枣子糕-莫言短篇小说

实际问题与一元一次方程(一)基础
【学习目标】
1.
熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.
熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路.
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题
，分妇方程_求加解答.由此可得解决此类 “审”是指读懂题目弄清题意，明确哪些
是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。
“找”寻找等量关系；
“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为
x
，但有时也可以间接设未知
数；
“列”就是列方程，即列代数式表示相等 关系中的各个量，列出方程，同时注
意方程两边是同一类 单位要统一；
“解”就是解方程，求出未知数的值.
“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指
出，舍去即可；
“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.
题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答. 要点
诠释：
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(4) 量，
(
5
)
(
6
)
(
7
)
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型
1.
和、差、倍、分问题
(1) 基本量及关系：增长量=原有量
X
增长率，
现有量=原有量
+
增长量，现有量=原有量
-
降低量.
(2) 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增 长率等.
2.
行程问题
(
1
)三个基本量间的关系：
(
2
)基本类型
有：
① 相遇问题
(或相向问题)
②追及问题:
路程
=
速度
X
时间
I
.基本量及关系：相遇路程
=
速度和
X
相遇时间
n.
寻找相等关系：甲走的
路程
+
乙走的路程=两地距离.
I
.基本量及关系：追及路程
n.
寻找相等关系：
=
速度差
X
追及时间
第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程
+
两者相距距离=追者走的路程.
I
.基本量及关系：
顺流速度
③航行问题:
=
静水速度
+
水流速度，
逆流速度
=
静水速度- 水流速度， 顺水速度-逆水速度=
2X
水流速度；
n.
寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来 考虑.
3.
工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为
(1) 总工作量
=
工作效率
X
工作时间；
(2) 总工作量
=
各单位工作量之和.
4.
调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
1

【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1
.
2011
年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为
5. 8
亿立方米，其中居民家庭用水比生产
运营用水的
3
倍还多
0. 6
亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米
【答案与解析】设生产运营用水
依题意，得
5. 8- X
=
3X+0. 6
解得
X
=
1. 3
X
亿立方米，则居民家庭用水
（5. 8- X）
亿立方米.
5. 8- X
=
5. 8-1.3
=
4. 5
（亿立方米）
答：生产运营用水
1. 3
亿立方米，居民家庭用水
4. 5
亿立方米.
【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为
等关系是生产运营用水量
+
居民家庭用水总量=
5. 8
亿立方米.
举一反三:
【变式】
（
麻城期末考试
）
麻商集团三个季度共销售冰箱
倍.第三个季度销售量是第一个季度的
【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱
台，依题意可得：
X
,另外一个用含
x
的式子表示.本题的相
2800
台，第一个季度销售量是第二个季度的
？
4x
2
倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台
x
台，则第一季度销售量为
2x
台，第三季度销售量为
X+2X+4X
=
2800
,
解得：
X
=
400
答：麻商集团第二个季度销售冰箱
400
台.
类型二、行程问题
1.
一般问题
2
.小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走
【答案与解析】
解：设小山娃预订的时间为
X
小时，由题意得：
4
千米，那么走完预订时间离县城还有
0. 5
千米,
？
如果他每小时走
5
千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米
4X+0. 5
=
5（ X- 0. 5）
，解得
X
=
3
.
所以
4X+0. 5
=
4 X 3+0. 5
=
12. 5（
千米
）
.
答：学校到县城的距离是
12. 5
千米.
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的，而是通过求 其它的数量间接地求最后的未
知量.
举一反三:
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为 的平
均速度.
【答案】

