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数学六年级（下）沪教版（长方体的再认识Ⅰ）教师版
数学学科教师辅导讲义


年 级：预初 科 目：数学 课时数：3
课 题 长方体的再认识Ⅰ
熟练掌握长方体的各要素及其棱与棱之间的关 系，学会结合长方体的面积、体积和棱长
等相关知识进行计算，并对图形进行综合分析应用.
教学内容
教学目的
【知识梳理】













面


6个；长方形（可能有两个
相对面是正方形）相对面面
积相等


6个；正方形面积都相等

棱

12条，分三组，分别为长、
宽、高，相对4条棱长度相
等


12条；长度都相等

顶点


8个
长方体

正方体



8个
长方体的相关量的计算：（正方体是特殊的长方体）
（1）长方体的表面积的计算：
S2(abbcac)
；正方体的表面积的计算：
S6a

2
（2）长方体的体积的计算：
Vabc
；正方体的体积的计算：
Va

3
（3）长方体的棱长和：
l4(abc)
；正方体的棱长和：
l12a

【典型例题讲解】
题型一： 有关长方体的面积、体积和棱长总和的综合计算.
1
，求这个长方体的体积．
2
【解析】本题的关键是求出长方体的长、宽、 高各是多少厘米，可以设长方体的宽为
x
厘米，那么长就是(
x3
)厘1
米，高是
x
厘米，由棱长和是
52
厘米可列出方程，最后求得 长方体的体积．
2
【例l】有一个长方体的架子，它的棱长和是
52
厘米， 其中长比宽多
3
厘米，高是宽的
1 7

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【解】设长方体的宽为
x
厘米，那么长就是(
x3
)厘米，高是

4

xx3
1
x
厘米．由题意，得
2


1

x

52
．
2

解方程，得
x4
．
所以
x3437
，
11
x42
．
22
74256

厘米
3

．
答：长方体的体积是
56
厘米.
3
3
，高是宽的一半，求长方体的棱长总和是多少厘米？
4
【解析 】因为长方体一共有
12
条棱分别按长、宽、高分组能分成
3
组．每组棱的长 度是相等的，所以长度为
8
厘米
【例2】一个长方体纸盒，它的长是
8
厘米，宽是长的
的棱有
4
条，宽度为

8


3

31

厘米的棱有条，高度为
4

8

厘米的棱有
4
条．
4

42

【解】设棱长的总和为
L
，则 
3

31

L84

8

4

8

4


4

42

331

4

888

442

4

863

．
68（厘米）
答：长方体的棱长总和是
68
厘米.
【方法指导】 在掌握长方体的长、宽、高及其体积、棱长等的计算公式后，就要有能力分析题目中数据，从中得到相
应 的等量关系式进行计算求解。
【借题发挥】
1. 一个长方体，长缩小4倍，高扩大2倍，宽扩大3倍，体积怎样变化？
【答案】体积扩大了
12
23
倍
43
2. 已知长 方体中以同一个顶点为公共端点的三条棱的长分别为3cm、4cm和5cm，求这个长方体的表面积和体积．
【答案】以同一个顶点为公共端点的三条棱分别为长、宽和高，所以3cm、4cm和5cm是这个长方 体的长、宽和高的
长度，所以根据公式就可以得到表面积为
94cm
，体积为
60cm
.
3. 把一根长36分米的木条截开后刚好能搭一个正方体架子，求这个正方体的表面积和体积．
【答案】由 题意可以得知这个正方体的棱长均为
36123
分米，所以根据公式可以得到这个正方体的 表面积为
54
平方分米，体积为
27
立方分米.
4. 一个长方体盒子，它的长是12厘米，宽是长的
米？
【答案】由题意可得，长为12厘米，宽 为
12
23
31
，高是宽的，求长方体的表面积、体积和棱长总和是多少厘
43
31
9
厘米，高为
93
厘米，所以可以得到表面 积为
43
2 7

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，体积为
12 93324
，棱长总和为
4

1293

96
.
2

12993123

342
（厘米
2
）
【例3】如图所示，一个体积为
160
厘米的长方体中 两个相邻侧面的面积分别是
20
厘米、
32
厘米．求这个长方
体的底 面积，且画出这个长方体．
322

