七月七日记-一曝十寒造句

实际问题与一元一次方程（一）基础
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤


方程

解答．由此可得解决此类 列方程解应用题的基本思路为：问题

题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。
（2）“找”寻找等量关系；
（3）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为
x
，但有时也可以间接设未知数；
（4）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类
量，单位要统一；
（5）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（6）“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（7）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
分析
抽象
求解
检 验
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型

1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量- 降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以 及倍，增
长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水流速度；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来
考虑．

3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
1

【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．2011年北京市生产运 营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产
运营用水的3倍还多0.6亿 立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?
【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米．
依题意，得5.8-x＝3x+0.6
解得x＝1.3
5.8-x＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
【总结升华】本题要求两 个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示．本题的相
等关系是生产运营用水量 +居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．
举一反三：
【变式】(麻城期末考试)麻商集团三 个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2
倍．第三个季度销售量是第一个季度 的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?
【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台 ，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x
台，依题意可得：x+2x+4x＝2800，
解得：x＝400
答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．
类型二、行程问题
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4 千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，
如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可 到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
【答案与解析】
解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．
所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．
答：学校到县城的距离是12.5千米．
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法 ．即所设的不是最后所求的，而是通过求
其它的数量间接地求最后的未知量．
举一反三： < br>【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米时，下坡的速度为20千米时，求汽车的平均速度．
【答案】
解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米时，则上 坡行驶的时间为
a
小时，下坡行驶的
10
时间为
a

a

a


x2a
， 小时．依题意，得：

20

1020

化简得：
3ax40a
．
显然a≠0，解得
x13

1
3
2

答：汽车的平均速度为
13
千米时．
1
3
2.相遇问题（相向问题）

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】
3． A、 B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是
23kmh， 乙的速度是21kmh，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解:设甲经过x小时与乙相遇.
由题意得：
231

2321

(x1)100

解得，x=2.75
答：甲经过2.75小时与乙相遇．
【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三：

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走
2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
【答案】
解：设乙每小时行驶
x< br>千米，则甲每小时行驶(
x
+2.5)千米，根据题意，得：
2(x2.5)2x45

解得：
x10

x2.5102.512.5
（千米）
答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一
紧 急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米时的速度按原路追上去，通讯员用多少分
钟可 以追上学生队伍?
【答案与解析】
解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，
得
14x5
得：
x
18
5x
，
60
1
1
， 小时=10分钟．
6
6
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：路 程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单
位不一致，应先统一单位．
4.航行问题（顺逆风问题）
5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小 时，逆水航行需5小时，已知水流速度
是4千米时，求这两个码头之间的距离．
【答案与解析】
解法1：设船在静水中速度为x千米时，则船顺水航行的速度为(x+4)千 米时，逆水航行的速度为(x-4)
千米时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4) ，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）
3

答：两码头之间的距离为60千米．
解法2：设A、B两码头之间的距离为x 千米，则船顺水航行时速度为
千米时，由船在静水中的速度不变得方程：
xx
千米时， 逆水航行时速度为
35
xx
44
，解得：
x60

35
答：两码头之间的距离为60千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度- 水流速度，根据两个码头的距离不变
或船在静水中的速度不变列方程．
类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注 满水池；甲管单独开15小时可以注
满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需 要几小时能注满水池?
【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么 甲乙合注1小时注水池的
117

11



． ，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的

1015

101510

【答案与解析】
解：设乙管还需x小时才能注满水池．
由题意得方程：

7

11



x1

10

1015

解此方程得：x＝9
答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．
【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ．
举一反三：

【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完 成需18天，丙单独完成需12
天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、 丙合作完成问乙中途离开了几
天?
【答案】
解：设乙中途离开
x
天，由题意得
111
7(7x2)21

141812
解得：
x3

答：乙中途离开了3天
类型四、调配问题（
比例问题、劳动力调配问题
）

7．星光服装厂 接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3
条，一件上衣和一条 裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣
和裤子才能恰好配套 ?共能生产多少套?
【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣< br>此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．
【答案与解析】
解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为
2
件，或做 裤子1条，
3
x
750x
2
件，做裤子的件数为
3< br>，
3
3
4

则有：
2x3(750x)


