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四年级奥数举一反三第26272829周之巧算年龄较复杂的和差倍问
题周期问题行程 问题

26 巧算年龄
专题简析：
年龄问题是一类与计算有关的问题， 它通常以和倍、差倍或和差
等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，
需要灵活地加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增
加相等的数量；
3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。

例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子
的3倍？
分析与 解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是
不变的，这个年龄差是43－11=32岁 。所以，当爸爸的年龄是儿子
3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后，爸 爸
的年龄是儿子的3倍。

练 习 一

1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？


2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3
倍？




3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子
大2倍？




例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和< br>是39岁。妈妈和女儿今年各多少岁？
分析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁， 她们今年
的年龄和是：39+3×2=45岁。于是，这个问题可转化为和倍问题来
解决。所以 ，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁，妈妈今年是9
×4=36岁。
练 习 二

1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄
和是44岁。爸 爸和儿子今年各是多少岁？


2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸 爸的年龄恰好是小
丽的10倍。小丽和爸爸今年各是多少岁？



3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁，3年前妈妈的年龄比小芳的
9倍多2岁。小芳和妈妈今年各 多少岁？




例3：今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小 红的年龄是小梅的2
倍。小红和小梅今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变 的，因此两人的年龄差是小
梅今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍，即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以，小梅今年的年龄为：3
÷（4－1）=1岁，小红今 年的年龄为：1×5=5岁。
练 习 三

1，今年小明的年龄是小娟的 3倍，3年后小明的年龄是小娟的2倍。
小明和小娟今年各多少岁？


2 ，今年小亮的年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍。
小英和小亮今年各多少岁？




3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年 龄是儿子的
2倍。父亲和儿子今年各多少岁？




例 4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过多少年，她的
爸爸和妈妈的年龄和为80岁？ 分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年
龄和：28＋26=54岁，再 求80比54多80－54=26岁。26里面包
含多少个2，就是经过的年数。所以，再过26÷2= 13年爸爸和妈妈
的年龄和为80岁。

练 习 四
1，蜜蜜的 爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁。再过多少年，她爸
爸和妈妈的年龄和为73岁？

2，林星今年8岁，爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时，爸
爸和林星各多少岁？




3，今年爸爸56岁，儿子30岁。当父子的年龄和为46岁时，爸爸
和儿子各是多少岁？




例5：小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲 大3岁，
今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁。今
年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄总和是49岁，这个条件中8
年与49岁看上去有一个是 多余的，有的同学可能认为8年前这个家
的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁，但这与 题中所给的条

件49不一致。为什么呢？这说明8年前小英还没有出生。这相差的
2岁就是8年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是8－2=6
岁。今年父母的年龄和为71－ 6=65岁。已知小英的父亲比母亲大3
岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁，母亲34－3= 31岁。
练 习 五
1，父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年
龄和为46岁，父亲比母亲大4岁。求三人今年各多少岁。




2，全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。4年
前他们的年龄和为58岁，现在 全家的年龄和是73岁。现在每个人
各多少岁？




3，吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，
其中父亲比母亲大2岁。今年全家的年龄 和是64岁，5年前全家的
年龄和是52岁。求今年每人的年龄。

较复杂的和差倍问题
专题简析：
前面 我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通
过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问 题叫做复杂的和差倍问
题。
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、
差倍、和差应用题来解决。 < br>例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，
那么乙箱的千克数是甲箱的3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克？
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克
放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶
叶96÷（1＋3）=24 千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36
千克，乙箱原来有茶叶96－36=60千克。

练 习 一
1，书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放

入下层，那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少
本？




2，甲、乙两人共储蓄2000元，甲取出160元，乙又 存入240
元，这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄
多少元？




3，某畜牧场共有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只 绵羊，又
买来山羊100只，现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊
和山羊各有多少只 ？




例2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做 5道，丙做的
是甲的2倍，比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？

分 析与解答：甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，
因此，20－5=15道是丙的一半， 也就是甲做的道数。丙做了15×
2=30道，乙做了15－5=10道。他们共做了：（20－5）× （1＋2）
＋[（20－5）－5]=55道。