10
千米

时，下坡的速度为
20
千米

时，求汽车
解：设这段坡路长为
a
千米，汽车的平均速度为
X
千米

时，则上坡行驶的时间为 —小时，下坡行驶的
10
时间为—小时.依题意，得：
I
旦+旦
X =2a
,
3
2

20
化简得：
3ax=40a
.
显然
a
110 20
丿
丰
0
，解得
X =13
】
3

答：汽车的平均速度为
13
丄千米

时.
3
2.
相遇问题（相向问题）
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
（
一
）388410
相遇问题】
A
B
两地出发相向而行，甲的速度是
3. A
、
B
两地相距
100km,
甲、乙两人骑自行车分别从
【答案与解析】
解
：
设甲经过
X
小时与乙相遇
.
由题意得：
23x1 +(23+21 )(x-1)=100
解得，
x=2.75
答：甲经过
【总结升
华】
举一反三：
23kmh
，乙的速度是
21kmh
，甲骑了
1h
后，乙从
B
地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
X
小时
2.75
小时与乙相遇.
等量关系：甲走的路程
+
乙走的路程
=100km
乙两人骑自行车，同时从相距
45km
的两地相向而行，
?
2
小时相遇，每小时甲比乙多走
2.5km
，求甲、乙每小时各行驶多少千米
【答案】
解：设乙每小时行驶
X
千米，则甲每小时行驶
（
X
+2.5）
千米，根据题意，得:
2(x +2.5) +2x =45
解得：
X = 10
X +2.5 =10+2.5 =12.5
（千米）
答：甲每小时行驶
12.5
千米，乙每小时行驶
10
千米
3.
追及问题（同向问题）
W
4
•一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 紧急通知传给队
长，通讯员从学校出发，骑自行车以 钟可以追上学生队伍
？
【答案与解析】
解：设通讯员
X
小时可以追上学生队伍，则根据题意，
5
千米

时的速度行进，走了
18
分钟时，学校要将一
14
千米

时的速度按原路追上去，通讯员用多少分
18
得
14X =5x —— +5x
,
60
1
1
得：
x=-
, 一小时
=
10
分钟.
6
6
答：通讯员用
10
分钟可以追上学生队伍.
【总结升华】追及问题：路程差
位不一致，应先统一单位.
=
速度差
X
时间，此外注意：方程中
X
表示小时，
18
表示分钟，两边单
4.
航行问题（顺逆风问题）
5
•—艘船航行于
A
、
B
两个码头之间，轮船顺水航行需
是
4
千米

时，求这两个码头之间的距离.
【答案与解析】
解法
1
设船在静水中速度为
x
千米

时，则船顺水航行的速度为
（X+4）
千米

时，逆水航行的速度为
（X- 4）
千米

时，由两码头
3
小时，逆水航行需
5
小时，已知水流速度
3
4

的距离不变得方程：
3（ X+4）
=
5（ X- 4）
，解得：
x=16
,
（16+4 ）X 3=60
（千米）
5

答：两码头之间的距离为
60
千米.
解法
2
:设
A
、
B
两码头之间的距离为
X
千米，则船顺水航行时速度为 -千米

时，逆水航行时速度为 -
3
千米

时，由船在静水中的速度不变得方程:
答：两码头之间的距离为
60
千米.
5
x
4
丁
x
=
5+
，解得：
x
=
4
60
【总结升华】顺流速度
=
静水速度
+
水流速度；逆流速度
=
静水速度
-
水流速度，根据两个码头的距离不变 或船在静水中的速度不变列
方程.
类型三、工程问题
6
.一个水池有两个注水管，两个水管同时注水, 满水
池，现两管同时注水
7
小时，

10
小时可以注满水池；甲管单独开 关
15
小时可以注
1
小时注水池的
掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池
【思路点拨】视水池的蓄水量为“
1
”，设乙管还需
x
小时可以注满水池；那么甲乙合注
—，合注
7
小时注水池的—，乙管每小时注水池的
—，甲管单独注水每小时注水池的

10
15
x
小时才能注满水池.
10
【答案与解析】
解：设乙管还需
由题意得方程:

(10 15
丿
10

解此方程得：
x
=
9
答：单独开乙管，还需
9
小时可以注满水池.
【总结升华】工作效率
X
工作时间
举一反三：
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需
=
工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“
14
天，乙单独完成需
18
天，丙单独完成需
12
天 ，前
7
天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开 了几
天
？
【答案】
解：设乙中途离开
x
天，由题意得
1 1 1
—X7 + — （7 —X
中
2） + —
咒
2 =1
14 18 12
解得：
X = 3
答：乙中途离开了
3
天
类型四、调配问题（
比例问题、劳动力调配问题
）
7
•星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每
条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用
和裤子才能恰好配套
？
共能生产多少套
？
3m
长的某种布料可做上衣
2
件或裤子
3
750m
长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣
2
【思路 点拨】每
3
米布料可做上衣
2
件或裤子
3
条，意思是每1
米布料可做上衣
-
件，或做裤子
1
条,
3
此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量. 【答案与解析】
6

x
750 —
x

3
解：设做上衣需要
xm
,则做裤子为
（750- X）m
，做上衣的件数为—
夫2
件，做裤子的件数为 -------------------------- 0 ,
3
7