33
4502
300
（套）
3
解得：x＝450，
750-x＝750-450＝300(m)，
答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】
【变式 】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
解：设从 甲队调出x人到乙队.由题意得，
3
.
4
72x
3

68x


4
3
.
4
解得，x=12.
答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的

实际问题与一元一次方程（二）（提高）
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方 程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增
长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来
考虑．
5

3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二 次旅程中用去剩余汽油的40%，
这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多 少公斤？
【答案与解析】
解：设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40%
解得：x=10
答：油箱里原有汽油10公斤.
【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
举一反三：
【变式】 某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26
张，这个班 有多少学生?一共展出了多少张邮票?
【答案】
解：设这个班有x名学生，根据题意得：
3x+24＝4x-26
解得：x＝50
所以3x+24＝3×50+24＝174
答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．
类型二、行程问题
1.车过桥问题
2.

某桥长1200m，现 有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，
而整个火车在桥上的时间 是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．
【答案与解析】
解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
1200x1200x

，
5030
解得：x＝300，
所以
1200x1200300
30
．
5050
答：火车的长度是300m，车速是30ms．
【点评】火车“完全过桥” 和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火
车头)：


6

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
(2)火车 完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量
关系是 火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
举一反三：
【变式】某要塞有步 兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米
的桥，从第一排上 桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x分钟，列方程得：

692

86x

1

186
，
4

解得：x＝3
答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．
2.相遇问题（相向问题）

3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地 到A地，两人都匀速前进.已知两人在上午8
时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午 12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的
路程.
【答案与解析】
解：设A、B两地间的路程为
x
千米，由题意得：
x36x36


24
解得：
x
108．
答：A、B两地间的路程为108千米.
【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变， 进而A、B的速度和不变.利用速度和=小李和小明前
进的路程和／时间可得方程．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】 【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km，已知甲车的速度是70kmh，乙车的速度是
52kmh，求A、B两站间的距离.
【答案】
解：设A、B两站间的距离为
x
km，由题意得：
解得：x=122
答： A、B两站间的距离为122km.
2x34x34


7052
3.追及问题（同向问题）
4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时 后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比
卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突 遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但
7

速度减小了
1
，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度．
3
【答案与解析】
解：设卡车的速度为x千米时，由题意得：
11
2xxx2x(x30)(1)(x30)2

43
解得：x=24
答：卡车的速度为24千米时．
【点评 】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，
理清两车 行驶的速度与时间．
4.航行问题（顺逆风问题）
5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 2.5千米时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后
溯江而上到C地下船，共乘船4小时．已知A 、C两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米
时，求A、B两地间的距离．
【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（1）C地在A、B之间；（2）C地在A地上游．
【答案与解析】
解：设A、B两地间的距离为x千米．
(1)当C地在A、B两地之间时，依题意得．

xx10
4

7.52.57.52.5
解这个方程得：x＝20(千米)
(2)当C地在A地上游时，依题意得：
xx10
4

7.52.57.52.5
20
解这个方程得：
x

3

答：A、B两地间的距离为20千米或
20
千米． < br>3
【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然 后利用
“共乘”4小时构建方程求解．
5.环形问题
6．环城自行车赛，最快的人 在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度
的3倍，环城一周是20千米，求 两个人的速度.
【答案与解析】
解；设最慢的人速度为x千米时，则最快的人的速度为
x×-x×=20
x千米时， 由题意得:
解得：x=10
8

答：最快的人的速度为35千米时，最慢的人的速度为10千米时.
【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程 - 最慢
人骑的路程=20千米.
举一反三：

【变式】两人沿着边长为90 m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65mmin的速度，
乙从B以72mmin 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?

【答案】
解：设乙追上甲用了x分钟，则有：
72x-65x＝3×90

x
270
（分）
7
270
≈2777
(m) 此时乙在AD边上
7
答：乙第一次追上甲时走了
72
类型三、工程问题

7 ．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8
小时可 注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙
管，问打开 丙管后几小时可注满水池?
【答案与解析】
解：设再过x小时可把水注满．由题意得：
11111
()2()x1

68689
304
解得：
x2
．
1313
4
答：打开丙管后
2
小时可把水放满．
13
【点评】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．
举一反三：

【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割
2
后，改用新式农机，工作效
3
率提高到原来的
1
倍，因此 比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．
【答案】
解：设这块水稻田的面积为
x
亩，由题意得：
1
2
21
xx
x
33

