3年级下第四讲和差倍问题中的隐藏条件
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和差倍问题中的隐藏条件
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和差倍问题中的隐藏条件
课 本
之前我们已经学习了基础的和差倍问题,而很多时候,无法一眼看出问题中的数量 <
br>关系,这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来,其中寻找不变量就是一个重要的手
段．比如
故事中的两根蜡烛,它们之间有什么样的数量关系？有没有哪个数量关系在燃
烧过程中不变？
例题 1
叮叮和铛铛玩游戏,每玩一局,输的就要给赢的一枚棋
子．一开始叮叮有
18
枚棋子,铛铛则有
22
枚．玩了若干局之后,叮叮反
而比铛铛多了
10
枚棋子．请问：此时叮叮有多少枚棋子？
分析 在游戏过程中,两人的棋子数始终在变化．那有没有什么量是不变的？
练习
1. 有大小两个水瓶,分别装有
690
毫升和
210
毫升水．现在从大瓶中倒了一些水到
小瓶后（水没有溢出）,大瓶里的水量变成了小瓶的
2
倍．请问：从大瓶中倒了多少毫升
水到小瓶？
例题 2
小高家有两根绳子,长的那根有
163
米,短的只有
97
米．
他把两根绳子剪去同样多的长度,结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的
7
倍
还多
6
米．那么两根绳子都剪去了几米？
分析
两条绳子同时剪短,那它们的长度和就不是不变量了．这一次,不变量又
会是什么呢？
练习
2.
两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面条,“叽叽”吃的面条比较长,有
40
厘米；“喳
喳”吃的比较短,只有
25
厘米．它们吃面条的速度相同,过了一段时间后,长面条的
长度是短面条的
2
倍．那么此时短面条还剩多少厘米？
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前面
2 <
br>道例题都是通过寻找不变量来进行解决的,不变量主要有两种情形：“和不变”
与“差不变”．在
寻找不变量时,有两句小口诀可以记下：
给来给去和不变,同增同减差不变．
除
了寻找不变量外,分析、比对前后条件之间的差异,利用较隐藏的“差”条件来挖
掘数量关系,也是解决
和差倍问题的重要方法．
例题 3
用杯子往一个空瓶里倒水．如果倒进
6
杯水,连瓶共重
680
克；如果倒进
9
杯水,连瓶共重
920
克．求空瓶的重量．
分析
9
杯水比
6
杯水重多少克？你能由此求出
1
杯水的重量吗？
练习
3. 一满瓶水可以装
7
杯水,如果从中倒出
5
杯水,剩下的水和瓶子共重
520
克；如果
倒出
3
杯水,那么剩下的水和瓶子共重
880
克．请问：空瓶重多少克？
例题 4
有两根粗细不同但长度相同的蜡烛,把它们同时点燃．
1
小时后细蜡烛缩短了
15
厘米,而粗蜡烛只缩短了
3
厘米．此时粗蜡烛长度
正好是细蜡烛的
3
倍．请问：粗蜡烛还能烧多久？
分析 两根蜡烛最初的长度相同,
1
小时后它们相差几厘米？
练习
4.
卡
莉娅和萱萱都在织围巾,现在两人已经织好的围巾长度相同,但萱萱织得比较
快．在接下来的两个月里,
萱萱可以织
120
厘米,而卡莉娅只能织
45
厘米,因此两个月后,萱
萱围巾的长度将会是卡莉娅的
2
倍．那么现在卡莉娅的围巾有多长？
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和差倍问题中的隐藏条件
课 本
线段图是解决和差倍问题的基本方法．虽然熟练的同学很多时候不用线段图一样可
以解决问题,但绝对不能忽略用图形表示数量关系这一“数形结合”的方法．
请牢记：画线段图本身也是一种重要的数学能力,其重要性甚至高于求解和差倍问
题本身．
例题 5
拍卖行卖出了两件艺术品,第一件的拍卖价格比第二件的
3
倍多
3
万元,而第二件的价格比第一件的
3
倍少
73
万元．请问：这两件艺
术品一共卖了多少万元？
分析
两件艺术品哪个的价格比较低？以价格低的那个作为
1
份,试着画一下
线
段图．
练习
5.
墨莫想买一台新电脑,有高端和低端两种选择,高端电脑的价格比低端的 2 倍少
1300
元,低端电脑的价格则要比高端电脑的
2
倍少
7300
元．请问：低端电脑的价格是多
少？
思考题
有
50
名学生参加联欢会．第一个到会的女生和所有的男生都握过手；第二
个到会的女生除
1
名男生外,和其他男生都握过手；第三个到会的女生除
2
名
男生外,和其他男生都握过手；⋯⋯依此类推,最后一个到会的女生同
7
名男
生
握过手．那么这些学生中有多少名男生？
本 讲 知 识
点 汇 总
一、寻找条件中的不变量：
给来给去和不变,同增同减差不变．
二、比较法：
比较前后之间的差异,有效地利用题目中隐藏的“差”条件．
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三、线段图法：
用线段图表示较复杂的数量关系,提高对线段图本身重要性的认识．
作
业
1. 有甲、乙两个仓库,原来甲仓库存有
65
吨货物,乙仓库存有
25
吨货物．请问：
从甲仓库调运多少吨货物到乙仓库,才能使得乙仓库的库存量变为甲仓库的
2
倍？
2.
有两支粗细、材料都相同的蜡烛,长的能烧
100
分钟,短的能烧
70
分钟．同时点燃
这两支蜡烛,过多少时间后,长蜡烛长度是短蜡烛的
3
倍？
3. 在饭盒里装鸡蛋,如果放入
3
个鸡蛋,那么连盒共重
250
克；如果放入
7
个鸡蛋,则连
盒共重
470
克．请问：一个鸡蛋有多重？（假设每个鸡蛋重量相同）
4.
萱萱送给小山羊和卡莉娅两人一样多的饼干．小山羊比较贪吃,过了几天,小山
羊
已经吃了
39
块饼干,而卡莉娅只吃了
17
块．此时卡莉娅剩下的饼干数量是小山羊的
3
倍,请问：卡莉娅原来有多少饼干？
5.
一次考试,墨莫的得分比卡莉娅的
2
倍少
30
分,而卡莉娅的得分比墨莫的
2
倍少
120
分,那么卡莉娅考了多少分？
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