验收-忧伤的文字

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第三讲 倍数问题（一）
［知识要点］
倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这个数 之间
的倍数关系，求这几个数的应用题。
解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的 数作为标准数，即1倍数），再根
据其他几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的 几倍，最后用除法求
出1倍数）。

［范例解析］
例1 两根同样长的 铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一
根是第二根的3倍。原来两根铁丝各 长多少厘米？
［思路导航］
第一根：
第二根：
图中虚线部分表示剪去 的部分。由于第二根比第一根多剪去26－18＝8（厘米），所以
剩下的铁丝第一根就比第二根多（3 －1）倍。因比8÷（3－1）＝4（厘米），就是现在第二
根铁丝的长度，它原来长4＋26＝30（ 厘米）。
解： （26－18）÷（3－1）＝4（厘米）
4＋26＝30（厘米）
答：原来两根铁丝各长30厘米。

例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲的图书是乙组的5倍，原来
甲组有图书多少本？
［思路导航］
甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（ 本），则甲
组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正
好对应着后来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）＝12（本），< br>乙组原来有12＋6＝18（本），甲组原来有18×3＝54（本）。
解： （6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）
（12＋6）×3＝54（本）
答：原来甲组有图书54本。

例3 幼儿园买来苹果的个数是 梨的2倍。如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好
分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个 ？
［思路导航］
因为苹果的个数是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果3×2＝6（个） ，两种水果最
后一起分完。可实际每组分4个苹果，少分6－4＝2（个），16里面有8个2，所以有 8组
同学，因此，苹果有8×4＋16＝48（个），梨有8×3＝24（个）。
解： 16÷（3×2－4）＝8（组）
8×4＋16＝48（个）
8×3＝24（个）
答：苹果有48个，梨有24个。

例4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐

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拿出13个放到甲筐，甲筐里的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？
［思路导航］
根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐 多8
×2＝16（个）桔子。如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2＝
42（个）。因此，乙筐里还42÷（2－1）＝42（个），原来乙筐里有42＋13＝55（个）， 甲筐
里有55＋16＝71（个）。
解： （8×2＋13×2）÷（2－1）＝42（个）
42＋13＝55（个）
55＋8×2＝71（个）
答：原来甲筐有71个，乙筐有55个桔子。

例5 养鸡场买来100只小鸡，其中，母 鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。买
来母鸡、公鸡各多少只？
［思路导航］
题中已知母鸡只数和公鸡只数一共100只，就可推出，母鸡只数的4倍速和公鸡只数
的4倍 的和100×4＝400（只），又因为母鸡只数的4倍 比公鸡比公鸡只数的3倍 多120
只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍 ，则公鸡只数为280÷（4＋3）＝40（只），
母鸡只数为100－40＝60（只）。
解： （100×4－120）÷（4＋3）＝40（只）
100－40＝60（只）
答：母鸡有60只，公鸡有40只。

［习题精选］
1、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如是把这上0去掉，就得 到另一个
加数。这两个加数各是多少？
2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和 15个梨后，剩下的梨是苹果的6
倍，原来两筐水果一共有多少个？
3、原来小明的画片是小 红的3倍，后来二人各买了5张，这样，小明的画片就是小红
的2倍。原来二人各有多少张画片？ 4、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，
上层的本数 正好是下层的5倍。原来下层有几本书？
5、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6 个苹果后，还有苹果正好
是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？
6、同学们带着水是去看 敬老院的6人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个
桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹 果还多14个。问同学们把苹果发给了几位老人？
7、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出 粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。
若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙 两粮库原来各有粮食多少
吨？
8、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的 2倍。如果每小组分到
杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。参加植树的一共有 多少人？
9、甲、乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若
乙仓库取14吨入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍，原来两仓各存货物多少吨？
10、学校组织夏 令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女人数同样多；
如果参加的男生名额给4个女生，则 男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、生各多少人？

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11、有两块地共80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。这两块地各有< br>多少公顷？
12、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20 个，
排球和篮球各有多少个？
13、甲、乙两人共存款550元，当甲取出自己存款的一半， 乙取出自己的70元时，两
人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？

第四讲 倍数问题（二）
［知识要点］
解决倍数问题的关键是，必须确定一个数 作为标准数，并根据题中的已知条件，找出
其他几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准 数。由于倍数应用题中数量关
系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧、灵活解题。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍数＋1）＝较小数
较小数×倍数＝较大数
差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍数－1）＝较小数
较小数×倍数＝较大数