1

44
1
1
4
2
解得：
x36
．
答：这块水稻田的面积为36亩．
9

类型四、配套问题（
比例问题、劳动力调配问题
）

8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m
3
或运土3 m
3
，为了使挖
出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?
【答案与解析】
解：设安排x人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：
5x＝3(120-x)，
解得x＝45．
120-45＝75(人)．
答：应安排45人挖土，75人运土．
【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．
举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 配制问题】 < br>【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为
使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克 ？
【答案】
解：设要用A种糖果x千克，则B种糖果用(100-x)千克.依题意，得：
28x+20(100-x)=25×100
解得：x=62.5.
当x=62.5时，100-x=37.5.
答：要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.

实际问题与一元一次方程（三）（基础）
【学习目标】
(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；
(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）

1．利润问题
（1）
利润率=
利润
100%

进价
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈 利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价
的十分之几或百分之几十销售．
2．存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
10

（6）月利率＝年利率×
1

12
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数 的个
位数字为a，十位数字为b
，
则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案 ，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下
结论．
【典型例题】
类型一、利润问题
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 利润问题例2】 < br>1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的
方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？
【答案与解析】
解：设该商品的成本 为
a
元，则商品的现价为(1+30%)
a
元，依题意其后来折扣的售价为< br>(1+30%)
a
·(1+40%)(1-50%)=0.91
a
.
∵0.91
a
-
a
=-0.09
a
,
∴
0.09a
·100%=-9%.
a
答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413利润问题例3】 【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促 销
活动，请你计算一下广告上可写出打几折？
【答案】
解：设该商品打
x
折，依题意，则：
500(1+40%)·
x=
x
=500（1+12%）.
10
101.12
=8.
1.4
答：该商品的广告上可写上打八折.
【变式2】张新和李明相约到图书大厦去 买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所
买书籍的原价．

【答案】
11

解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，
解这个方程得：x＝160．
答：李明上次所买书籍的原价是160元．
类型二、存贷款问题
2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后 取出本息和为17025元，爸爸
开始存入多少元.
【答案与解析】
解：设爸爸开始存入x元.根据题意，得x＋x×2.7％×5＝17025.
解之，得x＝15000
答：爸爸开始存入15000元.
【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数．
类型三、数字问题

3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.
【答案与解析】
解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x
由题意得：x+14-2x-x=2x+2
解得：x=3
∴ x=3， 2x=6，14-2x-x=5
答：这个三位数为365
【总结升华】在数字问 题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设
间接未知数，切勿求 出x就答；(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以
10，然后把 所得的结果和个位数字相加．

举一反三：

【变式】一个两位数，个位上 的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求
这个两位数.
【答案】
解：设十位上的数字为
x
，则个位上的数字为（
x4< br>），由题意得：

10x(x4)[x(x4)]4

解得：
x4


410(44)48

答：这两位数是48.
类型四、方案设计问题

4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600 元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮
球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．
(1)篮球和排球的单价分别是多少元?
12

(2)若要求购买 的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买
方案?
【答案与解析】
解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元．
依题意3x+2x＝80，解得x＝16
即 3x＝48，2x＝32
答：篮球和排球的单价分别为48元和32元．
(2)采用列表法探索：
类别 排球（36-x）
篮球（x个）
方案 个
(1) 26 10
(2) 27 9
(3) 28 8
(4) 29 7
合计（元）
1568
1584
1600
1616
由列表可知，共有三种购买方案：
方案一：购买篮球26个，排球10个；
方案二：购买篮球27个，排球9个；
方案三：购买篮球28个，排球8个．
【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．
举一反三：
【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价 为25元，对集体购票，
客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方 案二：前20人购全票，从
第21人开始，每人按票价的80%购票．
(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?
(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?
【答案】
解：设有x位学生参加考察．
按方案一购票费用为：25×88%(10+x)＝22x+220
按方案二购票费用为：20×25+25×80%(x+10-20)＝20x+300
(1)当x＝30时：
22x+220＝660+220＝880(元)
20x+300＝600+300＝900(元)
答：当有30位学生参加考察，选择方案一更省钱．
(2)设22x+220＝20x+300，解得：x＝40
答：参加考察的学生人数为40人时，两种方案车费一样多．






