路标皮鞋-允许

学科教师辅导教案
学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
课程主题： 授课时间：
1.能够利用比例尺来求实际距离或者图上距离。
学习目标
2.能够掌握解决一些比例分配应用题的方法。
3.掌握正、反比例应用的解题方法。

教学内容


（此部分15分钟左右。可根据本次课的需要，选 择不同的互动探究方法，通过案例分析、趣
味故事等进行新课导入，且此部分内容与本节课的主题相关连 ，并写清楚教学建议。）

问题思考：吴军、朱强和张雨三人合乘一辆出租车．吴军在全程三 分之一处下车，到了三分之
二处，朱强下了车，最后张雨一个人坐到终点．他们乘车一共付出90元车费 ．请你帮他们设
计一个付钱的方法．
【考点】按比例分配应用题．
【专题】比和比例应用题．
【分析】根据题意可知：他们三人所乘路程的比是：1：2：3， 首先求出总份数，再利用按比例分配的方法
计算各自应付的车费即可．
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【解答】解：他们三人所乘路程的比是：：：1=1：2：3，
1+2+3=6（份），
90×；
；
（元）；
答：吴军应付15元、朱强应付30元、张雨应付45元．
【点评】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答方法．

1

（此部分60分钟左右；是本节课的重点。请做到讲练 结合，尽量做到每一个知识点都附有相
应的练习题；最多不超过3个知识点必须附有相关知识点练习）

知识点1．比例尺应用题
【知识点归纳】
比例尺分类：
分数比例尺和线段比例尺
缩小比例尺和放大比例尺
比例尺各部分的关系：
图上距离：实际距离=比例尺
图上距离：比例尺=实际距离
实际距离×比例尺=图上距离．

【命题方向】
常考题型：
例 1：在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24
千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（ ）
A、15 B、17 C、21
分析：先依据“实际距离=图上距离÷比例尺 ”求出两地的实际距离，再据“路程÷速度=时间”求出货轮从A地到
B地需要的时间，进而可以求出到 达B地的时刻．
解：9÷=36000000（厘米）=360（千米），
360÷24=15（小时），
6+15=21（时）；
答：货轮到达B港的时间是21时．
故选：C．
点评：此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷速度=时间”．

例2：一幢教学楼的平面图上，量的楼长16厘米，宽7.2厘米．已知比例尺是1：250 ，这幢教学楼的实际面
积是多少平方米？
分析：图上距离和比例尺已知，先依据“实际距离= 图上距离÷比例尺”分别求出长和宽的实际距离，进而利用
长方形的面积公式即可求解．
解：16÷
7.2×
=4000（厘米）=40（米），
=1800（厘米）=18（米），
40×18=720（平方米）；
答：这幢教学楼的实际面积是720平方米．
点评：分别求出长和宽的实际距离，是解答本题的关键．

知识点2．按比例分配应用题
【知识点归纳】
把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．
解答这类题的方法是：把一 个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份
2

数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出 总份数后，再求平均每份是多少，然后，
按照各个量所占的份数，求出几份是多少．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形三个内角度数的比是3：2：1，这是一个（ ）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定
分析： 因为三角形的内角度数和是180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的，根据一个数乘分数的
意 义，求出最大角，进而判断即可．
解：1+2+3=6
最大的角：180°×=90°
所以这个三角形是直角三角形
故选：B．
点评：解答此题应明确三角形的内角度数 的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类
型．

例2：一个长方形周长是88cm，长与宽的比是7：4．长方形的长、宽各是多少厘米？面积是多少？
分析：根据题意，长与宽的和为88÷2=44（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方形的长 、宽各是
多少厘米，再根据长方形面积公式，求出面积，解决问题．
解：88÷2=44（厘米），
4+7=11，
44×
44×
=16（厘米），
=28（厘米）；
16×28=448（平方厘米）；
答：长方形的长是28厘米，是16厘米，面积是448平方厘米．
点评：解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可．

知识点3．正、反比例应用题
【知识点归纳】
正比例和反比例都是两种相关联的量，一种量在变化，另一种量也随着变化．
正比例：如果这 两种量中相对应的两个数的比值（即商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系
就叫做正比例 关系，简称正比例．形式如：（一定）
反比例：如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就 叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反
比例关系，简称反比例．形式如：xy=k（一定）

【命题方向】
常考题型：
例1：把1.5米长的竹竿直立在地上，量得 它的影长是1.2米，同时量得学校的旗杆的影长是6.4米．学校的
旗杆高多少米？
分析： 根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比
例， 由此列式解答即可．
解：设旗杆的高是x米．
1.5：1.2=x：6.4，
1.2x=1.5×6.4，
x=8；
3