则有：
2x 3(750 -X)
3
450x2
卄

=300
（套）
3
解得：
x
=
450
,
750- x
=
750- 450
=
300( m)
,
答：用
450m
做上衣，
300m
做裤子恰好配套，共能生产
300
套.
【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数=裤子的总件数.
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
（
一
）
调配问题】
【变式】甲队有
72
人，乙队有
68
人，需 要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
解：设从甲队调出
x
人到乙队
.
由题意得,
3
72 -X =2（68+
X
）
解得，
x=12.
实际问题与一元一次方程（二）

答：需要从甲队调出
12
人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
（提高）
I
•基本量及关系：相遇路程
=
速度和
X
相遇时间
n.
寻找相等关系：甲走的路程
+
乙走的路程=两地距离.
② 追及问题
：I
•基本量及关系：追及路程
=
速
度差
X
追及时间
【学习目标】
1.
熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.
熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 要点二、
常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1
.和、差、倍、分问题
（
1
） 基本量及关系：增长量=原有量
X
增长率，
现有量=原有量
+
增长量，现有量=原有量
（
2
） 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、 长率
等.
n.
寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路
程；
-
降低量.
和、差、不足、剩余以及倍，增
2
•行程问题
（
1
）三个基本量间的关系：
（
2
）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）
路程
=
速度
X
时间
第二，同时不同地出发：前者走的路程
距离=追者走的路程.
③ 航行问题
：I
•基本量及关系：顺流速度
=
静
水速度
+
水流速度，
逆流速度
=
静水速度-水流速度， 顺水速
度-逆水速度=
2X
水速；
+
两者相距
n.
寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来 考虑.
8

3
.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为
(1) 总工作量
=
工作效率
X
工作时间；
(2) 总工作量
=
各单位工作量之和.
1
基本关系式:
4
•调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
1
.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的
这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少
【答案与解析】 解：设油箱里原有汽油
X
公斤，由题意得：
25%
第二次旅程中用去剩余汽油的
40%
1
公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1- 25%)xX 40%
解得：
x=10
答：油箱里原有汽油
10
公斤
.
+1=
用去的汽油
.
【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油
举一反三:
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人 张，这
个班有多少学生
？
一共展出了多少张邮票
？
【答案】
解：设这个班有
x
名学生，根据题意得：
3
张则多
24
张，若平均每人
4
张则少
26
3X+24
=
4x- 26
解得：
X
=
50
所以
3X+24
=
3 X 50+24
=
174
答：这个班有
50
名学生，
类型二、行程问题
张邮票. 一共展出了
174
1.
车过桥问题
2.
某桥长
1200m
,
而整个火车在桥上的时间是
【思路点拨】正确理解火车
【答案与解析】
现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了
30s,
求火
车的长度和速度.
“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义.
50s,
解：设火车车身长为
xm
，根据题意，得：
1200 +x 1200—X

50
解得：
x
=
300
,
30
1200 +x 1200 +300
所以 -----------=---------------
=30
.
50


50
(
注：
A
点表示火
答：火车的长度是
300m
，车速是
30ms
.
【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下 车头
)
：
t
车长
M—