［范例解析］
例1 有两堆水果糖，第一堆有82颗， 第二堆有46颗，从第一堆拿多少颗水果糖到第
二堆，就能使第二堆水果糖是第一堆的3倍？
［思路导航］
两堆水果糖共有（82＋46）颗，为了要使第二堆水果糖是第一堆的3倍，就 要把总颗
数分成（3＋1）份，即可求出每份水果，也就是第一堆的现在的个数，其余的都被拿到第二< br>堆去了，进而可求拿走了多少颗。
解： （82＋46）÷（3＋1）＝32（颗） 82－32＝50（颗）
答：从第一堆拿50颗到第二堆，才能使第二堆水果糖是第一堆的3倍。

例2 养鸡场的 母鸡的只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，母鸡增加60
×6＝360（只），那么，后 来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比
360只少300只。因此，现在母鸡的 只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只
数是300÷2＝150（只），原来有公鸡15 0－60＝90（只），一共养了90×（1＋6）＝630（只）
鸡。
解： （60×6－60）÷（6－4）＝150（只）
（150－60）×（1＋6）＝630（只）
答：原来养鸡场一共养了630只鸡。

例3 有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙 三辆车上。乙知甲车装的千克数正好是
乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装 货物多少千克？
［思路导航］
甲车：
乙车：
丙车：

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从图中中以看出：如果丙车多装200千 克，就知乙车装的货物同样多，这样，三辆车
装的总重量就是1800＋200＝2000（千克）。再 把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装
货是500千克，甲车上装500×2＝1000（千克 ），丙车上装有500－200＝300（千克）。
解： （1800＋200）÷（1＋1＋2）＝500（千克）
500×2＝1000（千克）
500－200＝300（千克）
答：甲车上装有1000千克货物，乙车上装500千克货物，丙车上装300千克
货物。

例4 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借
出四 分之三后，甲书架的书是乙书架书的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？
［思路导航］ 甲书架借出三分之一后，还剩下600÷3×2＝400（本）。这时，甲书架的书是乙书架的
2倍 还多150本，说明乙书架还有（400－150）÷2＝125（本）。乙书架借出四分之三后剩
下1 25本，原来有125×4＝500（本）。
解： 600÷3×2＝400（本）
（400－150）÷2×4＝500（本）
答：乙书架原来有书500本。

例5 师徒二人一起加工一种零件。徒弟已经加工了480个零件，师傅已经加工了900
个零件，现在如果徒弟每天加工30个，师傅每天加工80个，几天后师傅的零件个数是徒弟
的 2倍？
［思路导航］
由于已经加工的零件中，师傅比徒弟加工零件的2倍少（480×2－ 900）个，而现在师
傅每天加工零件比徒弟的2倍要多（80－30×2）个，用它去弥补前面的不足 ，于是可求出
所需天数。
解： （480×2－900）÷（80－30×2）＝3（天）
答：3天后师傅的零件个数是徒弟的2倍。


［思路导航］
1、甲仓库 存粮32吨，乙仓库存粮57吨，甲仓库每天存入4吨，乙仓库每天存入9吨，
几天后乙仓库存粮是甲仓 的2倍？
2、甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙的2倍？
3、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉8 0千克，大米的重量是面
粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？
4、饲养场的白 兔是黑兔的5倍，后来卖掉310只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔
的只数是黑兔的7倍。饲养场原 来养白兔和黑兔各多少只？
5、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆 少200箱，三
堆货物各多少箱？
6、甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙 是甲的4倍，求甲、乙、丙三
数各是多少？
7、把840本书放在书架的三层里，下层数的本 数比上层的3倍多5本，中层数的本数

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是上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？
8、某校有男生630人，选出男 生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，
剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共 有学生多少人？
9、食堂存有同样重量的大米和面粉，吃掉大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的
面粉的重量是大米的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克？
10、有两堆水泥，甲堆有12 吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，
乙堆有水泥多少吨？
11、A站有 公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车12
辆，B站向A站开出汽车8 辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是A
站的3倍？
12、甲仓库有大米 650袋，乙仓库有大米400袋。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少
天后甲仓的大米袋数是乙仓的6 倍？
13、有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯中各倒进8毫
升水，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？
14、甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的 2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这
三个数。