13

实际问题与一元一次方程（四）（提高）
【学习目标】
(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；
(2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路．
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）

1．利润问题
（1）
利润率=
利润
100%

进价
(2) 售价＝ (1＋利润率). 成本
(3) 售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价) 利润＝ 成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中 的商品利润为正时，是盈利；当为商品利润负时，就是亏损.打几折就
是按标价的十分之几或百分之几十 销售．
2．存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×
1

12
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一 般设间接未知数，例如：若一个两位数的个
位数字为a，十位数字为b
，
则这个两位数 可以表示为10b+a．
4．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
（2）用特殊值试探法选择方案 ，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下
结论．
【典型例题】
类型一、利润问题
1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元， 当卖出一部分钢笔后，剩
余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?
【答案与解析】
解：设打折的钢笔有x支，则有：
6(100-x)+6×90%x＝100×4+188
解得x＝20
答：打9折的钢笔有20支．


14

【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：

按标价出售
剩余的打折出售
售价
6
6×90%
数量
100-x
x
售出总价
6(100-x)
6×90%x < br>此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作 为相等关系来构建方程
的，其结果一样．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究1】
【变式】某 种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元
现金.这 样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确
到个位 ）
【答案】
解：设此商品的进货价为
x
元，依题意，得：
(900×0.9-100)-
x
=10%
x
，
得：
x
=
645
5
∴
x
≈645.
11
答：此商品的进价约为645元.
类型二、存贷款问题
2．某公司从 银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个
产品成本是3 .2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利
润＝售价 －成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?
【答案与解析】
解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，
得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．
解之，得x＝2．
答：所以2年后能一次性还清贷款．
【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法， 把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款
的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝ 售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 贷款问题】
【变式】小华父母 为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部
分，等她上大学时 再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8
年时间还清（ 年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申
请贷 款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？
【答案】
解：设小华父母用
x
元参加教育储蓄，依题意，

x
×2.88%×6=(16000-
x
)×6.21%×8×50%,
解得,
x≈
9436(元)
16000-9436=6564(元).
答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.





15

类型三、数字问题

3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，
求原 数．
【答案与解析】
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：
10(4x+1)+x＝10x+(4x+1)+63，
解得x＝2，
∴ 4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为92．
答： 这个两位数是92．
【总 结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设
间 接未知数，切勿求出x就答；（3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数
字相加
类型四、方案设计问题
4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶， 每吨可获取利润500元，制成酸奶销
售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2 000元，该工厂的生产能力是：如制成酸
奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制 ，两种加工方式不可同时进行，受气温条
件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该 厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么?
【答案与解析】
解：（1）若选择方案1，依题意，
总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．
（2）若选择方案2．
设将
x
吨鲜奶制成奶片，则用(9-
x
)吨鲜奶制成酸奶销售，
x9x
4
，
13
解得
x1.5
．
当
x1.5
时，
9x7.5
．
依题意得，
总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．
∵ 12000>10500，
∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目< br>中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润 吨数 工效 天数
酸奶
奶片
1200
2000
9x

x

3
1
9x

3
x

1
合计 9 4
从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．


16

举一反三：
【变式1】商场出售的A型冰箱每台售价2 190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价比A型
冰箱高出10%，但每日耗电量却为0. 55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的
1
)，问
10
商场 将A型冰箱打几折，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当(每年365天，
每度电按0.40元计算)．
【答案】
解：设商场A型冰箱打x折，依题意，买A型冰箱需 2190×
x
元，10年的电费是365×10×1×0.4
10
元；买B型 冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得： 2190×
x
+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10× 0.55×0.4
10
解得：x＝8
答：商场将A型冰箱打8折出售，消费者买A型冰箱10年的总费用与B型冰箱10年的总费用相当．
【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本电价
的70%收费．
(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a；
(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元?
【答案】
解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a)＝30.72．
解得：a＝60．
(2)设该户六月份共用电x度，因0.36＜0.40，所以x＞60 ，于是超出部分电量为(x-60)度，依题意，
得：0.40×60+0.4×70%(x-60)＝ 0.36x．
解得：x＝90．
所以0.36x＝0.36×90＝32.40元．
答：(1)a＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．

17