桥悅+车长

桥长车长
A



厂 桥长
l200ni
<1)
n
矫棊
1200in

（1）
火车从上桥到完全过桥如图
（1）
所示，此时火车走的路程是桥长
+
车长.
（2）
火车完全在桥上如图
（2）
所示，此时火车走的路程是桥长—车长.由于火车是匀速行驶的， 所以等量 关系是火车从上桥到完全
过桥的速度=整个火车在桥上的速度.
举一反三:
【变式】某要塞有步兵
692
人，每
4
人一横排，各排相距
1
米向前行走，每分钟走
的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：设从第一排上桥到排尾离桥需要
86
米，通过长
86
米
x
分钟，列方程得：
86x
二耍-
1 L
I
+86
,
V 4
丿
解得：
x
=
3
答：从第一排上桥到排尾离桥需要
3
分钟.
2.
相遇问题（相向问题）
3
.小李骑自行车从
A
地到
B
地，小明骑自行车从
B
地到
A
地，两人都匀速前进
.
已知两人在上午
8
时同时出发，到上午
10
时，两人还相距
36
千米，到中午
12
点，两人又相距
36
千米
.
求
A
、
B
两地间的 路程
.
【答案与解析】 解：设
A
、
B
两地间的路程为
x
千米，由题意得：
X -36 X +36
2 — 4
解得：
X
=10 8
.
答：
A
、
B
两地间的路程为
108
千米
.
【点评】根据“匀速前进”可知
进的路程和时间可得方程.
举一反三:
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
【变式】甲、乙两辆汽车分别从
A
、
B
的速度不变，进而
A
、
B
的速度 和不变
.
利用速度和
=
小李和小明前
（
一
）388410
二次相遇问题】
A B
两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别
A
站
34km,
已知甲车的速度是
70kmh
，乙车的速度是
到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距
52kmh
，求
A
、
B
两站间的距离
.
【答案】
解：设
A
、
B
两站间的距离为
x
km
,由题意得:
解得：
x=122
答：
A
、
B
两站间的距离为
122km.
2X-34 x + 34
70 52
3.
追及问题（同向问题）
4.
一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发
卡车的速度每小时快
遇故障，修理
2
小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比
15
分钟后，又上路追这辆卡车，但
30
千米，但轿车行驶一小时后突
10

1
速度减小了 -,结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度.
3
【答案与解析】 解：设卡车的速度为
x
千米

时，由题意得：
1 1
2x+ ^ + —X + 2x=(x +30) +(1 - §)><(X +30) X 2
解得：
x=24
答：卡车的速度为
24
千米

时.
【点评】采用“线示”分析法，画出示意图•禾U
用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程, 理清两车行驶的速度与时间.
4.
航行问题(顺逆风问题)
5.
盛夏，某校组织长江夜游，在流速为
溯江而上到
C
地下船，共乘船
4
小时•已知
A
、 时，求
A
、
B
两地间的距离.
【思路点拨】由于
C
的位置不确定，要分类讨论：
【答案与解析】 解：设
A
、
B
两地间的距离为
x
千米.
2 5
千米

时的航段，从
A
地上船，沿江而下至
B
地，然后
C
两地相距
10
千米，船在静水中的速度为
(1
)
C
地在
A
B
之间；(
2
)
C
地在
A
地上游.
7. 5
千米

(1)
当
C
地在
A
、
B
两地之间时，依题意得.
X
丄
x-10
--------- + ----------- =4

,
7.5 +2.5 7.5-2.5
解这个方程得：
x
=
20(
千米
)
(2)
当
C
地在
A
地上游时，依题意得：
X

X +10
+ ---- =4 7.5+2.5 7.5-2.5
20
3
20
解这个方程得：
x= ——
答：
A
、
B
两地间的距离为
20
千米或一千米.
3
【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示” “共
乘”
4
小时构建方程求解.

分析法画出示意图
(
如下图所示
)
，然后利用
顺流
顺流
10 ---- —
A C

逆流
jc^lO
C

10
Jf
4 -- - = --
逆流
5.
环形问题
最快的人在开始
48
分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度
的逅倍，环城一周是
【答案与解析】
20
千米，求两个人的速度
.
解；设最慢的人速度为

x
千米

时，则最快的人的速度为
7
-X
千米时，由题意得
：
7 42
42
—
=20
-XX — -XX
2
60
解得：
x=10
60
11

答：最快的人的速度为
35
千米

时，最慢的人的速度为
10
千米

时
.
20
千米
.
相等关系为：最快的人骑的路程
最慢
【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周
人骑的路程
=20
千米
.
举一反三：
【变式】两人沿着边长为
90m
的正方形行走，按
A
T
Bf C7 DA
…方向，甲从
A
以
65mmin
的速度,
？
乙从
B
以
72mmin
的速度行走，如图所示，当乙第 一次追上甲时，在正方形的哪一条边上
D