练 习 二 1，某厂一季度创产值比三季度多2万元，二季度的产值是一季
度产值的2倍，比三季度产值多42 万元。三个季度共创产值多少万
元？




2，甲、乙 、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做
的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个。这批零 件共有多少个？





3，果园里的苹果树是桃树的 3倍，管理员每天能给25棵苹果

树和15棵桃树洒农药。几天后，当桃树喷完农药时， 苹果树还有140
棵没有喷药。果园里共有多少棵树？



< br>例3：某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间
多10人，第二车间比第三 车间多15人。三个车间各有工人多少人？
分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准 不同，解
法也就不同。如果以第二车间的人数为标准，第一车间减少10人，
第三车间增加15 人，那么280－10＋15=285人是第二车间人数的
3倍，由此可以求出第二车间有285÷3= 95人，第一车间有95＋
10=105人，第三车间有95－15=80人。
练 习 三
1，一个三层书架共放书168本，上层比中层多12本，下层比
中层少6本。三层各放书 多少本？



2，一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放 4双，
第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双？

3，四个数的和是152，第一个数比第二个数多16，比第三个数
多20，比第四个数少12 。第一个数和第四个数是多少？


例4：两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数
和除数各是多少？ 分析与解答：从124里去掉商，是124－4=120，它是除数的1＋
4=5倍，除数是120 ÷5=24，被除数是24×4=94。

练 习 四
1，在一个除法算式中 ，被除数、除数、商的和是123。已知商
是3，被除数和除数各是多少？




2，两个数相除，商是5，余数是7，被除数、除数、商、余数
的和是187，求被除数。

3，两个数相除，商是17，余数是8，被 除数、除数、商和余数
的和是501，求被除数和除数是多少。


例5： 甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，
那么乙的存款是甲的3倍。甲、乙原来各 有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110
元 后相当于甲存款数的3倍，取出110×3=330元；而由甲的存款
是乙的4倍，可知甲原有存款的3 倍相当于乙原有存款的4×3=12
倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3= 330元，
所以，330＋110=440元，相当于乙原有的12－1=11倍。所以，
乙原 有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元。

练 习 五
1，甲的存款是乙的5倍，如果甲取出60元，乙存入60元，那
么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来 各有存款多少元？


2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100 元，
李叔叔存入1100元，那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和

李叔 叔原来各有存款多少元？


3，有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半， 中筐比大
筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝
多少千克？

周期问题
专题简析：
在日常生活中，有一些现象 按照一定的规律不断重复出现，例如，
人的生肖、每周的七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周 期
问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量
除以周期， 如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果
比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n 个；如果不是从第
一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。

例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出
每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1 ）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷
2=10，即“□△”重复出现10次，所以第20 个图形是△。第（2）
题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”

重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。

练 习 一
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？




（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…
第2001个字是什么字？




（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排 列，
第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？



例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？
分析与解答：（1）从排 列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一

个循环依次重复出现进行排列，那么一个 循环就是4个数，则129÷
4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129 个
数是5。（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个数
相加的和是1 7×32＋5=549。

练 习 二
1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…
（1） 第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？



2，小青把积存 下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5
分这样的顺序一直往下排。（1）他排到第111个 是几分硬币？（2）
这111个硬币加起来是多少元钱？


3，河岸上种 了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再
后面三棵是大青桃。接下去一直这样排列。问： 第100棵是什么桃
树？三种树各有多少棵？

例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母
下面？88应该排在哪个字母下面 ？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9…
分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到 大4个数
一个循环，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
39÷4=9…3 88÷4=22
所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在
第22个循 环的第四个字母D下面。


练 习 三
1，有a、b、c三条直线 ，从a线开始，从1起依次在三条直线
上写数（如下图），22、59、2001各在哪一条线上？ < br>a
7
4
1
9
6
3
2
5
8< br>b


c

2，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分
别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
…
问：最后一个学生应该排在第几列？

例4：1991年1月1日是星期二，（1 ）该月的22日是星期几？该
月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几？
分析 与解答：（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题
在计算天数时，可以采用“算尾不算头 ”的方法。（22－1）÷7=3，
没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6，从 星期三开
始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。
（2）1991年、1993年是 平年，1992年是闰年，从1991年1月2
日到1994年1月1日共1096天，1096÷7= 156…4，从星期三开
始往后数4天，1994年1月1日是星期六。
练 习 四
1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？




