP
=
BP
+
DQ
.
证明：延长
PB
至
E
，使
BE
=
DQ
，
∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
BA
=
AD，∠
EBA
=∠
QDA
=90°
∴△
ABE
≌△
ADQ
，∴∠
E
=∠4，∠3=∠1，
∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠
PAQ
=∠
BAQ
=∠4 ∴∠
E
=∠
PAE
，∴
PE
=
AP
， 既
BP
+
BE
=
AP
，
∴
BP
+
DQ
=
AP

说明：例2通过“ 分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的
形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为 两条线段的问题，值得注意的是：

8
A
E
H
B
D
F
G
C
E
B
3
2
P
C
Q
D
1
A

在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段
的“和”或“倍”，还 是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，
这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“ 和”与“差”，“倍”与“分”是可
以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的 已知条件，
即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。
从以上三个例 题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，
构造出能表示线段的和差倍分关系的线段， 促使问题的转化。但在添加辅助线之
前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能 表示有关线
段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。
下 面请看一个例子。
例4 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AE是经过点A的一条直线，交BC
于F，且B
、
C在AE在的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
求证：
DB
=
DE
+
CE
。
A
分析：通过分析题目的已知条件可知：
△
ABD
≌△
CAE
,从而得
AD
=
C E
，则
DE
+
CE
=
AE
，
而
BD
=
AE
，原命题得证。
B
D
F
C
E
常规题型1、如图所示，已知
ABC
中，< br>A60
，BD、CE分别平分
ABC
和
ACB
，< br>BD、CE交于点O．求证：BE+CD=BC．
A


E

D
O


B
C




能力挑战1、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，
BAC90
，AD=AE，
AFBE
交
BC于F，过点F作
FGCD
于M，交BE延长线于点G，求证：BG=AF+FG．

G

A
E

D

M

B
F
C
9

能力挑战2、如图 所示，在
ABC
中，AB=AC，
A100
，BE平分
A BC
，求证：AE+BE=BC．

A

E


C
B


【练习】
1、如图所示，已知< br>ABC
中，
A2B
，CD是
ACB
的平分线，求证 ：BC=AC+AD．

A

2、如图所示，若E为正方形ABCD的边 BC上一点，AF为
DAE
的平分线，
D
AF与CD相交于
F点．求证：AE=BE+DF．

A
B
D
C



F

B
C
E

3、如图所示，已知
ABC
和
ADE
均 为等边三角形，B、C、D在一直线上，求证：CE=AC+CD．
E


A



B
D
C



C90
，4、如图所示，已知在
ABC
中，AC=BC， AD是
BAC
的平分线，求证：AB=AC+CD．

C


D


B
A


5、如图所示，等边
ABC
和等边
BDE
，点A在DE的延长线上， 求证：BD+DC=AD．

C

10
D
E

三、比例线段法
即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得< br>出线段之间的和差倍分关系。
例5 如图，在△ABC中，BD是∠B的平分线，△ABD的外 接园交BC于E，
若AB=
1
AC，
2
A
D
求证：
CE
=2
AD
。
B
分析与证：
因为“
CE
=2
AD
”与“
AB
=
E
C
1
AC
”的倍分关系一致，因此想办法通过比例式将
2
这些线段联系起来，连接
DE
，则∠
CDE
=∠
ABC
，故 △
CDE
∽△
CBA
，得
CE
：
DE
=< br>AC
：
AB
=2，又由
BD
为∠
ABC
的平 分线得
DE
=
AD
，所以
CE
：
AD
=2 ，即
CE
=2
AD
。
运用定理法、割补法和比例线段法是证明线段 的和差倍分问题常用的方法，
它们的共同点是：通过变换，促使问题的转化从而达到证明的目的。鉴于几 何问
题的复杂多样性，在证明线段的和差倍分问题时，不应局限于这三种方法，而应
积极开动脑 筋，拓展思路，即能够运用定势思维进行思考，又要防止定势思维的
局限性。



证明线段的和差倍分问题作业

1、如图所示，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上的任意一点．（1）求证：P点到两腰的
距离之和等于腰上的高．（2）若P点在BC的延长线上，那么点P到两腰的距离与腰上的高
三者之间 存在什么关系？
A



D
F

11
E
M
B
P
C

2、如图所示，等腰三角 形ABC中，AB=AC，
A108
，BD平分
ABC
．求证：BC =AB+DC．


A

D


C
B







3、如图所 示，已知
ABC
是等腰三角形，AB=AC，
BAC45
，AD和C E是高，它们相
交于H，求证：AH=2BD．
A



E

H

B
D
C

4 、如图所示，在
ABC
中，
ACB90
，P是AC的中点，过A过B P的垂线交BC延长
线于点D，E是垂足．若
DBE30
，求证：BP=4PE ．


A

E
P



B
D
C





12