s

【答案】
解：设乙追上甲用了
x
分钟，则有:
72x- 65x= 3 X 90
270
x = --
（分）
7
答：乙第一次追上甲时走了

e
2777
( m)
此时乙在
AD
边上
类型三、工程问题
6
小时可注满水池；单独开乙管
8
小时可注满水池，单独开丙管
9
小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放
2
小时，然后打开丙
管，问打开丙管后几小时可注满水池
？
【答案与解析】 解：设再过
X
小时可把水注满•由题意得：
•—个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管
1 1 1 1 1
(―+ _)x2+(—+ )x =1
6 8 6 8 9
30 4
解得：
^
3
^^2 —
•
13 13
4
答：打开丙管后
2 —
小时可把水放满.
13
【点评】相等关系：甲、乙开
2h
的工作量
+
甲、乙、丙水管的工作量
=1
.
举一反三：
2
【变式】收割一块水稻田，若每小时收割
4
亩，预计若干小时完成，收割 后，改用新式农机，工作效
2
3
1
率提高到原来的
1
丄倍，因此比预计时间提早
1
小时完成，求这块水稻田的面积.
2
【答案】
解：设这块水稻田的面积为
x
亩，由题意得:
12

2 1
x
-X -X
x
=
4
4
4
4
3
1
1
丄
X4
2
r

解得：
x =36
.
答：这块水稻田的面积为
36
亩.
13

类型四、配套问题(
比例问题、劳动力调配问题
) ■尸
8
.某工程队每天安排
120
个工人修建水库，平均每天每个工人能 挖土 出的土及时被运走，
问：应如何安排挖土和运土的工人
【答案与解析】
解：设安排
x
人挖土，则运土的有
(120- X)
人，依题意得：
5 m
或运土
3 m
,为了使挖
33
？
5x
=
3(120- X)
,
解得
x
=
45
.
120- 45
=
75(
人
)
.
答：应安排
45
人挖土，
75
人运土.
【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等.
举一反三：
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
【变式】某商店选用
(
一
)
配制问题】
A
、
B
两种价格分别是每千克
28
元和每千克
20
元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为
100
千克，问要用这两种糖果各多少千克？ 使这种杂拌糖果的售价是每千克
25
元，要配制这种杂拌糖果
【答案】
解：设要用
A
种 糖果
x
千克，则
B
种糖果用
(100-X)
千克
.
依题意，得：
28x+20(100-x)=25 X 100
解得：
x=62.5.
当
x=62.5
时，
100-x=37.5.
答：要用
A
B
两种糖果分别为
62.5
千克和
37.5
千克
.
实际问题与一元一次方程(三)
【学习目标】
(基础)
(1)
进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程;
⑵
熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的
解题思路.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
要点三、常见列方程解应用题的几种类型(续)
1.
禾
U
润问题
(
1
)利润率
=
利润
X100%
进价
(2)
标价=成本
(
或进价
)
和+利润率
)
(3)
实际售价=标价 对丁折率

(4)
利润=售价—成本
(
或进价
)
=成本
X
利润率
注意： 商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损 的十分之几或百
分之几十销售.
.
打几折就是按标价
2
.存贷款问题
(
1
)
利息
=
本金
X
利率
X
期数
(
2
)
本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金 实得利息
=
利
(
3
)
息
-
利息税
(
4
)
利息税
=
利息
X
利息税率
(
5
)
年利率=月利率
X12
14
＞利率 ＞期数=本金
M1
+利率溺数
)

1
(6
)月利率=年利率
x_
12
3.
数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个 位数字为
a
,十位数字为
b
,则
这个两位数可以表示为
10b+a
.
4.
方案问题
选择设计方案的一般步骤：
(1)
运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.
(2)
用特殊值试探法选择方案，取小于 结
论.
【典型例题】
(或大于)
儿一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下
类型一、利润问题
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
（
二
）
利润问题例
2
】
30%
如果商家在现有的价格基础上先提价
40%
后降价
50%
勺
W1
•以现价销售一件商品的利润率为
方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？
【答案与解析
1
解：设该商品的成本为
a
元，则商品的现价为(1+30%)
a
元，依题意其后来折扣的售价为
(1+30%)
a
•
(1+40%)(1 -50%)=0.91
a
.
■ 0.91
a
-
a
=-0.09
a
,
~.
0
09a
•
100%=-9%.
a
答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为
9%.
【总结升华
1
解答此类问题时，一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要.
举一反三:
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
【变式
11
某个商品的进价是
(
二
)388413
利润问题例
31
500
元，把它提价
40%!
作为标价
.
如果商家要想保住
12%
勺利润率搞促销
活动，请你计算一下广告上可写出打几折？
【答案
1
解：设该商品打
x
折，依题意，则：
X
500(1+40%) •— =500
(
1+12% .
10
10
咒
1.12 C
x= -------- =8.
1.4
答：该商品的广告上可写上打八折
.
(
如图所示
)
，求出李明上次所
【变式
21
张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容
买书籍的原价.
书可亭受八折忧
15

