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数学六年级（下）沪教版（长方体的再认识Ⅱ）教师版
数学学科教师辅导讲义


年 级：预初 科 目：数学 课时数：3
课 题 长方体的再认识Ⅱ
1.通过熟练掌握长方体的棱与面、面与面之 间的位置关系，认识各种图形中的直线与平
面、平面与平面之间的垂直与平行关系.
2.结 合长方体的总面积、体积和棱长等相关知识进行计算，学会按一定的要求进行补画
长方体的局部图形.
教学内容
教学目的
【知识梳理】
1． 通过掌握长方体中棱与面之间的 关系有垂直和平行，从而认识各种图形中的直线与平面的垂直（如图1所示：
直线PQ面ABCD）与平行（如图2所示：
直线PQ∥面ABCD
）关系：


图1 图2
2． 通 过掌握长方体中面与面之间的关系有垂直和平行，从而认识各种图形中的平面与平面的垂直（如图3所示：
平面

平面

）与平行（如图4所示：
平面

∥平面

）关系：

图3
图4

【典型例题讲解】
题型一： 直线与平面、平面与平面的位置关系
【例l】如图所示，在长方体
ABCDEFGH
中，点
M,M,P,Q
分 别是棱
AB
，
CD
，
GH
，
EF
的中点．
(1)哪些棱与面
MNPQ
平行？

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(2)哪些棱与面
MNPQ
垂直？

【分析】(1)可以使用长方 形纸片、直角三角尺两次；(2)熟练掌握定义之后，也可以直接进行判读.
【解析】(1)
AD、DH、HE、AE、BC、CG、GF、BF
与面
MNPQ
平行；
(2)
AB、CD、GH、EF
与面
MNPQ
垂直．
【例 2】如图所示，一个物体是由三个长方体叠在一起组成的，与面
A
2
B
2C
2
D
2
平行的面有哪几个？与面
A
1
B1
C
1
D
1
垂
直的面有哪几个?
【分析】几 个长方体叠合在一起后，判断面与面平行、面与面垂直的方法并没有发生改变，要注意不要重复表示或遗
漏某一个平面．
【解析】与面
A
2
B
2
C
2
D
2
平行的面有面
B
1
EFA
1
和面
ABCD
;与面
A
1
B
1
C
1
D
1
垂直的面
有面
B
2
A
2
AB
、 面
B
2
E
1
EC
1
CB
、面
E< br>1
F
1
FE
、面
A
2
F
1
FD
1
DA
、面
CC
2
D
2
D
．
【方法总结】解这种题时，一定要按平行或垂直的定义或检验平行或垂直的方法来
判断，不可盲 目判断，注意也不要漏写多写.
【借题发挥】
1.如图，在长方体
ABCDEFGH
中
(1)与平面
ABCD
平行的棱有哪些？


(2)与棱
BC
平行的平面有哪些？


(3)与平面
ADGF
平行的棱有哪些？


【答案】（ 1）棱
EF
、棱
HG
、棱
HE
、棱
GF
；
（2）面
ADHE
、面
EFGH
、面
ADGF
；
（3）棱
HE
、棱
BC
.

2.如右图所示，在 长方体
ABCDEFGH
中，分别与
ACF
的
AC
、< br>CF
、
AF
中一边平行的面各有哪些？
【答案】分别与
AC
、
CF
、
AF
平行的面各有一个，它们分别是平面
EFGH
、平面
AEHD
、平面
CDHG
.
题型二：按要求画图题

【例3】如图所示，补画长方体中与面
ABCD
平行的棱.
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【分析】基 于对长方体的认识，可以得出与面
ABCD
平行的棱有
EF
、
FG< br>、
GH
、
HE
，即为与面
ABCD
平行的
面
EFGH
的4条边，所以在图中只要画出面
EFGH
即可.
【答案】
E

F

H

G

【借题发挥】
已知平面
ABCD
线段
DH
垂直于平面ABCD
（如下图）
画一个平面
HGFE
，经过
H
点，且和
ABCD
平面平行．


【答案】
E

F

G


【注意】要把遮挡的部分用虚线表示出来.