【解析】图中的三个长方形是长方体中过同一个点的三个面．可引入三个字母，根据题意列出三个等式．

ah32,①

【解】设长方体的长、宽、高分别为
a
、
b
、
h
．由题意，得

bh20,②


abh160③

将(1)代入(3)，得
32b160
，解方程，得
b5

将(2)代入(3)，得
20a160
，解方程，得
a8
．
所以长方体的底面积为
ab8540厘米
，把
a8
代人
ah 32
，求得
h4
．
所以这个长方体的长为
8
厘 米，宽为
5
厘米，高为
4
厘米，其图如图所示：
2

【方法指导】要建立起空间感，通过认识长方体的展开图来解答.
【借题发挥】
如 图是一个长方体纸盒的展开图，请把
3、6、7、3、6、7
分别填入6个正方形，使得 右图折成正方体纸盒后，
相对面上的两数互为相反数．

【答案】可以把某一个面（ 这个面所在长方体的四条边中带面的边数越多越好）作为底面，依次把侧面折起来，就比
较容易折成一个 长方体. 多加练习达到通过观察就能从长方体的平面展开图中，找出相对应的立体图的各个面. 所填
答案见下图.
3 7

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6
3
7
﹣3
﹣6
﹣7


题型二：图形的分析

【例4】把一个棱长为
4
厘米的正方体的六个 面都涂上红色，将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开（如图所
示）．
(1)能得到多少个棱长为
1
厘米的小正方体？

(2)三个面都涂有红色的小正方体有多少个？

(3)两个面都涂有红色的小正方体有多少个？

(4)一个面涂有红色的小正方体有多少个？

(5)有没有各面都没有涂颜色的小正方体？如果有，那么有多少个？

【解析】( 1)从正方体的体积上考虑：大正方体的体积为
464
（立方厘米），小正方体体积为
1
3
1
（立方厘米），
所以能得到
64
个棱长为
1
厘米的小正方体．
(2)位于原顶点位置的小正方体三面涂色，正方体有八个顶 点，所以三面涂色的小正方体有
8
个．
(3)位于除顶点位置外的原 棱上的小正方体两面涂色，每条棱上有
422
（个），所以共
21224（个）．
(4)位于原六个面上的（除去前两种情况）小正方体一面涂色，每个面上有< br>16484
（个），所以六个面上
共有24个．
(5)未涂色 的小正方体应该是总的个数减去前三种情况，所以
64824248
（个）．
【答案】(1)64个(2)8个(3)24个(4)24个(5)有，8个
【方法指导】把 长方形的各要素：定点、棱和面等作为此题的解题出发点考虑，可以使问题简单化、条理化，避免盲
目寻 找造成的重数或漏数.
【借题发挥】
1.下图中的长方体和正方体都是由棱长1厘米的小正方体摆成的，它们的长、宽、高各是多少厘米？
3







【答案】长为 3厘米，宽为2厘米，高为2厘米；长为3厘米，宽为2厘米，高为3厘米；长为2厘米，宽为2厘米，
高为4厘米.

2.有一个棱长30厘米的正方体木块，每面都涂上红漆。现在把它锯成棱 长是10厘米的小正方体。请问：
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（1） 需要锯几次？能锯成多少个小正方体？
（2） 四面都有红漆的小正方体有多少个？
（3） 三面都有红漆的小正方体有多少个？
（4） 两面有红漆的小正方体有多少个？
（5） 一面有红漆的小正方体有多少个？
（6） 没有红漆的小正方体有多少个？
【答案】（1）6次，27个；（2）0个；（3）8个；（4）12个；（5）6个；（6）1个.
题型三：图形的拼凑

【例5】(1)把五个边长为1厘米的小正方体拼成一个长方体 ，则此长方体的棱长的和为多少？表面积为多少？
(2)把六个边长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，则此长方体的棱长的和为多少？表面积是多少？
【解析】(1)五个小长方体只有一种拼法，拼成的长方体三条棱长分别是
5
厘米、
1
厘米、
l
厘米．所以棱长的和为
．

511

428
(厘米)．表面积为
(5l 5111)222
（平方厘米）
(2)六个小长方体有两种拼法（因为
6 1623
）．其中一种拼成的长方体三条棱长分别为
6
厘米、
1厘米、
，表面积为
(616111)2=26
（平方厘米）．另一种 拼成
l
厘米．所以棱长的和为