【答案】
16

解：设李明上次购买书籍的原价为
解这个方程得：
x
=
160
.
答：李明上次所买书籍的原价是
x
元，由题意得：
0. 8X+20
=
X-12
，
160
元.
类型二、存贷款问题
W
2
.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为 开始存入多少元
.
2.7
%，五年后取出本息和为
【答案与解析】
解：设爸爸开始存入
X
元
.
根据题意，得
X
+
XX2.7
%
X5
=
17025.
解之，得
X
=
15000
答：爸爸开始存入
15000
元
.
【总结升华】本息和=本金+利息，禾利息=本金
＞利率 ＞期数.
17025
元，爸爸
类型三、数字问题
WT 3
.—个三位数，十位上的数是百位上的数的
位、十位、百位上的数的和是
【答案与解析】
解：设百位上的数为
x
，则十位上的数为
2x
，个位上的数为
14-2X-X
由题意得：
x+14-2x-x=2x+2
解得：
x=3
•
x=3
,
2x=6
,
14-2x-x=5
答：这个三位数为
365
【总结升华】在数字问题中应注意： （
1
）求的是一个三位数，而不是三个数；
2
倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大
2
，又个
14
,求这个三位数
.
（2
）这类应用题，一般设
100
,
10
位上的数字乘以
间接未知数，切勿求出
x
就答；
（3）
三位数字的表示方法是百位上的数字乘以
10
,然后把所得的
结果和个位数字相加.
举一反三:
【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大

4
，这个两位数又是这两个数字的和的
4
倍，求
这个两位数
.
【答案】 解：设十位上的数字为
x
，则个位上的数字为（
x+4
）,由题意得:
10x+(x+ 4) =[x +(x+ 4)]
X
4
解得：
x=4
二
4X10 +(4 +4) =48
答：这两位数是
48.
类型四、方案设计问题
4
•为鼓励学生参加体育锻炼•学校计划拿出不超过 球和排球的单价
1600
元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮
比为
3: 2
,单价和为
80
元.
（1）
篮球和排球的单价分别是多少元
？


17

(2)
若要求购买的篮球和排球的总数量是
36
个，且购买的篮球数量不少于
26
个.
请探究有哪几种购买
方案
？
【答案与解析】
解：
(1)
设篮球和排球的单价分别为
3X
元和
2X
元.
依题意
3x+2x
=
80
,解得
X
=
16
即
3x
=
48
,
2x
=
32
答：篮球和排球的单价分别为
48
元和
32
元.
(2)
采用列表法探索：
由列表可知，共有三种购买方案：
方案一：
购买篮球
26
个，排球
10
个;
方案二：
购买篮球
方案三：


27
个，排球
9
个;
【总结升华】
购买篮球
举一反三：


28
个，排球
8
个.
【变式】
(
武昌区期末 调考
本例设未知数的方法很独特，值得借鉴
)
某校组织
10
位教师和 部分学生外出考察，全程票价为
.采用列表的方法探索方案，值得学习
客运公司有两种优惠
.
方案可供选择：方案一：所有师生按票价的
88%
购票；方案二:
第
21
人开始，每人按票价的
80%
购票.
(1)
若有
30
位学生参加考察，问选择
哪种方案更省钱
？
(2)
参加考察的学生人数是多少
时，两种方案车费一样多
？
【答案】
解：设有
x
位学生参加考察.
按方案一购票费用为：
25 X 88% (10+X)
=
22X+220
按方案二购票费用为：
20 X 25+25 X 80% ( x+10- 20)
=
20X+300
(1)
当
X
=
30
时：
22X+220
=
660+220
=
880(
元
)

20X+300
=
600+300
=
900(
元
)
答：当有
30
位学生参加考察，选择方案一更省钱.
(2)
设
22X+220
=
20X+300
，解得：
X
=
40

答：参加考察的学生人数为
40
人时，两种方案车费一样多.
类别
排球(
36- X
)
方案
篮球(
X
个)
个
合计(元)
(1)
26 10
1568
(2) 27 9 1584
(3)
28 8 1600
(4) 29 7
1616
18