题型三：综合应用

【例4】如果把图中的骰子看作是一个立方体，点数1的对面是6 ．点数2的对面是5．点数
4的对面是点数3．那么与点数2垂直的面的点数和是多少？
【分析】与点数2垂直的面分别是点数l、点数3、点数4扣点数6．然后求出点数和.
【解析】
l346=14

所以，与点数2垂直的面的和是
l4
.
【例5】 (1)如图所示，写出 互相平行的面，并说明检验的方法．(2)在平面
BCGF
和平面
ADHE
之 间有两个长方形
ABCD
和
EFGH
，所以平面
BCGF
∥ 平面
ADHE
,你认为这句话对吗？为什么？
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【分析】把面
ADHE
(长方形)和面
ABFE
(梯形
AB
∥
EF
)看作是长方形纸片交叉
地放置两次，而且
AB
、
AD
与面
ABCD
紧贴，
EF
、
EH
与 面
EFGH
紧贴，从而
说明面
ABCD
∥面
EFGH
．同样用长方形
ABCD
和平行四边形
BCGF
可以检验平
面ABFE
∥平面
DCGH
．
虽然在平面
BC GF
和平面
ADHE
之间有两个长方形
ABCD
和
EFGH
．但它们
不是交叉放置,所以不能检验平面
BCGF
与平面
ADHE
平行．
【解析】平面
ABCD
∥平面
EFGH
．平面ABFE
∥平面
DCGH
；不对，没有交叉放置．
【方法总结】要严格按照检验两个面平行的方法去检验，注意方法中的“交叉”二字．
【例6 】从一个棱长10厘米的长方体中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下的表面积是多少？
【解析】(1)如果沿一条棱挖，表面积损失了两侧的两个小正方形

22

28
（平方厘米）．就是
6008592
(平
方厘米)
(2)如果沿着某一侧上平行于边挖，
表面积增加了

210210

248
（平方厘米）．
总表面积为
60032632
（平方厘米）．
(3)如果在某一侧面上斜着挖，表面增加了4个面，
其面积为

22210

248
(平方厘米)．
总面积是
60048=648
(平方厘米)．
(4) 挖通两个对面，表面增加了
42102

22

72< br>（平方厘米）．
总面积为
60072672
（平方厘米）．
所以综上所述，剩下的面积有四种情况，
分别是
592
平方厘米、
632
平方厘米、
648
平方厘米、
672
平方厘米．
【借题发挥】
1. 如图，在一个正方体的三个面上分别写上1、2、3．在与这三个面分别 平行的面上依次写上4、5、6（1的对面写
4，依次类推）．与写数字2的面垂直的面上的数字和是多 少？


【答案】与写数字2的面垂直的面上的数字和是14.
2. 一个长方体的长是20厘米、宽是10厘米、高是8厘米，从这块木头上切下一个最大的正方体后 ，剩下部分的表
面积是多少平方厘米？
【答案】
752cm
（最大的正方体的棱长为8厘米）
2
【随堂练习】
1. 看到图时，小明说，因为平面
FGEH
和平 面
ABCD
之间有两个长方形：
ADEH
和
BCGF
，所以 平面
FGEH
与
平面
ABCD
是平行的，你认为他说的对吗？为什么 ？
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2．图中点
M
、
N
、
Q
、
P< br>分别是长方体的四条高的中点，与平面
MNQP
平行的平面有哪些？为什么？

3．如何检验文件柜的隔板与隔板相互平行？说出你所用的方法．



【答案】1. 不对，没有交叉放置．
2．平面
ABCD
、平面
EFGH
.
3．可以用“长方形纸片”检验文件柜的隔板与隔板是否相互平行. 把一长方形硬纸片放在两层隔板之 间，按交叉
的方向放两次，使纸片的一边都紧贴一块隔板，再观察它的对边，如果对边都能与另一块隔板 紧贴，那么这两块隔板
平行.

【课堂总结】




【课后作业】
1．如图，在长方体
ABCDEFGH
中，

(1)哪些平面与棱
CG
平行？

(2)哪些平面与平面
BDHF
垂直？

(3)哪些棱与平面
DBFH
平行？

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(4)哪些棱与平面
DBFH
垂直？

(5)四边形
DBFH
是什么四边形？

2．(1)如图，把一张 长方形纸片
ABCD
对折，
EF
为折痕，
AB
与平面
CDEF
平行吗？
用现成的长方形纸片试试，验证一下你的结论．

(2 )除了“长方形纸片”，还有什么形状的“纸片”也能用来检验直线和平面是否平行？
为什么？

3. 读一读，想一想：
这里介绍一种在平面上表达立体图形的又一个常用方法— —“三视图”法，即从三个方向（前面、上面和左面）
看一个物体，然后描绘三张所看见的图形来表达这 个立体的形状的方法．例如，长方体（图
820
）无论从前面、上
面和左面，看到的 都是长方形，所以它的三视图是图
821
．


有一个规则的立体图形，它的三视图如下图
822
所示．


想一想，这个立体是什么形状呢？
【答案】
1.（1）平面
ABFE、平面
ADHE
、平面
DBFH
；
（2）平面
ABCD
、平面
EFGH
；
（3）棱
AE
、棱CG；
（4）没有；
（5）长方形.
2.（1）平行；现成的长方形纸片是长方形
ABFE
；
（2）梯形、平行四边形，因为它们都是至少有一组对边是平行的.
3. 圆柱.





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