小升初数学试题最大公约数的专项练
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小升初数学试题最大公约数的专项练习
（1）列举约数法
例如，求24和36的最大公约数。
显然（24，36）=12。
（2）分解质因数法
就是先把要求最大公约数的那几
个数分别分解质因数，然后把这几个数公有的质因
数相乘，所得的积就是要求的最大公约数。
例如，求12、18和54的最大公约数。
所以（12，18，54）＝2×3＝6。
（3）除数相除法（短除法）
就是先用
要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到所得的
商只有公约数1为止，再把所有
的除数连乘起来，乘得的积就是所求的最大公约数。
例如，求24、60和96的最大公约数。
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所以（24、60、96）＝2
×2×3＝12。
（4）应用相除法
就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到
商只有
公约数1为止。然后用被除数除以商。
例如，求36和54的最大公约数。
（5）辗转相除法
也称欧几里得除法。
就是用大数除以小数，如果能整
除，小数就是所求的最大公约数；如果不能整除，
再用小数除以第一个余数，如果能整除，第一余数就是
所求的最大公约数；如果不
能整除，再用第一个余数除以第二个余数，如果能整除，第二个余数就是所求
的最
大公约数，如果不能整除，再像上面那样继续除下去，直到余数为0为止，最后的
那个除数
就是所求的最大公约数。如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质
数。
例如，求621和851的最大公约数。
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则（621，851）＝23。
（6）辗转相减法
在求几个数的最大公约数时，可从任一大数中减去任意小数的任意倍数，同时作几
个减法。
理论根据：
定理1：如果甲、乙二数的差是乙数，那么甲、乙二数的最大公约数就是乙数。
即：如果a－b＝b，那么（a，b）＝b。（本文字母都是自然数）
证明：∵a－b＝b，
∴a＝2b，即 b｜2b→b｜a。
又∵b｜b，∴（ a，b）＝b。
定理2：如果两个数的差不等于零，那么这两个数的最大公约数就是减数与差数的
最大公约数。
即：如果a－b＝c（a＞b），
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那么（a，b）＝（b，c）。
可理
解为差与小数成倍数关系，差就是所求的最大公约数；如果差与小数不成倍数
关系，差与小数的最大公约
数就是所求的最大公约数。
∵a－b＝c，
因此t是b、c的公约数。
又设（p
2
，p
1
－p
2
）=m（m＞1），则
故（P
2
，P
1
－P
2
）＝
m不能成立，只能是：（P
2
，P
1
－P
2
）＝1。说明t
不但是b、c的公约数，
而且是最大公约数。即：
（b，c）＝t，
∴（a，b）＝（b，c）。
例如，429－143＝286，
∴（429，143）＝（143，286）。
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又∵143｜286，
∴（143，286）＝143。
因此（429，143）＝143。
根据上面的两个定理求（a，b）。
设a＞b，
①当
b｜a时，则（a，b）＝b。
②当b
a时，则a－b＝p
1
，即（a，b）＝（b，P
1
）。
其中当P
1
｜b时，则（b，P
1
）＝P
1
。
当P
1
b时，则b－P
1
＝P
2
，即（b，P<
br>1
）＝（P
1
，P
2
）。
„„
照此依次
减下去，被减数、减数在逐渐减小，差也随着相对减小，最后必能得到一
个pp
n
=0
。这时p
n-1
＝p
n-2
，所以（p
n-2
，p
n-1
）=p
n-1
。由此得出：
（a，b）＝（b，p
1
）＝（p
1
，p
2
）＝（p
2
，p
3
）
＝„„＝（p
n-2
，p
n-1
）＝p
n-1
。
这种方法称辗转相减法。
实例说明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3
的4倍；用3的7倍
减去3的4倍一定还是3
的倍数，得3的3倍，然后用3的4倍减去3的3倍结果
是3的1倍。因此（21，12）＝3。
应用中贵在灵活。求解过程中，可随时截取判断。
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例1 求1105和1547的最大公约数。
1547－1105＝422， （1）
1105－422×2＝211， （2）
422－221＝211， （3）
211－211＝0。 （4）
没必要辗转相
减到最后，由式子（2）知221与442成倍数关系，则（1105，1547）
＝221。
例2 求971和 601的最大公约数。
∵971－601＝370， （1）
601－370＝231， （2）
370－231＝139， （3）
231－139＝92 ， （4）
139－92＝47， （5）
„„
1－1＝0，
∴（971，601）＝1。
由（5）式可知（92，47）＝1，便可断定
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（971，601）=1。
例3
求27090、21672、11352和8127的最大公约数。
用这种方法约简分数、判断互质数等。例略。
（7）小数缩倍法
就是求两个数的最
大公约数时，如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2、
3、4„„，直到除得的商是较大数的
约数为止，那个商就是所求的最大约数。
例如，求45和75的最大公约数。