25
元，对集体购票，
20
人购全票，从
前

实际问题与一元一次方程(四)
【学习目标】
(提高)
(1)
进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程;
⑵
熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题
思路.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
要点三、常见列方程解应用题的几种类型(续)
1
.禾
U
润问题
⑴利润率
=
进价^
100
%
(2)
售价=
(1
+利润率
).
成本
(3)
售价=标价 ＞打折率
(4)
利润=售价—成本
(
或进价
)
利润= 成本
X
利润率
注意： 商品利润=售价一成本”中的商品利润为正时，是盈利；当为商品利润负时，就是亏损 是按标价的十分之几或百分
之几十销售.
.
打几折就
2.
存贷款冋
题
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(
4
)
(
5
)
月利率=年利率
X—
利息
=
本金＞利率＞期数
本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金 实得利息
=
利
息
-
利息税
利息税
=
利息＞利息税率
年利率=月利率＞
2
嗣率 ＞期数=本金
M1
+利率溺数
)
1
12
(6
)
3.
数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个 位数字为
a
,十位数字为
b,
则这
个两位数可以表示为
10b+a
.
4.
方案问题
选择设计方案的一般步骤：
(
1
)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.
(
2
)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性 后下 结论.
【典型例题】
类型一、利润问题
1
•文星商店以每支
4
元的价格进
100
支钢笔，卖出时每支的标价
6
元，当卖出一部分钢笔后，剩 余的打
9
折出售，卖完时商
店赢利
188
元，其中打
9
折的钢笔有几支
？
【答案与解析】
解：设打折的钢笔有
x
支，则有：
6( 100- x) +6 >90%x
=
100 >4+188
解得
x
=
20
答：打
9
折的钢笔有
20
支.
19

【总结升华】本题可以采用列表法分析问题:

售价
按标价出售
剩余的打折出售
此外本题还可以这样列方程：
数量 售出总价
6
6X 90%
100- x
x
6 (100- x)
6 X 90%x
（6-4）（ 100- X）+ （6 X 0. 9- 4） x
=
188
，这是以利润作为相等关系来构建方
程
的，其结果一样

.
举一反三:
【高清课堂：实际问题与一元
次方程
（
二
）388413
思考与研究
11
【变式
1
某种商品的标价为 现金
.
这样他仍可获得
900
元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返
到个位）

【答案
1
10%
的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确
解：设此商品的进货价为
（900 X 0.9 -100）-
5
得：
x
=
645
x
元，依题意，得
11
—
:
x
=10%＜
，
答：此商品的进价约为
••• x
~
645.
类型二、存贷款问题
645
元
.
铲
2
.某公司从银行贷款 产品成本是
3. 2
兀，售价是 润=售价-成本-应纳税款
【答案与解析
1
解：设
X
年后能一次性还清贷款，根据题意，
20
万元，用来生产某种产品，已知该贷款的 年利率为
15% （
不计复利
）
得
（
5- 3. 2- 5X 10% ）
•
5

10x
元，应纳税款为销售款的
=
20+20 X 15%x
.

10%
.如果每年生产
10
万个，并把所得利润
解之，得
x
=
2
.
）
用来偿还贷款，问几年后能一次性还清
？
答：所以
2
年后能一次性还清贷款.
【总结升华
1
解答本 题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款 的年利率相
当于存款的年利率，每年产品的利润=售价-成本-应纳税款，产品的总利润等于本息和.

举一反三:
【高清课堂：实际问题与一元一次方程
（
二
）388413
贷款问题】
【变式】小华父母为了准备她上大学时的
16000
元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部
分，等她上大学时再贷一部分
.
小华父母存的是六年期（年利率为
2.88%
）,上大学贷款的部分打算用
年时间还清（年贷款利息率为
6 .21%
）,贷款利息的
50%
由政府补贴
.
如果参加教育储蓄所获 得的利息与申
请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？
【答案】
解：设小华父母用
x
元参加教育储蓄，依题意，
x
X 2.88%X 6=（16000-
x
） X 6.21%X 8X 50%,
解得
,
x
7436（
元
）
16000-9436=6564（
元
）.
答：小华父母用
9436
元参加教育储蓄，还准备贷
6564
元
.