611

432< br>（厘米）
的长方体三条棱长分别为
3
厘米、
2
厘米、
1
厘米，所以棱长的和为

321

4=24
（厘米 ），表面积为
(323112)2=22
(平方厘米)．
【答案】(1)28厘米，22平方厘米；
(2)两种可能：32厘米，26平方厘米或24厘米，22平方厘米．
【借题发挥】把四个边长为1 厘米的小正方体拼成一个立方体，则此立方体的棱长的和为多少？表面积为多少？体积
为多少？
【答案】有两种可能：(1)长方体的三条棱分别长为4厘米、1厘米、1厘米，由此得：棱长的和为

411

424
（厘米），表面积为

41 4111

218
（平方厘米），体积为
4114
（立方厘米）.
(2) 长方体的三条棱分别长为2厘米、1厘米、2厘米，由此得：棱长的和为
212

420
（厘米），表面积为
，体积为
2124
（立方厘米）.

212122

 216
（平方厘米）
【随堂练习】
1. 判断
① 长方体和正方体都有12条棱，长度都相等。 （ ）
② 长方体都有6个面，每个面都不可能是正方形。 （ ）
③ 正方体中相交于同一个顶点的三条棱的长度都相等。 （ ）
④ 正方体是特殊的长方体。 （ ）
⑤ 在长方体中，不是相对的棱长度都不相等。 （ ）
【答案】①×；②×；③√；④√；⑤×.
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2.小明想用一根长度 为250厘米的塑料管和橡皮泥做一个三条棱分别为10厘米、30厘米、15厘米的长方体架子，应
如 何裁剪这根塑料管？
【答案】分别截4根10厘米、4根30厘米、4根15厘米的塑料管，最后剩30厘米的塑料管.
3. 把一个长方体的高增加3厘米厚就变成了一个正方体，表面积比原来增加了60平方厘米，原长方 体的表面积是多
少平方厘米?
【答案】假设原长方体的长、宽均为
x
厘米 ，则高为

x3

厘米，由题意可列等式：
4

3(x3)

60
，解得
x8
，
所以原长方体的 长、宽、高分别为8厘米、8厘米、5厘米，原长方体的表面积为

888585< br>
2288
（平
方厘米）.
4. 把一个棱长6厘米的正方体 外表涂上红漆，然后切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体中，一面、两面、
三面涂色的各有多少 块？
【答案】96个，48个，8个.
5. 把一个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长 方体外表涂上红漆，然后切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方
体中，一面、两面、三面涂色的各有 多少块？


【答案】6个，16个，8个.

5厘米
厘
米
2
3厘米

【课堂总结】




【课后作业】
1. 一个长方体的长是20厘米、宽是10厘米、高是 8厘米，从这块木头上切下一个最大的正方体后，剩下部分的表
面积是多少平方厘米？
2. 两根同样长的铁丝，一根围成长9cm、宽4cm、高2cm的长方体框架，另一根围成一个正方体，这个正方体 的棱长
是多少？
3. 把四个棱长为2cm的正方体拼成一个长方体，拼出的长方体的长、宽、高分别是多少？
4．根据下列条件，分别画出直观图．
(1)正方体的表面积为
24cm
．
(2)长方体的体积为
24cm< br>，长与宽的比为
3：2
，宽与高的比为
4：1
．
5．有了均匀的“点子图”，用一把没有刻度的尺子，也能画出漂亮的长方体，以及简单的组合图形．
(1)仿照图
812
，在图
813
中画两个长方体，使 小长方体在大长方体的前面．
(2)分别在图
812
、图
813
中的大小长方体中各找一条棱，使它们之间的位置关系为异面，并用红、蓝两种
颜色加以区分.



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2
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【答案】
1.
752cm

2.
5cm

3.有两种可能： （1）长、宽、高分别为
8cm,2cm,2cm
；（2）长、宽、高分别为
4cm, 2cm,4cm
.
4.（1）棱长为
2cm
的正方体；（2）棱长分别为< br>6cm,4cm,1cm
的长方体，图略.
5.图略.
























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7 7