2，1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日
是星期几？

3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？



例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、
猪12种动物按 顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二
年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年属鸡 年，那么公元
2001年属什么年？
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环， 为了便于思
考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”
看作一个循环， 从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头
不算尾），2000÷12=166…8，从狗 年开始往后数8年，公元2001
年是蛇年。
练 习 五
我国农历用鼠、牛、虎、 兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪
12种动物按顺序轮流代表年号。
1、如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？



2，如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？

3，公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？




第二十九周 行程问题（一）

专题简析：
我们把 研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问
题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追 及问题。这一周我们
来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时，要理清路程、速 度和时间之间的关系，紧扣基
本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，
弄清出发地点、时间和运动结果。

例1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出 发相向而行，甲每
小时走6千米，乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？
分析与解答：这是 一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动
物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意 ，出发时
甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米，
这也是两人的 速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20千米里
面有几个10千米。因此，两人20÷（6＋4） =2小时后相遇。
练 习 一
1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行， 甲船每
小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途
中相遇。两地间的水 路长多少千米？
2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两
地出发，汽 车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时
后两车相距多少千米？
3，甲乙两车 分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向
而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城 到A城需12
小时。两车出发后多少小时相遇？

例2：王欣和陆亮两人同时从 相距2000米的两地相向而行，王欣每
分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时 同向而
行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王
欣后再回头向陆亮跑 去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，
狗共行了多少米？
分析与解答：要求狗共行了 多少米，一般要知道狗的速度和狗所
行的时间。根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要
求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断
来回所行的时间就是王欣和 陆亮同时出发到两人相遇的时间，即
2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×1 0=5000米。
练 习 二
1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而 行。一
个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联
络。甲队每小时行5千 米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑
自行车的同学共行多少千米？
2，A、B两地相距 400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，
甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。一只燕 子以每小时
50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车
飞去。这样一直 飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇？
3，甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而 行，甲队
每小时行60千米，乙队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每小
时行80千米的速 度在两车队中间往返联络，问两车队相遇时，摩托

车行驶了多少千米？

例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米
的两地同时相背而行，几小 时后两人相隔54千米？
分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体
作背向运动的问题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成
立，根据题意，甲乙两人共行的路程 应该是54－18=36千米，而两
人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米，就是 求
36千米里面有几个12千米。所以，36÷12=3小时。
练 习 三
1 ，甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米，两车于相隔10
千米的两地同时相背而行，几小时后两人 相隔65千米？
2，甲每小时行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行，
同时乙从北庄 向北行。经过3小时后，两人相隔60千米。南北两庄
相距多少千米？
3，东西两镇相距20 千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相
背而行，甲每小时的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56千 米。
两人的速度各是多少？

例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向 东而行，甲骑自行
车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上
乙？ < br>分析与解答：这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行
了24千米（路程差）。甲骑 自行车每小时行13千米，乙步行每小时
走5千米，甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即 甲每小
时可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米
里面有几个8千米。 因此，24÷8=3小时甲可以追上乙。
练 习 四
1，甲乙两人同时从相距36千米 的A、B两城同向而行，乙在前
甲在后，甲每小时行15千米，乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙？
2，解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前
进，8小时后部队 有急事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速
度前去联络。多长时间后，通讯员能赶上队伍？ 3，小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一
条笔直的路上行走，小华每分钟走 65米，小亮每分钟走55米。3
分钟后两人相距多少米？

例5：甲、乙两沿 运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟
跑270米，跑道一圈长400米。如果两人同时从 起跑线上同方向跑，
那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？
分析与解答：这是一道封闭线路 上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，
方向一致。因此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是 甲
与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求
出甲追上乙所需的时间 ：400÷（290－270）=20分钟。
练 习 五
1，一条环形跑道长400米 ，小强每分钟跑300米，小星每分钟
跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追 上
小星？
2，光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起
跑线起跑 。亮亮每秒跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追
上晶晶时两人各跑了多少米？
3，甲 、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟
走125米，乙的速度是甲的2倍。现在甲在 乙后面250米，乙追上
甲需要多少分钟？