20

100
元

每个
（
利
，

类型三、数字问题
V
尸
3
.一个两位数，十位数字比个位数字的
求原数.
【答案与解析】 解：设这个两位数的个位数字为
x
，则十位数字为
4X+1
.根据题意得：
4
倍多
1
，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小
63
,
10（ 4x+1） +X
=
10X+
（4x+1） +63
, 解得
x
=
2
,
••• 4x+1
=
4X 2+1
=
9
,故这个两位数为
92
.
答：这个两位数是
92
.
【总结升华】在数字问题中应注意：
间接未知数，切勿求出
字相加
（
1
）求的是一个两位数，而不是两个数；
（
2
）这类应用题，一般设
x
就答；（
3
）两位数的表示方法是
10
位上的数字乘以
10
，把所得的结果和个位数
类型四、方案设计问题
IT 4
.某牛奶加工厂有鲜奶
售，每吨可获取利润
能力是：如制成酸
奶，每天可加工
3
吨；制成奶片每天可加工
件限制，这批牛奶必须在
9
吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润
1200
元；制成奶片销售，每吨可获利润
2000
元，该工厂的生产
500
元，制成酸奶销
1
吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条
4
天内全部销售或加工完毕.为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
？
4
天完成.
方案
1
:尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案
2
:将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 你认为选择哪种方案获
利最多，为什么
【答案与解析】 解：（
1
）若选择方案
1
，依题意，
总利润
=2000
元
X 4+500
元
X （9-4）=10500
元.
（
2
）若选择方案
2
.
设将
x
吨鲜奶制成奶片，则用
（9- X）
吨鲜奶制成酸奶销售，
依题意得，
X
+±n=4
,
1
解得
X =1.5
.
3
当
x=1.5
时，
9-x=7.5
.
总利润
=2000
元
X 1.5+1200
元
X 7.5=12000
元.
••• 12000>10500
,
•-选择方案
2
较好.
答：选择方案
2
获利最多，只要在四天内用
7.5
吨鲜奶加工成酸奶，用
1.5
吨的鲜奶加工成奶片.
【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目 中的数量关系，列出方程.例如
本题方案

2
中，设将
x
吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润 吨数 工效 天数
酸奶
1200
2000

9-X
X

3
1
9-x
3
x
1
奶片
9 4
合计
从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系.
21

举一反三：
【变式
1
】商场出售的
A
型冰箱每台售价
2190
元，每日耗电量为
1
度，而
B
型节能冰箱每台售价比
A
型
1
冰箱高出
10%
但每日耗电量却为
0.55
度.
现将
A
型冰箱打折出售
(
打一折后的售价为原价的 丄)，问
商场将
A
型冰箱打几折，消费者买
A
型冰箱 每度电按
10
10
年的总费用与
B
型冰箱
10
年的总费用相当
(
每年
365
天，
0.40
元计算
)
.
【答案】
解：设商场
A
型冰箱打
x
折，依题意，买
x
A
型冰箱需
2
佃
0 X—
元，
10
年的电费是
365X 10X 1X 0
.
4
10
元；买
B
型冰箱需
2190 X (1+10% )
元，
10
年的电费是
365X 10X 0. 55 X 0. 4
元，依题意，得：
X
2190 X — +365X 10 X 1X 0. 4= 2190X (1+10% ) +365 X 10X 0. 55 X). 4
10
解得：
x
=
8
答：商场将
A
型冰箱打
8
折出售，消费者买
A
型冰箱
10< br>年的总费用与
B
型冰箱
10
年的总费用相当. 【变式
2
】某市居民生活用电
的基本价格为每度
的
70%
收费.
0. 40
元，若每月用电量超过
a
度，超出部分按基本电价
(1)
某户五月份用电
84
度，共交电费
30.72
元，求
a
;
(2)
若该户六月份的电费平均每度
0. 36
元，求六月份共用电多少度
？
应交电费多少元
？
【答案】
解：
(1)
根据题意，得
0. 40a+0.40 X 70% X ( 84 a)
=
30. 72
.
解得：
a
=
60
.
(2)
设该户六月份共用电
x
度，因
0. 36
<
0. 40
,所以
x
>
60
,于是超出部分电量为
(x- 60)
度，依题意, 得：
0. 40 X
60+0. 4X 70% (x- 60)
=
0. 36x
.
解得：
x
=
90
.
所以
0. 36x
=
0. 36 X 90
=
32. 40
元.
答：
(1) a
=
60
;
( 2)
该用户六月份共用电
90
度，应交电费
32. 40
元.