答：旗杆的高是8米．
点评：解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．

例2：用边长15厘米的方砖给教室铺地，需要200块，如果改用边长25厘米的方砖铺地 ，需要多少块砖？
分析：教室的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即两种 量成反比例，由此设出
未知数，列出比例式解答即可．
解：设需要x块砖，由题意得，
25×25x=15×15×200，
625x=45000，
x=45000÷625，
x=72；
答：需要72块砖．
点评：此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当做面积进行计算．

典型例题分析

例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现 在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，
每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加< br>上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18=2×3×3，
12=2×2×3，
所以最大公因数是2×3=6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
=3+2
=5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的 关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段
数，再相加即可 ．

例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去 一次，如果4月25
日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由 甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书
馆之间 的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求
出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3=72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25=5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30=6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一 次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍
数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数 ．

例3：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）
A、90° B、180° C、60°
4

分析：根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是1 80度，你把一个三角形分成两个小三角形，每
个的内角和还是180度，据此解答．
解：因为三角形的内角和等于180°，
所以每个小三角形的内角和也是180°．
故选：B．
点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．

例4：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（ ）三角形．
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
分析：根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状．
解：因为∠1=∠2+∠3，
所以∠1=180°÷2=90°，
所以这个三角形是直角三角形．
故选：B．
点评：此题考查了三角形的内角和定理 以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝
角三角形．
例5：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍 ，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规
律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大3
3
=27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．

例6：一只长方体的 玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米
的正方体铁块， 缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
=134.4+64﹣192，
=6.4（立方分米），
=6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升． 点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积=水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．




（此部分测试时间为20分钟左右，讲评时间为15分钟左右。队本次所学内容进行检测）
1 ．（2015•博白县模拟）在一幅比例尺是1：6000000的地图上，量得A城到B城的距离是4.5厘米 ．甲、
乙两辆汽车同时从A、B两地相向出发，经过2小时相遇．已知甲车每小时行70千米，乙车每小 时行
（ ）
A．80千米 B．75千米 C．65千米 D．70千米

选：C．

5

2．（2015•高邮市校级模拟）被减数、减数与差的和是80，差与减数的比是5：3，差是（ ）
A．50 B．25 C．15

选B

3．（2015• 广州校级二模）把一批书3：4：5或按2：4：5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批
书正 好分完，这批书可能有（ ）本．
A．60 B．132 C．96 D．66

选：B．
4．（2014春•淮安校级期中）用面积9平方分米的方砖铺一间房子，400块 正好铺满．如果改用边长60厘
米的方砖需（ ）块．
A．60 B．600 C．10 D．100

选：D．

5．（2015•桂林校级模拟）在1：200 0的地图上量得甲、乙两地距离是36厘米，甲、乙两地的实际距离是
720 米．
6．（2015春•威宁县校级期中）一个分数的分子、分母之和为60，约分后为，这个分数是 ．

7．（2015•如皋市模拟）一个长方体的长、宽、高的比是5：3：4，已知它的高是8 厘米，它的体积是 480
立方厘米．

8．（2015春•泰安校级期中）莉莉 在操场上插几根长短不同的竹竿，在同一时间测量竹竿长和相应的影长，
情况如下表．
0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5
影长（米）
竹竿长（米）
1 1.4 1.6 1.8 2.2 3
这时，莉莉身边的圆圆测量出了某旗杆的影长是6米，可推算出旗杆的实际高度是 12 米，小林如果量了
某旗杆长是2.8米，那么此旗杆影长 1.4 米．

9．（2 015•金溪县校级模拟）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地距离是10厘米，甲乙两车同时从
两地相向而行，3小时后两车相遇．已知甲乙两车的速度比是2：3，求甲乙两车的速度各是多少千米？

【解答】解：10÷
300÷3=100（千米），
100×=40（千米），
=30000000（厘米）=300（千米），
100﹣40=60（千米）；
答：甲车的速度是每小时40千米，乙车的速度是每小时60千米．

10．（2 015•绵阳）光明小学原来体育达标人数与没有达标的人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时
达标人数是没达标的
【解答】解：60÷（
=60÷（﹣），
，光明小学共有学生多少人？
﹣），
6

=60
=60×
，
，
=800（人）；
答：光明小学共有学生800人．

11．（2015 •衡水模拟）学校准备把280棵树的任务，按照六年级三个班的人数，分配给各班，一班有47
人，二 班有45人，三班有48人，三个班各应栽多少棵？

【解答】解：三个班人数的总人数：47+45+48=140（人），
一班应栽树的棵数： 280×
二班应栽树的棵数：280×
三班应栽树的棵数：280×
=94（棵）；
=90（棵）；
=96（棵）；
答：一班应栽树94棵，二班应栽树90棵，三班应栽树96棵．

