大学迎新-山清水秀造句

§2 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式

2000731
一． 概率的统计定义：
１．频率：
随机事件在一次具 体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同
一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性． 如：历史上有人作过
成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录：

２．随机事件

1。随机事件及其概率
2。古典概型



容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中

事件Ａ发生的次数 频数
事件Ａ发生的频率＝ ＝
试验总次数 试验总次数 ．

我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解 不够的，下面给出事件发生的可能性大
小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率．

２．随机事件的概率：
（１） 定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作
n
次 试验，记

是
n
次试验中事件
A
发生
的次数．当试 验的次数
n
很大时，如果频率

稳定在某一数值
p
的附近摆 动，而
n
且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值
p
为 事件
A
在条
件Ｓ下发生的概率，记作

P(A)p

这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统 计定义．但必
须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，< br>却是一个客观存在的实数，是不变的。

二． 古典概型：
１．定义： 如果随机现象满足下列三个条件：

(1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：
A
1
,A
2
,L,A
n
，
(2) 每一个基本事件
A
i
(i1,2,L,n)
发生的可能性是相等的．
(3) 基本事件
A
i
(i1,2,L,n)
是两两互不相容
满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型．
在古典概型中，如果n为基本事件总数， m为事件A包含的基本事件数, 那么事件
A的概率

P(A)
m


n

法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为 概率的一般定义．现在通常称它
为概率的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合．
２． 古典概型公式的运用举例：

【例1】 袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率．
解 ： 容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且
基本事件总数n＝5，取到白球的基本事件数m＝2，故

把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问
题．这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，
更易于计算。

【例2】把a, b两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，求盒子I中没有球的概
率。
解：这是一个古典概型问题，
把a, b两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，基本事件总数

n39

设Ａ＝“盒子I中没有球”，则事件A包含的基本事件数
2

m24

2
∴
P(A)
4

9

【例3】有一个口袋，内装a只白球，b只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从
袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出2个球时，求：
（１）模出2个球都是白球的概率；
（２）模出一个白球一个黑球的概率

解: 这口袋共有a+b只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数
2
nC
ab
，
2
（１） 模出2个球都是白球基本事件数
m
1
C
a
，
2
C
a
m
1
∴ 模出2个球都是白球的概率
P
2
；
n
C
ab
11
（２） 模出一个白球一个黑球的基本事件数
m
2
C
a
C
b
ab
，
∴ 模出一个白球一个黑球的概率
P
m
2
ab

2
．
n
C
ab
若把黑球作为废品，白球作为好品，则这个摸球模型就可 以描述产品抽样．按如产品
分为更多等级，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等．则可用装有多 种颜色的
球的口袋的摸球模型来描述．
【例3】 列










【例4】

1．无放回抽样：



2．有放回抽样：




，

【例5】 有一个口袋内装可分辨4个黑球，6个白球, 它们除颜色不同外，外形完全一样. 现
按两种取法；
（Ⅰ）无放回；
（Ⅱ）有放回
连续从袋中取出３个球，分别求下面事件的概率：
（１）
A
“取出３个球都是白的”；
（２）
B
“取出２个黑球，１个白球”．
解：（Ⅰ）无放回：连续从袋中取出３个球的基本事件总数
3
nA
10
，
3
（１）取出３个球都是白的基本事件数
m
1
A
6
，
3
m
1
A
6
6541
∴
P(A)
3
0.167
；
n
A
10
10986
（２）取出２个黑球，１个白球，注意到取出黑球的次序，
221
∴ 事件
B
的基本事件数
m
2
C
4
A
4
A
6
， < br>221
A
4
A
6
m
2
C
4因而
P(B)0.3

3
n
A
10

（Ⅱ）有放回： 连续从袋中取出３个球的基本事件总数

n10
3
，
3
（１） 取出３个球都是白的基本事件数
m
1
6
，
m
1
6
3

3
0.216
； ∴
P(A)
n
10
（２） 取出２个黑球，１个白球，注意到黑球黑球的次序，
221
∴ 事件
B
的基本事件数
m
2
C
4
4C
6
，
21
4
2
C
6
m
2
C
4
0.288< br> 因而
P(B)
3
n
10


【例６】 设有k个球，每个球都能以同样的概率落到N个格子(N

k)的每—个格子中，
试求：下列事件的概率

(1) A=”某指定的k个格子中各有一个球”；
(1) B=”任何k个格子中各有一个球”；
(3) C=“k个球落到同一个格子中”.
解: 这是一个古典概型问题，由于每个球可落入N个格子中的任一个，所以n个球在
N个格子基本事件总数
nN
k

(1) k个球在那指定的k个格子中全排列，总数为n!，因而所求概率


（2）n个格子可以任意，即可以从N个格子中任意选出n个来，这种选法共有
n

C
N

又对于每种选定的n个格子，共有n! 排列，因而所求概率
n
C
N
n!
N!

P
2



nn
NN(Nn)!

【例】




【例】





三。概率的性质：
１．
0P(A)1

２．
P()1

３．
P(

)0





四．概率加法公式：
１．
概率加法公式：

（１） 如果事件A， B是互不相容，则 P（A+B）=P（A）+P（B），
特别地，
P(A

（２）

A)P(A)P(A)1
；
P(A)1P(A)


．

特别地，（1）如果A与B是两个互斤事件，则

（2）





P（B） ．
，
(3) 若 B

A ，则 P（AB）

P（A）
2． 逆事件概率：




【例7】在浴池的鞋柜中乱放着10双号码不同的托鞋．今随意取来三只，求有一双配对的< br>概率．
解法I： 设10双鞋的号码为t号至10号鞋．我们有下列事件等式，
“三只鞋中有一双配对”＝“三只中1号鞋配对” +“三只中2号鞋配对”
+ … +“三支中10号鞋配对”．
相应地可设事件为


把1号鞋看成废品，其他鞋看成合格品，由超几何
分布的概率公式，有

解法1的特点是把较复杂的事件分解成较简单的事件和．


【例8】

【例9】一个著名问题——匹配问题：
４张卡门分别标着1，2，3，4，面朝下放在桌子上． 一个自称有透视能力的
人将用他超感觉能力 说出卡片上的号数，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他
至少猜中—个的概率是多少？
对于这个小数日(n＝4)的具体问题，可以通过把“至少猜中一个”进行分析而获
得解答．这里仅给出 分析结果：


【例10】
【例】


解； （ⅰ）
∵

AB

，















七．习题：

1．.

2．P．16 ----- 1，4，5，6，7