45÷3＝15，15｜75，则（45，75）＝15。
（8）差除法
如果两个数的差能整除较小的数，那么这个差就是这两个数的最大公约数。
已知a－b＝c，且c｜b（a＞b）。
求证（a ，b）＝c。
证明：由
c｜b，设 b＝cq。
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于是 a＝b＋c＝cq＋c＝c（q＋1）。
在a＝c（q＋1）和b＝cq中，
因为（q＋1，q）＝1，
所以（a，b）＝c。
例如，求91和98的最大公约数。
∵ 98－91＝7， 7｜91，
∴（91，98）＝7。
（9）倍差除法
当出现找出的差不能整除小数时，把小数
再扩大几倍，使之略超过大数，用新得的
数减去大数的差去除小数。
例4
求112与420的最大公约数。
112×4＝448， 448－420＝28，
28｜112，
则（11，420）＝28。
例5
求168与630的最大公约数。
168×4=672， 672－630＝42，
42｜168，
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则（168，630）＝42。
能够这样解的依据是什么呢？现证明如下（字母均为自然数）。
如果nb－a＝c，c＜b＜a，且c｜b，
那么（a，b）＝c。
证明：设t是a，b的公约数，则t｜a，t｜b，
∴nb－a＝c，且c＜b＜a，
∵t｜nb，t｜c，
因此，a，b的公约数一定是b、c的公约数。
同理也可证
明b、c的公约数一定是a、b的公约数。所以a、b的最大公约数等于b、
c的最大公约数。即：
（a，b）=（b，c ）。
又∵c｜b，
∴（a，b）＝（b，c）＝c。
或用差的从大到小的因数试除。
例6 求161和115的最大公约数。
161－115＝46。
∵46 115，
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而23｜115，
∴（161，115）＝23。
例7 求95和152的最大公约数。
∵
95×2－152＝38，
且38 95，
但19｜95，
∴（95，152）＝19。
这种方法，也适用于求三个以上数的最大公约数。
例8 求217，62和93的最大公约数，
因为217－62－93＝62，
且31｜62、31｜93，
所以（217，62，93 ）=31。
例9求
418、494和 589的最大公约数。
因为494－418＝76，76 418，
418－（76×5）＝38，38｜76，
则（418，494）＝38。
而589－（38×15）＝19，19｜38，
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所以（418，494，589）＝19。
例10 判断255和182是否互质。
255－182＝73，73 182，
182－（73×2）＝36，36 73，
而73－（36×2）＝1，
所以（255，182）＝1，即为互质数。
4862－2618＝2244，
2618－2244＝374，374｜2244，
（10）分数法
把
求最大公约数的两个数，写为真分数，逐次约成最简分数。原分数的分子（或分
母）除以最简分数的分子
（或分母），商就是最大公约数。
例如，求24、30和36的最大公约数。
则（2430）＝6。
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则（6，36）＝6。
所以（24，30，36）＝6。
（11）用商法
例如，求64与48的最大公约数。
先把两个数写成除法的形式，
大数作被除数，小数作除数（除数为大于1的自然数）。
所得的商写成最简分数。
这两个数的最大公约数等于除数除以商的分母。即：48÷3＝16，∴（64，48）＝16。
如果，两个数相除，商为整数，那么，这两个数的最大公约数是除数。
这种方法也适用于求两个以上的数的最大公约数。例如，求36、30和20的最大公
约数。
所以（36，30，20）＝2。
（12）利用等式关系
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利用（am，bm）＝m（a，b）。
例如，求36与54的最大公约数。
（36，54）＝（18×2，18×3）
＝18（2，3）＝18。
利用（a，b）＝（a，b）。
nnn
例如，求64与216的最大公约数。
（64，216）＝（4
3
，6
3
）
＝（4，6）
3
=2
3
=8。
利用若（a，b）＝1，则（ac，b）＝（c，b ）。
例1
求46与253的最大公约数。
（46，253）＝（46，11×23）
＝（46，23）＝23。
例2 求12，286的最大公约数。
（12，286）＝2（6，143）
＝2（6，11×13）＝2（6，13）＝2。
例3 求245、315和560的最大公约数。
（245，315，560）＝5（49，63，112）
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＝5（49， 63，
28×4）＝5（49，63，28）
＝5×7（7，9，4）＝35。
（13）口诀查找法
就是用乘法口诀对照求最大公约数的那几个数，看哪个因数是求最大公约
数的那几
个数的约数，再进一步判断那个公约数是不是所求的最大公约数。
例如，求56和72的最大公约数。
看56与72，立即想到乘法口诀“七八五十六”与“八
九七十二”。8是56与72
的公约数，56的另一个约数7与72的另一个约数9成互质数，所以公约
数8就是
56与72的最大公约数。
（14）特征心算法
根据求最大公约数的那几个数所具有的能被某些数整除的特征确定。
例如，求24和30的最大公约数。
根据24和30能同时被2整除的特征，记下2；
再根据24和30还能同时被3整除，记下3；
由2乘3得6，24与30分别除以6的商分别是4与5，4与
5互质，则（24，30）
＝6。
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