12．（201 5春•凤县校级期中）铺一间教室，用边长4分米的方砖需要450块，如果改用边长3分米的方
砖，需 要多少块？（用比例解）

【解答】解：设要用x块，
3×3×x=4×4×450，
9x=7200，
x=800；
答：需要800块．


（此部分10分钟左右，以学生自我总结为主，TR引导为辅，为本次课做一个总结回顾）




【巩固练习】
（此部分内容包含本次课所学内容相关的练习题及综合练习题）
1．（2015春•张家港市 校级期中）把一块长600米，宽400米的长方形地，画在一张长10cm，宽8cm的纸
上，选用哪 一种比例尺比较合适．（ ）
7

A．1：2000 B．1：4000 C．1：6000 D．1：8000

选：C．

2．（2015•沙坪坝区校级模拟）等腰三角形顶角与底角的比是1：2，那么三角形的顶角是（ ）°．
A．30 B．36 C．60 D．90

选：B．
【点评】 考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和．等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和为
180°．

3．（2015秋•武汉校级月考）六年级有三个班共130人，甲班与乙班人数的比是1 0：11，丙班与乙班的人
数比是23：22，则甲乙丙三班人数分别为（ ）
A．40、44、46 B．40、46、44 C．42、43、45

选：A．


4．（2013春•建昌县校级期中）张老师的自行车前齿轮有48个齿，后齿 轮有17个齿，后车轮直径是59厘
米；李老师的自行车前齿轮有26个齿，后齿轮有12个齿，后车轮 直径是61厘米．两位老师同样蹬一圈，
（ ）走得远．
A．无法判定 B．张老师 C．李老师

选B．


5．（2015•泉州模拟）在一幅 比例尺是的中国地图上，量得北京到郑州的距离是59厘米，北京到
郑州的实际距离是 1180 千米．如果在一幅地图上量得北京到郑州的长度是11.8厘米，这幅地图的比例尺
是 1：10000000 ．


6．（2015秋•泗阳县校级期末）已知甲、乙 、丙三个数的平均数是160．甲、乙、丙三个数的比是5：4：
1．甲、乙、丙三个数分别是 240 、 192 、 48 ．


7．（2015秋•澄迈县校级期中）李东、王俊 、张欣三人体重比是3：4：5，他们的平均体重是32千克，李
东的体重是 24 千克．


8．（2014•如东县）一列动车在高速铁路上行驶的时间和路程如右图．看图填写下表：
3
时间小时
800
路程千米
这列动车行驶的时间和路程成 正 比例．
8

9．（2015春•长春期末）在比例尺是1：2000 的图纸上量得一块长方形试验田的长是4厘米，宽是3 厘米，
算一算这块试验田的实际面积是多少平方米？

【解答】解：试验田实际长是：
4÷=8000（厘米）=80（米），

试验田实际宽是：
3÷=6000（厘米）=60（米），
这块试验田的实际面积是：
80×60=4800（平方米）．
答：这块试验田的实际面积是4800平方米．
【点评】此题考查了学生对比例尺的实际应用能力，主要是对“图上距离÷比例尺=实际距离”的应用．

10．（2015•徐州模拟）某小学为抢救大熊猫共捐款240元，低、中、高年级捐款 钱数的比是3：4：5．低、
中、高年级各捐款多少元？

【解答】解：240×
=240×，
，
=60（元），
240×
=240×
，
，
=80（元），
240×
=240×
，
，
=100（元）．
答：低年级捐款60元，中年级捐款80元，高年级捐款100元．


11．（2015•滨海县校级模拟）商店运来桔子、苹果、梨共360千克，桔子与苹果的重量比是5：6，梨 的重
量是苹果的，桔子有多少千克？

9

【解答】解：360×
=360×，

=150（千克）；
答：桔子有150千克．


12．（2 015春•蓬安县校级月考）工厂计划生产一批手表，计划每天生产300只，20天完成，实际上每天生
产450只．多少天才能完成任务？（请用比例的知识解答）

【解答】解：设x天才能完成任务，
450x=300×20，
450x=6000，
x=
答：
；
天可以完成任务．

13．（2015•德江县模拟）某市居民天然气收费标准如下：每户每月用气不超过4立方 米时，每立方米1.8
元；当超过4立方米时，超出部分每立方米3元．该市某社区a，b两户用气量之 比为5：3，共缴费32.4
元．问：A，B两户各应缴费多少元？

【解答】解：两户未超过4立方米的部分应收：
1.8×（4+4）=14.4（元），
那么两户这月超出基本用气量：
（32.4﹣14.4）÷3=6（立方米），
则A的用气量为：
（6+4+4）×
=14×
=8.75（立方米），
应交燃气费：
4×1.8+（8.75﹣4）×3，
=7.2+14.25
=21.45（元）
B应交燃气费：32.4﹣21.45=10.95（元）．
答：A应交燃气费21.45元，B应交燃气费10.95元．

【预习思考】
（此部分旨在对下节课将要学习的内容进行提前预习。可根据下节课主题进行设置。）






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